Zapisz jako PDF

Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Fourier_3
Spis treści
1 Twierdzenie o splocie
1.1 Zastosowania
2 Okienka
2.1 Wstęp
2.2 Badanie własności okien
2.2.1 Zadanie 1: Własności różnych okien i szerokość prążka w widmie
2.2.2 Zadanie 3: Wpływ okienkowania na wykrywalność składowych o różnej
amplitudzie
2.3 Okienkować możemy też w częstości
2.3.1 Zadanie 4: Konstrukcja prostego filtru
2.3.2 Zadanie 5: Porównanie działania najprostszych filtrów fft na biały szum
3 Co musimy z tego zapamiętać?
Twierdzenie o splocie
Przypomnijmy sobie poznane na wykładzie Twierdzenie o splocie:
To twierdzenie działa też w drugą stronę:
W praktyce oznacza to tyle, że jeśli w jednej dziedzinie jakieś dwa sygnały przez siebie
przemnożymy, to w drugiej dziedzinie transformaty tych sygnałów splatają się. Własność ta ma
bardzo ważne konsekwencje, np. przy estymacji widma skończonego fragmentu sygnału. Dlaczego?
Wyobraźmy sobie, że mamy nieskończenie długi sygnał. Oprócz niego mamy też funkcję, która jest
niezerowa tylko na skończonym odcinku. Funkcję taką będziemy nazywać oknem. Pobranie
fragmentu sygnału można wyobrazić sobie jako efekt pomnożenia badanego sygnału przez okno. Ta
operacja mnożenia w dziedzinie czasu, w dziedzinie częstości odpowiada splotowi widma sygnału z
widmem okna. Aby uzyskać sygnał o skończonej długości odrzucamy wyzerowane odcinki. FFT widzi
taki skończony odcinek jako periodyczne przedłużenie. Widać, że w praktyce estymowania widma
zawsze mamy do czynienia z widmami będącymi splotem widma sygnału i widma okna, ponieważ
zawsze pracujemy z sygnałami o skończonej długości.
Zastosowania
pozwala na zamianę splotu na mnożenie
daje wgląd w okienkowanie
łatwiej można zrozumieć działanie filtrów
Okienka
Wstęp
Jakie są dostępne okna w scipy.signal? Proszę odwiedzić stronę z dokumentacją.
Jak wyglądają te okienka?
from scipy import signal
w = signal.bartlett(10)
plt.plot(w,'.')
plt.show()
Badanie własności okien
Zadanie 1: Własności różnych okien i szerokość prążka w widmie
Widmo amplitudowe w skali dB sygnału , jego transformata Fouriera
:
Proszę zwrócić uwagę na charakterystyczne elementy: szerokość piku głównego, szybkość zanikania
listków bocznych, zera.
Posługując się poniższym kodem (należy uzupełnić brakujące fragmenty kodu):
Wygeneruj sinusoidę o częstości
Hz fazie 0, czasie trwania
s, i częstości
próbkowania
Hz
Wygeneruj okno prostokątne o długości równej długości sinusoidy.
Zokienkuj sygnał mnożąc sinusoidę przez okienko
Wykreśl zokienkowany sygnał, widmo zokienkowanego sygnału, widmo okienka
Powtórz powyższe kroki dla okienek Bartletta, Hanna, Hamminga i Blackmana.
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*from numpy.fft import rfft, rfftfreq
import numpy as np
import pylab as py
import scipy.signal as ss
def widmo_dB(s, N_fft, F_samp):
'''
funkcja pomocnicza do obliczania widma amplitudowego w skali decybelowej
'''
S = rfft(s,N_fft)
S_dB = ...
F = rfftfreq(N_fft, ...)
return (S_dB,F)
def rysuj_wlasnosci(s, okno, N_fft, F_samp,tytul):
'''
funkcja implementująca polecenia z zadania
'''
okno = ...# znormalizuj okienko
s_okienkowany = ...# okienkujemy sygnał
py.figure()
py.subplot(2,2,1)
py.plot(t,okno)
py.title(tytul)
py.subplot(2,2,2)
S_okienka_zera, skalaF_zera = ...# oblicz widmo okienka z dopełnieniem
zerami do 1024
py.plot(skalaF_zera,S_okienka_zera)
S_okienka, skalaF = ...# oblicz widmo okienka dla oryginalnej jego
długości
py.plot(skalaF,S_okienka,'r.-')
py.title('widmo okienka')
py.ylim((-90,25))
py.subplot(2,2,3)
py.plot(t,s_okienkowany)
py.title('sygnał okienkowany')
py.subplot(2,2,4)
S_okienkowany_zera, skalaF_zera = ... # oblicz widmo sygnału
okienkowanego z dopełnieniem zerami do 1024
S_okienkowany, skalaF = ...# oblicz widmo sygnału okienkowanego dla
oryginalnej jego długości
py.plot(skalaF_zera,S_okienkowany_zera)
py.plot(skalaF,S_okienkowany,'r.-')
py.plot([f,f],[-90,25],'r')
py.ylim((-90,25))
py.title('widmo sygnału okienkowanego')
# ustawienia parametrów
Fs = 100
dt = 1/Fs
N_fft =1024
f = 10.2
T = 1
t = np.arange(,T,dt)
s = np.sin(2*np.pi*f*t) # tu mamy sygnał do testowania okienek
# ilustrujemy własności poszczególnych okienek
M = len(s)
okno = np.ones(M)
rysuj_wlasnosci(s, okno, N_fft, Fs,'prostokąt')
okno = ss.hanning(M)#
rysuj_wlasnosci(s, okno, N_fft, Fs,'hanning')
okno = ss.hamming(M)#
rysuj_wlasnosci(s, okno, N_fft, Fs,'hamming')
okno = ss.blackman(M)#
rysuj_wlasnosci(s, okno, N_fft, Fs,'blackman')
Zadanie 3: Wpływ okienkowania na wykrywalność składowych o różnej amplitudzie
Wygeneruj sygnał będący sumą dwóch sinusoid o fazie 0, czasie trwania
s, i częstości
próbkowania
Hz. Jedna niech ma częstość
Hz. Częstość drugiej, niech
zmienia się od 11,4 do 15,5 Hz w 9 krokach
Jaki jest wpływ okienek na możliwości rozróżnienia dwóch częstości?
Proszę powtórzyć iteracje dla przypadku gdy druga z sinusoid ma 10-krotnie niższą amplitudę.
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*from numpy.fft import rfft, rfftfreq
import numpy as np
import pylab as py
import scipy.signal as ss
def widmo_dB(s, N_fft, F_samp):
'''
funkcja pomocnicza
'''
S = rfft(s,N_fft)
S_dB = 20 * np.log10(np.abs(S))
F = rfftfreq(N_fft, 1.0/F_samp)
return (S_dB,F)
def rysuj_wlasnosci(t, F_samp, okno, tytul ):
'''
prezentacja własności
'''
py.figure()
f = 10.2
okno = okno/np.linalg.norm(okno)
k = 1
for f2 in np.linspace(11.4,15.5,9):
s = ... # suma sinusoid o częstościach f i f2
s_okienkowany = s* okno
py.subplot(3,3,k)
py.title(str(f2))
S_okienkowany, skalaF = widmo_dB(s_okienkowany,len(s), Fs)
py.plot(skalaF,S_okienkowany)
py.plot([f,f],[-50,25],'r')
py.plot([f2,f2],[-50,25],'r')
py.ylim((-50,25))
k+=1
Fs = 100
dt = 1/Fs
T = 1
t = np.arange(,T,dt)
M = len(t)
okno = np.ones(M)
rysuj_wlasnosci(t,Fs, okno,'prostokąt')
okno = ss.hanning(M)#
rysuj_wlasnosci(t,Fs, okno,'hanning')
okno = ss.hamming(M)#
rysuj_wlasnosci(t,Fs, okno,'hamming')
okno = ss.blackman(M)#
rysuj_wlasnosci(t,Fs, okno,'blackman')
Okienkować możemy też w częstości
Zadanie 4: Konstrukcja prostego filtru
Proszę wykreślić widmo, a następie obliczyć i wykreślić odwrotną transformatę Fouriera dla
sygnału rzeczywistego zadanego w dziedzinie częstości przez (poniższy kod definiuje sygnał w
dodatniej części widma):
S = np.zeros(128)
S[21] = 1
Proszę wykreślić okienko prostokątne w częstości, pozycja 1 w binach częstości od 21 do 30, a
następnie wykreślić odpowiadający mu sygnał w dziedzinie czasu.
Koncepcyjnie najprostszym filtrem jest operacja przemnożenia widma sygnału przez okienko w
dziedzinie częstości a następnie zastosowanie odwrotnej transformaty Fouriera. Co stanie się z
sygnałem w dziedzinie czasu, a co w dziedzinie częstości, jeśli chcielibyśmy przefiltrować go
pasmowo przy użyciu filtra pasmowo przepustowego z poprzedniego punktu?
Zadanie 5: Porównanie działania najprostszych filtrów fft na biały szum
Proszę wytworzyć sygnał będący białym szumem o długości 256 próbek.
Policz transformatę rzeczywistą tego sygnału.
Przygotuj dwa okna w dziedzinie częstości (w części dodatniej) o długości 129:
okno prostokątne z jedynkami w punktach 20:30
okno Gaussowskie np.exp(-((F-25.0)/5)**2)
Przemnóż widmo sygnału przez każde z okien i oblicz odwrotną transformatę Fouriera.
Zilustruj wyniki rysunkiem opisanym przez poniższą tabelkę:
okno prostokątne w częstości
okno Gaussowskie w częstości
przebieg czasowy odwrotnej tr. Fouriera okna
Prostokątnego
przebieg czasowy odwrotnej tr. Fouriera okna
Gaussowskiego
przebieg czasowy szumu
przebieg czasowy szumu
Przebieg czasowy odwrotnej tr. Fouriera
iloczynu widma szumu i okna prostokątnego
Przebieg czasowy odwrotnej tr. Fouriera iloczynu
widma szumu i okna Gaussowskiego
Co musimy z tego zapamiętać?
Jeśli nic nie zrobimy z sygnałem, to okienkujemy go okienkiem prostokątnym.
Okienkowanie w czasie odpowiada splotowi transformaty sygnału z transformatą okienka.
Okienka różnią się szerokością piku głównego i szybkością zanikania listków bocznych.
Obecność listków prowadzi do "wycieku" mocy z piku głównego.
Wolno zanikające listki boczne mogą utrudniać interpretację składu częstotliwościowego
sygnału.
Analiza_sygnałów_-_ćwiczenia/Fourier_3