5. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne, równoliczność zbiorów.

5. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne,
równoliczność zbiorów.
Damian Dziąg
29 października 2014
1
Równolicznośc zbiorów
1.1
Definicja
Zbiory A i B są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja różnowartościowa f przekształcająca zbiór A na zbiór B.
A v B <=> ∃ funkcja różnowartościowa f : A → B
1.2
Twierdzenie
Dla dowolnych A,B,C mamy:
a) A v A
b) A v B ⇒ B v A
c) (A v B ∧ B v C) ⇒ A v C
Dowód : Funkcja identycznościowa idA świadczy o (a). Dla dowodu (b) zauważmy,
że jeśli f : A → B jest bijekcją, to funkcja odwrotna f −1 : B → A istnieje i też
jest bijekcją. (c) wynika z tego, że złożenie bijekcji jest bijekcją.
Zbiór A nazywamy przeliczalnym, jeżeli jest skończony lub równoliczny ze
zbiorem wszystkich liczb naturalnych.
1.3
Własności
- Dwa zbiory skończone są równoliczne dokładnie wtedy, gdy mają tę samą
liczbę elementów.
- Dowolne dwa nieskończone zbiory przeliczalne są równoliczne.
1
1.4
Przykłady
a) Dowolne dwa spośród następujących zbiorów są równoliczne:
R, R\{0}, R+, R+ ∪ {0},(0,1),[0,1),[0,1],R\Q
- N, N ∪ {0}, Q
Niech A= N, B= {2n : n ∈ N}. B jest zbiorem liczb parzystych.
-
b)
Są
to zbiory równoliczne, świadczy o tym bijekcja f : A → B dana wzorem
f (x) = 2x.
c) (a, b) v [a, b], czyli przedziały otwarty i domknięty są równoliczne.
2
Zbiory przeliczalne
2.1
Definicja
Zbiór A nazywamy przeliczalnym, jeżeli jest skończony lub równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych.
2.2
Twierdzenie 1
Zbiór nieskończony A 6= ∅ jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem
wyrazów pewnego ciągu nieskończonego, tzn. istnieje funkcja f :
→ A, która
jest bijekcją.
N
2.3
Własności
- Podzbiór zbioru przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym.
- Suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
- Suma skończonej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
- Suma przeliczalnej ilości zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
- Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.
- Zbiór wszystkich ciągów skończonych o wyrazach należących do pewnego
zbioru przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym.
- Zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny. (Liczbą algebraiczną nazywamy
liczbę rzeczywistą, która jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach
wymiernych (np. x2 − 2)).
- Jeżeli zbiory A1 , . . . , An są przeliczalne to uogólniony iloczyn kartezjański
A1 × · · · × An jest zbiorem przeliczalnym.
2
Dowód drugiej własności: Niech A,B będa zbiorami przeliczalnymi i skończonymi.
Wówczas istnieją takie f1 :
→A, f2 :
→ B, które są bijekcjami. Niech
f3 : → A∪B. (f3 (2k) = f2 (k), k ∈ , f3 (2k − 1) = f1 (k), k ∈ )
N
N
(
f3 (n) =
2.4
N
N
N
gdy n = 2k, k ∈
f2 ( n2 )
n+1
f1 ( 2 ) gdy n = 2k − 1 , k ∈
N
N
Przykłady
Z wszystkich liczb całkowitych jest przeliczalny.
Zbiór Q wszystkich liczb wymiernych jest zbiorem przeliczalnym.
Zbiór X = N ∪ {0} jest przeliczalny.
Zbiór liczb parzystych Np = {2, 4, 6, 8, . . . } jest przeliczalny.
Zbiór N2 = N × N jest przeliczalny.
a) Zbiór
b)
c)
d)
e)
3
Zbiory nieprzeliczalne
3.1
Definicja
Zbiór nazywamy nieprzeliczalnym, jeżeli nie jest przeliczalny.
3.2
Własności
- Nadzbiór zbioru nieprzeliczalnego jest zbiorem nieprzeliczalnym.
- Suma dwóch (i dowolnej ilości) zbiorów nieprzeliczalnych jest zbiorem nieprzeliczalnym.
- Różnica zbioru nieprzeliczalnego i przeliczalnego jest zbiorem nieprzeliczalnym.
- Iloczyn kartezjański dowolnej ilości zbiorów nieprzeliczalnych jest zbiorem
nieprzeliczalnym.
3.3
Przykłady
a) Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z przedziału [0,1] jest nieprzeliczalny.
b) Zbiór
R jest nieprzeliczalny.
c) Zbiór wszystkich liczb niewymiernych jest nieprzeliczalnym
R = Q ∪ (R\Q).
d) Zbiór wszystkich liczb przestępnych jest zbiorem nieprzeliczalnym. (Liczba
jest przestępna jeżeli nie jest algebraiczna).
3