Zastosowanie algorytmu Euklidesa

Zastosowanie algorytmu Euklidesa
Przelewanie wody
Dysponujesz dwoma czerpakami o pojemnościach 4 i 6 litrów, pustym pojemnikiem
o nieograniczonej objętości i nieograniczoną ilością wody. Podaj sposób napełnienia
pojemnika 14. litrami wody, przy czym wodę możesz wlewać do pojemnika lub wylewać z
niego tylko pełnymi czerpakami.
Rozwiązanie:
[0,0,0] -> [4,0,0] -> [0,0,4] -> [4,0,4] -> [0,0,8] -> [0,6,8] -> [0,0,14]
Czyli znaleźliśmy rozwiązanie po 6 ruchach. Uogólniając pytamy, czy dla każdych wartości
pojemności czerpaków i pojemnika istnieje rozwiązanie?
Przyjmijmy, że czerpaki moją odpowiednio pojemności m oraz n. Natomiast pojemnik ma
wartość k. Szukamy wówczas rozwiązania równania:
m*x + n*y = k (*)
gdzie x i y to liczby całkowite określające ilość przelewań czerpakami m oraz n.
Szukaliśmy rozwiązania równania: 4*x + 6*y = 14
Łatwo zaobserwować, że powyższe równanie ma rozwiązanie, ale gdyby pojemnik miał
zawierać 15 litrów, wówczas równanie 4*x + 6*y = 15 nie posiadałoby rozwiązania.
Wniosek: Dla zadanych m,n i k równanie (*) ma rozwiązanie x i y tylko wtedy, gdy k jest
równe NWD(m,n), lub jest jego wielokrotnością.
Przyjrzyjmy się algorytmowi Euklidesa.
Załóżmy, że n<=m. Gdy n podzielimy przez m, otrzymamy następującą równość:
n = q*m + r gdzie r – reszta, 0<=r<m
(**)
q i r są odpowiednio ilorazem i resztą.
Najistotniejszy wniosek, pozwalający na znalezienie NWD opiera się dalej na podstawieniu:
NWD(m,n)=NWD(r,m)
Np. m=46, n=48:
Z równania (**) mamy:
48=1*46+2 r=2
46=23*2+0
NWD(46,48)=NWD(2,46)=NWD(0,2), czyli NWD(46,48)=2
Prześledźmy znajdowanie NWD na następnym przykładzie:
m=12, n=21. Stosując równanie (**) znajdujemy najpierw NWD:
21 = 1*12 + 9 (1)
12 = 1 *9 + 3 (2)
9 = 3*3 + 0
(3)
Stąd NWD(12,21)=3
Aby otrzymać równość (*) dokonajmy przekształceń powyższego rozwiązania:
Z (2): 12 – 1*9 = 3
Z (1): 9 = 21 – 1*12
Podstawiamy 1 do 2:
12 – 1*(21-1*12) = 3
2*12-1*21 = 3
a więc 2*m-1*n = 3
Można zapisać w postaci iteracji kolejne kroki algorytmu Euklidesa:
a0=q1*a1+a2
a1=q2*a2+a3
.
.
.
al+1=ql*al+al+1
gdzie przyjęliśmy: a0=n, a1=m oraz al.+1=0, czyli al=NWD(m,n).
Szukamy zatem rozwiązania równania: NWD(m,n)=mx+ny.
W tym celu algorytm będzie tworzył również dwa podciągi liczb x0,x1, … ,xl oraz
y0,y1,…,yl spełniające równość:
ai=mxi+nyi dla i=0,1,2,…,l (***)
Czyli dla i=l otrzymamy: al=NWD(m,n)=mxl+nyl. Zatem po zakończeniu algorytmu,
końcowe wartości elementów ciągów ai, xi oraz yi będą stanowić rozwiązanie równania :
mx+ny=k
Określmy teraz sposób wyznaczenia elementów ciągów xi oraz yi. Z dwóch pierwszych
iteracji algorytmu Euklidesa otrzymamy ich początkowe wartości:
n = a0 = mx0 + ny0 czyli x0 = 0, y0 = 1,
m = a1 = mx1+ny1 czyli x1 = 1, y1 = 0
Natomiast, gdy skorzystamy z równości ,w algorytmie Euklidesa
ai+1=ai-1-qiai i wstawimy do niej wartości ai-1 oraz ai wówczas otrzymamy:
ai+1 = ai-1 – qiai = mxi-1 + nyi-1 – qi(mxi + nyi) =
= m(xi-1 – qixi) + n(yi-1 – qiyi)
Porównując równanie z zależnością (***) dla i+1 stwierdzimy:
xi+1 = xi-1-qixi oraz yi+1 = yi-1 - qiyi
To kończy definiowanie ai, xi, yi.
W tabeli przedstawione są wartości kolejnych elementów tych ciągów dla przykładu: m=12
oraz n=21.
m= 12
i
0
1
2
3
4
n= 21
a[i]
21
12
9
3
0
q[i]
1
1
3
x[i]
0
1
-1
2
y[i]
1
0
1
-1
Algorytm Euklidesa – wersja rozszerzona:
Dane:
Wyniki:
Dwie liczby naturalne m i n, m<=n
Największy wspólny dzielnik m i n, NWD(m,n) oraz rozwiązanie r-nia:
xm+yn=k, gdzie k=NWD(m,n)
Krok 1.
{Przypisanie wartości początkowych}
a=n; a’=m; x=0; y=1; x’=1; y’=0
Krok 2.
Jeśli a’==0, to a=NWD(m,n) oraz x i y stanowią rozwiązanie r-nia:
x*m+y*n=k, gdzie k=NWD(m,n) – zakończ algorytm
Krok 3.
Wykonaj przypisania:
q = a div a’; {div – dzielenie całkowite bez reszty}
temp=a’; a’=a – q*a’; a=temp; {temp – zmienna pomocnicza}
temp=x’; x’=x – q*x’; x=temp;
temp=y’; y’=y – q*y’; a=temp;
Krok 4.
Wróć do kroku 2.
Działania na ułamkach.
Do naszych działań przyjmujemy ułamek zwykły postaci p/q, gdzie p i q są liczbami
względnie pierwszymi oraz q>0.
Podstawowe działania arytmetyczne na ułamkach zwykłych:
p p' p ⋅ q'± p'⋅q
± =
;
q q'
q ⋅ q'
p p' p ⋅ p'
;
⋅ =
q q' q ⋅ q'
p p ' p ⋅ q'
: =
q q' q ⋅ p '
Aby wyniki tych działań były również ułamkami zwykłymi, należy skrócić ułamki
występujące po prawej stronie tożsamości, gdy to jest możliwe. W programie komputerowym
skracanie ułamków przeprowadzamy w trakcie wykonywania obliczeń, a nie na końcu. Dzięki
temu unikamy dużych liczb w trakcie obliczeń. W trakcie działań przydatna może być funkcja
NWW(m,n) – najmniejsza wspólna wielokrotność.
Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb naturalnych m i n jest najmniejsza liczba
naturalna, która dzieli się przez m i n. Oznaczamy ją NWW(m,n). Prawdziwy jest związek:
NWW ( m, n ) =
m⋅n
NWD( m, n )
Aby uniknąć dużego licznika w wyrażeniu na NWW, możemy go także przedstawić w
postaci:
NWW ( m, n ) = m
n
NWD( m, n )
Algorytm obliczania najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch liczb.
Dane:
Wyniki:
Dwie liczby naturalne m i n, m<=n.
NWW(m,n).
Krok 1.
Krok 2.
Oblicz NWD(m,n) {Zastosuj w tym celu algorytm Euklidesa}
NWW(m,n) jest równa m*(n div NWD(m,n)).
Dodawanie ułamków (odejmowanie będzie wyglądało podobnie).
Obliczamy najpierw r=NWD(q,q’). Jeśli r=1, to wyniku dodawania nie można skrócić. Jeśli
r>1, to obliczamy
⎛q⎞
⎛ q' ⎞
t = p⎜ ⎟ + p' ⎜ ⎟
⎝r⎠
⎝r⎠
s = NWD(t , r )
Wówczas:
p p' p ⋅ q'+ p'⋅q
t/s
+ =
=
q q'
q ⋅ q'
(( q / r )( q' / s ))
Sprawdźmy na przykładzie.
- metodą tradycyjną:
15 19 180 + 988 1168 73
+
=
=
=
52 12
624
624 39
- metodą opisaną powyżej:
r=NWD(52,12)=4, t=15*3+19*13=292, s=NWD(292,4)=4. Stąd,
15 19
( 294 / 4)
73
+
=
=
52 12 ((52 / 4)(12 / 4)) 39
Jak widać w drugim przypadku wystąpiły mniejsze liczby w trakcie obliczeń.
Mnożenie i dzielenie ułamków.
Ponieważ p i q oraz p’ i q’ są parami liczb względnie pierwszych, mamy więc
NWD(pp’,qq’)=rs, gdzie r=NWD(p,q’) i s=NWD(q,p’). Wynika stąd:
p p' p ⋅ p' ( p / r )( p' / s )
⋅ =
=
q q' q ⋅ q' (q / s )(q' / r )
Podobnie z dzieleniem:
r=NWD(p,p’) i s=NWD(q.q’). Wówczas przy spełnieniu warunku p’>0:
p p' p ⋅ q' ( p / r )(q' / s )
: =
=
q q'
p'⋅q (q / s )( p' / r )
Literatura:
Algorytmy – M. M. Sysło wyd. WSiP