GSL ładunków

Transkrypt

GSL ładunków

Promieniowanie. Podstawy teoretyczne i wyniki numeryczne.
Rafał Topolnicki
Seminarium Licencjackie
Wrocław, 13 marca 2010
Rafał Topolnicki
1 / 45
Plan
Plan:
Potencjały i ich cechowania,
Potencjały opóźnione. Przykład: promieniowanie dipola,
Czas retardowany, potencjały Lienarda-Wiecherta,
Zagadnienie promieniującego ładunku
Przypadki:
nierelatywistyczny
relatywistyczny
Kilka słów o GSL,
O sposobie symulacji i jego niedoskonałościach,
Wyniki,
Paradoksy,
Plany
Rafał Topolnicki
2 / 45
Potencjały opóźnione
O potencjale
~ r, t), które spełniają
Szukamy pól wytwarzanych przez dowolne źródła ρ(~r, t) i J(~
równania Maxwella:
~ = 1ρ
~ =0
1. ∇E
2. ∇B
0
~
∂B
~
3. ∇ × E = −
∂t
~
∂E
~
~
4. ∇ × B = µ0 J + µ0 ε0
∂t
~
∂A
~
~
~
B =∇×A ,
E = −∇V −
∂t
Powyższe potencjały spełniają 2. i 3. równania Maxwella, natomiast równania 1. i 4.
wyrażają się wzorami:
∂
~ =−1ρ
∇2 V + (∇A)
∂t
ε0
2~
∂ A
∂V
2~
~ + µ0 ε 0
∇ A − µ0 ε0 2 − ∇ ∇A
= −µ0 J~
∂t
∂t
Rafał Topolnicki
3 / 45
O potencjale
~ r, t), które spełniają
Szukamy pól wytwarzanych przez dowolne źródła ρ(~r, t) i J(~
równania Maxwella:
~ = 1ρ
~ =0
1. ∇E
2. ∇B
0
~
∂B
~
3. ∇ × E = −
∂t
~
∂E
~
~
4. ∇ × B = µ0 J + µ0 ε0
∂t
~
∂A
~
~
~
B =∇×A ,
E = −∇V −
∂t
Powyższe potencjały spełniają 2. i 3. równania Maxwella, natomiast równania 1. i 4.
wyrażają się wzorami:
∂
~ =−1ρ
∇2 V + (∇A)
∂t
ε0
2~
∂ A
∂V
2~
~ + µ0 ε 0
∇ A − µ0 ε0 2 − ∇ ∇A
= −µ0 J~
∂t
∂t
Rafał Topolnicki
3 / 45
Cechowania
~ V ) i (A
~ 0 , V 0 ) prowadzą do tych samych pól E
~ i B:
~
Układy (A,

~0

 A =
~ + ∇λ
A

 V 0 = V − ∂λ
∂t
~ = 0 - rozkład ładunku w chwili obeserwacji
Cechowanie Columba ∇A
1
V (~r, t) =
4πε0
~ = −µ0 ε0
Cechowanie Lorentza ∇A
Z
ρ(r~0 , t) 0
dτ
R
∂V
∂t
∂2
≡ ∇ − µ0 ε 0 2
∂t
2
V = −
Rafał Topolnicki
1
ρ,
ε0
~ = −µ0 J~
A
(1)
4 / 45
Cechowania
~ V ) i (A
~ i B:
~
Układy (A,

~0

 A =
~ + ∇λ
A

 V 0 = V − ∂λ
∂t
1
V (~r, t) =
4πε0
~ = −µ0 ε0
Z
ρ(r~0 , t) 0
dτ
R
∂V
∂t
∂2
≡ ∇ − µ0 ε 0 2
∂t
2
V = −
Rafał Topolnicki
1
ρ,
ε0
~ = −µ0 J~
A
(1)
4 / 45
Cechowania
~ V ) i (A
~ i B:
~
Układy (A,

~0

 A =
~ + ∇λ
A

 V 0 = V − ∂λ
∂t
1
V (~r, t) =
4πε0
~ = −µ0 ε0
Z
ρ(r~0 , t) 0
dτ
R
∂V
∂t
∂2
≡ ∇ − µ0 ε 0 2
∂t
2
V = −
Rafał Topolnicki
1
ρ,
ε0
~ = −µ0 J~
A
(1)
4 / 45
W wypadku statycznym (1) odpowiadają równanią Poissona z rozwiązaniami:
1
V (~r) =
4πε0
Z
ρ(r~0 ) 0
dτ ,
R
tr = t −
1
V (~r, t) =
4πε0
Rafał Topolnicki
Z
ρ(r~0 , tr ) 0
dτ ,
R
~ r ) = µ0
A(~
4π
Z
~ r~0 ) 0
J(
dτ
R
R
c
~ r, t) = µ0
A(~
4π
Z
~ r~0 , tr ) 0
J(
dτ
R
5 / 45
Promieniowanie dipola
q(t) = q0 cos(ωt) ,
p
~(t) = p0 cos(ωt)ẑ
Potencjał opóźniony:
V (~r, t) =
1
4πε0
q0 cos (ω(t − R+ /c)
q0 cos (ω(t − R− /c)
−
R+
R−
Przyjmujemy następujące przybliżenia:
dr
c
d
ω
c
r
ω
h i
p0 ω
cos θ
r
V (r, θ, t) = −
sin ω t −
4πε0 c
r
c
Rafał Topolnicki
6 / 45
q(t) = q0 cos(ωt) ,
p
~(t) = p0 cos(ωt)ẑ
Potencjał opóźniony:
V (~r, t) =
1
4πε0
q0 cos (ω(t − R+ /c)
q0 cos (ω(t − R− /c)
−
R+
R−
Przyjmujemy następujące przybliżenia:
dr
c
d
ω
c
r
ω
h i
p0 ω
cos θ
r
V (r, θ, t) = −
sin ω t −
4πε0 c
r
c
Rafał Topolnicki
6 / 45
~ = −q0 ω sin(ωt)ẑ
I(t)
~ r, t)
A(~
=
≈
µ0
4π
Z
d/2
−d/2
−q0 ω sin(ω(t − R/c))ẑ
dz
R
µ 0 p0 ω
r
−
sin ω t −
4πr
c
h i
ẑ
Licząc ∇V w współrzędnych sferycznych otrzymujemy:
2
~
∂
A
µ
p
ω
0
0
~ = −∇V −
E
=−
∂t
4π
sin θ
r
cos ω t −
r
c
h 2
µ
p
ω
r
sin θ
0
0
~ =∇×A
~=−
B
cos ω t −
4πc
r
c
O przepływie energii mówi wektor Poyntinga:
~= 1 E
~ ×B
~ = µ0
S
µ0
c
Rafał Topolnicki
p0 ω
4π
2
h i
sin θ
r
cos ω t −
r
c
h i
θ̂
φ̂
i2
r̂
7 / 45
I(t)
~ r, t)
A(~
=
≈
µ0
4π
Z
d/2
−d/2
dz
R
µ 0 p0 ω
r
−
sin ω t −
4πr
c
h i
ẑ
2
~
∂
A
µ
p
ω
0
0
~ = −∇V −
E
=−
∂t
4π
sin θ
r
cos ω t −
r
c
h 2
µ
p
ω
r
sin θ
0
0
~ =∇×A
~=−
B
cos ω t −
4πc
r
c
~= 1 E
~ ×B
~ = µ0
S
µ0
c
Rafał Topolnicki
p0 ω
4π
2
h i
sin θ
r
cos ω t −
r
c
h i
θ̂
φ̂
i2
r̂
7 / 45
I(t)
~ r, t)
A(~
=
≈
µ0
4π
Z
d/2
−d/2
dz
R
µ 0 p0 ω
r
−
sin ω t −
4πr
c
h i
ẑ
2
~
∂
A
µ
p
ω
0
0
~ = −∇V −
E
=−
∂t
4π
sin θ
r
cos ω t −
r
c
h 2
µ
p
ω
r
sin θ
0
0
~ =∇×A
~=−
B
cos ω t −
4πc
r
c
~= 1 E
~ ×B
~ = µ0
S
µ0
c
Rafał Topolnicki
p0 ω
4π
2
h i
sin θ
r
cos ω t −
r
c
h i
θ̂
φ̂
i2
r̂
7 / 45
~
Natężenie promieniowania określa uśredniony po czasie S:
~ =
hSi
Całkowita moc:
hP i =
Rafał Topolnicki
µ0 p20 ω 4
32π 2 c
Z
2 4
µ
p
0
0ω
~ a=
hSid~
12πc
sin2 θ
r̂
r2
8 / 45
Czas retardowany
Czas retardowany
c<∞
~ r, t)
Szukamy potencjałów V (~r, t) i A(~
~
Trajektoria ξ(t)
~ r)
~ ≡ ~r − ξ(t
R
~ r )| = c(t − tr )
|~r − ξ(t
Nie prawda, że:
ρ(~r0 , tr ) 0
1
dτ
4πε0
R
1 q
4πε0 R
Z
V (~r, t)
=
=
Rafał Topolnicki
9 / 45
Czas retardowany
Czas retardowany
c<∞
~ r, t)
Szukamy potencjałów V (~r, t) i A(~
~
Trajektoria ξ(t)
~ r)
~ ≡ ~r − ξ(t
R
~ r )| = c(t − tr )
|~r − ξ(t
Nie prawda, że:
ρ(~r0 , tr ) 0
1
dτ
4πε0
R
1 q
4πε0 R
Z
V (~r, t)
=
=
Rafał Topolnicki
9 / 45
Potencjały Lienarda-Wiecherta
τ
τ =
,
1 − R̂~v /c
0
V (~r, t) =
A(~r, t) =
d~
~v ≡ ξ(t)
dt
1
qc
~ v)
4πε0 (Rc − R~
µ0
qc~v
~v
= 2 V (~r, t)
~ v)
4π (Rc − R~
c
~ iB
~ poruszającego się ładunku
Pola E
~
∂A
~ =∇×A
~ ,
~
E = −∇V −
, B
~
u ≡ cR̂ − ~v
∂t
q
R 2
2
~
~
E(~r, t) =
(c − v )~
u + R × (~
u × ~a)
~ u)3
4π0 (R~
~ r, t) = 1 R̂ × E(~
~ r, t)
B(~
c
Rafał Topolnicki
(2)
(3)
10 / 45
τ
τ =
,
1 − R̂~v /c
0
V (~r, t) =
A(~r, t) =
d~
~v ≡ ξ(t)
dt
1
qc
~ v)
4πε0 (Rc − R~
µ0
qc~v
~v
= 2 V (~r, t)
~ v)
4π (Rc − R~
c
~ iB
~ poruszającego się ładunku
Pola E
~
∂A
~ =∇×A
~ ,
~
E = −∇V −
, B
~
u ≡ cR̂ − ~v
∂t
q
R 2
2
~
~
E(~r, t) =
(c − v )~
u + R × (~
u × ~a)
~ u)3
4π0 (R~
~ r, t) = 1 R̂ × E(~
~ r, t)
B(~
c
Rafał Topolnicki
(2)
(3)
10 / 45
Promieniowanie
Skąd się bierze promieniowanie?
Wektor
~ r, t) (2) i B(~
~ r, t) (3)
Poyntinga dla pól E(~
~
S
=
=
1 ~
1 ~
~
~
E × (R̂ × E)
(E × B) =
µ0
µ0 c
1 2
~
~
E R̂ − (R̂E)E
µ0 c
Powierzchnia sfery ∼ R2
Tylko pola ∼ 1/R2
~ dają wkład w granicy R −→ ∞
wS
R
~ rad = q
~ × (~
E
[R
u × ~a)] (⊥ R̂)
~ u)3
4πε0 (R~
2
~rad = 1 Erad
R̂
S
µ0 c
Rafał Topolnicki
11 / 45
Promieniowanie
Skąd się bierze promieniowanie?
Wektor
~ r, t) (2) i B(~
~ r, t) (3)
Poyntinga dla pól E(~
~
S
=
=
1 ~
1 ~
~
~
E × (R̂ × E)
(E × B) =
µ0
µ0 c
1 2
~
~
E R̂ − (R̂E)E
µ0 c
Powierzchnia sfery ∼ R2
Tylko pola ∼ 1/R2
~ dają wkład w granicy R −→ ∞
wS
R
~ rad = q
~ × (~
E
[R
u × ~a)] (⊥ R̂)
~ u)3
4πε0 (R~
2
~rad = 1 Erad
R̂
S
µ0 c
Rafał Topolnicki
11 / 45
Promieniowanie
Moc promieniowania
I
~rad d~a
S
P =
Gdy v c wzór Larmora:
q
4πε0
2 q
1 6
γ
3 4πε0 c3
2
P =
3
2
µ0 q 2 a2
a2
=
c3
6πc
(4)
Gdy v ≈ c wzór Lienarda:
2
P =
Rafał Topolnicki
a2 −
(~v × ~a)
c2
2
(5)
12 / 45
Promieniowanie
Moc promieniowania
I
~rad d~a
S
P =
q
4πε0
2 q
1 6
γ
3 4πε0 c3
2
P =
3
2
µ0 q 2 a2
a2
=
c3
6πc
(4)
2
P =
Rafał Topolnicki
a2 −
(~v × ~a)
c2
2
(5)
12 / 45
Promieniowanie
Moc promieniowania
I
~rad d~a
S
P =
q
4πε0
2 q
1 6
γ
3 4πε0 c3
2
P =
3
2
µ0 q 2 a2
a2
=
c3
6πc
(4)
2
P =
Rafał Topolnicki
a2 −
(~v × ~a)
c2
2
(5)
12 / 45
Promieniowanie
Wzór Lienarda
Używając wzoru na siłę Lorentza:
dpµ
= qγF µν vν
dτ
wzór Lienarda można zapisać jako:
2 q2
1 dpµ dpµ
P =
3 4πε0 m2 c2 dτ dτ
Korzystając z składowych tensora pola F µν
F µµ = 0 ,
1
F 0j = − Ej ,
c
F jk = −εjkl Bl
możemy napisać:
2
P =
Rafał Topolnicki
2
2 q q 2
γ
3 4πε0 c3
~ 2
(~
v
E)
2
~ + ~v × B)
~ −
(E
c3
13 / 45
Przykład: Atom wodoru
Model Rutherforda
Po jakim czasie zapadnie się atom wodoru?
r
2
2
1 q
v
F =
=
m
4πε0 r2
r
⇒ v=
1 q2
4πε0 mr
(6)
v(r = r0 ) = 0, 0075c c
2
dW
2 q
=
dt
3 4πε0 c3
2
1
q
4πε0 mr2
2
(7)
1
1 q2
1 q2
2
E = Ek + Ep = mv −
=−
2
4πε0 r
8πε0 r
1 q 2 dr
dW
dE
=
=
P
≡
prom
dt
8πε0 r2 dt
dt
4 1
dr
=− 3
dt
3c
3
− c3
4
3
Rafał Topolnicki
4πε0 m
q2
2
q
1
4πε0 mr2
2 Z
2
0
r0
r2 dr =
r2
Z
tc
dt
0
2
c
4πε0 m
3
−11
r
=
t
=
1,
3
·
10
[s]
0
2
4
q
Promieniowanie.
Podstawy
teoretyczne i wyniki numeryczne.
14 / 45
Model Rutherforda
r
2
2
v
1 q
=
m
F =
4πε0 r2
r
⇒ v=
1 q2
4πε0 mr
(6)
v(r = r0 ) = 0, 0075c c
2
dW
2 q
=
dt
3 4πε0 c3
2
1
q
4πε0 mr2
2
(7)
1
1 q2
1 q2
2
E = Ek + Ep = mv −
=−
2
4πε0 r
8πε0 r
1 q 2 dr
dW
dE
=
=
P
≡
prom
dt
8πε0 r2 dt
dt
4 1
dr
=− 3
dt
3c
3
− c3
4
3
Rafał Topolnicki
4πε0 m
q2
2
q
1
4πε0 mr2
2 Z
2
0
r0
r2 dr =
r2
Z
tc
dt
0
2
c
4πε0 m
3
−11
r
=
t
=
1,
3
·
10
[s]
0
2
4
q
Promieniowanie.
Podstawy
14 / 45
Model Rutherforda
r
2
2
v
1 q
=
m
F =
4πε0 r2
r
⇒ v=
1 q2
4πε0 mr
(6)
v(r = r0 ) = 0, 0075c c
2
dW
2 q
=
dt
3 4πε0 c3
2
1
q
4πε0 mr2
2
(7)
1
1 q2
1 q2
2
E = Ek + Ep = mv −
=−
2
4πε0 r
8πε0 r
1 q 2 dr
dW
dE
=
=
P
≡
prom
dt
8πε0 r2 dt
dt
4 1
dr
=− 3
dt
3c
3
− c3
4
3
Rafał Topolnicki
4πε0 m
q2
2
q
1
4πε0 mr2
2 Z
2
0
r0
r2 dr =
r2
Z
tc
dt
0
2
c
4πε0 m
3
−11
r
=
t
=
1,
3
·
10
[s]
0
2
4
q
Promieniowanie.
Podstawy
14 / 45
GSL
GSL - GNU Scientific library - biblioteka funkcji numerycznych dla C i C++.
Możliwości:
Napisana w ANSI C
Algebra Liniowa
Modularna budowa
Dostępna za darmo
Całkowanie i różniczkowanie
numeryczne
Bardzo pupularna
Rozwiązywanie ODE
≈ 103 funkcji matematycznych
Statystyka
...
Sztandarowy przykład: funkcja Bessela J0 (x) =
∞
X
(−1)k ( x )2k
2
k=0
k!Γ(k + 1)
dla x = π
#include <iostream>
#include <gsl/gsl_sf_bessel.h>
#include <gsl/gsl_math.h>
using namespace std;
int main()
{
double x=M_PI;
cout << "J0(" << x << ") = " << gsl_sf_bessel_J0(x) << endl;
}
g++ -O2 -I/usr/include bessel.cpp $(gsl-config --libs) -o bessel && ./bessel
J0(3.14159) = -0.304242
Rafał Topolnicki
15 / 45
GSL
GSL - GNU Scientific library - biblioteka funkcji numerycznych dla C i C++.
Możliwości:
Napisana w ANSI C
Algebra Liniowa
Modularna budowa
Dostępna za darmo
Całkowanie i różniczkowanie
numeryczne
Bardzo pupularna
Rozwiązywanie ODE
≈ 103 funkcji matematycznych
Statystyka
...
Sztandarowy przykład: funkcja Bessela J0 (x) =
∞
X
(−1)k ( x )2k
2
k=0
k!Γ(k + 1)
dla x = π
#include <iostream>
#include <gsl/gsl_sf_bessel.h>
#include <gsl/gsl_math.h>
int main()
{
double x=M_PI;
cout << "J0(" << x << ") = " << gsl_sf_bessel_J0(x) << endl;
}
g++ -O2 -I/usr/include bessel.cpp $(gsl-config --libs) -o bessel && ./bessel
J0(3.14159) = -0.304242
Rafał Topolnicki
15 / 45
GSL
Rozwiązywanie równań różniczkowych (ODE):
Teoria
0
00
(n)
Równanie różniczkowe zwyczajne: F t, x, x , x , . . . , x
= 0. Aby rozwiązać je
numerycznie należy sprowadzić F do układu n równań 1 rzędu. Wprowadzamy n
zmiennych zależnych:
dn x(t)
dyn−1
yn (t) =
=
dt
dtn
y0 (t) = x(t),
Przykład
Równanie oscylatora tłumionego:
ẍ = −kẋ − ω 2 x
(
Rafał Topolnicki
y0 =
y˙0 =
y˙1 =
x
y1
−ky1 − ω 2 y0
16 / 45
GSL
Rozwiązywanie równań różniczkowych (ODE):
Teoria
0
00
(n)
Równanie różniczkowe zwyczajne: F t, x, x , x , . . . , x
= 0. Aby rozwiązać je
numerycznie należy sprowadzić F do układu n równań 1 rzędu. Wprowadzamy n
zmiennych zależnych:
dn x(t)
dyn−1
yn (t) =
=
dt
dtn
y0 (t) = x(t),
Przykład
Równanie oscylatora tłumionego:
ẍ = −kẋ − ω 2 x
(
Rafał Topolnicki
y0 =
y˙0 =
y˙1 =
x
y1
−ky1 − ω 2 y0
16 / 45
GSL
Programowanie rozwiazywania układu równań
Moduł <gsl/gsl_odeiv.h>
1
Definiujemy układ równań,
2
Wybranie funkcji krokowej. Przeprowadzają układ ze stanu ~
y (t) do stanu ~
y (t + h). ~
y
- wektor p składowych z poszukiwanych zmiennych zależnych,
3
Funckja optymalizując długość kroku,
4
Przekazanie powyższych składników do właściwej funkcji rozwiązującej ODE,
5
Wywołanie odpowiednich ’destruktorów’
X
Rafał Topolnicki
= 40 linii kodu
17 / 45
GSL
Przykład: Oscylator tłumiony
#include <iostream>
#include <gsl/gsl_odeiv.h>
#include <gsl/gsl_matrix.h>
#include <gsl/gsl_errno.h>
struct Parametry
{
double k;
double omega;
};
int rownanie(double t, const double y[],
double f[], void *params)
{
Parametry p = *(Parametry *)params;
f[0] = y[1];
f[1] = -p.k*y[0] - p.omega*p.omega*y[1];
return GSL_SUCCESS;
}
Rafał Topolnicki
int jakobian(double t, const double y[],
double *dfdy, double dfdt[], void *params)
{
Parametry p = *(Parametry *)params;
gsl_matrix_view dfdy_mat
= gsl_matrix_view_array (dfdy, 2, 2);
gsl_matrix * m = &dfdy_mat.matrix;
gsl_matrix_set (m, 0, 0, 0.0);
gsl_matrix_set (m, 0, 1, 1.0);
gsl_matrix_set (m, 1, 0, -p.omega*p.omega);
gsl_matrix_set (m, 1, 1, -p.k);
dfdt[0] = 0.0;
dfdt[1] = 0.0;
return GSL_SUCCESS;
}
18 / 45
GSL
int main()
{
double h = 1e-10;
const gsl_odeiv_step_type *algorytm = gsl_odeiv_step_rk8pd;
gsl_odeiv_step *steper = gsl_odeiv_step_alloc (algorytm, 2);
gsl_odeiv_control *c = gsl_odeiv_control_y_new (h, 0.0);
gsl_odeiv_evolve *e = gsl_odeiv_evolve_alloc (2);
Parametry P;
P.k=3;
P.omega=1;
gsl_odeiv_system sys = {rownanie, jakobian, 2, &P};
double t = 0.0, t1 = 100.0;
double y[2] = { 1.0, 0.0 };
while (t < t1)
{
int status = gsl_odeiv_evolve_apply (e, c, steper, &sys, &t, t1, &h, y);
if (status != GSL_SUCCESS)
break;
cout << t << " " << y[0] << " " << y[1] << endl;
}
gsl_odeiv_evolve_free(e);
gsl_odeiv_control_free(c);
gsl_odeiv_step_free(steper);
return 0;
}
Rafał Topolnicki
19 / 45
GSL
Wyniki
Rafał Topolnicki
20 / 45
Ładunek w polu magnetycznym
Pierwsze przybliżenie: brak promieniowania
d2~r
~
m 2 = q~v × B,
dt
~ = (0, 0, B),
B
x̂
~ = vx
~v × B
0
 2
dy
d x


=
λ


dt2
dt



 2
d y
dx
=
−λ

dt
 dt2




2

 d z
dt2
ŷ
vy
0
d~r
= (vx , vy , 0)
dt
ẑ 0 = (vy B, −vx B, 0)
B
 3
d y
2 dy

=
−λ

3

dt
dt



dy
⇒
(8)
= −λx


dt




z=0
=0
λ≡
Rafał Topolnicki
~v =
qB
m
21 / 45
Wyniki symulacji
Rafał Topolnicki
22 / 45
Drugie przybliżenie: Uproszczone promieniowanie
Ek0
Ek , v x , v y
2
Larmor: dW =
3
2
Lienard: dW =
3
Rafał Topolnicki
2
2
q
4πε0
q
4πε0
= Ek − dW
vx0
vx
=
vy0
vy
a2
dt
c3
1 6
γ
c3
(~v × ~a)
a −
c2
2
2
dt
23 / 45
Rafał Topolnicki
24 / 45
Rafał Topolnicki
25 / 45
Rafał Topolnicki
26 / 45
Rafał Topolnicki
27 / 45
Zależność promienia od czasu dla v = 0, 1c
Rafał Topolnicki
28 / 45
Zależność promienia od czasu dla v = 0, 5c
Rafał Topolnicki
29 / 45
Rozkład kątowy
Rozkład kątowy w prostoliniowym
~3
dW
e2 R
~ × (~
|R
u × ~a) |
=
~ u )5
dtr dΩ
4π (R~
Mamy ~a k ~v
~
~v R
~
~
~
R~
u = R(cR̂−~v ) = cR(1−
) = cR(1−β cos θ), θ = ^(~v , R)
cR
~ u×~a) = R×
~ (cR̂ − ~v ) × ~a = cR̂(R~
~ a)−~a(Rc
~ R̂) = aRc cos θR̂−v̂acR = aRc(R̂ cos θ−v̂)
R×(~
~ × (~
|R
u × ~a)|2 = (aRc)2 (cos2 θ + 1 − 2 cos2 θ) = (aRc)2 sin2 θ
e2 a2 sin2 θ
dW
=
dtdΩ
4πc3 (1 − β cos θ)5
Granice
β → 0 P ∼ sin2 θ , β → 1 cos θmax → 1
Rafał Topolnicki
θmax →
2
γ
30 / 45
Promieniowanie synchrotronowe
Promieniowanie emitowane przez relatywistyczne elektrony w polu magnetycznym.
bardzo wysoka jasność,
wysoka kolimacja,
silnie spolaryzowane,
emisja w krótkich odstępach czasu ≈1/2ns
zastosowanie
w badanich spektroskopowych i dyfrakcyjnych
Rafał Topolnicki
31 / 45
Promieniowanie synchrotronowe z National Synchrotron Light Source
Rafał Topolnicki
32 / 45
Mgławica Kraba. Zdjęcie wykonane przez teleskop Hubble’a.
Rafał Topolnicki
33 / 45
Rozkład kątowy promieniowania przy prędkości v = 0, 1c
Rafał Topolnicki
34 / 45
Rozkład kątowy promieniowania przy prędkości v = 0, 1c widok z tyłu
Rafał Topolnicki
35 / 45
Rafał Topolnicki
36 / 45
Rozkład kątowy promieniowania przy prędkości v = 0, 5c widok z tyłu
Rafał Topolnicki
37 / 45
Rafał Topolnicki
38 / 45
Dyskusja
Krótka przerwa: dyskusja
Wyniki dla małych prędkości wydają się odpowiadać przewidywanią teoretycznym,
Symulacja nie polegała na rozwiązywaniu równania ruchu (źle!),
Po co rozwiązujemy równania różniczkowe?
Interpretacja fizyczna - reakcja promieniowania
Rafał Topolnicki
39 / 45
Paradoksy, Plany
Promieniowanie unosi energię,
Cząstka przyspiesza wolniej niż powinna,
~rad (=reakcja promieniowania)
⇒ Siła odrzutu F
µ0 q 2 a2
P =
6πc
Rafał Topolnicki
40 / 45
Paradoksy, Plany
⇒ Siła odrzutu F
µ0 q 2 a2
P =
6πc
Zapostulujmy równanie:
Z
t2
t1
Rafał Topolnicki
2
~rad~v dt = − µ0 q
F
6πc
Z
t2
a2 dt
t1
40 / 45
Paradoksy, Plany
⇒ Siła odrzutu F
µ0 q 2 a2
P =
6πc
Zapostulujmy równanie:
t2
Z
t1
2
~rad~v dt = − µ0 q
F
6πc
Z
t2
a2 dt
t1
Całkujemy przez części:
Z
t2
t1
a2 dt =
Z
t2
t1
d~v
dt
d~v
dt
t2 Z t2 2
d~v d ~v
dt = ~v
~v dt
−
2
dt dt
t1
t1
| {z }
=0
Z
t2
t1
Rafał Topolnicki
2
~rad − µ0 q ~a˙ ~v dt = 0
F
6πc
40 / 45
Paradoksy, Plany
Wzór Abrahama-Lorentza
Ostatnie równanie napewno będzie spełnione dla:
µ0 q 2 ˙
~
Frad =
~a
6πc
Paradoks 1
Przypadek 1D. Brak sił zewnętrznych
Frad
µ0 q 2
=
ȧ = ma
6πc
a(t) = a0 exp(t/Ω) ,
Rafał Topolnicki
µ0 q 2
Ω≡
= 6 · 10−24 s
6πmc
41 / 45
Paradoksy, Plany
Paradoks 2
W czasie t ∈ [0, T ] działa stała siła F :
a(t) =

a1 exp(t/Ω)





F
+ b0 exp(t/Ω)

m




a2 exp(t/Ω)
dla t < 0
dla t ∈ [0, T ]
dla t > 0
Chcemy aby a(t > T ) = 0
F
1 − exp(−T /Ω) exp(t/Ω)
a(t < 0) =
m
Rafał Topolnicki
42 / 45
Paradoksy, Plany
Teoria Diraca
Propozycja:
duµ
uν µ
m
= q Fν + Gµ
dτ
dτ
Warunki na Gµ
uµ Gµ = 0
dla v c wzór Abrahama-Lorentza
2 µ
µ
ν
µ
2
2 α
du
u
2e
d u
u uα d u
m
= q Fν µ +
−
dτ
dτ
3 c3
dτ 2
c2 dτ 2
Rafał Topolnicki
43 / 45
Literatura
Literatura:
1
David J. Griffiths, Podstawy Elektrodynamiki, PWN 2005
2
J.D Jackson, Elektrodynamika klasyczna, tom 2, PWN 1987
3
Jan Sobczyk, Wykłady z przedmiotu Elektrodynamika II, 2009/2010
4
Zbigniew Koza, Zastosowanie biblioteki GSL do numerycznego rozwiązywania
układów równań różniczkowych zwyczajnych, 2007
5
GSL Manual, http://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/
Rafał Topolnicki
44 / 45
Literatura
Dziękuję za uwagę
Rafał Topolnicki
45 / 45

GSL ładunków

Transkrypt

Podobne dokumenty

ZakaZane egZotycZne pamiątki