Poster - Migacz - Uniwersytet Wrocławski

Promieniowanie. Rozważania
teoretyczno-numeryczne
Rafał Topolnicki
KNF ”Migacz” Uniwersytet Wrocławski
Abstrakt: Poster prezentuje wyniki pracy na temat promieniowania elektromagnetycznego poruszającego się ładunku punktowego.
Praca obejmowała teoretyczną analizę zjawiska oraz numeryczne rozwiązanie równań ruchu dla promieniującej cząstki. Docelowo planuje
się uzupełnić rozważania numeryczne o rozwiązanie równania Diraca i porównanie wyników z wynikami elementarnej teorii
promieniowania.
Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych - GSL
Teoria w pigułce
~ r , t).
Szukamy potencjałów V (~
r , t), A(~
~ r )| = c(t − tr )
Czas retardowany: R ≡ |~
r − ξ(t
dξ~
d2ξ~
Oznaczenia: ~
v≡
, ~
a ≡ 2, u
~ ≡ cR̂ − ~
v
dt
dt
Potencjały Lienarda-Wiecherta:
1
qc
V (~
r , t) =
~ v)
4πε0 (Rc − R~
µ0
qc~
v
~
v
~ r , t) =
A(~
= 2 V (~
r , t)
~ v)
4π (Rc − R~
c
Pola wytwarzane przez cząstkę:
~
∂A
R
~ r , t) = −∇V −
=
E(~
~ u )3
∂t
4π0 (R~
1
~ r , t) = ∇ × A
~ = R̂ × E(~
~ r , t)
B(~
c
q
h
i
~ × (~
(c2 − v 2)~
u+R
u×~
a)
~ B
~
Przepływ energii - wektor Poyntinga dla pól E,
i
1
1 h 2
~=
~ × B)
~ =
~ E
~
S
(E
E R̂ − (R̂E)
µ0
µ0c
~ dają wkład do mocy promieniowania
Tylko I
pola ∼ 1/R2 w S
P =
S~
a w granicy R −→ ∞
radd~
Wzór Larmora (v c)
P =
2
3
q
!
2
4πε0
2
a
c3
µ0q a
6πc
Wzór Lienarda (v ≈ c):
P =
2 q2 1
3 4πε0 c
6
γ
3
a2 −
(~
v ×~
a)2
Właściwości:
Napisana w ANSI C
Modularna budowa
Dostępna za darmo
Bardzo popularna
≈ 103 funkcji matematycznych
Możliwości:
Algebra Liniowa
Całkowanie i różniczkowanie numeryczne
Rozwiązywanie ODE
Statystyka
...
Moduł <gsl/gsl_odeiv.h>
Definiujemy układ równań,
Wybieramy funkcję krokową. Przeprowadza ona układ ze stanu y
~ (t) do stanu y
~ (t + h). y
~wektor p składowych utworzony z poszukiwanych zmiennych zależnych,
Wybieramy funkcję optymalizującą długość kroku,
Przekazujemy powyższe składniki do właściwej funkcji rozwiązującej ODE,
Wywołujemy odpowiednie ’destruktory’.
X
≈ 50 linii kodu
Symulacja
W symulacji rozwiązujemy z użyciem biblioteki GSL równanie ruchu cząstki w stałym polu
magnetycznym:

2


dy
d
x
3



dy
d
y
=
λ


2


2
=
−λ


dt
dt


3


dt
dt




 2

d y
dx
dy
⇒
=
−λ
2
= −λx


dt
dt




dt








2


d
z

z = 0

 2 =0
dt
qB
λ≡
m(v)
W każdej iteracji, korzystając z wzoru Larmora lub Lienarda obliczamy moc promieniowania
P (t). Zmniejszamy energię kinetyczną cząstki
2 2
=
GSL - GNU Scientific library - biblioteka funkcji numerycznych dla C i C++.
!
c2
Rozkład kątowy promieniowania
Rozkład kątowy promieniowania jest wysoce niejednorodny
~3
dW
e2 R
~ × (~
=
|R
u×~
a) |
~ u )5
dtr dΩ
4π (R~
Ek (t + dt) = Ek (t) − P (t)dt
Ruch w stałym polu magnetycznym - promieniowanie
~ ~
synchrotronowe ~
a⊥~
v , ](R,
v) = θ
dW
e2a2
2
2
=
(1
−
sin
θ
cos
φ)
3
dtr dΩ
4πc
vx(t)
vy (t)
=
vx(t + dt)
vy (t + dt)
Rysunek: Trajektorie cząstki dla różnych prędkości
Wiązka promieniowania synchrotronowego
Promieniowanie synchrotronowe w mgławicy Kraba
Uogólnienie - wzór Diraca
~rad
Wzór Abrahama-Lorentza:
F
Paradoks - 1D, brak sił zewnętrznych:
Rysunek: Kątowy rozkład promieniowania przy prędkości 0, 1c. Widok z przodu i z tyłu.
µ0q 2 ˙
=
~
a
6πc
Frad =
a(t) = a0 exp(t/Ω) ,
µ0q 2
6πc
ȧ = ma
Ω≡
µ0q 2
6πmc
= 6 · 10−24s
Wzór Diraca:
m
duµ
dτ
Symulacja w przyszłości?
=q
uν
dτ
http://www.knf.ifd.uni.wroc.pl
Fν µ +
2 e2
d2 u µ
3 c3
dτ 2
−
u µ u α d2 u α
c2
!
Rysunek: Kątowy rozkład promieniowania przy prędkości kolejno 0, 5c i 0, 8c. Widok z przodu.
dτ 2
http://www.wfa.uni.wroc.pl