Generowane liczb pseudolosowych metod ˛a odrzucania

Generowane liczb pseudolosowych metoda¾
odrzucania
dr hab. inz·. Przemys÷
aw Śliwiński
12 marca 2015
1
Algorytm generowania liczb (pseudo-)losowych
Niech g (x) bedzie
¾
taka¾ funkcja¾ gestości
¾
prawdopodobieństwa, z·e istnieje c > 0,
dla którego f (x) < cg (x) dla kaz·dego x:
Algorytm generacji pojedynczej liczby o funkcji gestości
¾
prawdopodobieństwa
f (x) sk÷
ada sie¾ z nastepujacych
¾
kroków (zob. np. [1, Algorytm 3.1, str. 47]):
1. Wygeneruj liczbe¾ X o rozk÷adzie g (x).
2. Wygeneruj liczbe¾ U o rozk÷adzie jednostajnym U [0; 1] :
3. Jeśli dla pary (X; U ) spe÷niony jest warunek
cU g (X)
f (x) ;
to zwróć X. W przeciwnym wypadku, wróć do kroku 1.
2
Rozk÷
ad trójkatny
¾
1. Wygenerować ciag
¾ N = 1024 liczb pseudolosowych majacych
¾
rozk÷ad
trójkatny
¾ na przedziale [ 1; 1] przyjmujac
¾ za g (x) gestość
¾
rozk÷adu równomiernego.
2. Wykreślić histogram otrzymanego ciagu.
¾
3. Zaproponować test statystyczny1 i zwery…kować z jego pomoca¾ hipoteze,
¾
z·e wygenerowany ciag
¾ ma z·adany
¾
rozk÷ad.
1 Np.
test Ko÷mogorowa-Smirnova.
1
3
Rozk÷
ad Gaussa
1. Niech g (x) bedzie,
¾
odowiednio, funkcja¾ gestości rozk÷adu Cauchy’ego i
Laplace’a. W oparciu o posiadany juz· generator rozk÷adu Cauchy’ego i
skonstruowany samodzielnie generator rozk÷adu Laplace’a wygenerować
nimi ciag
¾ N = 1024 liczb pseudolosowych majacych
¾
ustandardyzowany
rozk÷
ad normalny.2
2. Wykreślić histogram otrzymanych ciagów.
¾
3. Zaproponować test statystyczny3 i zwery…kować z jego pomoca¾ hipoteze,
¾
z·e wygenerowany ciag
¾ ma z·adany
¾
rozk÷ad.
4. Porównać czasy generacji dla obu rozk÷adów z czasami generacji dla algorytmu Boxa-Müllera.
Uzasadnienie poprawności algorytmu4
4
Proof. . . .
Literatura
[1] R. Zieliński and R. Wieczorkowski, “Komputerowe generatory liczb
losowych,” WNT, Warszawa, 1997.
2W
ka z·dym przypadku dobrać odpowiednie (optymalne?) c.
· być ten sam, co dla rozk÷adu Cauchy’ego.
3 Mo z e
4 Zob.
[1, Twierdzenie 3.3, str. 45]
2