Rozdział 7. Optymalna polityka pieniężna

Makroekonomia: Optymalna polityka pienież
, na
Krzysztof Makarski
1
Optymalna polityka pienieżna
,
1.1
Wstep
,
Wprowadzenie
• Modelowanie optymalnej polityki.
• Zaczniemy od prostego przykladu ilustrujacego
problem optymalnej polityki.
,
• Optymalna polityka w modelu nowo Keynesowskim.
• Wyprowadzenie przybliżenia drugiego rzedu
funkcji dobrobytu spolecznego w modelu nowo Keynesow,
skim.
1.2
Równowaga prywatna
Model
• Rozważmy prosty statyczny model.
• Problem reprezentatywnego konsumenta ma postać:
1
max log c − l2
2
(c,l)
(4.1)
p.w. c = (1 − τ )wl + Π
gdzie placa w, zyski Π oraz podatki τ konsument traktuje jako dane.
• Problem reprezentatywnej firmy ma postać
Π = max y − wl
(4.2)
(c,k)
p.w. y = zl
• Rzad
, naklada podatki na prace, aby sfinansować egzogenicznie dane wydatki rzadowe
,
• Warunek na oczyszczanie sie, rynków
g = τ wl
(4.3)
c+g =y
(4.4)
Definicja prywatnej równowagi doskonale konkurencyjnej
Definicja 1.1. Równowaga doskonale konkurencyjna sklada sie, z alokacji (c, l, y) oraz cen (w) spelniajacych:
,
problem reprezentatywnego konsumenta (4.1) przy danych cenach.
• (c, l) rozwiazuje
,
• (y, l) rozwiazuje
problem reprezentatywnej firmy (4.2) przy danych cenach.
,
• ograniczenie rzadu
jest spelnione.
,
• Rynki sie, oczyszczaja, (równanie (4.4)) jest spelnione.
1
Wlasności prywatnej równowagi.
• Rozwiazuj
ac
,
, problem reprezentatywnej firmy
w=z
(4.5)
• Rozwiazuj
ac
,
, problem konsumenta otrzymujemy
1
L = c − l2 − λ(c − (1 − τ )wl + Π)
2
• Warunki pierwszego rzedu
,
c :1 = λ
l :l = λ(1 − τ )w
Eliminujac
, λy
podstawiajac
, pod w z (4.5)
l = (1 − τ )w
(4.6)
l = (1 − τ )z
(4.7)
• Podstawiajac
, do ograniczenia budżetowego
c =
(1 − τ )wl + Π
podstawiajac
, pod c z (4.1), pod w z (4.5) oraz Π = 0 otrzymujemy
c = (1 − τ )zl
Nastepnie
podstawiajac
,
, pod l z (4.7)
c = (1 − τ )zl = (1 − τ )2 z 2
1.3
(4.8)
Problem Ramsey’a
Problem Ramsey’a
• Teraz możemy zapisać problem rzadu,
który wybiera podatki tak aby zoptymalizować użyteczność
,
reprezentatywnego agenta.
• Problem Ramsay’a polega na wyliczeniu optymalnej polityki uwzgledniaj
ac
,
, fakt, że agenci w reakcji
na polityke, podejmuja, decyzje, optymalnie.
• Rzad
, jest ograniczony tym że musi zebrać wystarczajaco
, dużo przychodów z podatków aby sfinansować
wydatki rzadowe.
,
• Problem rzadu
przybiera postać
,
max u(c(τ ), l(τ ))
τ
p.w. c(τ ) + g ≤ zl(τ )
• Podstawiajac
, pod c oraz l z (4.8) oraz (4.7) otrzymujemy
1
max (1 − τ )2 z 2 − ((1 − τ )z)2
τ
2
p.w. (1 − τ )2 z 2 + g ≤ z(1 − τ )z
upraszczajac
,
1
max (1 − τ )2 z 2
τ
2
p.w. g ≤ (1 − τ )τ z 2
2
• Zauważ, że ponieważ to jest naprawde, prosty model ograniczenie musi zachodzić z równościa, i jest
spelnione tylko przez dwie wartości τ
τ1
=
τ2
=
1
g 1 1− 1−4 2 2
2
z
1
g 1 1+ 1−4 2 2
2
z
Ponieważ funkcja celu jest malejaca
w τ rozwiazaniem
jest τ1 co daje
,
,
1
g 1 τ = 1− 1−4 2 2
2
z
• Teraz możemy latwo policzyć c oraz l
c =
l
=
1 1
g 1 (1 − τ )2 z 2 = ( + 1 − 4 2 2 )2 z 2
2 2
z
1 1
g 21 (1 − τ )z = ( + 1 − 4 2
)z
2 2
z
Inne podejście
• Z reguly nie jest możliwe rozwiazanie
analityczne.
,
• Wówczas wciaż
, możemy próbować modelować alokacje, w ramach optymalnej polityki.
• Jeżeli zapiszemy problem w postaci ogólnej (korzystajac
gospodarka, zde, z równoważności pomiedzy
,
centralizowana, a problemem poniżej - pokaż to)
max u(c, l)
(c,l)
p.w. c + g ≤ (1 − τ )zl
max u((1 − τ )zl − g, l)
l
Otrzymujemy
uc (1 − τ )z + ul = 0
Jeżeli pomnożymy obie strony przez l otrzymamy
uc (1 − τ )zl + ul l = 0
Ponieważ c = (1 − τ )zl
uc c + ul l = 0
warunek ten nazywamy warunkiem zgodności motywacji (z ang. incentive compatibility constraint, IC )
• Powyższe równanie w pelni charakteryzuje alokacje, doskonale konkurencyjna., Zatem problem Ramsey’a możemy zapisać jako maksymalizacje, funkcji użyteczności pod warunkiem zgodności motywacji
max u(c, l)
(c,l)
p.w. uc c + ul l = 0
c + g = zl
• Sprawdź, że obydwa sposoby daja, to samo rozwiazanie.
,
3
2
Optymalna polityka pienieżna
,
Wprowadzenie
• Zastanowimy sie, jak powinna wygladać
optymalna polityka pienieżna
w modelu ze sztywnościami
,
,
nominalnymi.
• Zaczniemy od optymalnej polityki przy danej funkcji straty banku centralnego.
• W dalszej kolejności wyprowadzimy funkcje, straty w modelu ze sztywnymi cenami
• a nastepnie
w modelu ze sztywnymi placami.
,
Prosty model nowo Keynesowski
• Jak pokazaliśmy w poprzednim materiale zachowanie gospodarki w równowadze opisane jest za pomoca,
nastepuj
acych
krzywych:
,
,
• Dynamiczna krzywa AS
α + γ + σ (1 − α)
ŷt
1−α
1+γ
− (1 − βθ) (1 − θ)
ẑt
1−α
θπ̂t = βθEt π̂t+1 + (1 − βθ) (1 − θ)
W przypadku braku sztywności θ = 0 równanie przyjmuje postać:
ŷtn =
1+γ
ẑt
α + γ + σ(1 − α)
(4.1)
gdzie ytn oznacza hipotetyczny produkt w przypadku braku sztywności nominalnych. Nastepnie
prze,
ksztalćmy dynamiczna, krzywa, AS
α + γ + σ (1 − α)
(ŷt − ŷtn + ŷtn )
1−α
1+γ
− (1 − βθ) (1 − θ)
ẑt
1−α
θπ̂t = βθEt π̂t+1 + (1 − βθ) (1 − θ)
n
n
ˆ
Definiujac
, pod ŷt z 4.1
, ỹt = ŷt − ŷt oraz podstawiajac
α + γ + σ (1 − α) ˆ
ỹt
1−α
1+γ
1+γ
ẑt − (1 − βθ) (1 − θ)
ẑt
+ (1 − βθ) (1 − θ)
1−α
1−α
θπ̂t = βθEt π̂t+1 + (1 − βθ) (1 − θ)
θπ̂t = βθEt π̂t+1 + (1 − βθ) (1 − θ)
α + γ + σ (1 − α) ˆ
ỹt
1−α
Upraszczajac
, notacje, i dodajac
, szok marży
π̂t = βEt π̂t+1 + κỹˆt + ût
gdzie κ = (1 − βθ) (1 − θ) α+γ+σ(1−α)
.
θ(1−α)
• Dynamiczna krzywa IS
σ (Et ŷt+1 − ŷt ) + (1 − ρc ) ψ̂t = R̂t − Et π̂t+1
i h
i
n
n
σ Et ŷt+1 − ŷt+1
+ ŷt+1
− ŷt − ŷtn + ŷtn + (1 − ρc ) ψ̂t = R̂t − Et π̂t+1
h
4
Podstawiaja, ỹˆt = ŷt − ŷtn oraz pod ŷtn z 4.1
h
σ Et ỹˆt+1 +
i h
i
1+γ
1+γ
ẑt+1 − ỹˆt +
ẑt
α + γ + σ(1 − α)
α + γ + σ(1 − α)
+ (1 − ρc )ψ̂t = R̂t − Et π̂t+1
σ(1 + γ)(1 − ρ)
ẑt + (1 − ρc )ψ̂t = R̂t − Et π̂t+1
σEt [ỹˆt+1 − ỹˆt ] −
α + γ + σ(1 − α)
Upraszczajac
, notacje, (przedefiniowujac
, szoki)
ỹˆt = Et ỹˆt+1 − ξ(R̂t − Et π̂t+1 ) − ẑt + ψ̂t
gdzie ξ = 1/σ.
• Podsumowujac
acymi
równaniami
, mamy gospodarke, opisana, nastepuj
,
,
IS
AS
: ỹˆt = Et [ỹˆt+1 ] − ξ(R̂t − Et π̂t+1 ) − ẑt + ψ̂t
: π̂t = βEt π̂t+1 + κỹˆt + ût
(4.2)
(4.3)
• Iterujac
, krzywe IS i AS w przód otrzymujemy (korzystamy z prawa iterowanych oczekiwań Et [Et+τ [πt+1+τ ]] =
Et [πt+1+τ ]
∞
X
ỹˆt = Et [
−ξ(R̂t+τ − π̂t+1+τ ) − ẑt+τ + ψ̂t+τ ]
(4.4)
τ =0
π̂t = Et [
∞
X
β τ (κỹˆt+τ + ût+τ )]
(4.5)
τ =0
Optymalna polityka pienieżna
bez samoograniczeń
,
• Problem banku centralnego możemy rozwiazać
w dwóch krokach:
,
– Krok 1: bank centralny wybiera optymalna, inflacje, π̂t oraz luke, popytowa, ŷ˜t maksymalizujac
,
funkcje, celu przy ograniczeniu w postaci dynamicznej krzywej AS.
– Krok 2: korzystajac
, Zalożymy, że bank centralny bezpośrednio kontroluje inflacje, (wówczas znika
krzywa IS)
• Krok 1: Z uwag na to, że bank centralny nie może sie, samoograniczyć (z ang. commit) wiec
, w okresie
t bierze przyszla, polityke, jako dana, wiec
wybiera
tylko
inflacj
e
i
luk
e
popytow
a
w
okresie
t. Celem
,
,
,
,
polityki pienieżnej
jest
maksymalizacja
funkcji
celu
,
max −(π̂t2 + ω ỹˆt2 ) − Et
(π̂t ,ỹˆt )
∞
hX
i
2
2
β τ (π̂t+τ
+ ω ỹˆt+τ
)
τ =1
pod warunkiem w postaci dynamicznej krzywej AS (4.5)
π̂t = κỹˆt + ût + Et [
∞
X
β τ (κỹˆt+τ + ût+τ )]
τ =1
Lagranżjan
L
2
= −(π̂t2 + ω ỹˆt+τ
) − Et
∞
hX
i
2
2
β τ (π̂t+τ
+ ω ỹˆt+τ
) − ...
τ =1
∞
X
−λ(π̂t − κỹˆt − ût − Et [
τ =1
5
β τ (κỹˆt+τ + ût+τ )])
warunki pierwszego rzedu
(pochodne ze wzgledu
na π̂t oraz ỹˆt
,
,
π̂t : − 2π̂t = λ
ỹˆt : − 2ω ỹˆt + λκ = 0
Eliminujac
, λ
−2ω ỹˆt − 2π̂t κ = 0
κ
(4.6)
ỹˆt = − π̂t
ω
Oznacza to, że jeżeli inflacja jest powyżej celu inflacyjnego bank centralny redukuje luke, popytowa,,
natomiast jeżeli inflacja jest poniżej celu inflacyjnego bank centralny zwieksza
luke, popytowa., Podsta,
wiajac
do
krzywej
AS
(4.3)
otrzymujemy
,
π̂t
π̂t
ω + κ2
π̂t
ω
π̂t
Iterujac
,
π̂t =
= βEt π̂t+1 + κỹˆt + ût
κ2
= βEt π̂t+1 − π̂t + ût
ω
= βEt π̂t+1 + ût
=
βω
ω
Et π̂t+1 +
ût
ω + κ2
ω + κ2
h βω
i
βω
ω
ω
E
π̂
+
û
uˆt
+
t
t+2
t+1
2
2
2
ω+κ
ω+κ
ω+κ
ω + κ2
∞ hX
i
ω
βω τ
E
π̂t =
û
t
t+τ
ω + κ2
ω + κ2
τ =0
Ponieważ û podaża
procesem AR(1) to Et ut+τ = ρτ ut , gdzie ρ < 1 podstawiajac
,
,
∞
π̂t =
ω h X βω τ τ i
ρ ut
ω + κ2 τ =0 ω + κ2
Ponieważ βρω/(ω + κ2 ) < 1
π̂t =
Podstawiajac
, do (4.8)
i
ω h
1
ω
ut
ut = 2
βρω
ω + κ2 1 − ω+κ
κ
+
ω(1
− βρ)
2
κ
κ
ỹˆt = − π̂t = − 2
ut
ω
κ + ω(1 − βρ)
• Krok 2: Wyliczenie stopy procentowej. Korzystajac
, z (4.8)
h
i
ω
ωρ
Et π̂t+1 = Et 2
ut+1 = 2
ut = ρπ̂t
κ + ω(1 − βρ)
κ + ω(1 − βρ)
co daje
π̂t =
1
Et π̂t+1
ρ
Nastepnie
podstawiajac
,
, do krzywej IS (4.2)
ỹˆt = Et ỹˆt+1 − ξ(R̂t − Et π̂t+1 ) − ẑt + ψ̂t
κ
κ
− π̂t = − Et π̂t+1 − ξ(R̂t − Et π̂t+1 ) − ẑt + ψ̂t
ω
ω
κ
κ
− Et π̂t+1 = − Et π̂t+1 − ξ(R̂t − Et π̂t+1 ) − ẑt + ψ̂t
ρω
ω
6
(4.7)
(4.8)
(4.9)
ξ R̂t = (
κ
κ
− + ξ)Et π̂t+1 − ẑt + ψ̂t
ρω ω
1
1
R̂t = γπ Et π̂t+1 − ẑt + ψ̂t
ξ
ξ
κ
gdzie γπ = 1ξ ( ρω
−
κ
ω
+ ξ) = 1 +
κ(1−ρ)
ξρω
> 1.
• Wniosek. Optymalna polityka pienieżna
powinna w odpowiedzi na wzrost oczekiwań inflacyjnych
,
w taki sposób aby realne stopy procentowe wzrosly. Zatem nominalna stopa procentowa powinna
wzrosnać
niż oczekiwania inflacyjne. Ponadto optymalna polityka pienieżna
nie reaguje na szoki
, wiecej
,
,
podnoszace
koszty
û
.
t
,
• Nastepnie
z (4.7) i (4.8) policzymy odchylenie standardowe inflacji π̂ oraz luki popytowej ỹˆt
,
ω
σu
σπ = 2
κ + ω(1 − βρ)
Podstawiajac
, do (4.11)
σỹ =
κ
σu
κ2 + ω(1 − βρ)
(4.10)
(4.11)
• Wniosek: Istnienie szoków podnoszacych
koszty (z ang. cost push shocks) powoduje, że bank centralny
,
musi wybrać czy ograniczy wariancje, inflacji czy luki popytowej. Jeżeli ω = 0 wówczas σπ=0 ale
σỹ = σu /κ. Natomiast jeżeli ω → ∞ to σπ = σu i σỹ = σu /(1 − βρ).
• Obserwacja: sztywne place maja, podobny efekt.
• Wniosek: Jeżeli nie istnieja, szoki podnoszace
koszty wówczas mamy do czynienia z “boskim zbiegiem
,
okoliczności” sterujac
stop
a
procentow
a
tak
aby
σπ = 0 jednocześnie uzyskuje σỹ = 0.
,
,
,
• Wniosek: Optymalna polityka pienieżna
oznacza elastyczna, polityke, bezpośredniego celu inflacyjnego.
,
Polityka taka jest rozumiana jako celujaca
w powrót inflacji do celu w nieskończoności. Z (4.7) otrzy,
mujemy
ωρτ
lim Et [πt+τ ] = lim 2
ut = 0
τ →∞
τ →∞ κ + ω(1 − βρ)
Optymalna polityka pienieżna
z samoograniczeniem
,
• Zalożymy, że bank centralny bezpośrednio kontroluje inflacje, (wówczas znika krzywa IS)
• Przypuśćmy, że celem polityki jest minimalizacja funkcji celu
Et
∞
hX
i
2
2
β τ (π̂t+τ
+ ω ỹˆt+τ
)
τ =0
• warunkiem ograniczajacym
jest dynamiczna krzywa AS
,
π̂t+τ = βEt+τ π̂t+τ +1 + κỹˆt+τ + ût+τ
• Lagranżjan
h
2
2
2
2
L = Et (π̂t2 + ω ỹˆt2 ) + β(π̂t+1
+ ω ỹˆt+1
) + ... + β τ (π̂t+τ
+ ω ỹˆt+τ
) + ...
− λt (π̂t − β π̂t+1 − κỹˆt − ût ) − βλt+1 (π̂t+1 − β π̂t+2 − κỹˆt+1 − ût+1 )−
... − β τ −1 λt+τ −1 (π̂t+τ −1 − β π̂t+τ − κỹˆt+τ −1 − ût+τ −1 )
i
− β τ λt+τ (π̂t+τ − β π̂t+τ +1 − κỹˆt+τ − ût+τ ) − ...
7
• warunki pierwszego rzedu
(pochodne ze wzgledu
na π̂t oraz ỹˆt
,
,
π̂t :2π̂t = λt
π̂t+1 :2β π̂t+1 + λt β = βλt+1
..
.
π̂t+τ :2β τ π̂t+τ + β τ λt+τ −1 = β τ λt+τ
..
.
ỹˆt :2ω ỹˆt + λt κ = 0
ỹˆt+1 :2ωβ ỹˆt+1 + βλt+1 κ = 0
..
.
ỹˆt+τ :2ω ỹˆt+τ + λt+τ κ = 0
..
.
• Zauważmy, że warunek dla okresu t (gdy oczekiwania sa, już ustalone) jest inny niż dla okresów pozostalych, t + τ . Powoduje to powstanie problemu niespójności czasowej polityki. Inflacja na okres t + 1
ustalona w okresie t bedzie
inna, niż inflacja, która, bank centralny bedzie
chcial wybrać w okresie t + 1
,
,
dla okresu t + 1.
2ω ˆ
• Eliminujac
, λy korzystajac
, z równania drugiego λt = − κ ỹt
ω
π̂t = − ỹˆt
κ
ωˆ
ω
π̂t+1 − ỹt = − ỹˆt+1
κ
κ
..
.
ω
ω
π̂t+τ − ỹˆt+τ −1 = − ỹˆt+τ
κ
κ
..
.
co daje
ω
= − ỹˆt
κ
ω ˆ
π̂t+τ = − [ỹt+τ − ỹˆt−1+τ ], dla τ ≥ 1
κ
Bank centralny wybiera luke, popytowa, zgodnie z nastepuj
ac
,
, a, regula,
κ
ỹˆt = − π̂t
ω
κ
ỹˆt+τ = − π̂t+τ + ỹˆt−1+τ , dla τ ≥ 1
ω
Ponieważ regula w okresie t jest inna niż w nastepnych
okresach jest to źródlem niespójności czasowej
,
polityki.
π̂t
• Przeksztalcajac
,
π̂t+1 −
ωˆ
ỹt
κ
π̂t+1 + π̂t
P̂t+1 − P̂t + P̂t − P̂t−1
P̂t+1 − P̂t−1
8
ω
= − ỹˆt+1
κ
ωˆ
= − ỹt+1
κ
ωˆ
= − ỹt+1
κ
ωˆ
= − ỹt+1
κ
gdzie π̂t = P̂t − P̂t−1 oraz P̂t = log Pt . Nastepnie
,
π̂t+2
P̂t+2 − P̂t+1 −
ωˆ
ỹt+1
κ
P̂t+2 − P̂t+1 + P̂t+1 − P̂t−1
P̂t+2 − P̂t−1
Uogólniajac
,
ω
= − [ỹˆt+2 − ỹˆt+1 ]
κ
ω
= − ỹˆt+2
κ
ωˆ
= − ỹt+2
κ
ω
= − ỹˆt+2
κ
κ
ỹˆt+τ = − (P̂t+τ − P̂t−1 )
ω
• Wniosek. Otrzymujemy jako optymalna, strategie, nakierowana, na utrzymanie poziomu cen (z ang.
price-level targeting).
Optymalna polityka pienieżna
z pozaczasowej perspektywy
,
• Zalożymy, że bank centralny bezpośrednio kontroluje inflacje, (wówczas znika krzywa IS)
• Przypuśćmy, że celem polityki jest minimalizacja funkcji celu
Et
∞
hX
i
2
2
β τ (π̂t+τ
+ ω ỹˆt+τ
)
τ =0
• warunkiem ograniczajacym
jest dynamiczna krzywa AS
,
π̂t+τ = βEt+τ π̂t+τ +1 + κỹˆt+τ + ût+τ
• Rozwiazuj
ac
,
, otrzymujemy
ω
π̂t = − ỹˆt
κ
ωˆ
ω
π̂t+1 − ỹt = − ỹˆt+1
κ
κ
..
.
ω
ω
π̂t+τ − ỹˆt+τ −1 = − ỹˆt+τ
κ
κ
..
.
(4.12)
• Zauważmy, że warunek dla okresu t (gdy oczekiwania sa, już ustalone) jest inny niż dla okresów pozostalych, t + τ . Powoduje to powstanie problemu niespójności czasowej polityki. Inflacja na okres
t + 1 ustalona w okresie t bedzie
inna, niż inflacja, która, bank centralny bedzie
chcial wybrać w okresie
,
,
t + 1 dla okresu t + 1. Żeby rozwiazać
t
a
sprzeczność
zast
apimy
warunek
pierwszego
rzedu
dla okresu
,
,
,
,
t warunkiem pierwszego rzedu
dla
okresu
t
+
τ
,
τ
≥
1.
Oznacza
to,
że
rozwi
azujemy
problem
tak aby
,
,
zminimalizować wplyw warunków poczatkowych.
Wówczas
warunki
4.12
przyjmuj
a
postać:
,
,
ω
ωˆ
ỹt−1 = − ỹˆt
κ
κ
ωˆ
ωˆ
π̂t+1 − ỹt = − ỹt+1
κ
κ
..
.
ω
ω
π̂t+τ − ỹˆt+τ −1 = − ỹˆt+τ
κ
κ
..
.
π̂t −
9
(4.13)
• Co daje
ω
π̂t = − [ỹˆt − ỹˆt−1 ]
κ
κ
ỹˆt = − π̂t + ỹˆt−1
ω
• Wówczas regula jest taka sama dla każdego okresu.
• W literaturze czesto
wykorzystuje sie, polityke, z pozaczasowej perspektywy.
,
• Uwaga: czasami może sie, okazać, że polityka z pozaczasowej perspektywy jest gorsza niż ta niespójna
czasowo.
Bibliografia
Clarida, Richard, Jordi Galı́, i Mark Gertler (1999) ’The Science of Monetary Policy: A New Keynesian
Perspective,’ Journal of Economic Literature 37, 1661–1707.
Erceg, C., D. Henderson i A. Levin (1999) ’Optimal Monetary Policy with Staggered Wage and Price Contracts,’ Journal of Monetary Economics 46, 281-313.
Kydland, Finn E. i Edward C. Prescott (1977) ’Rules Rather Than Discretion: The Inconsistency of Optimal
Plans,’ Journal of Political Economy 85(3), 473-91.
Jensen, C., i B. McCallum (2002) ’The Non-Optimality of Proposed Monetary Policy Rules Under Timeless
Perspective Commitment.’ Economics Letters 77, 163-168.
Woodford, Michael 1999. ”Commentary : how should monetary policy be conducted in an era of price stability?,” Proceedings, Federal Reserve Bank of Kansas City, 277-316.
Giannoni, M., i M. Woodford (2002a) ’Optimal Interest-Rate Rules: I. General Theory,’ NBER Working
Paper #9419.
Giannoni, M., i M. Woodford (2002b) ’Optimal Interest-Rate Rules: II. Applications.’ NBER Working Paper
#9420.
3
Aproksymacja użyteczności przy lepkich cenach
Krok 1: Funkcja użyteczności
R1
R1
• Notacja ct = 0 ct (h)dh oraz lt = 0 lt (h)dh. Wiemy też, że dla każdego h w równowadze ct = ct (h)
oraz lt = lt (h).
• Bedziemy
korzystali z nastepuj
acej
wlasności
,
,
,
Z
V ARi (x̂t (i)) =
1
2
x̂t (i) di −
1
hZ
0
x̂t (i)di
i2
0
• Rozważmy nastepuj
ace
równanie
,
,
1
Z
xµt =
µ
xt (i) di
0
wyliczajac
(oraz wykorzystujac
, przybliżenie drugiego rzedu
,
, x = x(i))
Z 1
1
1
x(i)µ [1 + µx̂t (i) + µ2 x̂2t (i)]di
xµ [1 + µx̂t + µ2 x̂2t ] =
2
2
0
1
x̂t + µx̂2t
2
Z
1
=
0
10
1
x̂t (i)di + µ
2
Z
0
1
x̂2t (i)di
(4.1)
2
R1
Ponieważ x̂2t jest wyrażeniem drugiego rzedu
x̂2t = 0 x̂t (i)di co po podstawieniu powyżej daje
,
Z 1
Z 1
Z 1
2
1
1
x̂t + µ
x̂t (i)di
=
x̂t (i)di + µ
x̂2 (i)di
2
2 0 t
0
0
1
Z
x̂t
=
0
Z 1
Z
2 1 1 2
1
x̂t (i)di
x̂t (i)di − µ
x̂t (i)di + µ
2
2
0
0
Korzystajac
, z (4.1)
Z
x̂t
=
0
1
1
x̂t (i)di + µV ARi (x̂t (i))
2
(4.2)
• Calkujac
, funkcje, użyteczności agenta h
1+γ
ct (h)1−σ
lt (h)
− ψζt
1−σ
1+γ
u(ct (h), lt (h)) =
otrzymujemy (korzystajac
, z tego że miara agentów wynosi 1) użyteczność reprezentatywnego agenta
Z 1
l1+γ
c1−σ
] − ψ[ t
]
u(ct (h), lt (h))d(h) = [ t
Ut =
1−σ
1+γ
0
gdzie ct = ct (h) oraz lt = lt (h) ∀h. Natomiast użyteczność w cyklu życia
W = E0
∞
hX
βt
t=0
Ut − U i
c1−σ
• W stanie ustalonym użyteczność reprezentatywnego konsumenta
h c1−σ
l1+γ i
−ψ
U=
1−σ
1+γ
oraz
∞
X
1
W =U
βt =
U
1
−
β
t=0
Ponieważ w stanie ustalonym
(1 − α)z
Podstawiajac
, pod y = z
k α
l
=w=−
ul
uc
α
k
l
ul
(1 − α)y
=w=−
l
uc
(1 − α)y
(1 − α)c
(1 − α) c
ul
=
=
. =−
c
c
l
l
l
u
c
y
y
Oznaczmy % =
(1−α)
c
y
wówczas
c
ul
%. = −
l
uc
%uc c + ul l
=
0
1−σ
=
ψl1+γ
%c
Ponieważ U =
h
c1−σ
1−σ
i
1+γ
− ψ l1+γ
W
W
1
U
1
1
%
= 1−σ =
=
−
uc c
c
1 − β c1−σ
1−β 1−σ 1+γ
11
• Przybliżajac
, funkcje, użyteczności wyrażeniem drugiego rzedu
,
1−σ
1−σ
ct
c
1
≈
+ c−σ (ct − c) + (−σ)c−σ−1 (ct − c)2
1−σ
1−σ
2
2
1−σ
c
1
ct − c
ct − c
≈
+ c−σ c
+ (−σ)c−σ−1 c2
1−σ
c
2
c
1−σ
c
1
1
2
≈
+ c1−σ ĉt + ĉ2t + (−σ)c1−σ (ĉt )
1−σ
2
2
1
1
c1−σ
+ c1−σ ĉt + ĉ2t − σĉ2t
=
1−σ
2
2
1−σ
c
1
1−σ
2
=
+c
ĉt + (1 − σ)ĉt
1−σ
2
1−σ
c
1
2 2
=
1 + (1 − σ)ĉt + (1 − σ) ĉt
1−σ
2
co daje
ct1−σ
1−σ
c1−σ
1−σ
c1−σ
−
1
≈ ĉt + (1 − σ)ĉ2t
2
gdzie
ct − c
c
c − c 2
t
c
1
ĉt + ĉ2t
2
1
1
(ĉt + ĉ2t )2 = ĉ2t + ĉ3t + ĉ4t ≈ ĉ2t
2
4
≈
≈
nastepnie
,
lt1+γ
1+γ
≈
≈
≈
≈
=
=
l1+γ
1
+ lγ (lt − l) + γlγ−1 (lt − l)2
1+γ
2
l1+γ
(l
−
l)
1
(lt − l)2
t
+ lγ+1
+ γlγ−1 l2
1+γ
l
2
l2
1+γ
(lt − l) 1
(lt − l)2
l
(1 + (1 + γ)
+ γ(1 + γ)
1+γ
l
2
l2
1+γ
l
1
1
(1 + (1 + γ)(ˆlt + ˆlt2 ) + γ(1 + γ)ˆlt2 )
1+γ
2
2
l1+γ
1
1
(1 + (1 + γ)ˆlt + (1 + γ) ˆlt2 + γ(1 + γ)ˆlt2 )
1+γ
2
2
l1+γ
1
(1 + (1 + γ)ˆlt + (1 + γ)2 ˆlt2 )
1+γ
2
co daje
ψ
lt1+γ
1+γ
l1+γ
1+γ
c1−σ
−
1−σ
Podstawiajac
= ψl1+γ gdzie % =
, z %c
ψ
lt1+γ
1+γ
(1−α)
l1+γ
1+γ
c1−σ
−
≈
c
y
≈
ψ
l1+γ ˆ
1
(lt + (1 + γ)ˆlt2 )
1−σ
c
2
= (1 − α) (zauważ c = y)
1
(1 − α)(ˆlt + (1 + γ)ˆlt2 )
2
wykorzystujac
,
lt − l
l
l − l 2
t
l
1
≈ ˆlt + ˆlt2
2
1
1
≈ (ˆlt + ˆlt2 )2 = ˆlt2 + ˆlt3 + ˆlt4 ≈ ˆlt2
2
4
12
Krok 2: Zamiana ˆl2 and V ARi (pt (i)).
• Relacja pomiedzy
ct oraz yt . Z równania na oczyszczanie rynków ct = yt otrzymujemy
,
cˆt = ŷt
oraz
= zt k α lt1−α
∆t yt
∆t y t
∆ y
gdzie ∆t =
R 1 Pt (i) − (1+µ)
µ
0
Pt
zt lt1−α
z l1−α
=
di, co daje w stanie ustalonym ∆ = 1
log ∆t + ŷt = ẑt + (1 − α)ˆlt
• Wykorzystujac
, definicje, Pt
Pt =
1
Z
Pt (i)
−1
µ
di
−µ
0
dzielac
, obie strony przez Pt oraz definiujac
, pt (i) = Pt (i)/Pt
Z 1
−1
1=
pt (i) µ di
0
Korzystajac
, z przybliżenia drugiego rzedu
,
Z 1
2 i
h
−1
1 1
1
pˆt (i)
di
1=
p(i) µ 1 − p̂t (i) +
µ
2 µ
0
Ponieważ p(i) = 1
Z
Z 1
1 1
1 1
1=1−
p̂t (i)di +
(pˆt (i))2 di
µ 0
2 µ2 0
Z 1
Z 1
1
p̂t (i)di =
(pˆt (i))2 di
2µ
0
0
(4.3)
Korzystajac
, z (4.1)
Z
V ARi (p̂t (i))
1
p̂t (i)2 di −
=
hZ
0
Z
=
0
zauważ, że
h
1
2µ
R1
0
(pˆt (i))2 di
i2
1
p̂t (i)di
i2
0
1
i2
h 1 Z 1
(pˆt (i))2 di
p̂t (i) di −
2µ 0
2
jest wyższego niż drugi rzedu
,
Z
V ARi (p̂t (i))
≈
1
p̂t (i)2 di
0
• Nastepnie
wyliczymy przybliżenie drugiego rzedu
dla równania
,
,
Z 1
(1+µ)
∆t =
pt (i)− µ di
0
gdzie pt (i) = Pt (i)/Pt . Przybliżenie drugiego rzedu
,
Z 1
h
2 i
(1+µ)
(1 + µ)
1 (1 + µ)
∆t ≈
p(i)− µ 1 −
p̂t (i) +
p̂t (i)
di
µ
2
µ
0
13
(4.4)
podstawiajac
, p(i) = 1
Z
∆t
1
2 i
(1 + µ)
1 (1 + µ)
p̂t (i) +
p̂t (i)
di
µ
2
µ
0
Z 1h
2 i
(1 + µ)
1 (1 + µ)
−
≈ 1+
p̂t (i) +
p̂t (i)
di
µ
2
µ
0
Z
Z
1 (1 + µ)2 1
(1 + µ) 1
p̂t (i)di +
p̂t (i)2 d
≈ 1−
2
µ
2
µ
0
0
Z
Z
(1 + µ) 1
1 (1 + µ) 1
≈ 1−
p̂t (i)di −
p̂t (i)2 di
µ
2 µ
0
0
≈ 1+
Podstawiajac
, z (4.3)
Z
h
−
1
p̂t (i)di =
0
1
2µ
Z
1
(p̂t (i))2 di
0
Podstawiajac
, do
Z
Z
(1 + µ) 1
1 (1 + µ) 1
≈ 1−
p̂t (i)di −
p̂t (i)2 di
µ
2 µ
0
0
Z 1
Z
(1 + µ) 1
1
(1
+
µ) 1
≈ 1−
(p̂t (i))2 di −
p̂t (i)2 di
µ
2µ 0
2 µ
0
Z
(1 + µ) 1 1
1+
(p̂t (i))2 di
µ
2 0
∆t
Podstawiajac
, z (4.4)
∆t ≈ 1 +
(1 + µ)
V ARi (p̂t (i))
2µ
• Teraz log ∆t
−1
1
(∆t − ∆) + 2 (∆t − ∆)2
∆
∆
= (∆t − 1) − (∆t − 1)2
≈
log ∆t
log ∆ +
Podstawiajac
, pod ∆t
(1 + µ)
(1 + µ)
V ARi (p̂t (i)) − 1) − (1 +
V ARi (p̂t (i)) − 1)2
2µ
2µ
(1 + µ)
(1 + µ)2
=
V ARi (p̂t (i)) −
(V ARi (p̂t (i)))2
2µ
µ2
ponieważ drugie wyrażenie jest wyższego niż dwa rzedu
,
log ∆t ≈ (1 +
log ∆t
(1 + µ)
V ARi (p̂t (i))
2µ
≈
ˆ
• Teraz podstawimy do funkcji użyteczności wykorzystujac
, lt =
lt1+γ
ψ
ψ
lt1+γ
1+γ
l1+γ
1+γ
c1−σ
1+γ
l1+γ
1+γ
c1−σ
−
−
1
(1−α) (log ∆t
(4.5)
+ ŷt − ẑt ) oraz (4.5)
1
(1 − α)(ˆlt + (1 + γ)ˆlt2 )
2
≈
1
(log ∆t + ŷt − ẑt )
(1 − α)
log ∆ + ŷ − ẑ ) 2 1
t
t
t
+ (1 + γ)
2
(1 − α)
(1 + µ)
≈
V ARi (p̂t (i)) + ŷt − ẑt
2µ
1 (1 + γ) 1 + µ
+
(
V ARi (p̂t (i)) + ŷt − ẑt )2
2 (1 − α) 2µ
≈ (1 − α)
14
Gubiac
, wszystkie elementy wyższego niż drugi rzedu
,
lt1+γ
1+γ
l1+γ
1+γ
c1−σ
−
1+µ
V ARi (p̂t (i)) + ŷt
2µ
11+γ 2
(ŷ − 2ŷt ẑt + ẑt2 )
− ẑt +
21−α t
Oznaczmy elementy niezależne od polityki jako t.i.p.
ψ
ψ
lt1+γ
1+γ
l1+γ
1+γ
c1−σ
−
≈
≈
1+µ
11+γ 2 11+γ
V ARi (p̂t (i)) + ŷt +
ŷ −
2ŷt ẑt + t.i.p.
2µ
21−α t
21−α
Krok 3: Wprowadzenie luki popytowej
• Lacz
, ac
,
1 + µ
1
Ut − U
2
≈
ŷ
+
(1
−
σ)ŷ
−
V ARi (p̂t (i))
t
t
c1−σ
2
2µ
11+γ 2 11+γ
+ ŷt +
ŷt −
2ŷt ẑt + t.i.p.
21−α
21−α
Ut − U
11 + µ
≈
−
V ARi (p̂t (i)) − (1 − σ)ŷt2
c1−σ
2
µ
1+γ 2 1+γ
ŷt −
2ŷt ẑt + t.i.p.
+
1−α
1−α
Ut − U
11 + µ
≈
−
V ARi (p̂t (i)) − (1 − σ)ŷt2
c1−σ
2
µ
1+γ 2 1+γ
+
ŷt −
2ŷt ẑt + t.i.p.
1−α
1−α
Ut − U
11 + µ
≈−
V ARi (p̂t (i))
1−σ
c
2
µ
(1 + γ) − (1 − σ)(1 − α) 2 1 + γ
+
ŷt −
2ŷt ẑt + t.i.p.
(1 − α)
1−α
γ + α + σ(1 − α) 2 1 + γ
11 + µ
Ut − U
V
AR
(p̂
(i))
+
ŷ
−
2ŷ
ẑ
≈
−
i t
t t + t.i.p.
t
c1−σ
2
µ
(1 − α)
1−α
• Podstawiajac
, pod zt z (4.1)
11 + µ
γ + α + σ(1 − α) 2
Ut − U
≈
−
V ARi (p̂t (i)) +
ŷt
c1−σ
2
µ
(1 − α)
1+γ
α + γ + σ(1 − α) n −
2ŷt
ŷt + t.i.p.
1−α
1+γ
Ut − U
11 + µ
γ + α + σ(1 − α) 2
n
≈
−
V
AR
(p̂
(i))
+
(ŷ
−
2ŷ
ŷ
)
+ t.i.p.
i
t
t
t
t
c1−σ
2
µ
(1 − α)
Zdefiniujmy ỹˆt = ŷt − ŷtn wówczas podstawiajac pod ŷt = ỹˆt + ŷtn
,
ŷt2 − 2ŷt ŷtn
=
=
=
=
ŷt (ŷt − 2ŷtn )
(ỹˆt + ŷtn )(ỹˆt + ŷtn − 2ŷtn )
(ỹˆt + ŷtn )(ỹˆt − ŷtn )
ỹˆt2 − (ŷtn )2
gdzie (ŷtn )2 wyladuje
jako element niezależny od polityki (t.i.p.). Podstawiajac
,
,
hU − U i
1+µ
γ + α + σ(1 − α) ˆ2
t
E
≈−
E[V ARi (p̂t (i))] −
E[ỹt ] + t.i.p.
c1−σ
2µ
2(1 − α)
15
(4.6)
Krok 4: Ostateczna funkcja użyteczności
• Woodford (2003) pokazuje
E[V ari (p̂t (i))] =
θ
E[π̂t2 ]
(1 − βθ)(1 − θ)
Korzystajac
, z (patrz Erceg et. al., 1999)
E(x̂2t ) = V AR(x̂t )
(4.7)
Podstawiajac
, do (4.6)
E
hU − U i
1+µ
γ + α + σ(1 − α) ˆ2
t
≈−
E[V ARi (p̂t (i))] −
E[ỹt ] + t.i.p.
c1−σ
2µ
2(1 − α)
z (4.7)
E
hU − U i
1+µ
θ
t
≈−
V AR(π̂t2 )
c1−σ
2µ (1 − βθ)(1 − θ)
γ + α + σ(1 − α)
V AR(ỹˆt2 ) + t.i.p.
−
2(1 − α)
oraz
W0 − W
c1−σ
4
1
Ut − U
E
1−β
c1−σ
≈
Aproksymacja użyteczności przy lepkich placach i cenach
Krok 1: Funkcja użyteczności
R1
• Notacja ct = 0 ct (h)dh = ct (h) and oraz w stanie ustalonym c = c(h).
• W stanie ustalonym
1+γ
u(ct (h), lt (h)) =
ct (h)1−σ
lt (h)
−ψ
1−σ
1+γ
1+γ
u=
l (h)
c(h)1−σ
−ψ
1−σ
1+γ
użyteczność reprezentatywnego konsumenta
Z
1
Ut =
0
0
W =
gdzie U =
h
c1−σ
1−σ
1
Z
u(ct (h), lt (h))d(h) =
1+γ i
h c (h)1−σ
lt (h)
t
−ψ
dh
1−σ
1+γ
h c1−σ
1
l1+γ i
−ψ
1−β 1−σ
1+γ
i
1+γ
− ψ l1+γ . Ponieważ w stanie ustalony
(1 − α)z
Podstawiajac
, pod y = z
k α
l
=w=−
ul
uc
α
k
l
(1 − α)c
(1 − α)y
ul
(1 − α) c
=w=−
=
. =
c
c
l
l
l
u
c
y
y
16
(1−α)
= (1 − α) (ponieważ w modelu gospodarki zamknietej
bez kapitalu i bez rzadu
,
,
c = y) wówczas otrzymujemy
Oznaczmy % =
c
y
c
l
%uc c + ul l
%.
=
−
=
0
ul
uc
(1 − α)c1−σ = ψl1+γ
Ponieważ U =
h
1−σ
c
1−σ
(4.1)
i
1+γ
− ψ l1+γ
W
1
1
W
U
1
%
=
= 1−σ =
−
uc c
c
1 − β c1−σ
1−β 1−σ 1+γ
Nastepnie
funkcje, użyteczności
,
1+γ
u(ct (h), lt (h)) =
lt (h)
ct (h)1−σ
−ψ
1−σ
1+γ
scalkujemy aby otrzymać użyteczność reprezentatywnego agenta
Z 1
Z 1
c1−σ
ψ
1+γ
u(ct (h), lt (h))d(h) = t
Ut =
lt (h)
dh
−
1−σ 1+γ 0
0
gdzie ct = ct (h) ∀h.
• Wyliczajac
, przybliżenie drugiego rzedu
,
c1−σ
t
1−σ
≈
≈
≈
=
=
=
c1−σ
1−σ
c1−σ
1−σ
c1−σ
1−σ
c1−σ
1−σ
c1−σ
1−σ
c1−σ
1−σ
1
+ c−σ (ct − c) + (−σ)c−σ−1 (ct − c)2
2
2
ct − c
1
ct − c
+ c−σ c
+ (−σ)c−σ−1 c2
c
2
c
1
1
2
+ c1−σ ĉt + ĉ2t + (−σ)c1−σ (ĉt )
2
2
1 2 1 2
1−σ
+c
ĉt + ĉt − σĉt
2
2
1
1−σ
2
+c
ĉt + (1 − σ)ĉt
2
1
2 2
1 + (1 − σ)ĉt + (1 − σ) ĉt
2
co daje (podstawiajac
, ct = yt )
c1−σ
t
1−σ
c1−σ
1−σ
c1−σ
−
1
≈ ŷt + (1 − σ)ŷt2
2
R1
1+γ
Nastepnie
policzymy przybliżenie drugiego rzedu
z 0 lt (h)
dh
,
,
R1
0
1+γ
lt (h)
dh
1+γ
Z
≈
≈
1
1
+ l(h)γ lt (h) − l(h)
1
+
γ
0
2 1
+ γl(h)γ−1 lt (h) − l(h)
dh
2
Z
1
l (h) − l(h) l(h)1+γ
t
+
l(h)γ l(h)
dh
1+γ
l(h)
0
Z
l (h) − l(h) 2
1 1
t
γl(h)γ−1 l(h)2
dh
+
2 0
l(h)
l(h)1+γ
17
R1
0
1+γ
Z 1
1
l(h)1+γ
1+γ
(ˆlt (h) + ˆlt (h)2 )dh
≈
+ l(h)
1+γ
2
0
Z 1
1
+ γl(h)1+γ
(ˆlt (h))2 dh
2
0
Z 1
1
ˆlt (h)dh
+
≈ l(h)1+γ
1+γ
0
Z
Z
1 1 ˆ
1 1ˆ
lt (h)2 dh +
γ lt (h)2 dh
+
2 0
2 0
Z 1
Z 1
1
1
1+γ
ˆ
ˆlt (h)2 dh
≈ l(h)
+
lt (h)dh + (1 + γ)
1+γ
2
0
0
lt (h)
dh
1+γ
co daje (zauważ w stanie ustalonym l = l(h))
R1
0
ψ
lt (h)1+γ dh
1+γ
c1−σ
l1+γ
1+γ
−
Z 1
Z 1
l1+γ
ˆlt (h)dh + 1 (1 + γ)
ˆlt (h)2 dh)
(
c1−σ 0
2
0
≈
ψ
≈
Z
(1 − α)[
podstawiajac
, (4.1) otrzymujemy
R1
0
ψ
lt (h)1+γ dh
1+γ
c1−σ
l1+γ
1+γ
−
0
1
ˆlt (h)dh + 1 (1 + γ)
2
Z
1
ˆlt (h)2 dh]
0
Z (4.1) otrzymujemy
V ARh (ˆlt (h)) =
1
Z
0
przeksztalcajac
,
Z
1
ˆlt (h)dh]2
0
1
Z
ˆlt (h)2 dh = [
0
1
Z
ˆlt (h)2 dh − [
ˆlt (h)dh]2 + V ARh (ˆlt (h))
(4.2)
0
Podstawiajac
, do funkcji użyteczności
R1
0
ψ
lt (h)1+γ dh
1+γ
c1−σ
= (1 − α)
−
1
Z
0
l1+γ
1+γ
=
ˆlt (h)dh + 1 (1 + γ)
2
Z
1
ˆlt (h)2 dh
0
Z 1
ˆlt (h)dh]2
ˆlt (h)dh + 1 (1 + γ)[
2
0
0
1
+ (1 + γ)V ARh (ˆlt (h))
2
= (1 − α)
Krok 2: Eliminacja
R1
0
Z
1
ˆlt (h)dh.
• Wykorzystajmy równanie na agregacje, pracy
1
lt1+µw =
Z
1
1
lt (h) 1+µw dh
0
wyliczajac
korzystajac
, przybliżenie drugiego rzedu
,
, z (4.2)
Z 1
1
ˆlt =
ˆlt (h)dh +
V ARh (ˆlt (h))
2(1
+
µw )
0
(4.3)
Nastepnie
wykorzystamy fakt, że jeżeli zsumujemy zatrudnienie we wszystkich firmach Nt (i) otrzy,
mamy calkowite zatrudnienie Nt
Z 1
lt =
lt (i)di
0
18
przybliżenie drugiego rzedu
daje (4.1)
,
ˆlt =
Z
0
1
ˆlt (i)di + 1 V ARi (ˆlt (i))
2
korzystajac
, z funkcji produkcji oraz z faktu, że
kt (i) lt (i)
yt (i) = zt
k
lt
=
k α
(4.4)
lt (i)
lt
co daje
ŷt (i) = ẑt − αˆlt + ˆlt (i)
calkujac
,
1
Z
ŷt (i)di = ẑt − αˆlt +
1
Z
0
(4.5)
ˆlt (i)di
(4.6)
0
podstawiajac
,
1
Z
V ARi (ˆlt (i))
[ŷt (i) − ẑt + αˆlt ]2 di −
=
0
hZ
1
ŷt (i)di − ẑt + αˆlt
i2
0
1
Z
[ŷt (i)2 − ẑt ŷt (i) + αˆlt ŷt (i)
=
0
−ẑt ŷt (i) + ẑt2 − αẑt ˆlt + αˆlt ŷt (i) − αẑt ˆlt + α2 ˆlt2 ]di
Z 1
Z 1
Z 1
−[(
ŷt (i)di)2 − ẑt
ŷt (i)di + αˆlt
ŷt (i)di
0
0
0
1
Z
ŷt (i)di + ẑt2 − αẑt ˆlt + αˆlt
−ẑt
Z
0
1
ŷt (i)di − αẑt ˆlt + α2 ˆlt2 ]
0
skracajac
,
V ARi (ˆlt (i)) =
Z
1
ŷt (i)2 di − (
0
Z
1
ŷt (i)di)2
0
V ARi (ˆlt (i)) = V ARi (ŷt (i))
(4.7)
Nastepnie
podstawiajac
,
, z (4.6) i (4.7) do (4.4)
Z 1
1
ˆlt =
ŷt (i)di − ẑt + αˆlt + V ARi (ˆlt (i))
2
0
Z 1
1
1
1
1
ŷt (i)di −
ẑt +
V ARi (ˆlt (i))
1−α 0
1−α
2 (1 − α)
R1
1
= 0 lt (i) 1+µ di korzystajac
, z (4.2) otrzymujemy
ˆlt =
1
Z funkcji produkcji yt1+µ
Z
ŷt =
1
ŷt (i)di +
0
Podstawiajac
, do (4.8) pod
ˆlt =
R1
0
(4.8)
1
V ARi (ŷt (i))
2(1 + µ)
ŷt (i)di oraz z (4.7) pod V ARi (ˆlt (i))
1 1
1
1
1
ŷt −
V ARi (ŷt (i)) −
ẑt +
V ARi (ˆlt (i))
1−α
2(1 + µ)
1−α
2 (1 − α)
ˆlt =
1
1
1 µ (ŷt − ẑt ) +
V ARi (ŷt (i))
1−α
2 (1 − α) 1 + µ
19
(4.9)
Podstawiajac
, z (4.8) do (4.9)
Z
1
ˆlt (h)dh =
0
1
1
1 µ V ARi (ŷt (i))
(ŷt − ẑt ) +
1−α
2 (1 − α) 1 + µ
1
−
V ARh (ˆlt (h))
2(1 + µw )
Podstawiajac
, (4.10) do funkcji użyteczności
(1 − α)
Z
0
1
Z 1
ˆlt (h)dh]2 + 1 (1 + γ)V ARh (ˆlt (h))
ˆlt (h)dh + 1 (1 + γ)[
2
2
0
hZ 1
1
Ut − U
2
ˆlt (h)dh
=
ŷ
+
(1
−
σ)ŷ
−
(1
−
α)
t
t
c1−σ
2
0
Z 1
i
1
ˆlt (h)dh]2 + 1 (1 + γ)V ARh (ˆlt (h))
+ (1 + γ)[
2
2
0
h 1
1
= ŷt + (1 − σ)ŷt2 − (1 − α)
(ŷt − ẑt )
2
1−α
i
1
µ
1
+
V ARi (ŷt (i)) −
V ARh (ˆlt (h))
2 (1 − α)(1 + µ)
2(1 + µw )
h 1
1
1
µ
− (1 + γ)(1 − α)
(ŷt − ẑt ) +
V ARi (ŷt (i))
2
1−α
2 (1 − α)(1 + µ)
i2 1
1
−
V ARh (ˆlt (h)) − (1 + γ)(1 − α)V ARh (ˆlt (h))
2(1 + µw )
2
Gubiac
wyższego niż drugi
, wyrażenia rzedu
,
1
µ
1−α
Ut − U
= (1 − σ)ŷt2 + ẑt −
V ARi (ŷt (i)) +
V ARh (ˆlt (h))
1−σ
c
2
2(1 + µ)
2(1 + µw )
1+γ
(1 + γ)(1 − α)
−
(ŷ 2 − 2ŷt ẑt + ẑt2 ) −
V ARh (ˆlt (h))
2(1 − α) t
2
Ut − U
1
1+γ 2
= (1 − σ)ŷt2 −
ŷ
c1−σ
2
2(1 − α) t
µ
1+γ
2ŷt ẑt −
V ARi (ŷt (i))
+
2(1 − α)
2(1 + µ)
1−α
−
(γ + µw (1 + γ)))V ARh (ˆlt (h)) + t.i.p.
2(1 + µw )
Upraszczajac
, i podstawiajac
, pod ẑt z (4.1)
Ut − U
1
1+γ 2
= (1 − σ)ŷt2 −
ŷ
c1−σ
2
2(1 − α) t
1+γ
α + γ + σ(1 − α) n
µ
+
2ŷt
ŷt −
V ARi (ŷt (i))
2(1 − α)
1+γ
2(1 + µ)
(1 − α)(γ + µw (1 + γ))
−
V ARh (ˆlt (h)) + t.i.p.
2(1 + µw )
1 γ + α + σ(1 − α) 2
µ
=−
(ŷt − 2ŷtn ŷt ) −
V ARi (ŷt (i))
2
1−α
2(1 + µ)
(1 − α)(γ + µw (1 + γ))
−
V ARh (ˆlt (h)) + t.i.p.
2(1 + µw )
20
(4.10)
n
ˆ
Zdefiniujmy ỹˆt = ŷt − ŷtn wówczas podstawiajac
, pod ŷt = ỹt + ŷt
ŷt2 − 2ŷt ŷtn = ŷt (ŷt − 2ŷtn )
= (ỹˆt + ŷtn )(ỹˆt + ŷtn − 2ŷtn )
= (ỹˆt + ŷtn )(ỹˆt − ŷtn )
= ỹˆt2 − (ŷtn )2
gdzie (ŷtn )2 wyladuje
jako element niezależny od polityki (t.i.p.).
,
1 γ + α + σ(1 − α) ˆ2
µ
Ut − U
=−
ỹt −
V ARi (ŷt (i))
c1−σ
2
1−α
2(1 + µ)
(1 − α)(γ + µw (1 + γ))
−
V ARh (ˆlt (h)) + t.i.p.
2(1 + µw )
Krok 3: Calki
R1
0
ˆlt (h)dh oraz
R1
0
ŵt (h)dh sa, wyrażeniami drugiego rzedu.
,
• Dowód patrz Erceg et al. (1999).
Krok 4: Powiazanie
V arh (lt (h)) and V arh (lnWt (h)).
,
• Korzystajac
, z równania na place
Z
Wt = (
1
−1
Wt (h) µw dh)−µw
0
wyrażajac
, je w wielkościach realnych
−1
wtµw =
1
Z
−1
wt (h) µw dh
0
−1
−1
µw = w(h) µw
gdzie wt = Wt /Pt oraz wt (h) = Wt (h)/Pt . Korzystajac
, z tego, że w stanie ustalonym w
możemy policzyć przybliżenie drugiego rzedu
tego równania
,
Z
1
h
h
i
−1
−1
1
1
1 1 2i
1 1
2
µw 1 −
w µw 1 −
ŵ
ŵ
(h)
dh
ŵt +
=
w(h)
ŵ
(h)
+
t
t
t
µw
2 µ2w
µw
2 µ2w
0
1
Z
ŵt
Z
1
Z
1 1
1
2
ŵt (h)dh −
0 ŵt (h) dh
2 µw
0
R
2
1
2
Ponieważ, ŵt2 jest wyrażeniem drugiego rzedu
ŵ
=
ŵ
(h)dh
t
t
0
,
1 1 2
ŵ =
ŵt −
2 µw t
1 1 2 µw
ŵt (h)dh −
=
0
Z
1
(ŵt (h))2 dh −
0
1
Z
2 ŵt (h)dh
0
podstawiajac
, z 4.1
Z
ŵt
1
ŵt (h)dh −
=
0
Nastepnie
z
,
"
Wt (h)
lt (h) =
Wt
w)
# −(1+µ
µ
w
1 1
V ARh (ŵt (h))
2 µw
"
wt (h)
lt =
wt
w)
# −(1+µ
µ
otrzymujemy
w
− 1+µ
µw
lt (h)wt
21
w
− 1+µ
µw
= w (h)t
(4.11)
lt
w
lt
Calkujac
,
− 1+µw
wt µw
1
Z
Z
lt (h)dh = lt
0
1
w
− 1+µ
µw
w (h)t
dh
0
Nastepnie
wyliczamy przybliżenie drugiego rzedu
,
,
Z 1
Z 1
h
i
h
−1
1 + µw
(1 + µw )2 2 ˆlt (h)dh + 1 ˆlt (h)2 dh =
ŵ
w µw 1 −
ŵt +
l(h)
1
+
t
2
µw
2µw
2 0
0
#
#
"
"
Z 1
Z
w
(1+µw )2 1
1 ˆ2
1+µw
− 1+µ
2
ˆ
µw
ŵt (h)dh+
ŵt (h) dh
= l 1 + lt + lt w (h)
1−
2
µw 0
2µ2w
0
Wykorzystujac,
, że calki
R1
ˆlt (h)dh oraz
R1
ŵt (h)dh sa, wyrażeniami drugiego rzedu
,
Z
Z
1
1
1 + µw
(1 + µw )2 2
ˆlt (h)dh + 1
ˆlt (h)2 dh =
1−
ŵ
+
ŵt +
t
µw
2µ2w
2 0
0
Z
Z
(1 + µw )2 1 2
1 ˆ2 1 + µw 1
ˆ
ŵt (h)dh +
ŵt (h)dh
= 1 + lt + lt −
2
µw
2µ2w
0
0
0
0
Z (4.1) otrzymujemy
V ARh (ˆlt (h)) =
−
1 + µw
(1 + µw )2 2
ŵt +
ŵt +
µw
2µ2w
1
Z
0
1
Z
1
Z
ˆlt (h)2 dh − [
ˆlt (h)dh]2
0
0
ˆlt (h)dh + 1 (V ARh (ˆlt (h)) + [
2
Z
1
ˆlt (h)dh]2 ) =
0
1 + µw
1
= ˆlt + ˆlt2 −
2
µw
1
Z
0
(1 + µw )2
ŵt (h)dh +
2µ2w
Z
1
ŵt2 (h)dh
0
R1
Ponieważ ˆlt2 = [ 0 ˆlt (h)dh]2
−
1 + µw
(1 + µw )2 2
ŵt +
ŵt +
µw
2µ2w
−
Z 1
ˆlt (h)dh + 1 V ARh (ˆlt (h)) + 1 [
ˆlt (h)dh]2 =
2
2 0
0
Z
Z
Z
1 1ˆ
1 + µw 1
(1 + µw )2 1 2
= ˆlt + [
lt (h)dh]2 −
ŵt (h)dh +
ŵt (h)dh
2 0
µw
2µ2w
0
0
1 + µw
(1 + µw )2 2
ŵt +
ŵt +
µw
2µ2w
ˆ
Podstawiajac
, lt =
−
1
Z
R1
0
ˆlt (h)dh +
1 + µw
(1 + µw )2 2
ŵt +
ŵt +
µw
2µ2w
Z
0
1
ˆlt (h)dh + 1 V ARh (ˆlt (h)) =
2
Z
Z
1 + µw 1
(1 + µw )2 1 2
= ˆlt −
ŵt (h)dh
ŵt (h)dh +
µw
2µ2w
0
0
1
2(1+µw ) V
Z
0
1
ARh (ˆlt (h))
ˆlt (h)dh + 1 V ARh (ˆlt (h)) =
2
1
1 + µw
+
V ARh (ˆlt (h)) −
2(1 + µw )
µw
−
1
Z
ˆlt (h)dh+
0
Z
1
0
(1 + µw )2
ŵt (h)dh +
2µ2w
Z
(1 + µw )2
ŵt (h)dh +
2µ2w
Z
1
ŵt2 (h)dh
0
1 + µw
(1 + µw )2 2
−µw
ŵt +
ŵt =
V ARh (ˆlt (h))−
µw
2µ2w
2(1 + µw )
1 + µw
−
µw
22
Z
0
1
0
1
ŵt2 (h)dh
Nastepnie
wykorzystamy ŵt2 =
,
1 + µw
−
(
µw
Z
1
0
hR
1
0
i2
R1
ŵt (h)dh oraz (4.11) ŵt = 0 ŵt (h)dh −
1 1
(1 + µw )2
ŵt (h)dh −
V ARh (ŵt (h))) +
2 µw
2µ2w
=
ŵt (h)dh
=
0
1
(1 + µw )2
2µ2w
Z
(1 + µw )2
−µw
V ARh (ˆlt (h)) +
2(1 + µw )
2µ2w
Z
−µw
1 + µw
V ARh (ˆlt (h)) −
2(1 + µw )
µw
1 + µw 1 1
(1 + µw )2
−
(−
V ARh (ŵt (h))) +
µw
2 µw
2µ2w
ARh (ŵt (h))
2
1
Z
1 1
2 µw V
ŵt (h)dh +
0
1
ŵt2 (h)dh
0
2
1
Z
Z
ŵt (h)dh
=
0
=
1
ŵt2 (h)dh
0
Z (4.1) otrzymujemy
Z
1
V ARh (ŵt (h)) =
Z
ŵt (h)2 dh − [
1
ŵt (h)dh]2
0
0
1 + µw 1 1
(1 + µw )2
−
[
(−
V ARh (ŵt (h))) +
µw
2 µw
2µ2w
Z
1
ŵt (h)dh]2 =
0
(1 + µw )2
−µw
V ARh (ˆlt (h)) +
(V ARh (ŵt (h)) + [
=
2(1 + µw )
2µ2w
Z
1
ŵt (h)dh]2 )
0
1 + µw 1 1
(
V ARh (ŵt (h))) =
µw
2 µw
(1 + µw )2
−µw
V ARh (ˆlt (h)) +
(V ARh (ŵt (h)))
2(1 + µw )
2µ2w
1 + µw 1 − 1 − µw
−µw
V ARh (ˆlt (h))
V ARh (ŵt (h)) =
µw
µw
(1 + µw )
=
Mnożac
, przez
1+µw
−µw
1 + µ 2
w
µw
V ARh (ŵt (h)) = V ARh (ˆlt (h))
(4.12)
Krok 5: Powiazanie
E0 [V arh (ŵt (h))] oraz V ar(π̂tw ).
,
• Zaczniemy od wykorzystania równania na place
−1
−1
Wt = ((θw Wt−1 π̄) µw + (1 − θw )(Wtnew ) µw )−µw
lub w jednostkach realnych
−1
wtµw = θw
−1
wt−1 µ−1
π̄ w + (1 − θw )(wtnew ) µw
πt
otrzymujemy przybliżenie pierwszego rzedu
,
ŵt = θw (ŵt−1 − π̂t ) + (1 − θw )ŵtnew
w
podstawiajac
, ŵt − ŵt−1 − π̂t = −π̂t
ŵt = θw (ŵt−1 + ŵt − ŵt−1 − π̂tw ) + (1 − θw )ŵtnew
otrzymujemy (wyrażenie pierwszego rzedu)
,
θw
π̂ w = ŵtnew − ŵt
1 − θw t
23
(4.13)
R1
R1
• Nastepnie
przechodzimy do przeksztalcania, oznaczmy V ARh (ŵt (h)) = 0 ŵt2 (h)dh − ( 0 ŵt (h)dh)2
,
Z 1
Z 1
Z 1
2
2
V ARh (ŵt (h)) =
ŵt (h)dh − 2(
ŵt (h)dh) + (
ŵt (h)dh)2
0
0
1
Z
ŵt2 (h)dh − 2(
=
Z
0
1
ŵt (h)dh)2 · (1)
Z 1
Z
2ŵt (h)(
ŵt2 (h)dh −
+(
1
Z
1
V ARh (ŵt (h)) =
=
1dh)
0
Z
2
ŵt (h) − 2ŵt (h)(
1
Z
1
Z
ŵt (h) − (
0
1
ŵt (h)dh) + (
0
0
Z
ŵt (h)dh)dh +
1
Z
ŵt (h)dh)2 · (
0
1
0
0
0
Z
ŵt (h)dh)
0
1
+(
=
1
Z
ŵt (h)dh)(
0
0
Z
0
1
Z
ŵt (h)dh)2 dh
0
1
ŵt (h)dh)]2 dh
0
Zauważmy, że dla tych h, którzy nie zmieniaja, placy
ŵt (h) = ln
Wt (h)
Wt−1 (h)π̄
wt−1 (h)π̄
= ln
= ln
= ŵt−1 (h) − π̂t
Pt w̄
Pt−1 πt w̄
w̄πt
Podstawiajac
, do równania na V ARh (ŵt (h))
1
Z
ŵt (h) − (
V ARh (ŵt (h)) =
0
Z
1
2
ŵt (h)dh) dh
0
Z
= θw
1
ŵt−1 (h) − π̂t −
1
Z
0
2
ŵt (h)dh dh
0
+ (1 − θw ) ŵtnew −
Z
1
ŵt (h)dh
2
0
2
R1
R1
2
Podstawiajac
, E[Wt−1 − E(Wt )] = 0 ŵt−1 (h) − π̂t − 0 ŵt (h)dh dh.
V ARh (ŵt (h)) = θw E[Wt−1 − E(Wt )]2 +
Z
+ (1 − θw )[ln wtnew (h) −
1
ln wt (h)dh]2
0
Najpierw skupimy sie, pierwszym wyrażeniu πtw = ŵt − ŵt−1 + π̂t
2
E [Wt−1 − E(Wt )] =
Z 1h
Z
=
ŵt−1 (h) − π̂t −
0
Z
1
i2
ŵt (h)dh dh
0
1
Z
h
ŵt−1 (h) + (ŵt − ŵt−1 − π̂tw ) −
1
Z
h
w
ŵt−1 (h) − ŵt−1 − π̂t + ŵt −
=
0
Z
=
0
0
24
1
0
1
i2
ŵt (h)dh dh
i2
ŵt (h)dh dh
Ponieważ jest to wyrażenie drugiego rzedu
możemy podstawić ŵt =
,
R1
0
ŵt (h)dh
2
E [Wt−1 − E(Wt )] =
2
Z ωH
Z ωH 1
w
dh
ŵt−1 (h)dh − π̂t
=
ŵt−1 (h) −
ωH 0
0
2
Z ωH Z ωH
Z ωH
1
2
=
ŵt−1 (h) −
[π̂tw ] dh−
ŵt−1 (h)dh dh +
ωH 0
0
0
Z ωH Z ωH
1
ŵt−1 (h) −
−2
ŵt−1 (h)dh [π̂tw ] dh
ωH 0
0
2
E [Wt−1 − E(Wt )] =
2
Z ωH Z ωH
Z ωH
1
2
[π̂tw ] dh−
ŵt−1 (h)dh dh +
ŵt−1 (h) −
=
ω
H
0
0
0
Z ωH
Z ωH
Z ωH
1
w
ŵt−1 (h)dh −
(
− 2 [π̂t ]
ŵt−1 (h)dh)dh
ωH 0
0
0
2
Z ωH Z ωH
1
2
=
ŵt−1 (h) −
ŵt−1 (h)dh dh + ωH [π̂tw ]
ωH 0
0
2
= V ARh (ŵt−1 (h)) + ωH [π̂tw ]
Nastepnie
do drugiego wyrażenia. Ponieważ jest ono drugiego rzedu
możemy wykorzystać
,
,
R przechodzimy
ω
ŵt = ω1H 0 H ŵt (h)dh oraz (4.13)
Z ωH
θ
2
2
1
w
new
ŵt −
ŵt (h)dh = (ŵtnew − ŵt )2 =
π̂tw
ωH 0
1 − θw
Podstawiajac
,
V ARh (ŵt (h)) = θw [V ARh (ŵt−1 (h)) + (π̂tw )2 ] + (1 − θw )
2
θw
(π̂tw )
1 − θw
Wyliczajac
, bezwarunkowa, wartość oczekiwana,
h h
i
i
E [V ARh (ŵt (h))] = θw E V ARh (ŵt−1 (h)) +E (π̂tw )2
2 h
θ
2 i
w
E π̂tw
+(1 − θw )
1 − θw
Ponieważ E [V ARh (ŵt (h))] = E [V ARh (ŵt−1 (h))] otrzymujemy
h
i
2
θw
2
(1 − θw )V ARh (ŵt (h)) = θw +
E (π̂tw )
1 − θw
Korzystajac
, z (patrz Erceg et. al., 1999)
E(x̂2t ) = V AR(x̂t )
(4.14)
dostajemy
E [V ARh (ŵt (h))] =
Lacz
, ac
, z (4.12)
1 + µ 2
w
µw
θw
V AR(π̂tw )
(1 − θw )2
V ARh (ŵt (h)) = V ARh (ˆlt (h))
otrzymujemy
1 + µ w 2
θw
E V ARh (ˆlt (h)) =
V AR(π̂tw )
µw
(1 − θw )2
25
(4.15)
Krok 6: E V ARi (ŷt (i)) .
• Rotemberg and Woodford (1999) pokazuja, (analogicznie jak w poprzednim kroku)
1 + µ 2
θ
E V ARi (ŷt (i)) =
V AR(π̂t )
µ
(1 − θ)2
Krok 7: Ostateczna funkcja użyteczności
• Podstawiajac
, do funkcji użyteczności
E
E
hU − U i
h 1 γ + α + σ(1 − α)
µ
t
=E −
ỹˆt2 −
V ARi (ŷt (i))
1−σ
c
2
1−α
2(1 + µ)
i
(1 − α)(γ + µw (1 + γ))
V ARh (ˆlt (h)) + t.i.p.
−
2(1 + µw )
hU − U i
1 γ + α + σ(1 − α) ˆ2
µ
t
=−
E[ỹt ] −
E[V ARi (ŷt (i))]
c1−σ
2
1−α
2(1 + µ)
(1 − α)(γ + µw (1 + γ))
E[V ARh (ˆlt (h))] + t.i.p.
−
2(1 + µw )
Podstawiajac
, z (4.14), (4.15) i (4.16) otrzymujemy
E
hU − U i
γ + α + σ(1 − α)
1+µ
θ
t
=−
V AR(ỹˆt ) −
V AR(π̂t )
1−σ
c
2(1 − α)
2µ (1 − θ)2
(1 − α)(γ + µw (1 + γ))(1 + µw )
θw
V AR(π̂tw ) + t.i.p.
−
2
2µw
(1 − θw )2
oraz
W0 − W
c1−σ
≈
26
1
Ut − U
E
1−β
c1−σ
(4.16)