Wyznaczanie składowych impedancji.

http://www.mbmaster.pl
Wyprowadzenie wzorów na impedancję w dwójniku RLC.
Dwójnik zbudowany jest z rezystora, kondensatora i cewki. Do zacisków dwójnika przyłożone
zostało napięcie sinusoidalnie zmienne. W wyniku przyłożonego napięcie przez obwód
przepływa prąd sinusoidalnie zmienny.
( )
( )
Przez dwójnik przepływa przemienny prąd elektryczny sinusoidalnie zmienny opisany
równaniem:
( )
√
Gdzie:
√
Wzory które będą używane do wyznaczenia napięć w obwodzie są następujące:
( )
∫
Strona 1 z 6
http://www.mbmaster.pl
Wszystkie elementy w dwójniku połączone są szeregowo. Cechą układu szeregowego jest
ten sam prąd, który przepływa przez wszystkie elementy. Napięcia na poszczególnych
elementach wyznaczymy za pomocą przedstawionych powyżej wzorów. Napięcie na
rezystorze wyznaczone będzie w oparciu o prawo Ohma.
Napięcie na rezystorze:
( )
Napięcie na cewce:
( )
(√
)
√
Na początku wyznaczonej pochodnej pojawiło się wyrażenie
indukcyjna.
, jest to reaktancja
Uwzględniając wyrażenie na reaktancję indukcyjną
√
Zauważyć może że napięcie na cewce wyprzedza w fazie prąd przepływający przez nią.
Napięcie na cewce można zapisać w postaci:
√
Napięcie na kondensatorze:
∫
∫ (√
)
√
Po obliczeniu całki z przodu wyrażenie otrzymaliśmy czynnik
; jest to reaktancja
pojemnościowa. Jak można zauważyć przebieg napięcia na kondensatorze opisany jest
funkcją
przemnożoną przez wartości stałe. Z trygonometrii mamy zależność
Strona 2 z 6
http://www.mbmaster.pl
; wobec tego wyrażenie opisujące przebieg napięcia na
kondensatorze możemy zapisać w postaci:
√
Zauważyć można że napięcie na kondensatorze opóźnia się w fazie względem prądu
przepływającego przez kondensator.
√
√
Wzory ogólne zostały już wyprowadzone, teraz przeprowadzona zostanie symulacja w
programie MATLAB. Zakładamy że elementy składowe obwodu są elementami idealnymi,
oznacza to że nie posiadają żadnych parametrów pasożytniczych. Przykładowo rzeczywisty
rezystor posiada pasożytniczą pojemność oraz pasożytniczą indukcyjność, jednak do pewnej
wartości częstotliwości możemy je zaniedbać. Symulacja przeprowadzona została dla
następujących parametrów:
[ ]
[
]
[ ]
[
]
[ ]
[
]
[ ]
Strona 3 z 6
http://www.mbmaster.pl
Rysunek 1. Przebieg prądu i napięcia na rezystorze R.
Zamieszony powyżej wykres przedstawia prąd i napięcie na rezystorze . Zauważyć można że
prąd i napięcie rezystora są zgodne w fazie.
Rysunek 2. Przebieg prądu i napięcia na cewce L.
Strona 4 z 6
http://www.mbmaster.pl
Na rysunku 2 zamieszczony jest przebieg prądu i napięcia na cewce . Zauważyć można że
napięcie na cewce wyprzedza w fazie prąd o kąt .
Rysunek 3. Przebieg prądu i napięcia na kondensatorze C.
Rysunek 3 przedstawia przebieg prądu i napięcia na kondensatorze . Zauważyć można że
napięcie na kondensatorze opóźnia się w fazie względem prądu o kąt
.
Na zamieszczonych powyżej trzech wykresach zamieszczone są przebiegi prądu i napięcia na
poszczególnych elementach rozważanego obwodu elektrycznego. Obwód elektryczny z tego
przykładu jest obwodem szeregowym, oznacza to że poprzez wszystkie elementy przepływa
ten sam prąd. Wartość i charakterystyka prądu elektrycznego ( ) jest taka sama dla
wszystkich elementów.
Strona 5 z 6
http://www.mbmaster.pl
Impedancję w analizie obwodów przedstawiamy w postaci wektorowej z wykorzystaniem
liczb zespolonych.
Gdzie
jest jednostką urojoną
Ponieważ składowe impedancji sumują się geometrycznie więc jej wartość liczbowa jest
opisana następującą zależnością:
| |
√
(
)
Rysunek 4. Wykres wektorowy składowych impedancji obwodu.
[ ] równe wartości
Obwód rozpatrywany w przykładzie posiada dla częstotliwości
[ ] mają wartość
reaktancji indukcyjnej
i reaktancji pojemnościowej . Obie dla
równą
[ ]. Obwód elektryczny znajduje się w stanie rezonansu prądu,
ponieważ reaktancja pojemnościowa i reaktancja indukcyjna się w kompensują. W tym
szczególnym przypadku wartość prądu przepływającego przez obwód będzie największa.
| |
[ ]
Strona 6 z 6