8. ELEMENTY PŁYTOWE I POWŁOKOWE

Transkrypt

1
8.
ELEMENTY PŁYTOWE I POWŁOKOWE
Ze względu na szerokie zastosowanie konstrukcji płytowych i powłokowych w budownictwie prace
nad formułowaniem coraz to efektywniejszych elementów skończonych płytowo-powłokowych są ciągle
kontynuowane. Poniżej przedstawimy tylko niektóre elementy skończone, wykorzystywane do analizy płyt i
powłok. Skoncentrujemy naszą uwagę na podstawowych krokach przy formułowaniu takich elementów. Na
wstępie przypomnimy równania teorii płyt, by ułatwić Czytelnikowi studiowanie tego rozdziału. Na koniec
zaproponujemy pewien sposób analizy powłok za pomocą płaskich elementów tarczowo-płytowych.
8.1 Naprężenia i odkształcenia płyt cienkich (Kirchhoffa)
Płyta cienka jest obiektem dwuwymiarowym, takim że jej wymiary w kierunku osi x i y są wielokrotnie większe niż jej grubość. Rysunek 8.1 przedstawia nieskończenie mały element płyty zginanej, dla której
płaszczyzna xoy jest równocześnie płaszczyzną obojętną (neutralną). Wysokość przekroju pokrywa się z
pełną grubością płyty t, podczas gdy inne wymiary wynoszą dx i dy. Płyta cienka znajduje się w stanie
zginania, gdy obciążenia działają w kierunku normalnym do jej płaszczyzny.
z,w
y,v
x,u
Mxy
Mxx
Qx
Rys. 8.1. Elementarny wycinek płyty
Odkształcenia w płaszczyźnie warstwy płyty są zdefiniowane, jak w płaskim stanie naprężenia, za
pomocą równań:
εx =
∂u
,
∂x
εy =
∂u
,
∂y
εz =
∂u
,
∂z
(8.1)
Z podstawowego założenia zginania płyt cienkich, według którego normalne do powierzchni obojętnej
pozostają proste i normalne w procesie deformacji wynika, że
u = −z ⋅
∂w
,
∂x
v = −z ⋅
∂w
,
∂y
(8.2)
skąd po podstawieniu do (8.1) otrzymujemy zależności: odkształcenie – przemieszczenie w postaci
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
∂2w
ε x = −z ⋅ 2 ,
∂x
∂2w
ε y = −z ⋅ 2 ,
∂y
γ xy
∂2w
= −2 z ⋅
,
∂x∂y
2
(8.3)
Zależność naprężenie - odkształcenia dla warstwy płyty jest identyczna, jak dla płaskiego stanu naprężenia. Dla materiału izotropowego mamy więc:
σ = D ⋅ε
(8.4)
gdzie przyjęto następujące oznaczenia:
1 ν 0 
E
⋅ ν 1 0  ,
D=
2 
1 −ν
0 1 λ 
λ=
1 −ν
,
2
Dla materiału ortotropowego operator D ma postać:
 E 11
D =  E 21
 0

,

E 33 
E 12
E 22
0
0
0
(8.5)
Wprowadźmy wektor naprężeń uogólnionych, odpowiadających wartościom momentów zginających,
przypadających na jednostkę długości płyty:
M = [ M xx , M yy , M xy ] T
(8.6)
Jeżeli
σx =
E
( ε x + ν ⋅ ε y ),
1 −ν 2
(8.7)
to uogólnione naprężenie Mxx wynika z całkowania wyrażenia
+t / 2
M xx = −
∫
σ x ⋅ z ⋅ dz =
−t / 2
E
1 −ν 2
+t / 2
 ∂2w
∂2w
 2 + ν ⋅ 2  ⋅ ∫ z 2 dz
∂y  −t / 2
 ∂x
(8.8)
Podobnie otrzymamy pozostałe składowe wektora uogólnionych naprężeń:
M yy =
∂2w
E t3  ∂2w


+
⋅
ν
∂x 2 
1 − ν 2 12  ∂y 2
M xy
Et 2
∂2w
=
⋅
12 1 −ν 2 ∂x∂y
(
)
(8.9)
(8.10)
Przyjmijmy wektor uogólnionych odkształceń Ф w postaci:
φ = [ φ xx ,φ yy ,φ xy ] T = [ w xx , w yy ,2 w xy ] T ,
(8.11)
wówczas uogólniony operator dla naprężeń i odkształceń, oznaczony przez D, wynosi:
Alma Mater
3
t3
D=D
12
(8.12)
Otrzymujemy więc relację macierzową:
M = Dφ
(8.13)
Relacje wynikające z transformacji osi współrzędnych dla wielkości uogólnionych są identyczne z
występującymi w płaskim stanie naprężenia. Może to być zademonstrowane przez całkowanie po grubości
płyty w postaci następującej sekwencji przekształceń:
+t / 2
M' =
∫
− σ ' z ⋅ dz =
−t / 2
+t / 2
+t / 2
−t / 2
−t / 2
∫ − Tσ z ⋅ dz =
∫ − Tσ ⋅ D ⋅ ε ⋅ z ⋅ dz
(8.14)
t3
= Tσ ⋅ M
12
(8.15)
ale ponieważ ε = -zФ, więc dalej:
M ' = Tσ ⋅ D ⋅ φ
+t / 2
∫
z 2 ⋅ dz = Tσ ⋅ D ⋅ φ ⋅
−t / 2
Widać więc, że relacja między M' i M jest taka sama, jak między σ' a σ. By ustalić podobne zależności
między Ф' a Ф, możemy porównać podcałkowe wyrażenia określające wirtualny stan energii odkształcenia.
Otrzymamy ciąg przekształceń:
( δM ' )T φ' = δM T φ ,
( δM ' ) T φ ' = δM T φ ,
δM T Tσ φ' = δM T φ ,
φ' = Tε φ ,
gdzie
δM T Tσ φ' = δM T φ ,
φ' = Tε φ ,
(8.16)
T
(8.17)
Można także wykazać, że
D' = Tσ ⋅ D ⋅ Tσ ,
z
Qy+ Qy dy
y
y
Qx
Myx
Myx+ y dy
Myy
Myy+ x dy
Mxx
Mxx
Mxx+ x dx
Mxy
Qy
bz
Mxy
Mxy+ x dx
Qx+ Qx dx
x
x
Myy
Myx
Rys. 8.2. Definicja sił wewnętrznych
Jeśli rozpatrzymy równowagę wyciętego nieskończenie małego fragmentu płyty (rys. 8.2) z uwzględnieniem sił poprzecznych Qx i Qy oraz obciążenia bz , to otrzymamy:
•
z równania równowagi
∑Pz =0:
Alma Mater
b z = dxdy − Q x dy + ( Q x +
4
∂Q y
∂Q x
dx )dy − Q y dx + ( Q y +
dy )dx = 0
∂x
∂y
(8.18)
∂Q x ∂Q y
+
+ bz = 0
∂x
∂y
•
z równania równowagi ∑My =0 względem osi y przy pominięciu efektów drugiego rzędu:
∂M xx ∂M yx
+
+ Qx = 0
∂x
∂y
•
(8.19)
i podobnie z równania równowagi ∑Mx =0:
∂M yy
∂y
+
∂M xy
∂x
+ Qy = 0
(8.20)
Ostatnie dwa równania pozwalają obliczyć siły poprzeczne z pochodnych momentów zginających.
8.2 Wybrane elementy płytowe
Naszkicujemy poniżej podstawowe założenia przyjęte podczas definiowania elementów płytowych w
lokalnym układzie współrzędnych. Pamiętajmy, że przy formułowaniu zadania brzegowego zawsze staniemy
przed problemem transformacji współrzędnych macierzy sztywności czy wektora obciążeń z układu lokalnego do globalnego.
8.2.1 Niedostosowany element prostokątny
Przedstawimy teraz jeden z najprostszych elementów płytowych, jakim jest niedostosowany element
prostokątny. Element ten, często zwany MZC od nazwisk jego twórców (Melosh, Zienkiewicz, Cheung), nie
spełnia warunków zgodności pochodnych na brzegach elementu. Jest więc elementem niedostosowanym.
Rysunek 8.3 pokazuje przyjętą geometrię elementu oraz definicję stopni swobody węzłów.
W elemencie tym wektor przemieszczeń dowolnego punktu ma tylko jedną składową
(8.21)
u = [w].
a)
3
b)
di1
di3
4
z
y
di2
x
2b
w
w1
y
2
2a
1
w1
Alma Mater
5
Rys. 8.3. Element płytowy i definicja stopni swobody
Przyjmijmy trzy stopnie swobody w każdym z czterech węzłów:
di = [ di1
di 2
∂wi
∂y
di 3 ] T = [ wi
−
∂wi T
]
∂x
(8.22)
odpowiednie zaś obciążenie węzłowe wynosi:
pi = [ pi 1
pi 2
pi 3 ] T = [ p zi
M yi ] T
M zi
dla i=1,2,3,4
(8.23)
Funkcję aproksymującą przemieszczenia w przyjęto w postaci
w = c1 ⋅ 1 + c 2 ⋅ ξ + c 3 ⋅ η + c 4 ⋅ ξ 2 + c 5 ⋅ ξη + c6 ⋅ η 2 + c7 ⋅ ξ 3 +
+ c 8 ⋅ ξη + c 9 ⋅ ξη 2 + c10 ⋅ η 3 + c11 ⋅ ξ 3η + c12 ⋅ ξη 3
(8.24)
Przypisane funkcje kształtu mają więc postać:
Ni = [ N i1
Ni 2
Ni3 ]
(8.25)
gdzie :
1
( 1 + ξ 0 )( 1 + η 0 )( 2 + ξ 0 + η 0 − ξ 2 − η 2 ),
8
1
= ⋅ bη i ⋅ ( 1 + ξ 0 )( 1 − η 0 )( 1 − η 0 ) 2 ,
8
1
= ⋅ bξ i ⋅ ( 1 − ξ 0 )( 1 + η 0 )( 1 − ξ 0 ) 2 .
8
N i1 =
N i2
N i3
(8.26)
gdzie:
ξ 0 = ξ i ⋅ ξ , η 0 = η i ⋅ η , dla i=1,2,3,4
Operator L, wynikający z (8.3), w którym opuszczono człon -z, ma postać:
 ∂2
L= 2
 ∂x
∂2
∂y 2
∂2 

∂x∂y 
(8.27)
i definiuje macierz B w postaci
 Ni 1,xx

Bi = LN i =  Ni 1, yy
 Ni 1,xy

N i 2 ,xx
Ni 2 , yy
N i 2 ,xy
N i 3 ,xx 

Ni 3 , yy 
N i 3 ,xy 
(8.28)
W szczególności dla węzła pierwszego macierz H wynosi
Alma Mater
 3ξ ( 1 − η )b 2
0
1

2
− ( 1 − ξ )( 1 − 3η )ba 2
Bi = 2 2 =  3( 1 − ξ )ηa
4a b
( 4 − 3ξ 2 − 3η 2 )ab ( 1 − η )( 1 + 3η )ab 2

6
( 1 − 3ξ )( 1 − η )ab 2 

0

2
− ( 1 − ξ )( 1 + 3η )ba 
(8.29)
Uogólnione naprężenia wynoszą więc
(8.30)
M = Dφ = D⋅ B ⋅ d
Dla materiałów izotropowych iloczyn D B jest macierzą prostokątną o wymiarze 3x12. Fragment tej macierzy (pierwsza kolumna) jest następujący:
3ξ ( 1 − η )b 2 + 3ν ( 1 − ξ )ηa 2 K
Et


=  3νξ ( 1 − η )b 2 + 3( 1 − ξ )ηa 2 K
DB =
2 2
2
48 a b ( 1 − ν ) 
λ ( 4 − 3ξ 2 − 3η 2 )ab K 

3
(8.31)
( 3x2 )
Macierz sztywności elementu skończonego w układzie lokalnym otrzymamy z
1 1
T
T
K e = ∫ B D ⋅ B ⋅ dA = ab ∫ ∫ B ⋅ D ⋅B ⋅ dξdη
A
(8.32)
−1 −1
a równoważne obciążenia węzłowe od obciążeń lub początkowych odkształceń wyrażone są w postaci :
T
1 1
T
Pb = ∫ B b z ⋅ dA = ab ∫ ∫ N ⋅b z ⋅ dξdη
A
−1 −1
T
1 1
(8.33)
T
P0 = ∫ B D ⋅ φ 0 ⋅ dA = ab ∫ ∫ B ⋅D ⋅ φ 0 ⋅ dξdη
A
−1 − 1
Jawną postać macierzy sztywności (8.32) dla tego elementu można przedstawić w postaci sumy
Et 3
Ke =
( K1 + K 2 + K3 + K4 )
12( 1 − ν 2 )
(8.34)
Postaci macierzy K. podano poniżej :
Alma Mater
 6
 0

− 6 a

 −6
 0

b − 6 a
K1 = 2 
−3
6a

 0
 − 3a

 3

 0
 − 3a
0
0 8a 2
0 6a
6
0
0
0
2
0 4a
6a
0 3a
3
0
0
0
2
0 2a
3a
0 − 3a − 3
0
0
0
2
0 4a
3a
6
 6 b 8b 2

0
0

3b
3
 3b 4b 2

0
a 0
K2 = 2 
6 b − 3 − 3b

2
 3b 2b
0
0

− 6 6 b

2
 6 b 4b
 0
0
0
0 8a 2
0 3a
6
0
0
0
2
0 4a
6a
0 − 3a − 6
0
0
0
2
0 2a
6a
0
0
0
0
0
7





sym.







2

8a


−6a
6

0
0
0

4 a 2 − 6 a 0 8 a 2 
0
0 6
0 6 b 8b 2
0 0
0
0
0 − 6 − 6b 0
6
2
0 6 b 4b
0 − 6 b 8b 2
0 0
0
0
0
0
− 3b
0 − 3 − 3b 0
3
2
0 3b 2b
0 − 3b 4b 2
0 0
0
0
0
0
sym.
0
0
6
0 − 6 b 8b 2
0
0
0

















0 
Alma Mater
 1
b
0

− a − 2ab

− 1 − b
− b
0

0
ν 0
K3 =

0
2ab 1

0
0
0
0

− 1
0

0
0
 a
0
0
0 1
0 b
0
0 a 2ab 0
0 −1 0 −a 1
0 0
0
0 −b
0
0 −a 0
0
a − 2 ab
a 1
0
0 −1
b
0 0
0
0
b
0
0 0
0
0
0
0
 21
 3b
8b 2

 − 3a
0

 − 21 − 3b
 − 3b − 8b 2

0
λ  − 3a
K4 =
3b
15ab  21

2
 − 3b 2b
 3a
0

 − 21 − 3b

2
 3b − 2b
 3a
0
8a 2
3a
0
− 2b 2
− 3a
0
2a 2
3a
0
− 8a 2
21
3b
8b 2
3a
0
− 21 − 3b
3b − 2b 2
− 3a
0
21
3b
− 3b 2b 2
− 3a
0
0
0
0
0
8





sym.










1

−b
0

− a 2 ab 0 
sym.
8a 2
− 3a
0
− 8a 2
3a
0
2a 2
21
− 3b 8b 2
3a
0
− 21
3b
3b − 8b 2
3a
0
8a 2
− 3a
0
− 2a 2
21
− 3b 8b 2
− 3a 0

















8 a 2 
Uogólnione naprężenia w wybranych punktach wynoszą:
M = D( B ⋅ d − φ0 )
(8.35)
Naprężenia od zginania płyty są wyrażone w postaci
σ = [σ x σ y τ xy ] = −
12 z
M,
t3
(8.36)
zaś siły ścinające w postaci:
Alma Mater
9
∂M xx ∂M yx
,
−
∂x
∂y
∂M yy ∂M xy
Qy = −
−
.
∂y
∂x
Qx = −
(8.37)
8.2.2 Dostosowany element prostokątny
Element ten zwany jest często BFS od pierwszych liter nazwisk autorów (Bogner, Fox, Schmit). Ten
czterowęzłowy element ma cztery stopnie swobody w każdym węźle:
d i = [ d i1
d i2
d i 3 ] = [ wi
T
∂wi ∂wi
−
∂y
∂x
∂ 2 wi T
−
]
∂x∂y
(8.38)
Rysunek 8.4 przedstawia przyjęte oznaczenia oraz stopnie swobody węzła i.
b)
a)
di1
z
di3
y
4
3
i
di2
di4
1
x
2
Rys. 8.4. Czworokątny dostosowany element płytowy
Przyjęte siły węzłowe określa wektor pi . :
pi = [ pzi
M xi
M yi
X xyi ] T
(8.39)
gdzie Xxyi . jest uogólnioną reakcją (drugi moment siły) odpowiadającą uogólnionemu przemieszczeniu
wi,xy. Tym samym funkcja przemieszczeń wybrana została zwielomianu szesnasto składnikowego w następujący sposób:
w = C1 + C2 x + C3 x 2 + C4 x 3
+ C5 y + C6 xy + C7 x 2 y + C8 x 3 y
+ C9 y 2 + C10 xy 2 + C11 x 2 y 2 + C12 x 3 y 2
(8.40)
+ C13 y 3 + C14 xy 3 + C15 x 2 y 3 + C16 x 3 y 3
Przyjęta funkcja jest zupełną dziesięcio składnikową funkcją, zawierającą wyrażenia 3 stopnia (nad linią
przerywaną), uzupełnioną sześcioma składnikami pod tą linią. W tablicy 8.1 przedstawiono zestawienie
funkcji kształtu odpowiadających wszystkim szesnastu stopniom swobody tego elementu.
Dalsze rozważania przebiegają podobnie jak w rozdziale poprzednim, dotyczącym elementu niedostosowanego.
Alma Mater
10
Tablica 8.1 Funkcje kształtu dla elementu BFS
J
1
2
3
4
5
6
7
8
Nj
j
(1-3ξ2+2ξ3)(1-3η2+2η3)
(1-3ξ2+2ξ3)(η-2η2+η3)b
-(ξ-2ξ2+ξ 3)(1-3η2+2η3)a
(ξ-2ξ2+ξ 3)(η-2η2+η3)ab
(3ξ2-2ξ3)(1-3η2+2η3)
(3ξ2-2ξ 3)(η-2η2+η3)b
(ξ2-ξ3)(1-3η2+2η3)a
-(3ξ2-ξ3)(η-2η2+η3)ab
9
10
11
12
13
14
15
16
Nj
(3ξ2-2ξ3)(3η2-2η3)
-(3ξ2-2ξ3)(η2-η3)b
-(ξ2-ξ3) (3η2-2η3)a
-(ξ2-ξ3)(η2-η3)ab
(1-3ξ2+2ξ3)(3η2-2η3)
-(1-3ξ2+2ξ3)(η2-η3)b
-(ξ-2ξ2+ξ3)(3η2-2η3)a
-(ξ-2ξ2+ξ3)(η2-η3)ab
Element BFS charakteryzuje się lepszą zbieżnością w obliczeniach płyt cienkich niż niedostosowany
element MZC. Ponadto zastosowane w nim wielomiany wyższego stopnia w funkcjach kształtu umożliwiają
paraboliczny rozkład sił wewnętrznych (momentów). Zauważmy jednak, że wprowadzony w nim stopień
swobody jako druga mieszana pochodna funkcji ugięcia powoduje pewne ograniczenia jego zastosowań.
Wymagana jest bowiem ciągłość tego parametru, co w przypadku płyt o skokowo zmiennej grubości nie
może być spełnione i element ten nie nadaje się do tego typu zagadnień.
8.2.3 Element trójkątny
Na koniec tego krótkiego przeglądu elementów płytowych wspomnijmy jeszcze o elemencie trójkątnym CKZ (Cheung, King, Zienkiewicz). Przyjmuje się w nim trzy węzły i po trzy uogólnione przemieszczenia w każdym z tych węzłów (rys. 8.5). Stopnie swobody węzła są następujące:
d i = [d i1
di2
d i 3 ]T = [ wi
∂wi
∂y
−
∂wi T
] , dla i=1,2,
∂x
(8.41)
W tablicy 8.2 zestawiono założone funkcje kształtu. Funkcje te wyraża się we współrzędnych naturalnych (polowych):
Tablica 8.2 Funkcje k s z t a ł t u d l a elementu trójkątnego CKZ
Nj
ξ1+ξ12ξ2+ξ12ξ3-ξ1ξ22-ξ1ξ32
b3(ξ12ξ2+α)-b2(ξ3ξ12+α)
a3(ξ12ξ2+α)-a2(ξ3ξ12+α)
ξ2+ξ22ξ3+ξ22ξ1-ξ2ξ32-ξ2ξ12
b1(ξ22ξ3+α)-b3(ξ1ξ22+α)
a1(ξ22ξ3+α)-a3(ξ1ξ22+α)
ξ3+ξ32ξ1+ξ32ξ2-ξ3ξ12-ξ3ξ22
b2(ξ32ξ1+α)-b1(ξ2ξ32+α)
a2(ξ32ξ1+α)-a1(ξ2ξ32+α)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
gdzie oznaczono
α=
ξ1ξ 2ξ 3
, a1 = x23 , a2 = x31 , a3 = x12 ,
2
b1 = − y23 , b2 = − y31 , b3 = − y12 ,
Alma Mater
b)
a)
11
di1
z
di3
y
3
di2
2
1
x
Rys. 8.5. Trójkątny element płytowy
Aby obliczyć współczynniki macierzy B, należy zróżniczkować wyrażenia na Ni. z powyższej tablicy.
Odpowiedni operator różniczkowy L ma znaną już postać (8.27). Informacje na temat całkowania
numerycznego po powierzchni trójkąta (wybór punktów próbnych i wag kwadratur Gaussa) można znaleźć
w Dodatku B.
8.3 Element trójkątny powłokowy
Zamiast rozważań nad klasycznymi teoriami powłok cienkich spróbujemy uprościć rozumowanie i
analizować dowolne powłoki za pomocą elementów przedstawionych wyżej i w poprzednich rozdziałach.
Przybliżając powłokę przenoszącą zarówno zginanie, jak i siły membranowe za pomocą płaskich elementów
trójkątnych, możemy posłużyć się superpozycją znanych już elementów: płaskiego CST i płytowego CKZ.
Składowe membranowe i składowe pochodzące od zginania dla obu elementów zaznaczono na rysunku 8.6.
Przyjmując tę kombinację w każdym węźle mamy pięć stopni swobody w lokalnym układzie współrzędnych.
Rysunek 8.7 przed stawia podział powierzchni powłoki na płaskie elementy trójkątne oraz definiuje przemieszczenia wyrażone w lokalnym i globalnym układzie współrzędnych. Zauważmy, że w globalnym układzie
w każdym węźle mamy po sześć stopni swobody (z tego faktu wynikają pewne komplikacje, które omówimy dalej). Zanim więc dokonamy agregacji elementów trójkątnych (rys.8.7), musimy dokonać transformacji
składowych macierzy, wyrażając je w globalnym układzie XYZ. Prawo transformacji dla składowych w
węźle i ma postać
d i ' = Rˆ i d i
(i=1,2,3)
(8.42)
Alma Mater
12
z
di2
y
3
j
v
u
1
di1
2
x
di3
z
di5
y
3
j
w
di4
2
1
x
Rys. 8.6. Trójkątny element powłokowy jako złożenie elementu płaskiego i płytowego
Wektor d'i, ma pięć składowych i wyraża przemieszczenia węzła i w układzie lokalnym:
d’i= [ d’i1 d’i2 d’i3 d’i4 d’i5] ,
(8.43)
zaś di. ma ich sześć i są one wyrażone w układzie globalnym w następująco:
di= [ di1 di2 di3 di4 di5]
(8.44)
Widzimy więc, że macierz transformacji Ri o wymiarach 5x6 musi mieć następującą postać:
 λ11 λ12
λ
 21 λ22
Rˆ i = λ31 λ32

0
0
 0
0
λ13 0
0
0
λ23 0
0
0 
λ33 0
0
0

0 λ11 λ12 λ13 
0 λ21 λ22 λ23  ( 5 x 6 )
(8.45)
Macierz ta zawiera cosinusy kierunkowe osi lokalnych (pionowych) w układzie globalnym. Znając
współrzędne węzłów 1 i 2, umiemy określić składowe wektora jednostkowego e'x w układzie globalnym
jako:
λ11 =
x12
,
L12
λ12 =
x12
,
L12
λ13 =
x12
,
L12
(8.46)
Podobnie współrzędne punktów 1 i 3 umożliwiają wyznaczenie wektora jednostkowego e13 (rys.8.7b), określonego w kierunku brzegu 1-3
C x13 =
x13
,
L13
C y13 =
y13
,
L13
C z13 =
z13
.
L13
(8.47)
Alma Mater
13
Rys. 8.7. Układy współrzędnych: lokalny i globalny
Współrzędne wektora jednostkowego w kierunku prostopadłym do płaszczyzny trójkąta, czyli w kierunku
osi z’ (e'z), są określane jako wynik unormowanego iloczynu wektorowego:
ez ' =
e x , xe13
,
sin θ
(8.48)
co określa nam składowe λ31, λ32, λ33. Wreszcie składowe wektora jednostkowego ey , otrzymujemy jako
e y ' = ez , x ⋅ ex ,
(8.49)
co z kolei określa λ21, λ22, λ23. Podobnie macierz transformacji Ri. służy do wyrażenia składowych obciążeń
w układzie globalnym pi. jako funkcji składowych lokalnych p’i.
pi = Rˆ iT pi '
(8.50)
Taka podmacierz sztywności elementu K’ij jest transformowana według następującego prawa:
K ij = Rˆ iT K 'ij Rˆ j , i=1,2,3;
j=1,2,3
(8.51)
Przekształcenie to buduje w układzie globalnym macierz sztywności (6x6) z macierzy (5x5).
Przedstawiony wyżej sposób analizy powłok za pomocą elementów płaskich ma jednak pewne niedogodności. Przede wszystkim należy podkreślić, że aproksymacja geometrii powierzchni zakrzywionych
Alma Mater
14
elementami płaskimi nigdy nie może być zadowalająca, nawet gdy zastosujemy bardzo gęsty podział na elementy. Sformułowanie to ma jeszcze inną niedogodność, co wcześniej sygnalizowaliśmy. Zauważmy bowiem, że macierze sztywności membranowej i zgięciowej są budowane w lokalnym układzie współrzędnych
elementu, pokrywającym się z jego płaszczyzną. W układzie tym nie następuje sprzężenie obu stanów, ponieważ każdy z nich opisywany jest przez inne stopnie swobody. Przed agregacją macierze te są transformowane do układu globalnego. Macierz sztywności w układzie tym ma wymiar 6nx6n, gdzie n jest liczbą
węzłów elementu. Jeżeli sąsiednie elementy (przylegające do siebie) leżą w jednej płaszczyźnie, to macierz
taka jest osobliwa. Jeżeli elementy sąsiednie tworzyć będą bardzo mały kąt (jak np. mało wyniosłe przekrycia powłokowe), to macierz układu będzie źle uwarunkowana. Pojawienie się osobliwości macierzy sztywności lub jej złe uwarunkowanie prowadzi oczywiście do trudności w rozwiązywaniu układu równań. W
celu usunięcia osobliwości lub poprawienia uwarunkowania macierzy stosuje się szereg technik. Poniżej
omówimy jeden z takich sposobów, który jest łatwy do implementacji komputerowej. W miejscu na głównej
przekątnej, gdzie współczynnik sztywności jest równy zeru (lub jest bardzo mały), wpisuje się fikcyjną
sztywność skręcania KФ . W ten sposób otrzymujemy równanie typu KФ·θz = 0. Wartość KФ musi być na
tyle duża, by nie pojawiły się wspomniane trudności, a przy tym na tyle mała, by nie wpłynęła na pozostałe
wyniki. W programach komputerowych wykorzystujących płaskie elementy powłokowe przyjmuje się często fikcyjne współczynniki sztywności skręcania we wszystkich elementach, niezależnie od tego, czy są one
koplanarle, czy też nie, lub wymaga się od użytkownika programu, by wskazał w danychte węzły, w których
należy te współczynniki umieścić.
Pomimo trudności stosowania tych elementów do analizy konstrukcji powłokowych elementy te są
nadal często wykorzystywane i w wielu praktycznych zagadnieniach dają wyniki obarczone małymi błędami.
Zwracamy jednak uwagę Czytelnika na konieczność ostrożnego posługiwania się płaskimi elementami
w analizie powłok małowyniosłych lub w analizie fragmentów konstrukcji leżących w jednej płaszczyźnie.
Zadania
1. Wyznaczyć współczynniki macierzy we wzorze (8.33).
2. Dla elementu MZC wyznaczyć odpowiednie równoważne siły węzłowe w punkcie 1 od obciążenia elementu przedstawionego na rysunku poniżej.
z
y
4
3
q
1
2
x
3. Wykonać zadanie 2 dla siły skupionej P przyłożonej w połowie boku 2-3.
4. Obliczyć K12 dla elementu MZC.
5. Dla elementu BFS obliczyć równoważne siły węzłowe w punkcie 3.
Alma Mater
15
z
y
4
3
q
1
2
x
Alma Mater

8. ELEMENTY PŁYTOWE I POWŁOKOWE

Transkrypt

Podobne dokumenty

Przedmowa do wydania elektronicznego Alma Mater

2. WPROWADZENIE

MES dla zginania belki

MRS

KATEDRA MECHANIKI, KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH I

sylwester - "ALMA TOUR" Biuro Turystyki - Tłumaczenia

1. wstęp - Instytut Konstrukcji Budowlanych

11. uwagi o komputerowych obliczeniach metodą elementów

Dodatkowe informacje - Stowarzyszenie Chorych na

metody aproksymacyjnego rozwiązywania równań różniczkowych