KINEMATYKA

KINEMATYKA
•Opis ruchu
•Układy współrzędnych
• Składowa styczna i normalna przyspieszenia
•Opis ruchu w układzie biegunowym
•Prędkość kątowa
•Transformacje prędkości między układami odniesienia
OPIS RUCHU
Tor ruchu - linia zakreślana przez punkt w ruchu
dr
Równanie toru
f ( x1 , x2 , x3 ) = 0
r(t+dt)
jawne
x1 = x1 (t ), x2 = x2 (t ), x3 = x3 (t )
r(t)
PołoŜenie
Prędkość
v(t)
Przyspieszenie
it(t)
rr = rr (t ) = [x1 (t ), x2 (t ), x3 (t )]
r
zmiana wartości
d
r
rv =
prędkości
dt
zmiana
r
2r
kierunku
dv d r
r
= 2
a=
prędkości
dt dt
v
rv = viv ⇒ ar = d (viv ) = dv iv + v dit
t
t
t
dt
dt
dt
t2
Droga
parametryczne
ds = vdt ⇒ s = ∫ v(t )dt
t1
UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH
Opis ruchu w układzie kartezjańskim
Układ kartezjański
r
r r
r [
r = x, y, z ] = xi + yj + zk
z
z
r
r dr dx r dy r dz r
= i+
v=
j+ k =
dt dt
dt
dt
r
r
r
= vx i + v y j + vz k = vx , v y , vz
r
[
k
y
i
x
x
j
]
y
r
r dv dv x r dv y r dv z r
=
a=
i+
j+
k=
dt
dt
dt
dt
r
r
r
= ax i + a y j + az k = ax , a y , az =
r
d 2r d 2 x r d 2 y r d 2 z r
= 2 = 2 i + 2 j+ 2 k
dt
dt
dt
dt
[
]
Układ sferyczny
r = x2 + y2 + z 2
z
 y
x
φ = atan 
r
θ
ir
iθ
φ
r
iφ
y

z

θ = arc cos
 x2 + y2 + z 2

x = r sin θ cos φ
x
r
iφ ∈ Oxy,
r r r
ir ⊥iφ ⊥iθ
y = r sin θ sin φ
z = r cosθ




Układ walcowy
Układ biegunowy
(na płaszczyźnie)
z
y
z
r
ρ
iz
iφ
φ
iρ
ρ
y
iφ
iρ
φ
x
x
ρ = x2 + y2
x = ρ cos φ
 y
φ = atan 
x
z=z
y = ρ sin φ
z=z
ρ = x2 + y2
 y
x
φ = atan 
x = ρ cos φ
y = ρ sin φ
SKŁADOWA STYCZNA I NORMALNA PRZYSPIESZENIA
r
in
∆ϕ
r
it
∆sr
in
ρ
r
r
r r
r
rr
∆ϕ
∆it = 2 it sin
→ ∆ϕ , ∆it || in ⇒ ∆it = ∆it in
∆
{
2 ϕ →0
r
r
it + ∆t ∆it
=1
∆S = ρ∆ϕ , ρ − promień krzywizny
r
r
r
r
r
r dv dv
di
v = vit ⇒ a =
= it + v t
dt dt
dt
r
r
r
dit dit ds
di
ds
=
= v t , v = , s − droga
dt ds dt
ds
dt
r
r
r
r r dv r v 2
dit ∆it r ∆it r ∆ϕ r 1
≈
≈ in
= in
= in ⇒ a = it
+ in
ds ∆s
∆s
dt
ρ∆ϕ
ρ
ρ
r
r r
a = it at + in an
przyspieszenie styczne
przyspieszenie normalne
r r
dv
v2
v2
2
2
it ⊥ in ⇒ a = at + an , at = , an = ⇒ ρ =
ρ
dt
a 2 − at2
Sposób wyznaczenia
promienia krzywizny
r
r
iρ = iφ = 1
rr = ρir
OPIS RUCHU W UKŁADZIE BIEGUNOWYM
y
iφ
v
r’
ρ
r
diφ = −iρ dφ
dφ
iφ’
vφ
vρ
diρ
diφ
iφ
iρ
dr
iρ’ dφ
iρ
iφ
r
a
iρ
r r
diρ = iφ dφ
aφ
aρ
φ
x
r
r
diρ r dρ r dρ r dφ r r
r dr d ( r )
v = = ρ iρ = ρ
+ iρ
= iρ
+ iφ ρ
= vρ + vφ
dt
dt
dt
dt
dt dt
dρ
dφ
dφ
vρ = ;
vφ = ρ
v = vρ2 + vφ2
ω= ;
= ρω,
dt
dt
dt
prędkość
radialna
prędkość
transwersalna
prędkość
kątowa
r
r dv d  r dρ r dφ 
a = =  iρ
+ iφ ρ  =
dt dt  dt
dt 
r
r
2
2
r d ρ diρ dρ r dρ dφ r d φ diφ dφ
= iρ 2 +
+ iφ
+ iφ ρ 2 + ρ =
dt
dt dt
dt dt
dt
dt dt
 d 2 ρ  dφ 2 r  d 2φ
dρ dφ r r r
=  2 − ρ  iρ + ρ 2 + 2
iφ = aρ + aφ ;
dt dt 
 dt  
 dt
 dt
2
d ρ  dφ  d 2 ρ
aρ = 2 − ρ  = 2 − ρω2
dt
dt
 dt 
2
przyspieszenie
liniowe
a = aρ2 + aφ2
przyspieszenie
radialne
przyspieszenie
Coriolisa
przyspieszenie
dośrodkowe
d 2φ
dρ dφ
dω
dρ
dρ
=ρ
+ 2 ω = ρε + 2 ω,
aφ = ρ 2 + 2
dt
dt dt
dt
dt
dt
dω przyspieszenie
ε=
dt kątowe
przyspieszenie
transwersalne
PRĘDKOŚĆ KĄTOWA
v r r
v r r
iz = iρ × iφ ,K, iφ = iz × iρ
rr = ir ρ
z
ρ
iz
φ
x
iφ
y
iρ
r
dρ
ρ = const⇒ = 0 ⇒ vρ = 0 ⇒ vr = vrφ
dt
rv = ir ρ dφ = (ir × ir )ρ dφ = dφ ir × ρir
z
z
φ
ρ
ρ
dt
dt dt
r dφ
r
ω ≡ iz
dt
r
d
r
r
r r
v = =ω ×r
dt
PowyŜszy związek jest prawdziwy dla dowolnego wektora u o stałej długości,
w układzie obracającym się wokół osi Oz
r
du r r
=ω ×u
dt
TRANSFORMACJE PRĘDKOŚCI I PRZYSPIESZENIA
y’
y
ω
r0
prędkość zmierzona
w układzie Oxy
j’
r’
i’
prędkość
zmierzona w
układzie Ox’y’
r
x’
j
i
x
r
r
r r
di ′ r r dj ′ r r
= ω × i ′,
i ′ = j ′ = 1 = const ⇒
= ω × j′
dt
dt
rr = irx + rj y
r′ r′ ′ r′ ′
r =i x + jy
r
v
d
r
d
v
r
r
v0 = 0 , a 0 = 0
dt
dt
r r dx r dy
d
r
r
=i
+ j
v=
dt
dt
dt
r ′ r dx′ r dy ′
r
δ
rv ′ =
=i′
+ j′
dt
dt
δt
r przyspieszenie
d
v
zmierzone w
av =
dt układzie Oxy
v ′ przyspieszenie
δ
v
av ′ =
zmierzone w
δt układzie Ox’y’
Transformacja prędkości
v drr drr′
d
r
rv = rr0 + rr′ ⇒ vr =
= 0+
dt dt
dt
r
r
r
′
′
′
′
r
r
r
r
dr
d
dx
dy   di
dj ′ 

= (i ′x′ + j ′y′) = 
+ y′ 
i′+
j ′  +  x′
dt dt
dt   dt
dt 
 dt
r
drr′ δrr′ r r
δrr′ r r
+ω × r′
=
+ ω × (i ′x′ + j ′y′) =
dt
δt
δt
vv = vv0 + vv′ + ωr × rr′
Widać, Ŝe podobny związek obowiązuje dla dowolnego wektora u’
duv′ δur′ r r
dvr′ δvr′ r r
=
+ ω × u′ ⇒
=
+ ω × v′
dt
dt
δt
δt
ωr = 0 ⇒ vr = vr0 + vr′
transformacja Galileusza
(dodawanie prędkości)
Transformacja przyspieszenia
r
r
r
r
′
r
r
r r r
r
r dv dv0 dv 
dr ′ 
v = v0 + v ′ + (ω × r ′) ⇒ a =
=
+
+  ω

{ ×
r
dt dt dt  ω =const dt 
r
r
r
r
dv dv0 δv ′ r r  r δr ′ r r 
=
+  + (ω × v ′) + ω ×  + (ω × r ′)
dt dt  δt

 δt

r r r r r r r r r
r r r
r r r
r r r
2r
′
′
′
(
)
(
)
(
)
A× B × C = B A ⋅ C − C A ⋅ B ⇒ ω × ω × r = ω ω ⋅ r
− r ω ⋅ ω = −ω r ′
1
424
3
123
r r
=0, bo ω ⊥r ′
= ω2
r r
r r
r r
r
2r
′
′
′
a = a0 + [a + (ω × v )] + (ω × v ) − ω r ′
r r
r r r
2r
′
′
a = a0 + a − ω r + 2(ω × v ′)
(
) (
) ( )
[
r
r
ad = −ω 2 r ′
r
r r
aC = 2(ω × v ′)
]
przyspieszenie dośrodkowe
przyspieszenie Coriolisa