Zadanie 1A. 1. Niech G be

II kolokwium z algebry, 8 stycznia, 2013
Nazwisko prowadza,cego ćwiczenia:
Imie, i Nazwisko:
nr albumu:
Zadanie 1A.
1. Niech G be,dzie grupa, przemienna, rze,du 2 · 33 · 52 . Zakladamy, że liczba podgrup rze,du 3 w grupie
G jest równa 1 i że w grupie G istnieje element rze,du 50. Jaka to grupa (przedstawić ja, w postaci
produktu p – grup cyklicznych)? Odpowiedź uzasadnić.
2. Niech H be,dzie grupa, przemienna, zadana, przez generatory i relacje:
hx, y, w, z | x + 4w + 2z = 0, 2x + 9y − w + 4z = 0, 4x + w + 8z = 0i.
Jaka to grupa (przedstawić ja, w postaci produktu p – grup cyklicznych)?
Zadanie 2A. Znaleźć liczbe, homomorfizmów A4 → D18 ×Z3 , gdzie D18 jest grupa, izomerii dziewie,cioka,ta
foremnego. Odpowiedź uzasadnić.
Zadanie 3A.
1. Niech K E G i |K| = 2. Pokazać, że K 6 Z(G).
2. Niech p be,dzie najmniejsza, liczba, pierwsza, dziela,ca, rza,d skończonej grupy G. Niech K EG i |K| = p.
Pokazać, że K 6 Z(G).
Zadanie 4A.
1. Niech ϕ : R → P be,dzie homomorfizmem pierścieni. Pokazać, że jeżeli I / P jest idealem pierwszym,
to ϕ−1 (I) jest idealem pierwszym pierścienia R.
2. Wskazać liczbe, idealów maksymalnych pierścienia Z2 [X]/((x + 1)2 ). Odpowiedź uzasadnić.
3. Wykazać, że jeżeli I / R jest idealem pierwszym i R/I jest pierścieniem skończonym, to I jest idealem
maksymalnym.
4. Sformulować twierdzenie chińskie o resztach. Uzasadnić, że pierścienie Z5 [X]/((x − 2)(x − 3)) i
Z5 [X]/((x + 1)(x + 4)) sa, izomorficzne.