numeryczna analiza efektów mechanicznych korozji

Transkrypt

mgr inż. Piotr Pluciński
NUMERYCZNA ANALIZA
EFEKTÓW MECHANICZNYCH
KOROZJI STALI ZBROJENIOWEJ
W BETONIE
Praca doktorska
promotor:
prof. zw. dr hab. inż. Czesław Cichoń
kwiecień 2008
Autor składa serdeczne podziękowania
prof.zw. dr hab. inż. Czesławowi Cichoniowi za
cierpliwość i pomoc udzieloną podczas tworzenia pracy oraz pracownikom Instytutu Technologii Informatycznych w Inżynierii Lądowej za
cenne uwagi w trakcie pisania pracy
Spis treści
Spis treści
3
Spis oznaczeń
5
Rozdział 1. Wstęp
1.1. Sformułowanie celu i zakresu pracy . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Przegląd literatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
12
Rozdział 2. Mechaniczne skutki korozji stali zbrojeniowej
2.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Elektrochemiczny proces korozji zbrojenia . . . . . . . .
2.3. Oszacowanie produktu korozji . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Przyrost objętości produktu korozji . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
18
18
18
20
22
.
.
.
.
.
.
25
25
25
29
30
34
35
Rozdział 3. Model matematyczny
3.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Przemieszczenia i odkształcenia . . .
3.3. Naprężenia . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Równania konstytutywne . . . . . . .
3.5. Płaski stan odkształcenia . . . . . . .
3.6. Przyrostowa zasada prac wirtualnych
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Rozdział 4. Model numeryczny skończenie elementowy
4.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Dyskretyzacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Przyrostowy układ równań MES . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Modele uproszczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Metoda uśrednionej dylatacji B . . . . . . . . . . . .
4.4.2. Linearyzacja równań geometrycznych . . . . . . . . .
4.4.3. Linearyzacja równań geometrycznych i przyjęcie D(εe ) =
const . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
37
37
40
42
42
43
43
Spis treści
4.5. Procedury numeryczne i algorytm rozwiązania . . . . . . . .
4.5.1. Procedura opisu przemiany fazowej stali zbrojeniowej
4.5.2. Określenie linii brzegowej nieskorodowanego pręta zbrojeniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3. Całkowanie numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.4. Algorytm rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
44
44
47
48
49
Rozdział 5. Przykłady
5.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Dobór kwadratury numerycznego całkowania . . . . . . . . .
5.3. Pierścień grubościenny obciążony ciśnieniem wewnętrznym .
5.4. Analiza procesu równomiernego korodowania zbrojenia zlokalizowanego w środku przekroju poprzecznego płyty . . . . .
5.4.1. Płyta bez obciążenia zewnętrznego . . . . . . . . . .
5.4.2. Obciążenie równomierne płyty . . . . . . . . . . . . .
5.4.3. Obciążenie nierównomierne płyty . . . . . . . . . . .
5.5. Analiza wpływu lokalizacji zbrojenia i grubości otuliny na
proces równomiernego korodowania . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1. Zbrojenie zlokalizowane w środku przekroju poprzecznego płyty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2. Zbrojenie zlokalizowane na brzegu przekroju poprzecznego płyty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Analiza wpływu szerokości strefy przejściowej produktu korozji dla procesu równomiernego korodowania zbrojenia w środku przekroju poprzecznego płyty . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Analiza procesu korozji wżerowej zbrojenia zlokalizowanego
w przęśle płyty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8. Porównanie otrzymanych rezultatów z wynikami znanymi z literatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
54
56
61
Rozdział 6. Inicjacja rysy i jej propagacja
6.1. Określenie czasu do inicjacji rysy w betonie otaczającym pręt
zbrojeniowy tp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Propagacja rysy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Rozdział 7. Zakończenie
7.1. Podsumowanie wyników i oryginalne elementy pracy . . . . .
7.2. Kierunki rozwoju tematu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
89
90
Dodatek A. Kwadratura numerycznego całkowania
92
66
68
70
72
74
74
75
78
79
82
86
88
Spis treści
Dodatek B. Wygładzanie naprężeń
5
94
Dodatek C. Opis programu komputerowego
95
C.1. Struktura programu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
C.2. Przygotowanie danych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
C.3. Wyniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Literatura
103
Spis oznaczeń
∇X
∇X
Aeε
BeL
BeL,vol
e
BL
BeL,dev
BeNL
C
D
E
Er
Es
E sr
Ea
Eao
e
∆∗ e
∆∗ e
∆∗ ee
dr
— gradient ze względu na współrzędne przestrzenne Xi ;
— gradient ze względu na współrzędne materialne Xi ;
— aksjator tensora przyrostów odkształceń Greena–Lagrange’a dla
materiałów nieściśliwych z uwzględnieniem odkształcenia objętościowego εv ;
— liniowa macierz pochodnych funkcji kształtu dla ES;
— objętościowa część liniowej macierzy pochodnych funkcji kształtu dla ES;
— uśredniona objętościowa część liniowej macierzy pochodnych
funkcji kształtu dla ES;
— postaciowa część liniowej macierzy pochodnych funkcji kształtu
dla ES;
— liniowo-nieliniowa macierz pochodnych funkcji kształtu dla ES;
— prawy tensor deformacji Cauchy’ego–Greena;
— tensor konstytutywny/macierz związków konstytutywnych dla
materiału liniowo sprężystego;
— moduł Younga;
— moduł Younga dla rdzy;
— moduł Younga dla stali;
— moduł Younga dla korodującej stali;
— potencjał porowatego betonu tuż przy granicy ze stalą (V);
— potencjał, dla którego występuje równowaga na anodzie (V);
— liniowa część tensora odkształceń Greena–Lagrange’a wyznaczonego we współrzędnych materialnych (Xi );
— liniowa część tensora przyrostów odkształceń Greena–
Lagrange’a;
— liniowa część tensora przyrostów odkształceń Greena–Lagrange’a
dla materiałów nieściśliwych;
— wektor przyrostów odkształceń liniowych dla ES;
— szerokość całkowitego obszaru rdzy i korodującego produktu korozji;
Spis oznaczeń
7
— szerokość strefy przejściowej produktu korozji z liniowo zmiennymi wielkościami E i ν;
∆dr
— szerokość obszaru zajmowanego przez rdzę, rozumianą jako końcowy produkt korozji o własnościach materiału prawie nieściśliwego;
D, D(εe ) — macierz związków konstytutywnych materiału liniowo sprężystego;
Deε
— dewiator tensora przyrostów odkształceń Greena–Lagrange’a dla
materiałów nieściśliwych z uwzględnieniem odkształcenia objętościowego εv ;
Dσ
— dewiator tensora naprężenia Cauchy’ego;
∆D(εe ) — przyrost macierzy związków konstytutywnych D(εe);
F
— stała Faraday’a (=96486.7 C/mol);
ft
— wytrzymałość betonu na rozciąganie;
e
F
— wektor obciążenia dla ES;
e
∆F
— wektor przyrostu sił węzłowych dla ES;
F
— tensor gradientu deformacji;
b
F
— składowa dylatacyjna tensora gradientu deformacji;
e
F
— składowa objętościowa tensora gradientu deformacji;
F
— tensor gradientu deformacji dla materiałów nieściśliwych;
∗
∆F
— tensor przyrostów gradientu deformacji;
∗
∆F
— tensor przyrostów gradientu deformacji dla materiałów nieściśliwych;
G
— moduł zmiany postaci Kirchhoffa;
∆G
— względna zmiana modułu Kirchhoffa w procesie przemiany fazowej;
I
— tensor jednostkowy, macierz jednostkowa;
ia
— gęstość prądu powstałego na skutek wędrówki jonów żelaza
(A/m2 );
ioa
— gęstość prądu wymiany dla rozpuszczonych jonów żelaza (A/m2 );
Jfh
— ilość wytworzonego produktu korozji Fe(OH)2 na anodzie
(kg/(m2 s));
Jr
— ilość wytworzonego produktu korozji Fe(OH)3 na anodzie
(kg/(m2 s));
Kr
— moduł zmiany objętości dla rdzy;
s
K
— moduł zmiany objętości dla stali;
e
KL
— liniowa macierz sztywności dla ES;
e
KT
— macierz sztywności stycznej dla ES;
e
Kσ
— macierz sztywności początkowych naprężeń dla ES;
mr
— masa powstałej równomiernej rdzy na jednostkę długości zbrojenia (kg/m);
dsf
Spis oznaczeń
8
— masą stali skonsumowanej w procesie korozji na jednostkę długości zbrojenia (kg/m);
M
— marker materiałowy;
e
N
— macierz funkcji kształtu dla ES;
n
— wektor zero-jedynkowy, n = {1 1 1 0 0 0};
Pe
— wektor sił wewnętrznych dla ES;
e
Q
— wektor stopni swobody dla ES;
e
∆Q
— wektor przyrostów stopni swobody dla ES;
rs
— promień pręta zbrojeniowego;
e
R
— wektor residuum dla ES;
∆r
— ubytek promienia pręta zbrojeniowego dla jednego kroku przyrostowego;
∆R
— całkowity ubytek promienia pręta zbrojeniowego;
tp
— czas od momentu inicjacji korozji (s);
u
— wektor przemieszczeń w aktualnym N stanie równowagi Ω(N ) ;
u + ∆u — wektor przemieszczeń w sąsiednim N + 1 stanie równowagi
Ω(N +1) ;
ui
— składowe wektora przemieszczeń u w aktualnym stanie równowagi Ω(N ) ;
ui + ∆ui — składowe wektora przemieszczeń u+∆u w sąsiednim stanie równowagi Ω(N +1) ;
ue
— wektor przemieszczeń dla ES;
∆u
— wektor przyrostów przemieszczeń;
e
∆u
— wektor przyrostów przemieszczeń dla ES;
e
S
— macierz naprężeń dla problemu płaskiego stanu odkształcenia
dla ES;
Vs
— objętość stali skonsumowanej przez korozję na jednostkę długości
(m3 /m);
Xi
— składowe wektora współrzędnych punktu w początkowym stanie
równowagi Ω(0) ;
Xi
— składowe wektora współrzędnych punktu w aktualnym stanie
równowagi Ω(N ) ;
Yi
— składowe wektora współrzędnych punktu w przyrostowym stanie
równowagi Ω(N +1) ;
z
— wartościowość jonu wchodzącego w reakcje;
α
— parametr uwzględniający stopień nieściśliwości materiału względem tensora gradientu deformacji;
∗
α
— parametr uwzględniający stopień nieściśliwości materiału względem tensora przyrostu gradientu deformacji;
βa
— nachylenie krzywej Tafela dla reakcji na anodzie (V);
εv
— odkształcenie objętościowe od pęczniejącego produktu korozji;
e
εm
— odkształcenie średnie tensor odkształceń Greena–Lagrange’a;
ms
Spis oznaczeń
9
— tensor odkształceń Greena–Lagrange’a wyznaczony we współrzędnych materialnych (Xi );
e
ε
— tensor odkształceń Greena–Lagrange’a wyznaczony we współrzędnych materialnych (Xi ) z uwzględnieniem odkształcenia objętościowego εv ;
∆∗ ε
— zmodyfikowany tensor przyrostów odkształceń Greena–
Lagrange’a;
∗
∆ε
Lagrange’a dla materiałów nieściśliwych;
∗e
∆ε
Lagrange’a dla materiałów nieściśliwych z uwzględnieniem
odkształcenia objętościowego εv ;
∗b
∆ε
— dodatkowy składnik tensora przyrostów odkształceń Greena–
Lagrange’a występujący tylko w materiałach nieściśliwych;
η
— nieliniowa część tensora odkształceń Greena–Lagrange’a wyznaczonego we współrzędnych materialnych (Xi );
∗
∆η
— nieliniowa część tensora przyrostów odkształceń Greena–
Lagrange’a;
∗
∆η
— nieliniowa część tensora przyrostów odkształceń Greena–
Lagrange’a dla materiałów nieściśliwych;
θ
— współrzędna kątowa biegunowego układu współrzędnych o początku w środku pręta zbrojeniowego;
θo
— kąt źródła wżeru dla korozji wżerowej;
θS
— kąt szerokości wżeru dla korozji wżerowej;
ρr
— gęstość rdzy (kg/m3 );
ρs
— gęstość stali (kg/m3 );
ν
— liczba Poissona;
r
ν
— liczba Poissona dla rdzy;
s
ν
— liczba Poissona dla stali;
sr
ν
— liczba Poissona dla korodującej stali;
Γ
— macierz we wzorze definiującym dewiator wektora naprężeń w
płaskim stanie odkształcenia;
σ
— tensor naprężeń Cauchy’ego w punkcie P (N ) odniesiony do aktualnego stanu ΩN ;
σ + ∆σ — tensor naprężeń Cauchy’ego w punkcie P (N +1) odniesiony do
przyrostowego stanu ΩN +1 ;
σ +∆∗ σ — zmodyfikowany tensor naprężeń Pioli-Kirchhoffa;
Σ
— wektor całkowitych naprężeń uwzględniający efekty przemiany
fazowej stali w rdzę;
e
Σ
— wektor całkowitych naprężeń uwzględniający efekty przemiany
fazowej stali w rdzę dla ES;
ε
Rozdział 1
Wstęp
1.1.
Sformułowanie celu i zakresu pracy
Celem pracy jest opracowanie modelu matematycznego i modelu numerycznego do opisu efektów mechanicznych korozji stali zbrojeniowej w konstrukcjach żelbetowych. Korozja penetruje stal zbrojeniową zarówno w przekroju
poprzecznym jak i po długości pręta. W pierwszym przypadku wzrost objętości produktu korozji jest źródłem powstawania rys w betonie w płaszczyźnie
prostopadłej do zbrojenia, natomiast w drugim przypadku rysy podłużne
mogą być powodem odspajania się zbrojenia od otuliny betonowej. Proces
tworzenia się rys poprzecznych przebiega na ogół od zbrojenia ku powierzchni konstrukcji i rysa jest widoczna dopiero gdy osiąga ona powierzchnię, co
stwarza dodatkowe trudności w systematycznej ocenie stopnia bezpieczeństwa eksploatowanej konstrukcji. Rysy wewnętrzne są również niebezpieczne,
ponieważ ułatwiają transport czynników szkodliwych, przyspieszających korodowanie zbrojenia (np. chlorków w okresie zimowym) z otocznia do otuliny
betonowej.
Produkt korozji, czyli rdza, może mieć różny skład chemiczny z liczbą
Poissona ν ∼
= 0.499 i modułem Younga E ∼
= 12MPa [30] co oznacza, że jest
ona materiałem sprężystym, prawie nieściśliwym.
Praca ogranicza się do analizy skutków mechanicznych tworzenia się
i pęcznienia rdzy tylko w przekroju poprzecznym pręta zbrojeniowego, co
ogranicza rzeczywisty problem przestrzenny mechaniki do problemu płaskiego stanu odkształcenia. Rozważa się dwa typy korodowania przekroju
poprzecznego zbrojenia, a mianowicie korozję równomierną (ang. uniform
corrosion) i korozję wżerową (ang. pitting corrosion). Drugi sposób korodowania zbrojenia jest szczególnie trudny do mechanicznego opisu, ponieważ
brak jest w literaturze danych opisujących geometrię tworzącej się rdzy. Dla-
1.1. Sformułowanie celu i zakresu pracy
11
tego w pracy zaproponowano różne możliwe postaci propagowania się korozji
wżerowej, które powinny być zweryfikowane z wynikami badań doświadczalnych.
Efektem mechanicznym korozji zbrojenia jest wzrost naprężeń w betonie, aż do stanu przekroczenia w pewnym punkcie (lub w kilku punktach)
granicy wytrzymałości betonu na rozciąganie i w efekcie rozpoczęcie procesu propagacji rysy. Wymaga to śledzenia skutków procesu przemiany stali
w rdzę i jej pęcznienia. Powoduje to konieczność opisu zmiany obszarów
zajmowanych przez aktualny przekrój poprzeczny stali zbrojeniowej i rosnący produkt korozji w wytężonym betonie. Końcowym efektem analizy
jest opis stanu przemieszczeń i naprężeń w konstrukcji, a w szczególności
w skorodowanych częściach przekroju poprzecznego pręta zbrojeniowego ze
wskazaniem miejsc, w których rozpocznie się propagacja rys podstawowych
i drugorzędnych. Podane zostanie również oszacowanie czasu upływającego
od początku korozji zbrojenia do początku zarysowania się betonu.
Do rozwiązania tak sformułowanego zakresu pracy wykorzystano zaawansowaną teorię mechaniki ciała stałego, możliwości obliczeniowe metody
elementów skończonych (MES) oraz możliwości współczesnych narzędzi informatycznych. W pracy do opisu efektów mechanicznych przemiany stali
w rdzę, a następnie skutków przyrostu objętości rdzy wykorzystano metodę
przyrostową MES, bowiem rozwiązanie problemu wymaga ciągłego uaktualniania obszarów powiększającej się rdzy i zmniejszającego się przekroju
poprzecznego stali zbrojeniowej. W węzłach aktualnej siatki elementów skończonych zdeformowanej konstrukcji konieczne jest odtwarzanie historii efektów mechanicznych procesu korodowania, a mianowicie stanów przemieszczeń i naprężeń. W wyniku procesu korodowania w obszarach tych powstają
stany naprężeń, które można utożsamiać z naprężeniami własnymi. Udział
tych naprężeń w deformacji jest w analizie MES uwzględniany przez macierz
wstępnych naprężeń. Ten fakt był argumentem za przyjęciem sformułowania
przyrostowego MES w tzw. uaktualnionym opisie Lagrange’a.
Model numeryczny początkowo zaimplementowano do systemu OCTAVE 2.1 [14], w którym napisano własne procedury. System ten okazał się
mało efektywny, gdyż nie zwalniał pamięci komputera po skończonych krokach przyrostowych, co uniemożliwiało kontynuowanie obliczeń. Procedury następnie zaimplementowano do OCTAVE 2.9 pozbawionego tej wady.
Ostatecznie jednak wszystkie własne procedury wprowadzono do systemu
MATLAB [43], którego dodatkową zaletą było znaczne przyspieszenie wykonywanych obliczeń.
Do budowania siatek skończenie elementowych wykorzystano program
ANSYS [6]. Przedstawione w pracy wyniki w formie graficznej wykonano
1.1. Sformułowanie celu i zakresu pracy
12
przy użyciu pakietu GNUPLOT [49] i PLOTMTV [15].
Zdaniem autora, prezentowana praca może być uważana za istotne dopełnienie rozwiązania ogólnego problemu korodowania stali zbrojeniowej, w którym w sposób systematyczny rozważone zostały, rys. 1.1:
– chemo–mechaniczne przyczyny powstawania źródeł korozji w pręcie
zbrojeniowym (praca doktorska P. Romanowskiego [38]),
– skutki rozwoju tej korozji wyrażające się określeniem miejsca ewentualnego powstania rysy i czasu upływającego od początku korodowania
stali zbrojeniowej do zainicjowania rysy (przedstawiana praca doktorska),
– efekty propagacji rysy w otulinie betonowej (praca doktorska J. Jaśkowca [18]).
próg korozji
zbrojenia
stopień
korozji
zbrojenia
początek
powstania
rys
dopuszczalny
poziom korozji
lub odspojenia
otuliny
pęknięcia
czas
korozja zbrojenia
obniżenie własności pasywacyjnych,
penetracja agresywnych jonów
inicjacja
propagacja
okres eksploatacji konstrukcji
Rys.1.1. Model określający czas bezpiecznego użytkowania konstrukcji [44]
Praca składa się z siedmiu rozdziałów, spisu literatury i trzech dodatków.
W rozdziale pierwszym - po sformułowaniu celu i zakresu pracy - omówiono wybrane pozycje literatury, związane z tematyką pracy. Rozdział drugi jest wprowadzeniem do teorii procesów elektrochemicznych powstawania
1.2. Przegląd literatury
13
korozji stali zbrojeniowej w konstrukcjach żelbetowych. Wykorzystując dane z literatury przytoczono pewne formuły chemiczne opisujące ten proces,
w szczególności tworzenia się tzw. czerwonej rdzy, powszechnie uważanej za
podstawowy typ rdzy tworzącej się na stali zbrojeniowej. Podano tam również wzory do obliczenia przyrostów odkształcenia objętościowego na skutek pęcznienia produktu korozji. W rozdziale trzecim sformułowano model
matematyczny, który wykorzystano do rozwiązania problemu skutków mechanicznych dla konstrukcji żelbetowej, wynikających z narastania produktu
korozji stali zbrojeniowej i jego pęcznienia. Modelem tym jest sformułowana
w wielkościach przyrostowych zasada prac wirtualnych wraz z odpowiednimi
równaniami geometrycznymi i konstytutywnymi. Równania modelu matematycznego są w pracy rozwiązywane numerycznie. W tym celu, w rozdziale czwartym opracowano stosowny model numeryczny analizy, wykorzystując metodę elementów skończonych w sformułowaniu przemieszczeniowym.
Ten model numeryczny został oprogramowany w systemie MATLAB. System ten wykorzystano do wykonania wszystkich przykładów zamieszczonych
w rozdziale piątym. Z uwagi na złożoność analizowanych przykładów wyniki
obliczeń przedstawione są w formie graficznej, łatwiejszej do oceny jakości rozwiązania. Efektywność modelu numerycznego i opracowanych na tej
podstawie procedur była sprawdzana na wielu przykładach i tylko wybrane
z nich są zamieszczone w pracy.
Przedostatni, krótki rozdział szósty dotyczy tematyki wykraczającej poza
podstawowy zakres pracy i wskazuje na możliwość określenia czasu upływającego od początku tworzenia się rdzy do chwili inicjacji rysy w określonym
punkcie na obwodzie skorodowanego przekroju poprzecznego stali zbrojeniowej. Wskazano też na możliwości obliczeniowe analizy propagacji rysy
w otulinie stali zbrojeniowej.
W ostatnim rozdziale podsumowano wyniki pracy, opisano oryginalne
elementy pracy oraz wskazano na możliwe kierunki rozwoju tematu.
W dodatku A zamieszczono informację na temat wag i punktów numerycznego całkowania dla kwadratur Gaussa-Legendre’a i Lobatto różnych
stopni. Dodatek B opisuje metodę wygładzania naprężeń metodą ZienkiewiczaZhu. Dodatek C poświęcony jest opisowi autorskiego programu komputerowego.
1.2.
Przegląd literatury
Korozja stali zbrojeniowej może być skutkiem wielu czynników, w tym złej
jakości zarówno stali jak i betonu. Jeżeli czynnikiem powodującym korodo-
14
wanie jest substancja chemiczna wówczas występuje korozja chemiczna lub
elektrochemiczna, przy czym w drugim typie korozji reakcjom chemicznym
towarzyszy przepływ prądu. Przyczyną wyżej wymienionych typów korozji są przede wszystkim karbonatyzacja betonu i/lub transport chlorków.
Karbonatyzacja jest procesem chemicznym, efektem którego jest spadek odczynu pH betonu, od wartości około 12.6 do około 8.0. Powoduje to, że stal
zbrojeniowa ulega depasywacji. W obecności wilgoci i tlenu prowadzi to do
korozji stali zbrojeniowej. Podobnie, kiedy stężenie chlorków rozpuszczonych
w cieczy porowej osiągnie wartość krytyczną, następuje uszkodzenie warstewek pasywnych na powierzchni stali zbrojeniowej, co również jest źródłem
inicjacji i propagacji korozji. W przypadku karbonatyzacji betonu, zabezpieczenie trwałości konstrukcji polega na doborze takiej grubości otuliny, aby
w okresie jej użytkowania głębokość karbonatyzacji nie osiągnęła zbrojenia
[38].
Przyczyną korozji mogą być również mikroorganizmy zwłaszcza bakterie
produkujące kwasy (organiczne i mineralne), bakterie redukujące siarczany
i bakterie utleniające jony manganu i/lub żelaza [12]. Produkty biokorozji
metali różnią się znacząco od produktu korozji chemicznej. O ile produkty
korozji chemicznej tworzą równomierną zwartą warstwę ściśle przylegającą do powierzchni metalu to produkt biokorozji ma postać guzków, narośli
lub nierównomiernej warstwy osadów korozyjnych o luźnej strukturze, łatwo
oddzielających się od powierzchni metalu.
Mikroorganizmy mogą mieć również wpływ na procesy elektrochemiczne. Obecność tlenu lub jego brak w środowisku powoduje, że rozwijają się
w nim mikroorganizmy aerobowe (tlenowce) lub anaerobowe (beztlenowce).
W przypadku korozji żelaza oraz jego stopów proces anodowy prowadzi do
uwolnienia jonów żelaza do roztworu. W warunkach tlenowych jony te są
utleniane przez aerobowe bakterie żelazowe. Ich obecność może doprowadzić
do powstania korozji w formie gruzełkowatych narośli oraz osadów i guzków.
Aktywność metaboliczna tlenowców oraz przebieg procesów elektrochemicznych i chemicznych prowadzą do zużycia tlenu pod warswą narośli, gdzie
tworzą się korzystne warunki dla rozwoju beztlenowców, które stymulują
przebieg korozji wżerowej i są przyczyną powstawania siarczkowych produktów korozji.
Problem mechanicznych skutków korodowania stali zbrojeniowej był tematem wielu prac naukowych. Znakomita większość poświęcona jest korozji
równomiernej. Niektóre z nich prowadzące do bardziej ogólnych wniosków
zostaną obecnie krótko omówione. Inne, bardziej szczegółowe prace będą
cytowane w odpowiednich częściach pracy. R. Tepfers [42] do analizy stanu naprężeń w betonie wykorzystał rozwiązania liniowej teorii sprężystości
15
dla pierścienia grubościennego poddanego działaniu ciśnienia wewnętrznego (metoda ta znana jest w literaturze pod angielską nazwą concrete ring
model ). Taki sposób analizy był na przykład wykorzystany przez B. Martı́n–
Pérez w pracy doktorskiej [31], w której również zastosowano metodę elementów skończonych do opisu propagacji rysy. W pracy H.J. Daghera i S. Kulendrana [13] rozważane były możliwe mechaniczne postaci zniszczeń betonowej
konstrukcji na skutek pęczniejących produktów korozji i zaproponowano pewien model numeryczny analizy. Wykorzystując teorię rys rozmytych opracowano program MES, w którym danymi do obliczeń jest aktualna geometria
skorodowanego zbrojenia. Jednakże autorzy nie precyzują jak tę geometrię
zbudować.
W pracy [21] T. Krykowski analizuje powłoki betonowe z uwzględnieniem
korozji zbrojenia wykorzystując teorię mieszanin. Zaprezentowany model numeryczny uwzględnia opis sprężysto–plastycznego zniszczenia oraz proces
transportu masy.
Wymienione prace zajmują sie analizowaniem rys poprzecznych w konstrukcjach żelbetowych. Jak już wspomniano, skutkiem korozji zbrojenia jest
również powstanie rys podłużnych, powodujących odspajanie się zbrojenia
od betonu wzdłuż długości prętów zbrojeniowych, rys.1.2.
Pręt zbrojeniowy
Beton
Rysy
Rys.1.2. Typowe korozyjne ścieżki pęknięć na powierzchni betonu zbrojonego [25]
Problem interakcji rys poprzecznych z rysami podłużnymi był rozważany w serii prac K. Lungren [26–28], gdzie przyjęto, że rdza zachowuje
się jak materiał granulowany ze sztywnością wzrastającą wraz ze wzrostem
naprężeń. Wykorzystując metodę elementów skończonych z elementami interfejsowymi wyznaczone były wielkości naprężeń krytycznych i odkształceń
głównych, dla których ma miejsce inicjacja rysy. W pracy R.E. Weyersa [48]
opisane są wyniki eksperymentów, które wykorzystano do opracowania pół
empirycznych wzorów służących do obliczenia czasów do zarysowania się
otuliny zbrojenia. Zaobserwowano tworzenie się rys na powierzchni próbek,
16
przede wszystkim wzdłuż zbrojenia, a w mniejszym stopniu rys pomiędzy
zbrojeniem. Zaproponowano również proste wzory na obliczenie ilości rdzy
potrzebnych do wypełnienia porów w betonie wokół pręta zbrojeniowego,
a następnie do zainicjowania rysy.
W pracach K. Tuutti’ego [44] i Rasheeduzzafara [37] cały okres korodowania stali zbrojeniowej podzielony jest na etapy:
– czas inicjacji korodowania, w którym występuje na styku stali i betonu
dyfuzja agresywnych substancji aktywujących proces korozji,
– czas propagacji – czas między początkiem korozji a końcem użytkowalności lub zniszczeniem struktury konstrukcji.
Czas inicjacji zależy od dyfuzji chlorków i tlenku węgla oraz temperatury,
natomiast czas propagacji zależy od przepływu tlenu, wartości temperatury,
oporności betonu, szerokości otuliny i jej jakości, średnicy i rozstawu zbrojenia, wilgotności i wytrzymałości betonu na rozciąganie.
Problemem czasu użytkowania konstrukcji żelbetowej zajęli się również
C. Andrade i in. [5]. Na podstawie eksperymentów zaproponowali wzór na
zmniejszenie się średnicy pręta zbrojeniowego. Wnioski ich badań prowadzą do stwierdzeń, że beton może pękać nawet przy niewielkim zmniejszeniu
się powierzchni przekroju poprzecznego zbrojenia, a szerokość rysy wzrasta
powoli aż do wartości granicznej 0.3 mm. Pojawienie się rysy w skarbonatyzowanym betonie nie powoduje wzrostu intensywności korozji i związana
z tym utrata powierzchni zbrojenia nie ma znaczącego wpływu na graniczny
stan nośności. Dlatego też graniczna wartość rozwarcia rysy była w tej pracy
przyjmowana do określenia czasu granicznego użytkowania konstrukcji.
Podobnie, w pracy T. Vidala i in. [45] można znaleźć wyniki eksperymentów i zaproponowany wzór na utratę średnicy pręta zbrojeniowego. Stwierdzono, że inicjacja rysy zależy od stosunku w/c (wody/cementu) i od średnicy
pręta zbrojeniowego, i ponad to jakość stali jak i betonu też mają wpływ na
inicjację rysy. Jednakże stosunek w/c jak i średnica pręta zbrojeniowego nie
mają już wpływu na samą propagację rysy.
Również G.J. Al-Sulaimani i in. [2] eksperymentowali z rozciąganą i zginaną belką. Pierwszy eksperyment służył do symulacji lokalnej korozji, natomiast drugi do wyznaczenia równomiernej korozji wokół pręta zbrojeniowego. Cały proces podzielono na cztery stany: bez korozji, przed zarysowaniem,
z propagacją rysy oraz po zarysowaniu. Stwierdzono, że ciśnienie wywołane wzrostem objętości korozji powoduje pęknięcia wzdłuż prętów zbrojeniowych. Ilość korozji potrzebnej do powstania rysy w betonie o stosunku
wody do cementu w/c = 0.5 i o otulinie równej 25 mm z trzech stron to
17
ok. 0.5÷1.9 % całej objętości pręta przed korozją. Im stosunek w/c jest
większy tym procent ten jest większy.
W pracy A.A. Almusallama [3] przedstawiono wyniki eksperymentów dotyczących wpływu stopnia skorodowania prętów zbrojeniowych na własności
mechaniczne próbek żelbetowych.
Przytoczona literatura rozwija tematykę, którą można wiązać z zakresem prezentowanej pracy. Przede wszystkim dominują prace doświadczalne, w których autorzy proponują różne wzory o charakterze empirycznym.
Rozważania teoretyczne są ograniczone poprzez wykorzystanie rozwiązań liniowej teorii sprężystości, a zastosowane modele numeryczne wykorzystują
przede wszystkim metodę elementów skończonych z liniową mechaniką pękania.
Problem korozji stali dla konstrukcji żelbetowych zawarty w przepisach
normowych został w pełny, a zarazem syntetyczny sposób omówiony w referacie A. Ajdukiewicza przedstawionym na konferencji naukowej „Krynica
2007” [1] oraz wcześniej w monografii Z. Ściślewskiego [40]. Jak stwierdzono
w [1] „podstawowy problem trwałości w konstrukcjach żelbetowych dotyczy
korozji zbrojenia”.
W normie projektowania konstrukcji żelbetowych [32] przyjęto, że grubość otuliny zbrojenia jest sumą minimalnej grubości otuliny z uwagi na
trwałość i pewnej dodatkowej odchyłki grubości otuliny, ustalonej w załączniku krajowym do normy i zależnej od dokładności wykonania. Problemy
określenia modeli przydatnych w ocenie zjawisk związanych z trwałością
i przygotowaniem podstaw do normalizacji projektowania konstrukcji betonowych z uwagi na okres użytkowania są przedmiotem normy wzorcowej
projektowania na okres użytkowania (ang. Model Code for Service Life Design -MC SLD) [33].
Stosownie do MC SLD element żelbetowy narażony na wpływ karbonatyzacji betonu spełnia wymagania trwałości jeśli zachodzi nierówność
ad − xc,d (TSL ) 0
(1.1)
gdzie:
ad – obliczeniowa grubość otulenia,
xc,d (TSL ) – analitycznie obliczana wartość głębokości karbonatyzacji
w okresie projektowanego okresu użytkowania TSL .
W praktyce poważniejszym zagrożeniem dla trwałości konstrukcji żelbetowej niż karbonatyzacja betonu jest transport chlorków w betonie. Jeżeli beton jest całkowicie nasycony wodą, chlorki przenikają przez otulinę
18
zbrojenia w wyniku dyfuzji. W betonie częściowo zawilgoconym migracja
chlorków ma miejsce również poprzez konwekcję. Jednak zawsze bardziej
niebezpieczny jest transport chlorków w betonie w wyniku dyfuzji. W takim
przypadku istotnym jest określenie współczynnika dyfuzji D. W ogólnym
przypadku, jeśli brak jest wyników pomiaru dla konkretnego betonu, można
skorzystać z wprowadzonej do normy MC SLD szybkiej metody badania migracji chlorków w betonie (ang. Rapid Chloride Migration Method - RCM ).
Dla kompletności opisu skutków transportu chlorków konieczna jest również
znajomość poziomu chlorków na powierzchni poziomu tzw. wolnych chlorków
na styku betonu i stali oraz długość okresu przenikania.
Podobnie jak w przypadku odporności na karbonatyzację, skuteczną ochroną stali zbrojeniowej uzyskuje się poprzez przyjęcie wymaganej grubości otuliny betonowej. Bardzo przydatne są pomocnicze wykresy zależności przewidywanej zawartości chlorków od odległości od początku betonu [34].
Podsumowując można stwierdzić, że projektując nową konstrukcję żelbetową dysponujemy skutecznymi metodami zabezpieczenia stali zbrojeniowej
przed korozją, której skutkiem byłoby zarysowanie betonu i obniżenie okresu
użytkowania konstrukcji. Problem opisu skutków mechanicznych niszczącego działania korozji jest jednak ciągle aktualny, jeśli przedmiotem oceny jest
trwałość konstrukcji istniejącej. Powszechne stosowanie środków do odladzania jezdni jest powodem przyspieszonego niszczenia mostów, wiaduktów,
tuneli lub podziemnych garaży. Innym, nawet groźniejszym przykładem, są
konstrukcje z betonu, na które oddziałują chlorki poprzez bezpośredni kontakt wody morskiej z konstrukcją.
Rozdział 2
Mechaniczne skutki korozji
stali zbrojeniowej
2.1.
Wstęp
W tym rozdziale, wykorzystując literaturę, opisano proces elektrochemiczny
powstawania korozji stali zbrojeniowej oraz przytoczono wzory konieczne dla
oszacowania ilości rdzy, będącej produktem korozji. Przyjęto, że produktem
tym będzie tzw. czerwona rdza. W końcu sformułowano ogólny wzór (dla
korozji równomiernej i wżerowej) dla obliczenia przyrostu odkształcenia objętościowego, będącego skutkiem wzrostu objętości produktu korozji.
2.2.
Elektrochemiczny proces korozji zbrojenia
Proces korozji zbrojenia w betonie jest procesem elektrochemicznym, w którym na granicy pomiędzy betonem a stalą zbrojeniową wyróżnia się katodę
i anodę, rys.2.1.
Wpływ na zapoczątkowanie korozji mają swobodne przemieszczające się
elektrony poprzez połączenie anody i katody metalicznym przewodnikiem
(stal zbrojeniowa) oraz przemieszczające się jony żelaza poprzez elektrolit
(porowaty beton). Różnica potencjałów powodująca inicjację korozji występuje na skutek różnicy koncentracji jonów obecnych w porowatym betonie
wzdłuż styku betonu ze stalą. Wywołuje ona w anodzie zjawisko utlenienia
ujęte zależnością
Fe → Fe2+ + 2e−
2.2. Elektrochemiczny proces korozji zbrojenia
Anoda
Fe → Fe2+ + 2e−
Katoda
O2 + 2H2 O + 4e− → 4OH−
Fe2+
Stal
20
OH−
O2 , H2 O
e−
Beton
Fe2+ + 2OH− → Fe(OH)2
Rys.2.1. Proces elektrochemiczny [31]
Uwolnione w ten sposób elektrony przechodzą poprzez zbrojenie do katody. W normalnym środowisku, gdzie beton ma odczyn alkaliczny i gdzie
jest dostęp tlenu reakcja redukcji na katodzie ma postać
O2 + 2H2 O + 4e− → 4OH−
Aby powyższa reakcja wystąpiła musi być wysoka wilgotność i duże stężenie tlenu.
Jony wodorotlenowe uwolnione w reakcji redukcji na katodzie wędrują pod wpływem pola elektrycznego w kierunku elektrody, gdzie wchodzą
w reakcje z jonami żelaza
Fe2+ + 2OH− → Fe(OH)2
W środowisku gdzie jest duży napływ tlenu wodorotlenek żelaza może
ulegać dalszemu utlenianiu przez co powstaje nowy produkt korozji. Transformacji z jednego produktu korozji w drugi produkt towarzyszy wzrost objętości. W zależności od stopnia utlenienia objętość ta może wzrosnąć nawet
sześciokrotnie, rys.2.2.
Wzrostowi produktu korozji towarzyszy wzrost naprężeń rozciągających
co prowadzi do pęknięć i zarysowań otuliny betonowej po przekroczeniu
wytrzymałości betonu na rozciąganie.
W świeżym betonie roztwór w porach ma odczyn zasadowy o wartości
pH=12.5–13.0, co powoduje, że na stali tworzą się nierozpuszczalne tlenki np. Fe2 O3 wywołujące stan pasywny. Tlenki te skutecznie zabezpieczają
metal przed korozją. Wnikanie do betonu kwaśnych składników prowadzi
do obniżenia odczynu zasadowego i przy mniejszych wartościach pH do powstawania rozpuszczalnych składników co świadczy o stanie aktywnym (korozyjnym) zbrojenia. Takim kwaśnym składnikiem mogą być chlorki [38].
2.3. Oszacowanie produktu korozji
21
Fe
FeO
Fe3 O4
Fe2 O
Fe(OH)2
Fe(OH)3
Fe(OH)3 3H2 O
0
2
4
Objętość
6
8
Rys.2.2. Porównanie objętości różnych produktów korozji [39]
Jednakże ich wpływ nie jest do końca dobrze zbadany. Przyjmuje się, że
chlorek żelaza FeCl2 powstający z reakcji wolnych jonów żelaza i chloru
(Fe2+ + 2Cl− → FeCl2 ) zachodzi w reakcję z cząstkami wody i tlenu
4FeCl2 + O2 + 6H2 O → 4FeOOH + 8HCl
powodując powstanie jednego z produktów korozji jakim jest związek FeOOH.
2.3.
Oszacowanie produktu korozji
W pracy przyjęto, że podstawowym produktem korozji jest tzw. czerwona rdza (ang. red rust) Fe(OH)3 . Do oszacowania ilości produktu korozji
wykorzystano wzory podane w pracy Martı́n–Pérez [31].
Równanie kinetyczne Butler–Volmer’a opisujące równowagę potencjałów
na anodzie i na katodzie ma postać

gdzie:

Ea − Eao

ia = ioa exp 2.3
βa
[A/m2 ]
(2.1)
ia – gęstość prądu powstałego na skutek wędrówki jonów żelaza (A/m2 ),
ioa – gęstość prądu wymiany dla rozpuszczonych jonów żelaza (A/m2 )
(oszacowana w [20] na 3.75 · 10−4 ),
2.3. Oszacowanie produktu korozji
22
Ea – potencjał porowatego betonu tuż przy granicy ze stalą (V),
Eao – potencjał, dla którego występuje równowaga na anodzie (V),
βa – nachylenie tzw. krzywej Tafela dla reakcji na anodzie (V).
Mając dane ia można obliczyć ilość wytworzonego produktu korozji Fe(OH)2
na anodzie ze wzoru
Jfh =
ia
zF
(2.2)
gdzie:
z – wartościowość jonu wchodzącego w reakcje (dla Fe(OH)2 z=2),
F – stała Faraday’a (=96486.7 C/mol).
Wykorzystując fakt, że waga jednego mola Fe(OH)2 wynosi 89.845 g/mol
powyższy wzór można zapisać w formie
Jfh =
ia
· 0.089845 = 4.656 · 10−7 ia
2 · 96486.7
[kg/(m2 s)]
(2.3)
W wyniku dalszego utleniania rdzy ma miejsce reakcja
4Fe(OH)2 + O2 + 2H2 O → 4Fe(OH)3
w wyniku której tworzy się nowy produkt korozji Fe(OH)3 . Znając ilość
produktu Fe(OH)2 oraz wartość masy jednego mola Fe(OH)3 równą 106.45
g/mol wyliczono ilość rdzy Fe(OH)3 (Jr ), [8] i wynosi ona
Jr =
106.845
Jfh = 1.189Jfh = 5.536 · 10−7ia
89.845
[kg/(m2 s)]
(2.4)
Masę powstałej równomiernej rdzy na jednostkę długości zbrojenia obliczyć można ze wzoru
mr = 2Jr tp πrs
[kg/m]
(2.5)
gdzie:
tp – czas od momentu inicjacji korozji (s),
rs – promień pręta zbrojeniowego (m).
Powyższy wzór zostanie wykorzystany w p.6.1 do oszacowania czasu
upływającego od początku procesu korodowania stali zbrojeniowej do chwili
zarysowania otuliny betonowej.
2.4. Przyrost objętości produktu korozji
2.4.
23
Przyrost objętości produktu korozji
W mechanice klasycznej zakłada się zachowanie masy, to jest stałość masy
ciała materialnego w każdej chwili czasowej. W mechanice ośrodków ciągłych
zakłada się ponadto, że masa jest ciągłą funkcją objętości. Prawo całkowe
zachowania masy określa wzór [16]
Z
V
N
ρ(x)dV =
Z
V
ρo dV
(2.6)
o
gdzie obie całki są rozciągnięte na te same cząsteczki ciała zawarte w V o jak
i po deformacji V N , a ρo i ρ(x) są gęstościami ciała materialnego odpowiednio
przed i po deformacji.
Dodatkowym założeniem dla wzoru (2.6) jest, że rozważany ośrodek ciągły jest chemicznie obojętny, czyli nie ma miejsca kreowanie się masy pod
dowolną postacią. Założenie to w procesie korozji zbrojenia nie jest spełnione. Na skutek bowiem reakcji elektrochemicznych na styku zbrojenia z betonem ma miejsce przemiana fazowa stali w rdzę, z dodatkowym efektem
jej pęcznienia. Efekt ten jest uwzględniany przez przyjęcie odpowiednich
gęstości stali i rdzy. Natomiast opisanie efektów mechanicznych przemiany
fazowej jest trudne i wymaga rozważenia bilansu masy.
W O. Cousy [11] rozważana jest deformacja ośrodka porowatego jako
układu zamkniętego spowodowana łącznym działaniem czynników mechanicznych i fizyko–chemicznych. Wymagało to sformułowania prawa zachowania masy dla przypadku, kiedy jeden składnik ośrodka może być w dwóch
różnych stanach, nazwanych fazami i fazy te mogą występować jednocześnie
w tej samej objętości ośrodka. W takim przypadku formowane są na poziomie mikro różniczkowe równania zachowania masy dla każdej fazy uwzględniające przyrosty (lub ubytki) masy uformowanej w rezultacie przemiany fazowej. Dopiero łączne rozważenie całkowego i różniczkowego równania spełnia prawo zachowania masy. Przypadek korodowania stali zbrojeniowej jest
jeszcze bardziej skomplikowany, ponieważ ma on miejsce w układzie otwartym z dopływem czynników zewnętrznych jak tlen, chlorki itp.
Powszechnie akceptowanym uproszczeniem jest przyjęcie, że przyrost masy na skutek reakcji chemicznej nie jest dowolny, bowiem musi uwzględniać
stosunek masy molowej związków chemicznych jakim są składniki przemiany fazowej. W pracy Z. Bažanta [8] wyznaczona została zależność pomiędzy
masą rdzy mr i masą stali skonsumowanej w procesie korozji ms (na jednostkę długości pręta zbrojeniowego) ze stosunków mas molowych żelaza
i hydratyzowanej czerwonej rdzy i wynosi ona
24
MFe
55.847 [g/mol]
ms
=
=
= 0.523
mr MFe(0H)3
55.847 + 3 · (15.999 + 1.0079) [g/mol]
(2.7)
co prowadzi do wzoru
ms = 0.523 mr
(2.8)
Wzrost objętości ∆V przy założeniu równomiernego rozkładania się produktu korozji wokół pręta zbrojeniowego, rys.2.3, obliczyć można ze wzoru
∆V =
mr ms
−
ρr
ρs
(2.9)
gdzie
ρs – gęstość stali (7.85 · 103 kg/m3 ).
początkowy
przekrój
nieskorodowana
stal
powiększenie objętości
produktu korozji
dr
rs
∆r
penetracja
korozji
Rys.2.3. Wzrost objętości od powstającego produktu korozji [4]
Gęstość rdzy ρr jest określana w różny sposób. Z. Bažant [8] podaje, że
ρs
dla czerwonej rdzy ρr = , co prowadzi do wartości ρr =1.96 · 103 kg/m3 .
4
Natomiast w pracy Y. Liu, R.E. Weyers [25] podana została gęstość dla
pewnej mieszanki rdzy Fe(OH)2 i Fe(OH)3 o wartości ρr =3.60 · 103 kg/m3 .
W pracy przyjęto gęstość czerwonej rdzy z chemicznej bazy danych [7]
jako wartość ρr =3.32 · 103 kg/m3 .
Równanie (2.9) pozwala zapisać wzór na odkształcenie objętościowe εv
w postaci


1 mr ms
∆V

∆εv =
=  −
V
V ρr
ρs
(2.10)
25
gdzie V = πrs2 jest objętością nieskorodowanego przekroju poprzecznego na
jednostkę długości (m3 /m=m2 ).
Po uwzględnieniu równania (2.8) w (2.10) otrzymamy wzór


1 ms
ρs
3.521 ms

∆εv =
− 1 =
V ρs 0.523ρr
πrs2 ρs
(2.11)
Na podstawie znajomości geometrii przekroju poprzecznego stali, w której zachodzą reakcje chemiczne od korozji w przekroju poprzecznym możemy
zapisać zależność
ms
(2.12)
= Vs = π rs2 − (rs − ∆r)2
ρs
gdzie:
Vs – objętość stali skonsumowanej przez korozję na jednostkę długości,
∆r – przyrost grubości skorodowanego pierścienia.
Podstawiając następnie (2.12) do (2.10) otrzymamy równanie wiążące ze
sobą wielkości εv i ∆r w formie


2 
 ∆r  ∆r  
∆εv = 3.521 2
−

rs
rs
(2.13)
Powyższe wzory są słuszne dla przypadku równomiernej korozji ∆r =
const. po całym obwodzie przekroju poprzecznego pręta zbrojeniowego. Jeżeli wzór (2.10) zapiszemy dla wycinka koła o kącie środkowym dθ otrzymamy formalnie to samo równanie (2.13) z tą różnicą, że tym razem ∆r i rs będą
funkcjami kąta θ - współrzędnej kątowej biegunowego układu współrzędnych
o początku w środku pręta zbrojeniowego
∆εv (θ) =

2 
 ∆r(θ)  ∆r(θ) 
3.521 2
−

rs (θ)

rs (θ)
(2.14)
W ten sposób otrzymano ogólną zależność pomiędzy ubytkiem przekroju
poprzecznego pręta zbrojeniowego na skutek korozji, a odkształceniem objętościowym wywołanym przez pęcznienie produktu korozji. Korzystanie z tego wzoru wymaga znajomość ubytku promienia pręta zbrojeniowego w zależności od współrzędnej kątowej układu biegunowego θ. Metodę numeryczną
wyznaczania tego ubytku opisano w p.4.5.2.
Rozdział 3
Model matematyczny
3.1.
Wstęp
W rozdziale tym sformułowano model matematyczny analizowanego procesu uwzględniający pęcznienie korozji pręta zbrojeniowego. Wyprowadzono
przyrostową zasadę prac wirtualnych wraz z odpowiednimi równaniami geometrycznymi i konstytutywnymi.
Jednoznaczność opisu spowodowała konieczność wprowadzenia dodatkowych oznaczeń przy definiowaniu tensorów (lub wektorów) naprężeń i odkształceń oraz tensorów (lub macierzy) konstytutywnych materiału:
• w formie gwiazdki „ ⋄∗ ” dla uaktualnionego opisu Lagrange’a,
• nadkreślenia „ ⋄ ” przy opisie nieściśliwości materiału,
• tyldy „ ⋄e ” przy uwzględnieniu dystorsji odkształceniowych.
3.2.
Przemieszczenia i odkształcenia
Przyjmiemy, że konstrukcja w procesie jej obciążania znajduje się w kolejnych stanach równowagi Ω(i) , i = 0, 1, . . . , I, gdzie Ω(0) jest stanem początkowym, a Ω(I) stanem końcowym. Przez Ω(N ) oznaczymy ostatni znany stan
równowagi, a przez Ω(N +1) bliski mu, sąsiedni stan równowagi podlegający
wyznaczeniu. Położenie dowolnego punktu materialnego w stanach Ω(0) , Ω(N )
i Ω(N +1) oznaczymy przez P (0) , P (N ) i P (N +1) . Współrzędne tych punktów
równe odpowiednio Xi , Xi , Yi (i = 1, 2, 3) definiujemy w jednym ustalonym
układzie współrzędnych prostokątnych.
3.2. Przemieszczenia i odkształcenia
27
X3 , X3 , Y3
Ω(0)
Ω(N )
Ω(N +1)
P (N )
∆u
P (0) u
P (N +1)
r(0)
r(N )
r(N +1)
X2 , X2 , Y2
0
X1 , X1 , Y1
Rys.3.1. Stany równowagi: początkowy Ω(0) , aktualny Ω(N ) i sąsiedni Ω(N +1)
Na podstawie rys.3.1 możemy napisać wzory
Xi = Xi + ui
(3.1a)
Yi = Xi + ui + ∆ui = Xi + ∆ui
(3.1b)
gdzie:
ui – składowe wektora przemieszczeń u w stanie Ω(N ) ,
ui + ∆ui – składowe wektora przemieszczeń u + ∆u w stanie Ω(N +1) .
Tensor gradientu deformacji wyraża się wzorem
F=
∂X
= I + ∇X u
∂X
(3.2)
gdzie:
∇X – gradient we współrzędnych materialnych Xi ,
I – tensor jednostkowy.
Definiując tzw. prawy tensor deformacji Cauchy’ego–Greena,
C = FT F
(3.3)
28
tensor odkształceń Greena–Lagrange’a wyznaczony we współrzędnych materialnych (Xi ) obliczymy ze wzoru
ε=
1
(C − I)
2
(3.4)
Wykorzystując teraz (3.3) w (3.4) otrzymamy wzór
ε=
gdzie
1
(∇X u)T + ∇X u + (∇X u)T ∇X u = e + η
2
(3.5)
1
(∇X u)T + ∇X u
2
(3.6)
e=
jest częścią liniową oraz
1
η = (∇X u)T ∇X u
(3.7)
2
jest częścią nieliniową tensora ε. Górny indeks T jest oznaczeniem transpozycji.
Postępując analogicznie jak dla wielkości całkowitych, możemy wyprowadzić wzór na tensor przyrostu odkształceń w (N + 1) kroku (czyli pomiędzy
stanami Ω(N ) i Ω(N +1) ), przyjmując stan równowagi Ω(N ) za stan początkowy
czyli w funkcji współrzędnych przestrzennych (Xi ).
Tensor przyrostów gradientu deformacji ma wówczas postać
∆∗ F =
∂Y
= I + ∇X (∆u)
∂X
(3.8)
gdzie:
∆u – wektor przyrostów przemieszczeń,
∇X – gradient po współrzędnych przestrzennych Xi .
W ten sposób dochodzimy do tzw. zmodyfikowanego tensora przyrostów
odkształceń Greena–Lagrange’a w formie
∆∗ ε = ∆∗ e + ∆∗ η
(3.9)
gdzie części: liniową i nieliniową tensora odkształcenia wyrażają wzory
i
1h
(∇X (∆u))T + ∇X (∆u)
2
1
∆∗ η = (∇X (∆u))T · ∇X (∆u)
2
∆∗ e =
(3.10)
(3.11)
29
Takie postępowanie jest właściwe dla zastosowanego w pracy uaktualnionego
opisu Lagrange’a [46].
Rozważając materiały nieściśliwe lub prawie nieściśliwe jakim jest rdza,
koniecznym jest oddzielenie części objętościowej od części dylatacyjnej deformacji. Separacja taka umożliwia uwzględnienie braku wpływu składowych
b na zmianę objętości [9]. Mając na uwadze fakt, że
dylatacyjnych tensora F
b
wyznacznik gradientu deformacji wyraża zmianę objętości, wyznacznik F
musi spełniać warunek
b =1
det F
(3.12)
b wyrazimy za pomocą wzoru
Warunek ten jest spełniony jeśli F
1
b = J 3F
F
(3.13)
eF
b
F=F
(3.14)
b
∼b
F
apr = F
(3.15)
gdzie J = det F.
W ten sposób gradient deformacji F może być przedstawiony poprzez
e = J 31 I i dylatacyjne F
b jako
składowe objętościowe F
Uwzględnienie w analizie konstrukcji własności nieściśliwości materiału
i nieliniowości równań geometrycznych powoduje, że problem staje się nieliniowy i jego rozwiązanie może być uzyskane tylko na drodze przyrostowo
iteracyjnej. W takim postępowaniu można założyć, że w kolejnych krokach
iteracji spełniony będzie w przybliżeniu warunek
Powyższe równanie można zapisać w postaci [41]
1
1
Θ− 3 F = J − 3 (I + ∇X u)
(3.16)
gdzie:
Θ – niezależny parametr podlegający wyznaczeniu,
F – zmodyfikowany tensor gradientu deformacji.
W ten sposób, opisując materiał jakim jest rdza, wykorzystywać będziemy tensor gradientu deformacji w zmodyfikowanej formie
F = α (I + ∇X u)
(3.17)
gdzie α jest parametrem obliczanym ze wzoru
α=
v
u
u
3 Θ
t
J
(3.18)
3.3. Naprężenia
30
Przez analogię przyjmiemy, że tensor przyrostów gradientu deformacji
wyrażony przez wzór (3.8) ulegnie modyfikacji do postaci
∆∗ F = α (I + ∇X (∆u))
∗
(3.19)
w którym to przypadku parametr α jest obliczany z uwzględnieniem wzoru
J ∗ = det ∆∗ F
Wykorzystując powyższą zależność zmodyfikowany tensor przyrostów
odkształcenia Greena–Lagrange’a przyjmie postać
∗
∆∗ ε = ∆∗ e + ∆∗ η + ∆∗ εb
(3.20)
gdzie oprócz części liniowej i nieliniowej tensora, występuje dodatkowo składnik ∆∗ εb
i
1 ∗2 h
∗2
(3.21)
∆∗ e = α (∇X (∆u))T + ∇X (∆u) = α ∆∗ e
2
1 ∗2
∗2
∆∗ η = α (∇X (∆u))T · ∇X (∆u) = α ∆∗ η
(3.22)
2
1 ∗2
∆∗ εb = (α − 1)I
(3.23)
2
Należy zauważyć, że jeśli we wzorach (3.19)–(3.23) podstawimy α = 1 to
wzory te przyjmą formę taką jak dla materiałów ściśliwych. Dlatego w dalszym ciągu dla uproszczenia i zachowania jednolitości zapisów będziemy
przyjmować zapis w tej ogólniejszej formie zakładając, że każdy z rozważanych materiałów jest nieściśliwy.
∗
3.3.
Naprężenia
Stan naprężeń w punkcie P (N +1) odniesiony do konfiguracji Ω(N +1) jest zdefiniowany przez tensor naprężeń Cauchy’ego, który można zapisać w postaci
sumy tensorów
σ + ∆σ
(3.24)
gdzie σ jest tensorem naprężeń Cauchy’ego w punkcie P (N ) odniesiony do
stanu ΩN .
W uaktualnionym opisie Lagrange’a tensor naprężeń (3.24) wyraża się
poprzez zmodyfikowany tensor naprężeń Pioli–Kirchhoffa w formie
σ + ∆∗ σ
(3.25)
Pomiędzy tensorami naprężeń (3.24) i (3.25) zachodzi relacja [46]
σ + ∆σ =
1 ∗
∆ F · (σ + ∆∗ σ) · (∆∗ F)T
J∗
(3.26)
3.4. Równania konstytutywne
3.4.
31
Równania konstytutywne
W pracy przyjęto, że skutkiem mechanicznym procesu korodowania stali
zbrojeniowej jest liniowa zmiana modułu Younga E i liczby Poissona ν, od
wartości charakterystycznych dla stali do wartości odpowiadających w pełni materiałowi nieściśliwemu (końcowemu produktowi korozji). Ten proces
korodowania stali zbrojeniowej będziemy też nazywali przemianą fazową.
Na rys.3.2 pokazano obszary zajmowane przez beton, rdzę, korodującą stal
i stal nieskorodowaną. Przez ∆dr oznaczono szerokość obszaru zajmowanego
przez rdzę, rozumianą jako końcowy produkt korozji o własnościach materiału prawie nieściśliwego; dsf jest daną wejściową w analizie i określa szerokość
obszaru, w którym produkt korozji ma liniowo zmieniające się parametry
materiałowe (aktywnie korodująca stal) i w końcu dr oznacza szerokość całkowitego obszaru rdzy i korodującego produktu korozji.
rdza – końcowy produkt korozji o własnościach materiału prawie nieściśliwego
początkowy
brzeg stali
zbrojeniowej
beton (b)
∆dr
dr
dsf
strefa przejściowa produktu korozji z liniowo
zmiennymi wielkościami E i ν
stal (s)
rs
aktualny
brzeg stali
zbrojeniowej
Rys.3.2. Model korodowania stali zbrojeniowej
Opisaną zmianę modułu Younga i liczby Poissona w procesie korodowania stali zbrojeniowej przedstawiono na rys.3.3. Przez E s i E r oznaczono
moduły Younga dla stali i rdzy (ostatecznego produktu korozji), a ν s i ν r są
oznaczeniami liczby Poissona dla tych materiałów.
32
E sr
Es
Er
ν sr
r
νr
νs
rs + dsf
rs
r
Rys.3.3. Zmiana parametrów materiałowych dla korodującej stali zbrojeniowej
(indeksy: s – stal, r – rdza)
Zależności pokazane na rys.3.3 opisują wzory
E sr =

















Es
Es +
Er
νs
ν sr =  ν s +



 r
ν
dla r ¬ rs
r − rs r
E dla rs < r ¬ rs + dsf
dsf
dla r > rs + dsf
(3.27)
dla r ¬ rs
r − rs r
ν dla rs < r ¬ rs + dsf
dsf
dla r > rs + dsf
(3.28)
gdzie r jest współrzędną promieniową rozważanego punktu materialnego
względem środka przekroju kołowego zbrojenia, a rs określa brzeg nieskorodowanego zbrojenia.
Równania konstytutywne dla betonu i stali w ustalonej chwili procesu
korozji są równaniami liniowej teorii sprężystości Hooke’a w postaci
σ m = D : εm
gdzie:
D – tensor konstytutywny materiału liniowo sprężystego,
m=b lub s – indeks odpowiednio dla betonu i stali.
(3.29)
33
W strefie przejściowej aktywnie korodującego zbrojenia równanie Hooke’a należy uzupełnić o składnik pochodzący od dystorsji odkształceniowej
εv wyrażającej wzrost objętości korodującej stali, co prowadzi do równania
w którym
σ sr = D : εesr
(3.30)
εesr = εsr − εv I
(3.31)
W dalszym ciągu przyjęto, że procesy elektrochemiczne w strefie końcowego produktu korozji ∆dr są ustalone z warunkiem ∆εv = 0.
W literaturze [30] przyjmuje się moduł Younga dla rdzy równy E r =
12 kPa. Liczbę Poissona można wówczas wyznaczyć z warunku równości
modułów zmiany objętości dla stali i rdzy otrzymując
K s = K r −→
Es
Er
=
−→ ν r = 0.4999
3(1 − 2ν s ) 3(1 − 2ν r )
(3.32)
przy założeniu że E s = 210 GPa i ν s = 0.3.
W dalszym ciągu, mając na uwadze późniejszą dyskretyzację skończenie
elementową problemu, stosować będziemy notację macierzową. Równania
konstytutywne (3.29) i (3.30) zapiszemy jednym wspólnym wzorem w postaci
σ = D(ε − εv n) = Dεe
(3.33)
z warunkiem, że εv = 0 dla betonu i stali oraz z oznaczeniami
σ – wektor naprężeń σ = {σ11 σ22 σ33 σ23 σ13 σ12 }1 ,
ε – wektor odkształceń ε = {ε11 ε22 ε33 2ε23 2ε13 2ε12 },
D – macierz konstytutywna materiału liniowo sprężystego,
n – wektor zerojedynkowy, n = {1 1 1 0 0 0}.
Zgodnie z wcześniejszymi uwagami macierz D w strefie przemiany fazowej stali jest skokowo zmienna i zależy od aktualnych wartości E sr i ν sr co
podkreślimy przez zapis D(εe ). Fakt ten, dla przypadku jednowymiarowego,
zilustrowano na rys.3.4.
Na rys.3.4 A-A1 i B-B1 opisują dystorsyjną zmianę stanu naprężenia
w rozważanym punkcie w rezultacie przemiany fazowej stali pomiędzy kolejnymi chwilami czasowymi. Konsekwencją tego jest przyjęcie następującej
1
Przez {. . .} oznaczono wektor kolumnowy.
34
D (N −1) (εe)
σ
D (N ) (εe)
A
B
D (N +1) (εe)
A1
B1
∆∗ εe
εe
e) dla strefy aktywnie koroRys.3.4. Interpretacja jednowymiarowa macierzy D(ε
dującej stali
postaci równania konstytutywnego (3.33) w formie przyrostowej w uaktualnionym opisie Lagrange’a
∆∗ σ ∼
= D(εe)∆∗ εe + ∆D(εe )εe = ∆∗ σ 1 + ∆σ 2
(3.34)
gdzie ∆D(εe ) jest przyrostem macierzy konstytutywnej D(εe ).
Przyrost wektora naprężeń ∆σ 2 obliczymy ze wzoru
∆σ 2 = D(N +1) − D(N ) εe
(3.35)
Rozkładając teraz wektor odkształceń εe na część dewiatorową i aksjatorową (εe = Deε + Aeε ) otrzymamy wzór
∆σ 2 = 2G(N +1) Deε + 3K (N +1) Aeε − 2G(N ) Deε + 3K (N ) Aeε
= 2 G(N +1) − G(N ) Deε + 3 K (N +1) − K (N ) Aeε
gdzie dewiator wektora odkształceń wynosi
Deε = εe − εem n
(3.36)
(3.37)
oraz G jest modułem zmiany postaci Kirchhoffa (G = E/2(1+ν)). Odkształ1
cenie średnie wynosi εem = (εe11 + εe22 + εe33 ), a aksjator wektora odkształceń
3
ma postać
Aeε = εem n
(3.38)
3.5. Płaski stan odkształcenia
35
Wykorzystując wcześniejsze założenie o równości modułów zmiany objętości dla stali i rdzy K (N +1) = K (N ) wzór (3.36) przyjmie formę




G(N +1)
G(N +1)
(N )



− 1 G Deε = 2
− 1 Dσ = ∆G Dσ
∆σ 2 = 2
G(N )
G(N )
(3.39)
gdzie Dσ jest dewiatorem naprężenia, a ∆G wyraża względną zmianę modułu Kirchhoffa w procesie przemiany fazowej.
Wykorzystując (3.39) w (3.34) końcowy wzór na wektor przyrostu naprężeń przyjmie formę
∆∗ σ = D(εe)∆∗ εe + ∆G Dσ
(3.40)
∆∗ εe = ∆∗ e + ∆∗ η + ∆∗ εb − ∆εv n
(3.41)
gdzie wektor przyrostów odkształceń ∆∗ εe ma postać
3.5.
Płaski stan odkształcenia
W pracy rozważano problem płaskiego stanu odkształcenia. W takim przypadku wektor naprężeń ma postać
σ = {σ11 σ22 σ12 }
(3.42a)
εe = {εe11 εe22 2εe12 }
(3.42b)
σ33 = ν(σ11 + σ22 )
(3.43)
a wektor odkształceń
Postać dewiatora wektora naprężeń w płaskim stanie odkształcenia wyprowadzimy wykorzystując odwrotne równanie Hooke’a, które dla warunku
εe 33 = 0 prowadzi do zależności
Dewiator wektora naprężeń obliczymy z definicji




σ
1
1
 11 





−
Dσ = 
(1
+
ν)(σ
+
σ
)
11
22  1 
 σ22 
3
σ12
0
(3.44)
i możemy go formalnie zapisać jako wektor
Dσ = Γσ
(3.45)
w którym macierz Γ ma postać


2−ν
−(1 + ν) 0
1


Γ =  −(1 + ν)
2−ν
0 

3
0
0
3
(3.46)
3.6.
36
Przyrostowa zasada prac wirtualnych
Macierzowe równanie przyrostowej zasady prac wirtualnych w uaktualnionym opisie Lagrange’a dla stanu równowagi w konfiguracji (N +1) ma postać
Z
V
N
T
(δ εe) (σ + ∆ σ)dV −
∗
Z
(δ∆u)T (f + ∆f)dS = 0
(3.47a)
SσN
gdzie przyjęto oznaczenia, że wektor naprężeń σ ≡ σ (N ) , wektor intensywności sił powierzchniowych f ≡ f (N ) oraz pominięto siły masowe. Do równania
(3.47a) należy dołączyć stosowne podstawowe (kinematyczne) warunki brzegowe w formie
u = u0 na SuN
(3.47b)
gdzie u0 jest znanym stanem przemieszczeń konstrukcji w konfiguracji równowagi (N), na części brzegu SuN (SuN ∪ SσN = S, SuN ∩ SσN = ⊘).
W równaniu (3.47a) wykorzystamy zlinearyzowane równanie fizyczne
(3.40) w formie
∆∗ σ = D(εe) (∆∗ e + ∆∗ εb − ∆εv n) + ∆G Γσ
(3.48)
δ∆∗ εe = δ∆∗ e + δ∆∗ η
(3.49)
oraz wzór na wariację przyrostu wektora odkształceń
Podstawiając następnie wzory (3.48) i (3.49) do równania (3.47a) otrzymamy następujące przyrostowe równanie zasady prac wirtualnych
Z
VN
(δ∆∗ e)T D(εe)∆∗ e dV +
+
Z
VN
Z
(δ∆∗ η)T Σ dV +
VN
(δ∆∗ e)T Σ dV −
Z
(δ∆u)T (f + ∆f) dS = 0 (3.50)
SσN
gdzie wykorzystując (3.45) zdefiniowano nowy wektor całkowitych naprężeń
Σ = (I + ∆GΓ)σ + D(εe )(∆∗ εb − ∆εv n)
(3.51)
Równanie wariacyjne w formie (3.50) ma ogólny charakter umożliwiający
konsystentny opis mechanicznych skutków korozji stali zbrojeniowej w konstrukcji betonowej, spełniającej warunki płaskiego stanu odkształcenia. Całkowita deformacja konstrukcji jest skutkiem obciążenia mechanicznego części SσN powierzchni konstrukcji oraz korozji stali zbrojeniowej i związanego
z tym pęcznienia produktu korozji. Należy zauważyć, że drugi składnik wzoru (3.51) na wektor całkowitych naprężeń Σ uwzględnia efekt nieściśliwości
37
produktu korozji w obszarze jego występowania (∆∗ εb ) oraz obciążenia dystorsją odkształceniową (∆εv ) będącą skutkiem jego pęcznienia.
Przyrostowa zasada prac wirtualnych (3.50) wraz z przyrostowymi równaniami geometrycznymi typu (3.20) i przyrostowymi równaniami konstytutywnymi (3.40) stanowi model matematyczny problemu rozważanego w pracy.
Rozdział 4
Model numeryczny skończenie
elementowy
4.1.
Wstęp
W rozdziale tym sformułowano model numeryczny wykorzystujący metodę elementów skończonych w sformułowaniu przemieszczeniowym. Opisany
został użyty w pracy czterowęzłowy izoparameryczny element skończony.
Zaprezentowano przyrostowy układ równań MES. Zaproponowano możliwe
sposoby uproszczenia zagadnienia. W końcu opisano opracowane procedury
numeryczne i algorytm rozwiązania.
4.2.
Dyskretyzacja
Równania modelu matematycznego będziemy rozwiązywać numerycznie metodą elementów skończonych (MES) w sformułowaniu przemieszczeniowym.
Rozwiązanie aproksymacyjne otrzymamy dyskretyzując konstrukcję wraz
z obszarem obejmującym stal zbrojeniową i rdzę czworobocznymi izoparametrycznymi elementami czterowęzłowymi. Na rys.4.1 pokazano element
skończony wraz z numeracją węzłów i stopni swobody.
W szczególnym przypadku, gdy w wyniku dyskretyzacji otrzymamy element trójkątny wystarczy w równaniach funkcji kształtu zrównać dwa węzły
i wstawić te same współrzędne [17], rys.4.2.
Wektor stopni swobody elementu skończonego i wektor ich przyrostów
mają formę
Qe = {Qe1 Qe2 Qe3 Qe4 Qe5 Qe6 Qe7 Qe8 }
∆Q =
e
{∆Qe1
∆Qe2
∆Qe3
∆Qe4
∆Qe5
∆Qe6
(4.1a)
∆Qe7
∆Qe8 }
(4.1b)
4.2. Dyskretyzacja
39
X = Nξ
y
(-1,1)
x4 , y4
η
Q8
(1,1)
Q7
4
3
Q1 1
2
x3 , y3
Q6
Q5
ξ
x1 , y1
(-1,-1)
x2 , y2
(1,-1)
Q2
Q3
Q4
x
Rys.4.1. Element skończony czterowęzłowy
4
3
3=4
1
2
1
2
Rys.4.2. Element skończony trójwęzłowy
Odpowiednio wektor sił węzłowych i wektor ich przyrostów przyjęto jako
Fe = {F1e F2e F3e F4e F5e F6e F7e F8e }
∆F =
e
{∆F1e
∆F2e
∆F3e
∆F4e
∆F5e
∆F6e
(4.2a)
∆F7e
∆F8e }
(4.2b)
Funkcje kształtu w układzie współrzędnych (ξ, η) przedstawione na rys.4.3
wynoszą
1
(1 − ξ)(1 − η)
4
1
N2e (ξ, η) = (1 + ξ)(1 − η)
4
1
N3e (ξ, η) = (1 + ξ)(1 + η)
4
1
N4e (ξ, η) = (1 − ξ)(1 + η)
4
(4.3a)
N1e (ξ, η) =
(4.3b)
(4.3c)
(4.3d)
i tworzą macierz funkcji kształtu w formie
N =
e
"
N1e 0 · · · N4e 0
0 N1e · · · 0 N4e
#
(4.4)
4.2. Dyskretyzacja
40
N2 (ξ, η)
N1 (ξ, η)
0.96
0.96
0.84
0.84
0.72
0.72
0.6
1
0.6
1
0.48
0.48
1
1
0.36
0.36
0.24
0
0
0.12
0.24
0
−1
0
0.12
−1
0
N η
0
N η
0
0
−1
−1
1
ξ
1
ξ
N3 (ξ, η)
N4 (ξ, η)
0.96
0.96
0.84
0.84
0.72
0.72
0.6
1
0.6
1
0.48
0.48
1
1
0.36
0.36
0.24
0
0
0.12
−1
0.24
0
0
0.12
−1
0
N η
0
N η
0
0
−1
ξ
1
−1
ξ
1
Rys.4.3. Funkcje kształtu dla elementu czterowęzłowego
4.3. Przyrostowy układ równań MES
41
Z kolei aproksymacja przemieszczeń i ich przyrostów wyrażona jest przez
wzory
"
u =
e
"
∆u =
e
4.3.
ux
uy
#e
∆ux
∆uy
= Ne (ξ, η) Qe
#e
(4.5a)
= Ne (ξ, η) ∆Qe
(4.5b)
Przyrostowy układ równań MES
Wykorzystując wzory (4.5b) w równaniach na wektory przyrostów odkształceń liniowych ∆∗ e (3.21) otrzymamy dla elementu skończonego e
∗2
∆∗ ee = α BeL ∆Qe
(4.6)
gdzie macierz BeL ma postać

∂N1e

 ∂X
1







BeL = 
∂N4e
···
∂X1
0
0
∂N1e
∂N4e
···
0
∂X2
∂X2
∂N1e
∂N4e ∂N4e
···
∂X1
∂X2 ∂X1
0
∂N1e
∂X2
Definiując liniową macierz sztywności KeL wzorem
KeL =
Z
V Ne











(4.7)
∗4
α (BeL )T De (εee )BeL dV e
(4.8)
pierwszą całkę w równania (3.50) możemy napisać w formie
Z
V Ne
(δ∆∗ ee )T De (εe e )∆∗ ee dV e = (δ∆Qe )T KeL ∆Qe
(4.9)
Drugą całkę z (3.50) możemy formalnie zapisać jako
Z
(δ∆∗ η e )T Σe dV e = (δ∆Qe )T Keσ ∆Qe
(4.10)
V Ne
Macierz Σe , stosownie do wzoru (3.51) i po wykorzystaniu równania (3.23)
w wersji wektorowej dana jest wzorem


1 ∗2
Σ = (I + ∆G Γ)σ + D (ε )  (α − 1) − ∆εev  n
2
e
e
e
e
ee
(4.11)
4.3. Przyrostowy układ równań MES
42
a macierz sztywności początkowych naprężeń Keσ ma postać
Keσ =
Z
∗2
α (BeNL )T Se BeNL dV e
(4.12)
V Ne
Macierz naprężeń Se dla rozważanego problemu płaskiego stanu odkształcenia ma formę


Σ11 Σ12 0
0


 Σ12 Σ22
0
0 

(4.13)
Se = 

0 Σ11 Σ12 

 0
0
0 Σ12 Σ22
a macierz BeNL dana jest w postaci

BeNL
=















∂N1e
∂X1
∂N1e
∂X2
0
0
∂N4e
···
∂X1
∂N4e
···
∂X2
∂N1e
···
∂X1
∂N1e
···
∂X2
0
0
0
0
0
0
∂N4e
∂X1
∂N4e
∂X2
Trzecią całkę w równaniu (3.50) napiszemy w formie
Z
















(4.14)
(δ∆∗ ee )T Σe dV e = (δ∆Qe )T Pe
(4.15)
V Ne
w której Pe jest wektorem sił wewnętrznych obliczonym ze wzoru
P =
e
V
Z
∗2
α (BeL )T Σe dV e
(4.16)
Ne
W końcu ostatnią całkę z (3.50) wyrazimy wzorem
Z
(δ∆ue )T (f e + ∆f e )dS e = (δ∆Qe )T (Fe + ∆Fe )
(4.17)
SσNe
w którym wektor całkowitego obciążenia i jego przyrostu wynosi
F =
e
Z
(Ne )T f e dS e
(4.18a)
Z
(Ne )T ∆f e dS e
(4.18b)
SσNe
∆Fe =
SσNe
4.4. Modele uproszczone
43
Wykorzystując w (3.50) wzory (4.9), (4.10), (4.15) i (4.17) otrzymamy
przyrostowe równanie równowagi dla elementu skończonego e w postaci
(KeL + Keσ )∆Qe = Fe + ∆Fe − Pe
(4.19)
Oznaczając KeT = KeL + Keσ jako macierz sztywności stycznej elementu,
równanie (4.19) sprowadza się do postaci
KeT ∆Qe = ∆Fe + Re
(4.20)
gdzie dodatkowo oznaczono wektor residuum Re = Fe − Pe .
Dokonując standardowej agregacji elementów skończonych otrzymamy
następujący globalny układ równań przyrostowych MES
KT ∆Q = ∆F + R
(4.21)
w którym występują globalne macierze i wektory.
∗
W powyższych wzorach parametr α obliczano dla elementów skończonych
według wzoru:
v
v
∗
α=
u
uΘ
t
J∗
=
u
uJ∗
t
J∗
(4.22)
gdzie J ∗ , i J ∗ są wyznaczone odpowiednio w punktach zredukowanej i standardowej kwadratury w procecie numerycznego całkowania.
4.4.
Modele uproszczone
Problem opisany układem równań przyrostowych MES (4.21) można uprościć, wprowadzając dodatkowe założenia dotyczące sposobu uwzględnienia
nieściśliwości materiału, przyjętych równań geometrycznych i opisu procesu
rozwoju korozji
4.4.1.
Metoda uśrednionej dylatacji B
Metodę alternatywną numerycznego opisu materiału prawie nieściśliwego
w stosunku do sposobu opisanego w p.4.3 jest metoda znana pod nazwą
metody uśrednionej dylatacji (B), również zachowującej w pełni przemieszczeniowe sformułowanie metody elementów skończonych [17].
Idea metody B polega na rozdzieleniu liniowej macierzy pochodnych
funkcji kształtu BeL w każdym punkcie numerycznego całkowania na część
odpowiadającej deformacji objętościowej (aksjatorowej) i pozostałą część
związaną z deformacją postaciową (dewiatorową)
BeL = BeL,vol + BeL,dev
(4.23)
4.4. Modele uproszczone
44
Następnie dokonywane jest uśrednienie części objętościowej nazywane
uśrednioną dylatacją
1 Z e
e
BL ,vol = e BL,vol dAe
(4.24)
A e
A
które zastępuje oryginalne BeL,vol we wzorze (4.23). Stąd, dla każdego punktu
e
numerycznego całkowania wzór na macierz BL przyjmie postać
e
e
e
BL = BL,vol + BeL,dev = BL,vol + BeL − BeL,vol
(4.25)
gdzie dla i-tego węzła elementu (i=1,2,3,4) wykorzystywane są wzory:
BeL ,i,vol


N
Ni,y
1  i,x


=  Ni,x Ni,y 

2
0
0
N i,x =
R
Ae
e ,i
BL ,vol
Ni,x dAe
R
dAe
N
N i,y
1  i,x


=  N i,x N i,y 

2
0
0
N i,y =
Ae


R
Ae
Ni,y dAe
R
dAe
Ae
W ten sposób zachowując jednolitość całkowania BeL dla części dewiatorowej i objętościowej otrzymujemy ten sam efekt co przy całkowaniu selektywnym, co czyni metodę prostym i efektywnym narzędziem dla skończenie
elementowej analizy materiałów prawie nieściśliwych.
4.4.2.
Linearyzacja równań geometrycznych
W przypadku przyjęcia liniowych równań geometrycznych mamy
εe ≡ ee = e + εb − εv n
(4.26)
KL ∆Q = ∆F − R
(4.27)
co powoduje, że macierz sztywności początkowych naprężeń Kσ ≡ 0, a układ
równań przyrostowych MES (4.21) redukuje się do postaci
W realizacji numerycznej oznacza to skrócenie obliczeń na poziomie elementu skończonego kosztem wydłużenia procesu iteracji.
4.4.3.
Linearyzacja równań geometrycznych i przyjęe = const
cie D(ε)
W tym przypadku oznacza to nieuwzględnianie przemiany fazowej, oraz założenie, że obszar korodowania stali zbrojeniowej przyjmuje w całości cechy
4.5. Procedury numeryczne i algorytm rozwiązania
45
materiału nieściśliwego. Jest to klasyczny przykład dystorsji odkształceniowej w liniowej teorii sprężystości [35]. Równania przyrostowe możemy wówczas utożsamiać z równaniami dla wielkości całkowitych i mają one postać
KL Q = F − P
(4.28)
w którym F jest obciążeniem zewnętrznym, a efekt dystorsji zawarty jest
w wektorze P, który dla elementu skończonego obliczamy ze wzoru
Pe =
Z
BeL T De εv ndV e
(4.29)
V Ne
4.5.
Procedury numeryczne i algorytm rozwiązania
4.5.1.
Procedura opisu przemiany fazowej stali zbrojeniowej
Opisany w p.3.4 proces przemiany fazowej korodującej stali zbrojeniowej
realizowany jest w modelu numerycznym poprzez tzw. markery materiałowe
M przyjmujące wartości :
– 0¬M¬1
– dla stali,
– 1<M<2
– dla stali korodującej,
– M=2
– dla rdzy (Fe(OH)3 )
Dla kompletności przyjęto, że beton ma marker M = 3.
M
dsf
2
1
stal
strefa
rdza
przejściowa
Rys.4.4. Marker materiałowy M
r(θ)
46
Na rys.4.4 pokazano zależność markera materiałowego M od współrzędnej biegunowej r(θ) o początku układu w środku przekroju poprzecznego
pręta zbrojeniowego. Dla stali przyjęto liniową zależność M od r(θ) aby
łatwo można było zidentyfikować położenie dowolnego punktu w przekroju
nieskorodowanym względem granicy ze strefą przejściową.
M
dsf
2
l3
l2
1
l1
rsr (θ)
r(θ)
Rys.4.5. Markery materiałowe – różne chwile czasowe
Na rys.4.5 pokazano przykładowe wykresy odnoszące się do różnych chwil
czasowych procesu przemiany fazowej, a mianowicie: l1 – stal zbrojeniowa
bez korozji; l2 – stal zbrojeniowa korodująca (bez końcowego produktu korozji); l3 – stal zbrojeniowa korodująca wraz z ostatecznym produktem korozji
(rdzą) na grubości ∆dr . Wartość rsr (θ) jest promieniem stali wraz z korodującą częścią i wynosi rsr (θ) = rs (θ) + dr(θ), gdzie rs (θ) + dr (θ) są wielkościami
dla jak na rys.3.2.
Wykorzystując oznaczenia z rys.3.2, wartości markera M dla punktów
całkowania numerycznego są wyznaczane na początku obliczeń z zależności
M=















r
rs
r − rs
+1
dsf
2
dla 0 ¬ r ¬ rs
dla rs < r ¬ rs + dsf
(4.30)
dla r > rs + dsf
Wartości M modyfikowano w kolejnych krokach przyrostowych obliczeń
według wzorów (indeksy górne oznaczają numer kroku przyrostowego)
MN +1 =


rs MN






rs − ∆r


N


r
s (M − 1) + ∆r


+1


d
sf

∆r



MN +


dsf








 2
dla 0 ¬ MN ¬
47
rs − ∆r
rs
!
rs − ∆r
∆r − dsf
dla
< MN ¬ min 1, 1 −
rs
rs
!
∆r − dsf
∆r
dla min 1, 1 −
< MN ¬ 2 −
rs
dsf
∆r
< MN
dla 2 −
dsf
(4.31)
Interpretacja geometryczne powyższych wzorów przedstawiona jest na
rys.4.6. Pokazano tam zależność M(r(θ)) dla dwóch kolejnych kroków przydsf
M
2
∆r
1
ok
kr
1
+
k
N
kr o
N
rsN +1 rsN
rsr
r(θ)
Rys.4.6. Interpretacja graficzna zależności markerów materiałowych dla dwóch
kolejnych kroków przyrostowych
rostowych obliczeń. Przez ∆r oznaczono ubytek promienia jeszcze nieskorodowanej stali zbrojeniowej (przechodzącej w produkt korozji) i wielkość ta
jest jednym z parametrów wejściowych do obliczeń. Jeśli ∆r = const dla
całego obwodu przekroju stali zbrojeniowej mamy przypadek korozji równomiernej, natomiast w przypadku przeciwnym możliwym jest opisanie korozji
wżerowej.
Należy podkreślić, że ∆r jest funkcją przyrostu odkształcenia objętościowego od kordującej stali zbrojeniowej, która z kolei zależy od gęstości prądu
powstałego na skutek wędrówki jonów żelaza ia (patrz p.2.3).
4.5.2.
Określenie linii brzegowej nieskorodowanego pręta zbrojeniowego
Linia brzegowa nieskorodowanej części przekroju poprzecznego pręta zbrojenowego ma charakter nieregularny, jednakże trudno jest przewidzieć jej
48
kształt i opisać stosownym wzorem matematycznym. W pracy przyjęto dwa
modele linii brzegowej, odpowiednio dla korozji równomiernej i wżerowej.
Dla przypadku równomiernego powstawania korozji ubytek promienia
stali zbrojeniowej ∆r(θ) = const. Dla takiego przypadku linia brzegowa
będzie miała formę okręgu wokół środka przekroju poprzecznego pręta zbrojeniowego. Okrąg ten w każdym kroku przyrostowym będzie miał długość
promienia zmniejszaną o wartość ∆r.
Gdy mamy do czynienia z nierównomiernym powstawaniem produktu
korozji ∆r będzie funkcją θ. Dla przypadku gdy występuje jedno źródło
korozji, dla wartości współrzędnej biegunowej θ = θo i zakresie jego działania na szerokości θS , przyjęto trzy różne geometrie wżeru przedstawione na
rys.4.7, gdzie ∆rb oznacza założoną utratę promienia pręta zbrojeniowego w
miejscu źródła.
∆r
∆rb
∆r
∆rb
1o
0
0
θo
(a)
2π θ
∆rb
2o
0
θS
∆r
0
θS
0
θo
(b)
3o
2π θ
θS
0
θo
(c)
2π θ
Rys.4.7. Model zmiany promienia pręta zbrojeniowego dla korozji wżerowej na
przykładzie jednego źródła wariant z funkcją: liniową (a), kwadratową
(b) i sześcienną (c)
Funkcje reprezentujące ubytek promienia ∆r są funkcjami sklejalnymi
i są symetryczne wzdłuż osi przechodzącej przez θo .
Program komputerowy pozwala na łączenie ze sobą korozji równomiernej
z miejscowym wżerem.
4.5.3.
Całkowanie numeryczne
Całkowanie po elementach skończonych wykonane jest przy pomocy numerycznych kwadratur. Wartości parametrów opisujących materiał ustalane są
wg. markera materiałowego i przypisane są one do punktów numerycznego
całkowania. Przykładowo dla przypadku kwadratury Gaussa–Legendre’a 2x2
w N-tym kroku przyrostowym na rys.4.8 pokazano rozmieszczenie punktów
kwadratury numerycznego całkowania. Widać z niego, że wewnątrz jednego
elementu punkty te mogą leżeć w dwóch różnych strefach materiałów.
W przypadku wyboru kwadratury Gaussa–Legendrea, dla której punkty
49
punkt Gaussa numerycznego całkowania
111111111111111111
000000000
000000000
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
000000000111111111
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000beton
000000000111111111
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
000000000111111111
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
końcowy produkt korozji
front
korodującego
materiału
dsf
strefa przejściowa
stal
linia brzegowa nieskorodowanej stali
Rys.4.8. Strefy materiałów dla elementów skończonych i punktów numerycznego
.
całkowania na przykładzie kwadratury Gaussa–Legendrea 2x2
te nie leżą na brzegu elementu, siatka musi być wystarczająco zagęszczona w strefie przejściowej. Przy doborze zagęszczenia siatki należy zwrócić
uwagę by odległość punktów numerycznego całkowania wzdłuż promienia
poprowadzonego ze środka pręta zbrojeniowego była większa od założonej
wartości dsf .
4.5.4.
Algorytm rozwiązania
Problem liniowy opisany równaniem (4.28) jest zwykłym problemem liniowej
statyki. Z kolei, problem opisany równaniem (4.27) jest odcinkowo liniowy.
W końcu problem opisany równaniem (4.21) jest nielinowy. Przypadki te,
dla zadania jednowymiarowego, zilustrowano na rys.4.9.
Problem liniowy sprowadza się do rozwiązania liniowego układu równań algebraicznych. Tak samo jest dla kolejnych przyrostów w problemie
odcinkowo liniowym. Problem nieliniowy natomiast rozwiązywano metodą
Newtona–Raphsona, korzystając z algorytmu przedstawionego na rys.4.10
i rys.4.11, w którym i oznacza numer kroku iteracyjnego, I ostatni krok
iteracyjny, N numer kroku przyrostowego.
W realizacji numerycznej wzór (3.48) rozłożono na trzy składniki i dla
F +P
F +P
(a)
50
F +P
Q
(b)
Q
(c)
Q
Rys.4.9. Ścieżki stanów równowagi dla różnych algorytmów rozwiązań: przypadek
liniowy (a), przypadek odcinkowo liniowy (b), przypadek nieliniowy (c)
jednego elementu skończonego ma on postać
∆∗ σ e = ∆∗ σ eI + ∆∗ σ eII + ∆∗ σ eIII
(4.32)
gdzie:
∆∗ σ eI = ∆Ge Γσ e


1 ∗2
∆∗ σ eII = De (εe e )  (α − 1) − ∆εev  n
2
∗2
∆∗ σ eIII = α De (εe e )∆∗ ee
(4.33)
(4.34)
(4.35)
Wykorzystując powyższe wzory wektor Σe ze wzoru (4.11) można zapisać
Σe = σ e + ∆∗ σ eI + ∆∗ σ eII
(4.36)
Algorytm rozwiązania
1. Przyjmujemy następujące dane materiałowe takie jak: parametr sterownia będący ubytkiem przekroju poprzecznego pręta zbrojeniowego
∆r; parametr szerokości strefy przejściowej dsf ; przyrost wektora obciążenia ∆F (w przykładach równy 0) a następnie wyzerowujemy: macierz
odkształcenia objętościowego εv = 0; wektor obciążenia F = 0 i macierz naprężeń σ 0 = 0. Na tym etapie dobieramy również kwadraturę numerycznego całkowania osobno dla obszaru betonu i korodującej
stali, oraz typ analizy dla materiałów nieściśliwych.
2. W pierwszym kroku przyrostowym dyskretyzujemy obszar elementami skończonymi np. przy pomocy programu ANSYS, a w kolejnych
uaktualniamy współrzędne węzłów X poprzez dodanie przemieszczeń
z poprzedniego kroku przyrostowego. Wyznaczamy markery materiałowe M ze wzoru (4.30) lub (4.31).
51
3. Na początku każdego kroku przyrostowego wyzerowujemy wektory
przyrostu przemieszczeń dla kroku przyrostowego ∆Q = 0 i składnika
wektora przyrostu naprężeń ∆∗ σ N
III = 0, wyliczamy składnik wekto∗
ra przyrostu naprężeń ∆ σ I ze wzoru (4.33) oraz uaktualniamy o ten
składnik wektor naprężenia σ.
4. Wyznaczamy wartość ∆∗ σ N
II według wzoru (4.34).
5. Wyznaczamy wektor naprężeń Σ ze wzoru (4.36).
6. Powyższe wielkości były liczone dla każdego elementu skończonego.
Wyliczamy macierze sztywności i wektor residuum, agregujemy do globalnego układu równań, uwzględniamy warunki brzegowe i rozwiązujemy układ równań. Rozwiązaniem układu jest podprzyrost przemieszczeń w kroku iteracyjnym δQ.
7. Uaktualniamy wektor przyrostu przemieszczenia ∆Q o wartość podprzyrostu δQ.
8. Uaktualniamy składową wektora przyrostu naprężenia σ o wartość
∆∗ σ III wyznaczoną ze wzoru (4.35).
9. Sprawdzamy błąd względny przemieszczenia oraz błąd bezwzględny
dla residuum. Jeżeli jeden z tych błędów jest mniejszy niż zadany błąd
rozwiązania to przechodzimy do p.10; w przeciwnym razie wykonujemy
kolejny krok iteracyjny wracając do p.4.
10. Transformujemy wektor naprężeń, odpowiednika tensora Pioli–Kirchhoffa do wektora naprężeń odpowiadającemu tensorowi Cauchy’ego
według wzoru (3.26).
11. Sprawdzamy wartości naprężeń rozciągających w betonie na brzegu
otuliny. Jeżeli wartość nie przekroczyła wytrzymałości betonu na rozciąganie wykonujemy kolejny krok przyrostowy, wracając do p.2; w przeciwnym razie przechodzimy do p.12.
12. Wykonujemy wydruki i kończymy obliczenia.
52
START
1. Dane: ∆r, dsf , ∆F, εv = 0, F = 0, σ 0 = 0
N =1
2.
Ustalenie geometrii X
Wyznaczenie markera materiałowego M
2
i=1
∆Q = 0
3.
4. ∆
∗
N −1
σN
+ ∆∗ σ N
i−1 = σ I
I
σN
II,i
=
D(εe )
1 ∗2
(α
2
− 1) − ∆εv
N
∗ N
5. ΣN
i = σ i−1 + ∆ σ II,i
6.
Rozwiązanie
układu równań:
e ee
KL (D (ε )) + Kσ (ΣN
)
δQi = R(ΣN
i
i ) − ∆F
N
7. ∆QN
i = ∆Qi−1 + δQi
1
Rys.4.10. Algorytm rozwiązania
3
53
1
∗2
3
N
e )BL δQi
8. σ N
i = σ i−1 + α D(ε
9.
k δQi k
<ε
k ∆QN
i k
NIE
lub k R k< ε
TAK
2
N =N +1
10. σ N
I =
NIE
1 ∗ N
N
∗ N T
∆ FI · (σ N
I + ∆σ II,I ) · (∆ FI )
∗
J
11.
max σ N > σgr
TAK
12. Wydruki
STOP
Rys.4.11. Algorytm rozwiązania c.d.
i=i+1
Rozdział 5
Przykłady
5.1.
Wstęp
Rysy spowodowane pęczniejącym produktem korozji mogą być zainicjowane
w różnych miejscach na obwodzie przekroju poprzecznego pręta zbrojeniowego. Możliwe są również różne kierunki propagacji rys, zależnie od grubości
otuliny, własności betonu i ułożenia samego zbrojenia. W [36] zdefiniowano
następujące rodzaje rys, które zidentyfikowano w nieniszczących badaniach
doświadczalnych, rys.5.1:
• rysy podstawowe – które powstają jako pierwsze:
– rysa powierzchniowa (Sv ) – przebiegająca pionowo w kierunku
prostopadłym do brzegu przekroju poprzecznego,
– rysa wewnętrzna (I) – o kierunku przeciwnym do rysy powierzchniowej,
• rysy drugorzędne – które powstają po utworzeniu się rys podstawowych
w przypadku gdy propagacja rys podstawowych zostaje zatrzymana
przez ziarna kruszywa:
– rysa rozszczepiająca (ang. spalling crack ) (Sc ) – przebiegająca
ukośnie w kierunku do brzegu otuliny,
– rysa pozioma (V ) – równoległa do brzegu przekroju poprzecznego,
– rysa diagonalna (D) – przebiegająca w kierunku przeciwnym do
rysy rozszczepiającej Sc .
Wymienione rodzaje rys są powiązane w cytowanej pracy z korozją równomierną (typu ciśnienia hydrostatycznego) lub tzw. ciśnienia pionowego
5.1. Wstęp
55
I
V
Sc
V
Sc
Sv
Sv
D
D
Sc
Sv
Sv
Rys.5.1. Możliwe rodzaje propagacji rys [36]
(składowe pionowe od ciśnienia hydrostatycznego). W tym ostatnim przypadku rozkład naprężeń wskazuje na możliwość tworzenia się tylko rys wewnętrznych.
W przykładach zamieszczonych w tym rozdziale będą rozważone możliwości inicjacji rysy na skutek występowania zarówno równomiernej jak
i wżerowej korozji zbrojenia, znajdującej się w dowolnym miejscu przekroju
poprzecznego, analizowanego elementu konstrukcji żelbetowej.
W pierwszej fazie budowy modelu matematycznego i numerycznego przyjmowano, że rdza jest materiałem nieściśliwym bez strefy przejściowej. Wyróżnione były trzy rodzaje materiału: beton, stal i rdza. W realizacji numerycznej metodą elementów skończonych prowadziło to do konieczności
adaptacji siatki elementów po każdym kroku przyrostowym. Każdy element
skończony w całości posiadał cechy fizyczne jednego materiału.
W miarę rozwoju pracy przyjęto, że wartości materiałowe opisujące cechy
fizyczne produktu korozji zmieniają się liniowo od wielkości jak dla stali do
takich jak dla materiału nieściśliwego, końcowego produktu korozji. W realizacji numerycznej wykorzystującej to założenie skutkowało to tym, że każdemu punktowi numerycznego całkowania należało przypisać różne cechy
materiałowe. Taki sposób postępowania pozwolił na uniknięcie konieczności
adaptacji siatki skończenie elementowej w każdym kroku przyrostowym.
Następnym problemem numerycznym wymagającym rozwiązania było
przyjęcie właściwego sposobu całkowania numerycznego. Zastosowanie kwadratury Gaussa-Legendre’a, w której skrajne punkty kwadratury znajdują
się w pewnej odległości od brzegu elementu, wymagało założenia, że punkty
te są już w obszarze skorodowanym, co oczywiście nie zawsze mogło mieć
5.2. Dobór kwadratury numerycznego całkowania
56
miejsce. Problem ten starano się ominąć zmieniając kwadraturę GaussaLegendre’a na kwadraturę Lobatto, dla której skrajne węzły całkowania
są na brzegu elementu. Aby najwierniej odtworzyć liniowe zmiany wartości materiałowych dla produktu korozji przetestowano kwadratury wyższego
stopnia. Wyniki testów przedstawione są w przykładzie 5.2 i na ich podstawie zdecydowano się w końcu na stosowanie prostej kwadratury GaussaLegendre’a 2x2. Przykład 5.3 jest jednym z wielu testów, które wykonano
dla sprawdzenia poprawności modelu numerycznego i algorytmu złożonego
programu komputerowego. Rozwiązano prosty przykład mający rozwiązanie analityczne. Kolejne przykłady przedstawione w tym rozdziale są zasadniczą częścią pracy. Przetestowano zależność stanu naprężeń od doboru
współczynnika dsf . Pierwsze przykłady dotyczyły przypadku równomiernej
korozji. Następne przykłady opisują korozję wżerową dla różnych lokalizacji
i szerokości wżeru.
W rozważanych przykładach przyjęto beton marki C25/30 o module
Younga E=27.5 GPa, liczbie Poissona ν=0.167 i wytrzymałości na rozciąganie ft =1.2 MPa; stal marki A3(34GS) scharakteryzowaną przez E=210GPa,
ν=0.3 oraz rdzę – ostateczny proodukt korozji o wielkościach materiałowych
E=12 MPa, ν=0.499.
Podstawowymi jednostkami długości były [mm], sił – [N] oraz naprężeń
[N/mm2 ].
Na wykresach rozkładów naprężeń wzdłuż obwodu pręta zbrojeniowego
wpółrzędna kątowa mierzona była w stopniach w zakresie α ∈ [−90 ◦, 270 ◦ ].
5.2.
Dobór kwadratury numerycznego całkowania
Celem przykładu było sprawdzenie poprawności obliczeń przy przyjęciu różnych kwadratur numerycznego całkowania. Do testów przyjęto tarczę pokazaną na rys.5.2, o średnicy 40 mm złożoną ze stalowego środka o średnicy
20 mm otoczonego betonem o grubości 10 mm. Tarcza posiada niepodatnie
podparty brzeg zewnętrzny. Przyjęte ciśnienie symuluje parcie pęczniejącego
produktu korozji na ścianki sąsiednich materiałów. Ciśnienie działające na
zewnątrz działa na granicy stali z betonem, natomiast ciśnienie skierowane
do wewnątrz przyłożone jest w odległości 0.25 mm od tej granicy. Odległość
ta równa jest szerokości elementu skończonego. Wartości sił w węzłach elementów są zastępnikami od obciążenia odkształceniem objętościowym, wywołanym korodowaniem przekroju poprzecznego pręta zbrojeniowego o grubości strefy skorodowania 0.02 mm.
57
0.9572 N/mm2
10 mm
0.9449 N/mm2
20 mm
10 mm
Rys.5.2. Tarcza obciążona ciśnieniem - dane geometryczne, obciążenie i warunki
brzegowe
W obliczeniach obszar tarczy zdyskretyzowano 4605 elementami skończonymi w sposób pokazany na rys.5.3.
40
35
30
23
25
22
20
21
15
20
10
19
5
18
0
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
17
6
7
8
9
10
11
12
13
Rys.5.3. Tarcza obciążona ciśnieniem - siatka elementów skończonych
Na rys.5.4a przedstawiono, wygładzone funkcjami Béziera, rozkłady naprężenia obwodowego σθ wzdłuż obwodu pręta zbrojeniowego dla czterech
58
typów kwadratur numerycznego całkowania. Właściwym rozwiązaniem jest
równomierny rozkład σθ wzdłuż obwodu. Taki wynik otrzymano tylko dla
kwadratury Gaussa-Legendre’a 2x2, chociaż jak pokazano to na rys.5.4, również i dla tej kwadratury można zaobserwować wahania wartości σθ po obwodzie - co prawda nieznaczne.
0.035
Gauss-Legendre 2x2
Gauss-Legendre 6x6
Lobatto 3x3
Lobatto 6x6
0.03
σθ [N/mm2 ]
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
-0.005
-100
-50
0
50
100
150
200
250
obwód pręta zbrojeniowego [deg]
300
(a)
0.00261
Gauss-Legendre 2x2
0.002605
0.0026
σθ [N/mm2 ]
0.002595
0.00259
0.002585
0.00258
0.002575
0.00257
0.002565
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
(b)
Rys.5.4. Tarcza obciążona ciśnieniem - naprężenia obwodowe wzdłuż obwodu
pręta zbrojeniowego: wszystkie testowane kwadratury (a), kwadratura
Gaussa-Lagendre’a 2x2 (b)
Na rys.5.5 i rys.5.6 przedstawiono odpowiednio mapy warstwicowe naprężeń promieniowych σr i obwodowych σθ dla różnych kwadratur numerycznego całkowania. Jak wiadomo, wybór węzłów numerycznego całkowania ma
istotny wpływ na dokładność wyznaczenia niewiadomych wtórnych (pochod-
59
nych funkcji niewiadomych pierwotnych), jakimi są w naszym przypadku naprężenia. Wiąże się to z problemem wyboru tzw. punktów superzbieżności
dla przyjętego typu elementu skończonego [10, 50–53].
σr [N/mm2 ]
σr [N/mm2 ]
40
40
−0.00275
−0.00254
−0.00311
−0.00312
30
−0.00347
−0.00383
20
−0.00419
y [mm]
y [mm]
30
−0.00369
−0.00427
20
−0.00485
−0.00455
−0.00542
−0.00491
10
−0.006
10
−0.00527
−0.00657
−0.00563
0
−20
−10
0
x [mm]
10
−0.00715
0
−20
20
−10
(a)
0
x [mm]
10
20
(b)
σr [N/mm ]
σr [N/mm2 ]
2
40
40
−0.00208
−0.00084
−0.00306
−0.00269
30
−0.00405
−0.00503
20
−0.00601
y [mm]
y [mm]
30
−0.00455
−0.0064
20
−0.00825
−0.00699
−0.00797
10
−0.0101
−0.012
10
−0.00895
−0.0138
−0.00993
0
−20
−10
0
x [mm]
(c)
10
20
−0.0157
0
−20
−10
0
x [mm]
10
20
(d)
Rys.5.5. Tarcza obciążona ciśnieniem - mapy warstwicowe naprężeń promieniowych σr dla różnych kwadratur numerycznego całkowania: GaussLagendre 2x2 (a), Gauss-Lagendre 6x6 (b), Lobatto 3x3 (c), Lobatto
6x6 (d)
Z przytoczonych danych wynika, że najlepsze wyniki otrzymano dla najprostszej kwadratury Gaussa-Legendre’a 2x2 i tę kwadraturę zastosowano we
wszystkich następnych przykładach. Jest to zgodne ze znaną zasadą, że dla
elementów skończonych niskiego rzędu punktami superzbieżności są zwykle
punkty minimalnych kwadratur.
σθ [N/mm2 ]
60
σθ [N/mm2 ]
40
40
0.00248
0.00697
0.0021
0.00604
30
0.00172
0.00135
20
0.000967
y [mm]
y [mm]
30
0.00511
0.00417
20
0.00324
0.000589
0.00231
0.000211
10
0.00137
10
−0.000168
0.00044
−0.000546
0
−20
−10
0
x [mm]
10
−0.000493
0
−20
20
−10
(a)
0
x [mm]
10
20
(b)
σθ [N/mm2 ]
σθ [N/mm2 ]
40
40
0.0152
0.0316
0.0131
0.0272
30
0.011
0.0089
20
0.00681
y [mm]
y [mm]
30
0.0227
0.0183
20
0.0138
0.00472
0.00263
10
0.00941
0.00497
10
0.000534
0.000527
−0.00156
0
−20
−10
0
x [mm]
(c)
10
20
−0.00391
0
−20
−10
0
x [mm]
10
20
(d)
Rys.5.6. Tarcza obciążona ciśnieniem - mapy warstwicowe naprężeń obwodowych
σθ dla różnych kwadratur numerycznego całkowania: Gauss-Lagendre 2x2
(a), Gauss-Lagendre 6x6 (b), Lobatto 3x3 (c), Lobatto 6x6 (d)
5.3. Pierścień grubościenny obciążony ciśnieniem wewnętrznym
5.3.
61
Pierścień grubościenny obciążony ciśnieniem wewnętrznym
W tym przykładzie rozwiązano tzw. zagadnienie Lamego dla pierścienia grubościennego i porównano wyniki z analitycznym rozwiązaniem ścisłym [22].
10
N
/m
m2
10 mm
A
A
10 mm
Rys.5.7. Pierścień grubościenny – dane geometryczne
Przyjęto, że pierścień jest wykonany z betonu i ma promień wewnętrzny
10 mm oraz promień zewnętrzny 20 mm. Pierścień jest obciążony ciśnieniem wewnętrznym o wartości 10 N/mm2 . W obliczeniach komputerowych
przemieszczeniowe warunki brzegowe, wymuszające osiową symetrię, zrealizowano poprzez zablokowanie w kierunku pionowym stopnie swobody zlokalizowane na poziomej osi symetrii, natomiast w kierunku poziomym zablokowane zostały stopnie swobody leżące na pionowej osi symetrii, rys.5.7.
Do obliczeń numerycznych obszar zdyskretyzowano 2400 elementami skończonymi, jak pokazano to na rysunku rys.5.8.
Naprężenia promieniowe i obwodowe zależne od współrzędnej r obliczyć
można ze wzorów [22]




b2
a2 pw

1 − 2
σr (r) = 2
b − a2
r
a2 pw
b2

σθ (r) = 2
1 + 2
b − a2
r
(5.1a)
(5.1b)
62
40
35
30
25
20
15
10
5
0
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Rys.5.8. Pierścień grubościenny – siatka elementów skończonych
gdzie:
pw – wartość ciśnienia wewnętrznego,
a – wewnętrzny promień pierścienia,
b – zewnętrzny promień pierścienia.
Rys.5.9 i rys.5.10 przedstawiają mapy warstwicowe naprężeń, odpowiednio σr i σθ , otrzymane z obliczeń numerycznych oraz z użyciem analitycznych
wzorów (5.1a) i (5.1b).
σr [N/mm2 ]
σr [N/mm2 ]
40
40
−0.507
−0.4
−1.65
−1.6
30
−2.78
−3.92
20
−5.06
y [mm]
y [mm]
30
−2.8
−4
20
−5.2
−6.2
−7.34
10
−6.4
−7.6
10
−8.48
−8.8
−9.61
0
−20
−10
0
x [mm]
(a)
10
20
−10
0
−20
−10
0
x [mm]
10
20
(b)
Rys.5.9. Pierścień grubościenny – mapy warstwicowe napężeń σr : obliczenia numeryczne (a), obliczenia analityczne (b)
σθ [N/mm2 ]
σθ [N/mm2 ]
40
40
16.3
16.3
15.1
15.1
30
13.9
12.7
20
11.5
y [mm]
y [mm]
30
13.9
12.7
20
11.5
10.3
9.07
10
10.3
9.07
10
7.85
7.87
6.64
0
−20
63
−10
0
x [mm]
10
20
6.67
0
−20
(a)
−10
0
x [mm]
10
20
(b)
Rys.5.10. Pierścień grubościenny – mapy warstwicowe napężeń σθ : obliczenia numeryczne (a), obliczenia analityczne (b)
promień
r
10.00000
10.40524
10.83789
11.29981
11.79297
12.31948
12.88161
13.48176
14.12250
14.80658
15.53693
16.31668
17.14918
18.03798
18.98690
20.00000
σr
numeryczne
-9.61484e+00
-9.04863e+00
-7.97359e+00
-7.09578e+00
-6.23539e+00
-5.43709e+00
-4.68821e+00
-3.99029e+00
-3.34093e+00
-2.73867e+00
-2.18101e+00
-1.66769e+00
-1.19016e+00
-7.68787e-01
-3.21791e-01
-1.27272e-01
σθ
analityczne
-1.00000e+01
-8.98167e+00
-8.01806e+00
-7.10898e+00
-6.25389e+00
-5.45191e+00
-4.70190e+00
-4.00244e+00
-3.35189e+00
-2.74843e+00
-2.19009e+00
-1.67479e+00
-1.20036e+00
-7.64582e-01
-3.65210e-01
-1.81882e-09
numeryczne
1.67483e+01
1.56380e+01
1.46955e+01
1.37792e+01
1.29243e+01
1.21210e+01
1.13703e+01
1.06701e+01
1.00191e+01
9.41525e+00
8.85675e+00
8.34111e+00
7.86745e+00
7.42901e+00
7.03951e+00
6.64047e+00
analityczne
1.66667e+01
1.56483e+01
1.46847e+01
1.37756e+01
1.29206e+01
1.21186e+01
1.13686e+01
1.06691e+01
1.00186e+01
9.41509e+00
8.85676e+00
8.34146e+00
7.86703e+00
7.43125e+00
7.03188e+00
6.66667e+00
Tabela 5.1. Pierścień grubościenny – Wartości naprężeń promieniowych i obwodowych dla przekroju A-A, rys.5.7
64
W Tab.5.3 zamieszczono wartości naprężeń promieniowych σr (r) i obwodowych σθ (r) w przekroju A-A, rys.5.7. Na podstawie informacji z tabeli
sporządzono wykresy pokazane na rys.5.11.
oblicznia numeryczne
oblicznia analityczne
0
σr [N/mm2 ]
-2
-4
-6
-8
-10
10
12
14
16
18
promień pierścienia
20
22
(a)
18
oblicznia numeryczne
oblicznia analityczne
σθ [N/mm2 ]
16
14
12
10
8
6
10
12
14
16
18
promień pierścienia
20
22
(b)
Rys.5.11. Pierścień grubościenny – naprężenia dla przekroju A-A dla analizy numerycznej i analitycznej: promieniowe σr (a), obwodowe σθ (b)
Przytoczone wyniki wykazują dobrą zgodność obliczeń numerycznych
z rozwiązaniem analitycznym. Nieznaczne różnice dla naprężeń promieniowych σr mogą być, zdaniem autora, następstwem przyjętej procedury wygładzania naprężeń Zienkiewicza-Zhu. Jak to już wspomniano, testując poprawność algorytm rozwiązania i program komputerowy, wykonano wiele
fragmentarycznych obliczeń kontrolnych. Potwierdziły one poprawność opracowanego narzędzia analizy numerycznej.
5.4. Analiza procesu równomiernego korodowania zbrojenia
zlokalizowanego w środku przekroju poprzecznego płyty
5.4.
65
Analiza procesu równomiernego korodowania zbrojenia zlokalizowanego w środku przekroju poprzecznego płyty
W przykładzie rozważano przekrój poprzeczny w środku rozpiętości płyty
zobrazowanej na rys.5.12. Przekrój ten rozpatrywano jako tarczę w płaskim
stanie odkształcenia. Szerokość przekroju wynosiła 1256 mm a wysokość
200 mm. Przemieszczeniowe warunki brzegowe zrealizowano przyjmując, że
cały przekrój podparty jest u dołu z możliwością przesuwu poziomego natomiast na pionowych bokach umożliwiono pionowy przesuw. Podparcie takie
prowadzi do wyznaczenia przemieszczeń względem dolnej krawędzi przekroju
poprzeczego.
A
A
A-A
Rys.5.12. Geometria płyty swobodnie podpartej
Założono, że na dwie połówki przekroju poprzecznego działa obciążenie
równomiernie rozłożone równe odpowiednio p1 i p2 , rys.5.13. Wartości te były
różne, w zależności od rozważanego przykładu. Stan naprężeń wywołany tym
obciążeniem został w analizie uwzględniony jako naprężenia wstępne.
20 mm
200 mm
100 mm
p1
p2
200 mm
6
φ1
628 mm
100 mm
Rys.5.13. Przekrój poprzeczny płyty – przypadek z otuliną 20 mm
66
W obliczeniach zajęto się analizą stanu naprężeń w otoczeniu jednego,
środkowego pręta zbrojeniowego co prowadziło do rozważenia wycinka o wymiarach 200 mm na 100 mm, rys. 5.14. Przyjęto, że otulina pręta zbrojeniowego ma wartość h1 = 20 mm.
64 mm
16 mm
h1
16 mm
92 mm
92 mm
Rys.5.14. Wycinek ze środka przekroju poprzecznego płyty – dane geometryczne
Analiza wykonywana była w sposób przyrostowy aż do stanu gdy w betonie na obwodzie otulającym pręt zbrojeniowy, wartość naprężenia obwodowego nie przekroczyła granicznej wartości wytrzymałości betonu na rozciąganie ft .
Rys.5.15 przedstawia siatkę z 5636 elementów skończonych wykonaną
w programie ANSYS. Siatka posiada duże zagęszczenie tuż przy styku betonu ze stalą, w strefie propagacji korozji. Minimalna szerokość elementu
skończonego w tej strefie wynosi 22.2 µm.
120
100
80
60
24
40
23
20
0
-100
22
-50
0
50
100
21
20
19
-2
-1
0
1
2
3
Rys.5.15. Wycinek ze środka przekroju poprzecznego płyty – siatka elementów
skończonych
Przyjęto ponadto w tym przykładzie szerokość strefy przejścia dsf równą 0.1 mm. Parametrem sterowania procesem w trakcie obliczeń był ubytek
67
promienia pręta zbrojeniowego, na początku przyjęty jako ∆r0 =0.01 mm.
W kolejnych krokach przyrostowych wartość ta wynosiła ∆ri =0.1 µm. W obliczeniach zastosowano metodę uśrednionej dylatacji B. Wynikowe mapy
warstwicowe naprężeń drukowano w biegunowym układzie współrzędnych
o początku przyłożonym w środku przekroju poprzecznego pręta zbrojeniowego.
5.4.1.
Płyta bez obciążenia zewnętrznego
W pierwszym omawianym przypadku przyjęto brak obciążenia zewnętrznego, stąd p1 =p2 =0. Obliczenia zakończono po 141 krokach przyrostowych co
odpowiada utracie promienia przekroju poprzecznego zbrojenia ∆R=24.1 µm.
Oznacza to, że na skutek pęcznienia rdzy powstałej równocześnie się ze
zmniejszeniem się promienia zbrojenia wystąpi możliwość inicjacji rysy w betonie. Rys.5.16 przedstawia mapy naprężeń promieniowych σr i obwodowych
σθ w obszarze betonowym.
σr [N/mm2 ]
σθ [N/mm2 ]
100
100
−0.163
−0.302
−0.44
−0.579
−0.717
1.15
y [mm]
y [mm]
−0.0243
1.01
0.859
0.713
0.566
0.419
−0.856
0.272
−0.995
2
−100
−1.13
0
x [mm]
(a)
100
0.125
2
−100
−0.0213
0
x [mm]
100
(b)
Rys.5.16. Wycinek ze środka przekroju poprzecznego płyty – brak obciążenia zewnętrznego – mapy warstwicowe naprężeń: promieniowych σr (a), obwodowych (b)
Naprężenie promieniowe dla rozwiązywanego zagadnienia na obwodzie
pręta zbrojeniowego możemy utożsamić z naprężeniem głównym σmin (ściskającymi), natomiast naprężenia obwodowe z naprężeniami głównymi σmax
(rozciągającymi). Rys.5.17 przedstawia rozkłady naprężeń głównych wzdłuż
obwodu pręta zbrojeniowego.
W kolorze niebieskim narysowany jest rozkład naprężeń σmax i σmin obliczonych w węzłach elementów. Wartości tych naprężeń otrzymano stosując procedurę wygładzania naprężeń Zienkiewicza-Zhu opisaną w dodatku
B. Kolorem czerwonym oznaczono wykresy naprężeń wygładzone funkcjami
Béziera. Z wykresów widać, że najprawdopodobniejszym miejscem powstania rysy podstawowej jest dół przekroju poprzecznego (rysa powierzchnio-
1.205
-0.98
sigma_1_Bezier
sigma_1
sigma_2_Bezier
sigma_2
-1
σmin [N/mm2 ]
σmax [N/mm2 ]
1.2
1.195
1.19
1.185
1.18
1.175
-1.02
-1.04
-1.06
-1.08
-1.1
-1.12
1.17
1.165
-100
68
-50
0
50
100
150
200
250
300
-1.14
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
(a)
(b)
Rys.5.17. Wycinek ze środka przekroju poprzecznego płyty – brak obciążenia zewnętrznego – rozkłady naprężeń głównych wzdłuż obwodu przekroju
poprzecznego pręta zbrojeniowego: rozciągających σmax (a), ściskających σmin (b)
wa), natomiast rysa drugorzędna może powstać na górze przekroju pręta
zbrojeniowego (rysa wewnętrzna).
5.4.2.
Obciążenie równomierne płyty
W tym przypadku płyta była poddana obciążeniu równomiernemu o wartości p1 =p2 =0.1 N/mm2 , rys.5.13. Przed przystąpieniem do obliczeń wykonano w programie ANSYS obliczenia dla całego przekroju poprzecznego. Następnie, na podstawie aproksymacji i znanych wartości naprężeń w węzłach
elementów skończonych zostały wyznaczone wartości naprężeń w węzłach
numerycznego całkowania w elementach skończonych, którymi zdyskretyzowano wycinek przekroju. Do aproksymacji wykorzystano metodę ruchomych
ważonych najmniejszych kwadratów (MWLS) [23]. Procedury tej metody zostały zaimplementowane do MATLABA, wykorzystując procedury napisane
w języku FORTRAN przez dr hab. inż. W. Cecota. Na tej podstawie sporządzono mapę naprężeń wstępnych w biegunowym układzie współrzędnych,
rys.5.18.
Z analizy map warstwicowych naprężeń, przy warunkach brzegowych pokazanych na rys.5.14 wynika, że w całym obszarze występują naprężenia
ściskające, przy czym wyższe wartości naprężenia promieniowego obserwujemy wzdłuż pionowej linii przechodzącej przez środek przekroju poprzecznego pręta zbrojeniowego, natomiast wyższe wartości naprężenia obwodowego
występują wzdłuż poziomej linii.
Do zainicjowania zarysowania otuliny betonowej należało wykonać 286
kroków przyrostowych, co oznacza utratę promienia ∆R=38.6 µm. Porów-
σr [N/mm2 ]
69
σθ [N/mm2 ]
100
100
−0.0393
−0.0566
−0.0738
−0.091
−0.108
−0.0114
y [mm]
y [mm]
−0.0221
−0.0223
−0.0333
−0.0442
−0.0552
−0.0661
−0.125
−0.077
−0.143
2
−100
−0.088
−0.16
0
x [mm]
2
−100
100
(a)
−0.0989
0
x [mm]
100
(b)
Rys.5.18. Wycinek ze środka przekroju poprzecznego płyty – obciążenie równomierne – mapy warstwicowe naprężeń wstępnych: promieniowych σr (a),
obwodowych σθ (b)
nując wyniki obecne z opisem zadania bez obciążenia zewnętrznego wartość
ubytku promienia jest znacznie większa i wydłuża się również czas konieczny do inicjacji zarysowania. Powodem tego jest wytworzony stan wstępnych naprężeń, w którym przeważały wartości ujemne (ściskające). Wyniki
map warstwicowych naprężeń dla betonu dla ostatniego kroku przyrostowego
przedstawia rys.5.19.
σr [N/mm2 ]
σθ [N/mm2 ]
100
100
−0.233
−0.378
−0.522
−0.666
−0.811
1.15
y [mm]
y [mm]
−0.089
0.991
0.834
0.677
0.52
0.363
−0.955
0.206
−1.1
2
−100
−1.24
0
x [mm]
(a)
100
0.049
2
−100
−0.108
0
x [mm]
100
(b)
Rys.5.19. Wycinek ze środka przekroju poprzecznego płyty – obciążenie równomierne – mapy warstwicowe naprężeń dla ostatniego kroku przyrostowego: promieniowych σr (a) , obwodowych σθ (b)
Dla węzłów z obwodu pręta zbrojeniowego sporządzono wykres naprężeń
głównych, rys.5.20.
Naprężenia główne rozciągające σmax można utożsamić z naprężeniami
obwodowymi σθ , natomiast naprężenia główne ściskające σmin z naprężeniami promieniowymi σr . Z wykresów na rys.5.20 można wywnioskować, że rysa
podstawowa powstanie na dole przekroju poprzecznego pręta zbrojeniowego
i będzie się propagować w kierunku prostopadłym do brzegu otuliny (rysa
powierzchniowa). Rysy drugorzędne mogą powstać w trzech kierunkach: jako
dwie rysy poziome, oraz rysa wewnętrzna.
70
1.205
sigma_1_Bezier
sigma_1
-1.17
σmin [N/mm2 ]
σmax [N/mm2 ]
sigma_2_Bezier
sigma_2
-1.16
1.2
1.195
1.19
1.185
1.18
-1.18
-1.19
-1.2
-1.21
-1.22
-1.23
1.175
-1.24
1.17
-100
-50
0
50
100
150
200
250
-1.25
-100
300
-50
0
50
100
150
200
250
300
(a)
(b)
Rys.5.20. Wycinek ze środka przekroju poprzecznego płyty – obciążenie równomierne – naprężenia główne wzdłuż obwodu pręta zbrojeniowego: rozciągających σmax (a), ściskających σmin (b)
5.4.3.
Obciążenie nierównomierne płyty
Przypadek ten różni się od poprzedniego tylko tym, że obciążenie zewnętrzne
jest skokowo zmienne tzn. p1 =0, a p2 =0.1 N/mm2 , rys.5.13. Stan naprężeń
wstępnych w układzie biegunowym w środku przekroju poprzecznego pręta
zbrojeniowego ma postać jak rys.5.21.
σr [N/mm2 ]
σθ [N/mm2 ]
100
100
−0.0145
−0.0242
−0.034
−0.0437
−0.0534
−0.006
y [mm]
y [mm]
−0.00479
−0.0162
−0.0264
−0.0366
−0.0468
−0.057
−0.0632
−0.0672
−0.0729
2
−100
−0.0826
0
x [mm]
(a)
100
−0.0774
2
−100
−0.0876
0
x [mm]
100
(b)
Rys.5.21. Wycinek ze środka przekroju poprzecznego płyty – obciążenie nierównomierne – mapy warstwicowe naprężeń wstępnych: promieniowych σr
(a), obwodowych σθ (b)
W tym przypadku na początku również występują naprężenia ściskające
w całym obszarze, co ma istotny wpływ na wydłużenie się czasu niezbędnego do inicjacji zarysowania. W zadaniu należało wykonanać 284 kroki
przyrostowe co doprowadziło do utraty promienia ∆R=38.4 µm. Wyniki
map naprężeń dla betonu dla ostatniego kroku przyrostowego przedstawia
rys.5.22.
Na rys.5.23 przedstawione są rozkłady naprężeń wzdłuż obwodu otuliny
betonowej.
σr [N/mm2 ]
71
σθ [N/mm2 ]
100
100
1.15
y [mm]
y [mm]
−0.058
−0.197
−0.335
−0.474
−0.612
−0.751
0.995
0.839
0.683
0.528
0.372
−0.89
0.216
−1.03
0.0602
−1.17
2
−100
0
100
x [mm]
−0.0956
2
−100
0
100
x [mm]
(b)
(a)
Rys.5.22. Wycinek ze środka przekroju poprzecznego płyty – obciążenie nierównomierne – mapy warstwicowe naprężeń dla ostatniego kroku przyrostowego: promieniowych σr (a), obwodowych σθ (b)
1.205
-1.07
sigma_1_Bezier
sigma_1
sigma_2_Bezier
sigma_2
-1.08
σmin [N/mm2 ]
σmax [N/mm2 ]
1.2
1.195
1.19
1.185
1.18
-1.09
-1.1
-1.11
-1.12
-1.13
-1.14
-1.15
1.175
-1.16
1.17
-100
-50
0
50
100
150
200
(a)
250
300
-1.17
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
(b)
Rys.5.23. Wycinek ze środka przekroju poprzecznego płyty – obciążenie nierównomierne – naprężenia główne wzdłuż obwodu przekroju poprzecznego
pręta zbrojeniowego: rozciągających σmax (a), ściskających σmin (b)
5.5. Analiza wpływu lokalizacji zbrojenia i grubości otuliny na proces
równomiernego korodowania
72
Z wykresów na rys.5.23 można wywnioskować, że jako podstawowa rysa powstanie rysa powierzchniowa, natomiast drugorzędną będzie rysa wewnętrzna.
Zbiorcze zestawienie obliczonych przypadków przedstawia rys.5.24.
1.205
-0.95
bez obciazenia
obciazenie rownomierne
obciazenie nierownomierne
bez obciazenia
obciazenie rownomierne
obciazenie nierownomierne
-1
σmin [N/mm2 ]
σmax [N/mm2 ]
1.2
1.195
1.19
1.185
1.18
1.175
-1.05
-1.1
-1.15
-1.2
1.17
1.165
-100
-50
0
50
100
150
200
(a)
250
300
-1.25
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
(b)
Rys.5.24. Wycinek ze środka przekroju poprzecznego płyty – porównanie rozkładu naprężeń głównych ze względu na rodzaj obciążenia zewnętrznego:
rozciągających σmax (a), ściskających σmin (b)
5.5.
5.5.1.
Analiza wpływu lokalizacji zbrojenia i grubości otuliny na proces równomiernego
korodowania
Zbrojenie zlokalizowane w środku przekroju poprzecznego płyty
Celem przykładu było wyznaczenie wpływu grubości otuliny na przebieg
procesu równomiernej korozji. Porównano wyniki otrzymane dla dwóch rozmiarów otuliny h1 =20 mm oraz h1 =15 mm. Wyniki dla h1 =20 mm zostały
już przytoczone w poprzednim punkcie 5.4.1. Dla otuliny h1 =15 mm należało wykonać 140 kroków przyrostowych, co dało całkowitą utratę promienia
pręta zbrojeniowego ∆R=24.0 µm.
Rys.5.25 przedstawia mapy naprężeń promieniowych σr i obwodowych σθ
po ostatnim kroku przyrostowym w biegunowym układzie współrzędnych.
Porównanie wyników otrzymanych dla dwóch grubości otulin nie potwierdza oczekiwanego faktu, że dla otuliny cieńszej zainicjowanie rysy powinno
nastąpić szybciej (różnica ubytku promienia wynosi 0.1µm). Na rys.5.26 zo-
73
σθ [N/mm2 ]
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
−0.012
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
y [mm]
y [mm]
σr [N/mm2 ]
−0.149
−0.285
−0.422
−0.559
−0.695
−0.832
−0.968
−1.11
−100
0
100
x [mm]
1.16
1.01
0.86
0.712
0.564
0.416
0.268
0.121
−0.0274
−100
0
100
x [mm]
(b)
(a)
Rys.5.25. Wycinek ze środka przekroju poprzecznego płyty – otulina 15 mm –
mapy warstwicowe naprężeń: promieniowych σr (a), obwodowych σθ
(b)
1.205
-0.9
otulina 20 mm
otulina 15 mm
otulina 20 mm
otulina 15 mm
1.195
σmin [N/mm2 ]
σmax [N/mm2 ]
1.2
1.19
1.185
1.18
1.175
1.17
1.165
-0.95
-1
-1.05
-1.1
1.16
1.155
-100
-50
0
50
100
150
200
(a)
250
300
-1.15
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
(b)
Rys.5.26. Wycinek ze środka przekroju poprzecznego płyty – porównanie rozkładów naprężeń głównych przy różnych grubościach otuliny: rozciągających σmax (a), ściskających σmin (b)
stały przedstawione wygładzone rozkłady naprężeń głównych wzdłuż przekroju poprzecznego pręta zbrojeniowego.
Z wykresów tych wynika, że większe prawdopodobieństwo powstania rysy
wewnętrznej jest w przypadku, gdy otulina jest grubsza.
5.5.2.
Zbrojenie zlokalizowane na brzegu przekroju poprzecznego płyty
Podobną analizę jak w poprzednim przykładzie przeprowadzono dla wycinka
z brzegu przekroju poprzecznego płyty. Rys.5.27 przedstawia geometrię tego
podobszaru.
Analiza przyrostowa dla otuliny h1 =20 mm skończyła się po 141 krokach,
co dało całkowitą utratę promienia zbrojenia ∆R=24.1 µm. Jest to taka sa-
74
64 mm
16 mm
h1
92 mm
16 mm
b1
Rys.5.27. Wycinek z brzegu przekroju poprzecznego płyty – dane geometryczne
ma ilość kroków jak w przypadku wycinka ze środka przekroju poprzecznego
płyty. Na końcu ostatniego kroku przyrostowego sporządzono mapy naprężeń, rys.5.28.
σr [N/mm2 ]
σθ [N/mm2 ]
100
−0.0183
1.15
−0.149
1.01
−0.279
−0.41
−0.541
2
−100
x [mm]
(a)
28
0.86
0.714
0.568
−0.671
0.422
−0.802
0.276
−0.932
0.13
−1.06
0
y [mm]
y [mm]
100
2
−100
−0.0163
x [mm]
0
28
(b)
Rys.5.28. Wycinek z brzegu przekroju poprzecznego płyty – otulina 20 mm –
(b)
Podobne mapy warstwicowe naprężeń sporządzono dla płyty o otulinie
h2 =15 mm. W tym przypadku w analizie wykonano 140 kroków, co prowadziło do ∆R=24.0 µm. Z map warstwicowych naprężeń wynika, że naprężenia różne od zera występują tylko wokół przekroju poprzecznego pręta
zbrojeniowego.
75
σr [N/mm2 ]
σθ [N/mm2 ]
100
100
−0.00435
1.16
90
90
−0.131
1.01
y [mm]
y [mm]
80
−0.258
70
−0.385
60
−0.511
50
80
0.863
70
0.716
60
0.57
50
40
−0.638
40
0.423
30
−0.765
30
0.277
20
−0.892
20
0.131
10
−1.02
10
−100
0
x [mm]
23
−0.0155
−100
0
x [mm]
(a)
23
(b)
Rys.5.29. Wycinek z brzegu przekroju poprzecznego płyty – otulina 15 mm –
(b)
1.205
-0.9
otulina 20 mm
otulina 15 mm
otulina 20 mm
otulina 15 mm
-0.92
σmin [N/mm2 ]
σmax [N/mm2 ]
1.2
1.195
1.19
1.185
1.18
1.175
1.17
1.165
-100
-0.94
-0.96
-0.98
-1
-1.02
-1.04
-1.06
-50
0
50
100
150
200
(a)
250
300
-1.08
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
(b)
Rys.5.30. Wycinek z brzegu przekroju poprzecznego płyty – porównanie rozkładów naprężeń głównych przy różnych grubościach otuliny: rozciągających σmax (a), ściskających σmin (b)
5.6. Analiza wpływu szerokości strefy przejściowej produktu korozji
dla procesu równomiernego korodowania zbrojenia...
76
5.6.
Analiza wpływu szerokości strefy przejściowej produktu korozji dla procesu równomiernego korodowania zbrojenia w środku przekroju poprzecznego płyty
Przekrój poprzeczny o geometrii pokazanej na rys. 5.14 poddano analizie,
w której przyjmowano różne szerokości strefy przejściowej produktu korozji. Wartości obliczonych rozciągających naprężeń głównych w punktach
na obwodzie przekroju poprzecznego pręta zbrojeniowego przedstawiono na
rys.5.31.
1.21
dsf =0.1
dsf =0.05
dsf =0.025
dsf =0.01
1.205
σmax [N/mm2 ]
1.2
1.195
1.19
1.185
1.18
1.175
1.17
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
Rys.5.31. Wycinek ze środka przekroju poprzecznego płyty – porównanie rozkładów naprężeń głównych rozciągających σmax ze względu na szerokość
strefy przejściowej korozji
Z wykresu można wywnioskować, że dla dużych wartości dsf możliwe jest
powstanie rys drugorzędnych w kierunku poziomym. Wynika to z faktu,
że im strefa przejściowa jest szersza tym produkt korozji posiada więcej
cech stali. Dla małych wartości dsf rysa drugorzędna nie wystąpiła. Ubytek
promienia przekroju poprzecznego pręta zbrojeniowego był porównywalny
i wynosił średnio ∆R=24.1 µm.
5.7. Analiza procesu korozji wżerowej zbrojenia zlokalizowanego w
przęśle płyty
77
5.7.
Analiza procesu korozji wżerowej zbrojenia zlokalizowanego w przęśle płyty
Dane geometryczne analizowanego wycinka ze środka przekroju poprzecznego płyty przedstawione zostały na rys.5.14, a siatka elementów skończonych
na rys.5.15. Analizowana konstrukcja była bez obciążenia zewnętrznego. Jako daną wejściową przyjęto szerokość strefy przejścia dsf =0.1 mm. Przyjęto
również wstępną równomierną korozję o grubości ∆r =0.01 mm, natomiast
parametrem sterowania procesem obliczeń był przyrost amplitudy wżeru ∆rb
= 0.02 µm. Szerokość wżeru przyjęto θS =45 ◦
Na rys.5.32, rys.5.34 oraz rys.5.36 przedstawiono mapy warstwicowe naprężeń obwodowych w okolicy przekroju pręta zbrojeniowego dla przyjętych
różnych kątowych współrzędnych źródła korozji wżerowej, odpowiednio θo =90 ◦, θo =-45 ◦ oraz θo =45 ◦ przy założonej szerokości wżeru wynoszącej θS =45 ◦.
Kąt θo liczony był od dodatniej osi x. Dla tych przypadków przedstawione
zostały rozkłady naprężeń głównych rozciągających na rys.5.33, rys.5.35 oraz
rys.5.37.
σθ [N/mm2 ]
39.74
1.13
0.928
y [mm]
0.723
30
0.518
0.313
0.108
−0.0973
20
−0.302
−0.507
16.21
−10
0
x [mm]
10
Rys.5.32. Korozja wżerowa θo =-90 ◦ – mapa warstwicowa naprężeń obwodowych
σθ (powiększenie)
Dla kątów θo =-45 ◦ oraz θo =45 ◦ zostało wykonanych 188 kroków przyrostowych, co jest równoważne wżerowi ∆R=13.76 µm, natomiast dla korozji zlokalizowanej pod kątami θo =-90 ◦ oraz θo =90 ◦ (przypadek opisany
w dalszej części przykładu) było wykonanych 180 kroków przyrostowych
co doprowadziło do utraty promienia pręta zbrojeniowego w miejscu wżeru ∆R=13.60 µm. Porównując ten wynik z rozwiązaniem dla równomiernej
korozji, można stwierdzić, że bardziej niebezpieczna dla konstrukcji jest ko-
przęśle płyty
78
1.4
θo =-90 ◦
σmax [N/mm2 ]
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
Rys.5.33. Korozja wżerowa θo =-90 ◦ – rozkład naprężenia głównego rozciągającego
wzdłuż obwodu σmax
σθ [N/mm2 ]
40
1.13
y [mm]
0.927
0.725
0.524
30
0.322
0.121
−0.0807
−0.282
20
−0.484
−10
0
x [mm]
10
Rys.5.34. Korozja wżerowa θo =-45 ◦ – mapa warstwicowa naprężeń obwodowych
przęśle płyty
79
1.4
θo =-45 ◦
σmax [N/mm2 ]
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
Rys.5.35. Korozja wżerowa θo =-45 ◦ – rozkład naprężenia głównego rozciągającego
σθ [N/mm2 ]
42.34
1.13
40
0.929
y [mm]
0.728
0.526
0.324
30
0.122
−0.0794
−0.281
−0.483
20
−10
0
x [mm]
10
Rys.5.36. Korozja wżerowa θo =45 ◦ – mapa warstwicowa naprężeń obwodowych
przęśle płyty
80
1.4
θo =45 ◦
σmax [N/mm2 ]
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
Rys.5.37. Korozja wżerowa θo =45 ◦ – rozkład naprężenia głównego rozciągającego
rozja wżerowa. Nie jest ważna ilość powstającego produktu korozji lecz jego
umiejscowienie na pręcie zbrojeniowym.
Dla przypadku θo =90 ◦ wykonano analizę dla dwóch szerokości θS =45 ◦
i θS =90 ◦. Mapy warstwicowe naprężeń obwodowych przedstawiono na rys.5.38,
natomiast porównanie rozkładów naprężeń rozciągających wzdłuż obwodu
przedstawiono na rys.5.39.
σθ [N/mm2 ]
σθ [N/mm2 ]
45.09
45.11
1.13
1.14
0.926
40
0.943
40
0.516
0.311
30
0.556
0.363
30
0.106
0.17
−0.0987
−0.023
−0.304
−0.216
−0.509
20
−10
0.75
y [mm]
y [mm]
0.721
0
x [mm]
9.528
(a)
−0.409
20.15
−10
0
x [mm]
9.982
(b)
=90 ◦
Rys.5.38. Korozja wżerowa θo
– mapa warstwicowa naprężeń obwodowych
◦
(powiększenie): θS =45 (a), θS =90 ◦ (b)
5.8. Porównanie otrzymanych rezultatów z wynikami znanymi
z literatury
1.4
81
θS =90 ◦
θS =45 ◦
σ1 [N/mm2 ]
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
Rys.5.39. Korozja wżerowa θo =90 ◦ – porównanie rozkładów naprężeń głównych
rozciągających ze względu na szerokość strefy przejściowej korozji
Ilość kroków przyrostowych do zainicjowania zarysowania betonu dla
przypadku θS =90 ◦ wyniosła 180 kroków natomiast dla przypadku θS =45 ◦
– 313 kroków. Towarzysząca temu całkowita utrata promienia pręta zbrojeniowego w miejscu wżeru ∆R wyniosła odpowiednio ∆R=13.60 µm oraz
∆R=16.26 µm. Intuicyjnie należało się tego spodziewać - im szerszy wżer,
tym mniejsza jest jego głębokość.
5.8.
Porównanie otrzymanych rezultatów z wynikami znanymi z literatury
W literaturze brakuje wystarczających informacji, które w pełni pozwoliły by ocenić efektywność analizy zaproponowanej w pracy. Autor wykorzystał dwie prace [30], [36], w których analizowano możliwość wystąpienia rys
drugorzędnych (oznaczonych na rys.5.40 liczbami (2) i (3), przy symbolu
oznaczającym rodzaj rysy) przy założeniu uprzedniego uformowania się rys
podstawowych (oznaczonych jako (1)). W [30] rysą podstawową była rysa powierzchniowa Sv , natomiast w [36] rysa powierzchniowa Sv lub rysa
wewnętrzna I. W każdym przypadku rozpatrywany był przyrost produktu
korozji na obwodzie pręta zbrojenia. Ponadto w [30] do rozwiązania zastosowano metodę elementów skończonych (8 węzłowych elementów skończonych
w płaskim stanie odkształcenia), natomiast w [36] metodę elementów brzegowych, którą połączono z liniową mechaniką pękania.
5.8. Porównanie otrzymanych rezultatów z wynikami znanymi
z literatury
82
W przeciwieństwie do wymienionych artykułów, w prezentowanej pracy
w analizie korozji równomiernej nie zakładano żadnych uprzywilejowanych
punktów na obwodzie zbrojenia, gdzie mogłaby zostać zainicjowana rysa
podstawowa. Pokazany na rys.5.40 punkt A, w którym powstanie pierwsza rysa i następne punkty opisane kolejnymi literami alfabetu, oznaczające
punkty gdzie możliwe jest powstanie następnych rys, zostały wyznaczone
wyłącznie na podstawie analizy skutków mechanicznych wzrostu i pęcznienia rdzy. Na rys.5.40 przypadek (I) i (II) dotyczy równomiernej korozji dla
przęsła i brzegu przekroju poprzecznego płyty, natomiast przypadek (III)
dotyczy korozji wżerowej w punkcie oznaczonym czerwoną kropką, rys5.40c.
D(2)
(I)
Sc (2)
Sc (2)
Sv (1)
B
C
Sc (2)
C
A
Sv (1)
D(3)
B
B
(II)
A
A
Sv (1)
I(1)
A
(III)
(a)
(b)
(c)
Rys.5.40. Propagacja rys i kolejność ich występowania: wg. Molina [30] (a), wg.
Ohtsu [36] (b), wyniki własne (c)
Na podstawie wyników obliczeń zilustrowanych na rys.5.40 można stwierdzić, że proponowany w pracy model teoretyczny i jego numeryczna realizacja dosyć dobrze lokalizuje punkty, w których jest możliwa propagacja rysy
podstawowej. Oszacowanie miejsca lokalizacji rysy drugorzędnej wydaje się
być również fizycznie uzasadnione, jednakże nie jest w pełni zgodne z danymi
zawartymi w dostępnej literaturze (które też różnią się między sobą).
Rozdział 6
Inicjacja rysy i jej propagacja
6.1.
Określenie czasu do inicjacji rysy w betonie otaczającym pręt zbrojeniowy tp
Kompletny opis zniszczenia konstrukcji żelbetowej na skutek korozji zbrojenia wymaga:
– określenia czasu tp upływającego od początku korodowania pręta do
chwili, w której w punkcie (lub w obszarze) na obwodzie pręta główne
naprężenie rozciągające przekroczy wytrzymałość betonu na rozciąganie,
– wyznaczenie procesu propagacji rysy poprzecznej w betonowej otulinie
zbrojenia.
Powyższe zagadnienia są poza głównym nurtem pracy, jednakże dla kompletności opracowania zostaną krótko omówione na podstawie dostępnej literatury.
Przy wyznaczaniu czasu inicjacji rysy skorzystano z pracy [31] i cytowanej tam literatury, ograniczając się do przypadku korozji równomiernej
i przy założeniu, że końcowym produktem korozji jest hydratyzowana czerwona rdza, dla której stosunki gęstość stali do gęstości rdzy, oraz masy stali
skonsumowanej w procesie korozji do masy rdzy zapisane są w formie odpowiednich równań (2.8) i (2.9). Wykorzystując powyższe zależności, czas
inicjacji rysy możemy obliczyć ze wzoru
εv ρr ρs d
(6.1)
4Jr (ρs − 0.523ρr )
W praktyce pomija się zależność Jr od temperatury i wilgotności otoczenia, przyjmując średnie wartości roczne. Z kolei, wielkość Jr jest związana
tkr
p =
6.1. Określenie czasu do inicjacji rysy w betonie otaczającym pręt
zbrojeniowy tp
84
z gęstością natężenia prądu na anodzie ia i opisana wzorem (2.4) [8]. Przyjmuje się, że jeśli ia jest powyżej 0.5 µA/cm2 to mamy przypadek średniego
poziomu intensywności korodowania, natomiast ia powyżej 1 µA/cm2 odpowiada wysokiemu poziomowi korodowania [5]. W pracy tej zamieszczony jest
rysunek pokazujący w skali logarytmicznej zależność czasu tp od wielkości ia
dla betonu o wytrzymałości na ściskanie równej 45 MPa i różnych stosunkach
grubości otuliny c do średnicy pręta zbrojeniowego d. W innych pozycjach
literatury podawane są również krótsze wartości czasu w porównaniu z wymienionym wykresem co tłumaczy się faktem, że końcowym produktem korozji może być na przykład Fe(OH)2 mający tylko dwukrotny współczynnik
pęcznienia a nie Fe(OH)3 . Oznacza to, że przyjęcie rodzaju produktu korozji
decyduje o właściwym oszacowaniu początku zarysowania betonu. Dalszymi
przyczynami rozbieżności w ocenie czasu tp wymienianymi w literaturze są:
– przyjęcie idealnego modelu korozji równomiernej,
– przyjęcie, że wokół pręta zbrojeniowego tworzy się ten sam typ produktu korozji,
– założenie, że spękany beton nie przenosi już żadnych obciążeń,
– pominięcie na zjawisko wpływu prętów rozdzielczych (lub strzemion)
i obciążenia zewnętrznego.
Ponadto, w pracach [24] i [48] stwierdza się, że przyrost produkcji rdzy
może nie być liniową funkcją czasu, jak wynika to z prawa Faradaya, ponieważ jony żelaza muszą dyfundować przez warstwę rdzy tworzącej się wokół
pręta zbrojeniowego, zanim może mieć miejsce dalsze utlenianie.
W dalszym ciągu przedstawiony zostanie proponowany przez autora sposób obliczenia czasu do inicjacji zarysowania betonu. Symulacja korodowania
stali zbrojeniowej wykonywano aż do momentu osiągnięcia wartości naprężeń rozciągających w betonie, równych wytrzymałości betonu na rozciąganie. Dla korozji równomiernej możliwe jest wówczas określenie przy jakiej
całkowitej utracie promienia zbrojenia ∆R, będącej sumą przyrostów ∆r,
nastąpiło zarysowanie. Z równania (2.12) wyliczymy wówczas masę krytyczną stali, która musi być skorodowana by powstała rysa
ms = ρs · π rs2 − (rs − ∆R)2
(6.2)
Wykorzystując teraz zależność między masą molową rdzy i żelaza (2.8)
wzór (6.2) przyjmie postać
mr =
1
· ρs · π 2rs ∆R − (∆R)2
0.523
(6.3)
6.2. Propagacja rysy
85
Masę rdzy możemy też wyrazić z równania (2.5). Porównując teraz masę
rdzy obliczaną ze wzorów (2.5) oraz (6.3), otrzymamy wzór na czas krytyczny
do inicjacji rysy w postaci
tkr
p =
ρs
2rs ∆R − (∆R)2
0.523Jr · 2rs
[s]
(6.4)
Obliczając następnie z (2.4) ilość produktu czerwonej rdzy Jr dostaniemy
końcową postać wzoru
tkr
p


ρs
(∆R)2
∆R −

=
0.523 · 5.536 · 10−7 ia
2rs
[s]
(6.5)
gdzie, dla przypomnienia, ia jest gęstością prądu powstałego na skutek wędrówki jonów żelaza (A/m2 ).
Przy założeniu gęstości stali równej 7.85·103 kg/m3 i po przeliczeniu jednostek: [A/m2 ] → [µA/cm2 ], [s] → [lata] oraz jednostek dla ∆R i rs [m] →
[mm] otrzymamy ostatecznie wzór na czas krytyczny inicjacji rysy w formie
tkr
p


87.1677
(∆R)2
∆R −

=
ia
2rs
[lat]
(6.6)
Na podstawie tego wzoru, dla danych z przykładu 5.4.1, w którym wartość ubytku przekroju poprzecznego pręta zbrojeniowego o średnicy φ16 wynosiła ∆R=24.1 µm i przy założonej gęstość prądu ia =0.1 µA/cm2 można
oszacować czas do inicjacji zarysowania na ok. 21 lat.
6.2.
Propagacja rysy
Współczesne metody komputerowe pozwalają na bardzo precyzyjny opis
propagacji rysy. Bardzo krótko wymienimy tylko kilka prac charakterystycznych dla poszczególnych etapów aplikacji tych metod do analizy propagacji
rys. W pierwszych pracach wykorzystujących metodę elementów skończonych, zakładano, że rysa może propagować się tylko po krawędziach elementów skończonych [47]. Bardziej zaawansowane prace wykorzystują teorie mechaniki zniszczenia z modelami rysy fikcyjnej [29] lub rys rozmytych
[13]. W tak zwanej metodzie X-FEM dopuszcza się również propagację rysy
przez element skończony [19]. W [18] opracowano model numeryczny i program komputerowy do analizy propagacji rysy w materiałach quasi-kruchych
wykorzystując sprzężenie metody elementów skończonych z bezelementową
metodą Galerkina. Przykłady obliczeń konstrukcji znajdującej się w płaskim
stanie naprężenia wykazały dużą efektywność tej metody analizy.
Rozdział 7
Zakończenie
7.1.
Podsumowanie wyników i oryginalne elementy pracy
W pracy opracowano model matematyczny, a następnie na jego podstawie
model numeryczny służący do wyznaczania punktów na obwodzie przekroju poprzecznego pręta skorodowanego, w których jest możliwa inicjacja rysy
w betonie. Przy budowie modelu matematycznego podstawowym założeniem
było przyjęcie płaskiego stanu odkształcenia, następnie, że korodowanie stali zbrojeniowej jest pewnym procesem, w którym występuje produkt korozji
o pewnych własnościach wytrzymałościowych, będący materiałem pośrednim między stalą a rdzą. Równania modelu matematycznego sformułowano
w uaktualnionym opisie Lagrange’a. Model obliczeniowy opracowano, wykorzystując metodę elementów skończonych.
Wszystkie przykłady wykonano w systemie MATLAB wprowadzając do
niego własne procedury i algorytm obliczeń. Zdaniem autora, zaproponowana w pracy metoda analizy ma pełne cechy oryginalności. Znane w literaturze rozwiązania takiego problemu wykorzystują w zasadzie tylko rozwiązanie
liniowej teorii sprężystości zagadnienia rury grubościennej, obciążonej równomiernie ciśnieniem. Oznacza to ograniczenie się tylko do przypadku korozji
równomiernej, a przede wszystkim nie uwzględnienie wspomnianego wyżej
procesu korodowania zbrojenia. Ogólność opracowanego modelu obliczeniowego umożliwiła również numeryczną analizę przypadku korozji wżerowej, co
jest całkowicie oryginalnym elementem pracy. Należy jednakże podkreślić, że
proponowane rozwiązania są oparte na pewnych założeniach szczegółowych,
i chociaż wyniki obliczeń testowych wydają się być jakościowo poprawne, to
wymagać będą zawsze potwierdzenia przez doświadczenie. Wyniki ilościowe
weryfikowano w pracy z dostępnymi w literaturze co również nie było łatwe,
7.2. Kierunki rozwoju tematu
87
z uwagi na duże zróżnicowanie dostępnych danych wejściowych.
Do szczegółowych elementów oryginalnych pracy można zaliczyć:
1. Sformułowanie tensora przyrostów odkształceń Greena–Lagrange’a z
uwzględnieniem nieściśliwości materiału ((3.21)–(3.23)).
2. Sformułowanie przyrostowych równań konstytutywnych z uwzględnieniem liniowej zmiany modułu Younga i liczby Poissona w procesie przemiany fazowej stali w rdzę ((3.40)–(3.41)).
3. Sformułowanie przyrostowych równań MES dla konstrukcji w płaskim
stanie odkształceń, z wykorzystaniem równań wymienionych w p.1 i 2
(4.21).
4. Opracowanie procedury numerycznego opisu przemiany fazowej stali
zbrojeniowej (p.4.5.1).
5. Opracowanie modelu linii brzegowej i wzrostu korozji wżerowej (p.4.5.2).
6. Opracowanie algorytmu rozwiązania problemu (p.4.5.4).
7. Opracowanie wzoru na czas krytyczny inicjacji rysy (p.6.1).
8. Wykonanie przykładów analizy propagacji korozji stali zbrojeniowej,
dla przypadków korozji równomiernej i wżerowej (r.5).
7.2.
Kierunki rozwoju tematu
Praca ma charakter analityczno-numeryczny i na pewno jej wyniki powinny
być weryfikowane doświadczalnie. Jest to jednak trudne i kosztowne przedsięwzięcie. Dlatego możliwa jest ocena rezultatów pracy przez użycie innych
metod, jak na przykład metodę elementów brzegowych, czy też wspomnianą
już metodę wykorzystującą teorię mieszanin.
Jednakże i w takim sformułowaniu jak obecnie praca może być dalej rozwijana. Poprawę efektywności obliczeń można uzyskać przez zamianę prostego, dwuliniowego elementu izoparametrycznego przez element skończony
dwukwadratowy, co pozwoliło by na skuteczniejsze całkowanie numeryczne
i podniesienie dokładności obliczeń naprężeń.
Ważnym rezultatem pracy jest wskazanie punktu na obwodzie skorodowanego przekroju poprzecznego zbrojenia, w którym zainicjowana zostanie
rysa podstawowa oraz prognozowanie następnych punktów, mogących być
7.2. Kierunki rozwoju tematu
88
źródłem rys drugorzędnych. Możliwym jest także rozbudowanie modelu obliczeniowego o moduł opisujący propagację rysy podstawowej, przynajmniej
do chwili, w której powstanie możliwość inicjacji rysy drugorzędnej.
Całkiem nowy problem powstanie, kiedy odstąpi się od założenia płaskiego stanu odkształceń i dopuści się możliwość tworzenia się rys podłużnych
wzdłuż zbrojenia.
Przy założeniu liniowej zmienności parametrów materiałowych dla korodującej stali należy zwiększyć ilość punktów przechowujących te informacje
w strefie przejściowej. W pracy przetestowano zwiększenie rzędu kwadratury, ale nie przyniosło to spodziewanego sukcesu. Drugą możliwością jest
zagęszczenie siatki elementów skończonych, ale do pewnego zakresu, gdyż
zawsze są ograniczenia dotyczące rozmiaru elementu skończonego. Wydaje
się, że dobrym sposobem rozwiązania problemu zawartego w pracy może być
sformułowanie go poprzez użycie strategii analizy wieloskalowej.
Dodatek A
Kwadratura numerycznego
całkowania
W pracy wykorzystano do całkowania numerycznego kwadratury Gaussa–
Legendre’a i kwadratury Lobatto. W tym celu należało całkę po obszarze
elementu skończonego zamienić na całkę po obszarze kwadratu o unormowanych bezwymiarowych współrzędnych ξ, η ∈ [−1, 1] według wzoru, rys.4.1.
ZZ
f (x, y)dxdy =
Ω
Z1 Z1
f (x(ξ, η), y(ξ, η)) |J|dξdη =
Z1 Z1
F (ξ, η)dξdη
−1 −1
−1 −1
(A.1)
gdzie J jest jakobianem transformacji
J=
natomiast






dx(ξ, η) dx(ξ, η)
dξ
dη
dy(ξ, η) dy(ξ, η)
dξ
dη






c oraz y(ξ, η) = N(ξ, η)Y
c
x(ξ, η) = N(ξ, η)X
(A.2)
(A.3)
c i Y
c są wektorami kolumnowymi odpowiednio współrzędnych xgdzie X
owych i y-owych węzłów elementu skończonego, natomiast N są funkcjami
kształtu np. dla 4 węzłowego elementu skończonego określone wzorami (4.3).
Całkowanie numeryczne w obszarze 2D we współrzędnych naturalnych ξ
i η polega na obliczeniu podwójnej sumy:
Z1 Z1
−1 −1
F (ξ, η)dξdη ≈
n X
n
X
wi wj f (ξi, ηj )
(A.4)
i=1 j=1
gdzie wi i wj są wagami, a ξi i ηj są współrzędnymi węzłów odpowiedniej
kwadratury, których wartości są zawarte w tabelach A.1 oraz A.2.
90
stopień
kwadratury
1
2
3
4
5
6
waga
2.0
1.0
0.555555555555556
0.888888888888889
0.347854845137454
0.652145154862546
0.236926885056189
0.478628670499366
0.568888888888889
0.171324492379170
0.360761573048139
0.467913934572691
węzły
kwadratury
0.0
∓0.577350269189626
∓0.774596669241483
0.0
∓0.861136311594053
∓0.339981043584856
∓0.906179845938664
∓0.538469310105683
0.0
∓0.932469514203152
∓0.661209386466265
∓0.238619186083197
Tabela A.1. Punkty i wagi kwadratury Gaussa–Legendre’a
stopień
kwadratury
3
4
5
6
waga
0.333333333333333
1.333333333333333
0.166666666666667
0.833333333333333
0.100000000000000
0.544444444444444
0.711111111111111
0.066666666666667
0.378474956297847
0.554858377035486
węzły
kwadratury
∓1
0.0
∓1
∓0.447213595499958
∓1
∓0.654653670707977
0.0
∓1
∓0.765055323929465
∓0.285231516480645
Tabela A.2. Punkty i wagi kwadratury Lobatto
Dodatek B
Wygładzanie naprężeń
Procedura wygładzania naprężeń (rozumianego jako obliczenie wartości w węzłach elementu skończonego) oparta jest na metodzie szacowania błędu wykorzystującej estymator Zienkiewicza-Zhu [51, 52].
Metoda ta polega na aproksymacji pola naprężeń w bazie funkcji kształtu. Dla elementu skończonego aproksymacje taką można zapisać
σ e = Ne σ̂ e
(B.1)
gdzie σ̂ e jest nieznanym wektorem wartości naprężeń w węzłach. Wektor ten
można wyznaczyć z równania wariacyjnego
V
Z
(δu)T (Ne σ̂ e − σ e ) dV e = 0
(B.2)
Ne
Wykorzystując, że δu = Ne δQe otrzymamy w ten sposób układ równań
ze względu na niewiadomą σ̂ e



Z
V Ne


(Ne )T Ne dV e  σ̂ e =
Z
(Ne )T σ e dV e
(B.3)
V Ne
Całkowanie w równaniu (B.3) odbywa się w sposób numeryczny. Wartości
σ oraz funkcji kształtu są znane i wyznaczone w procesie rozwiązania MES.
Dalsze postępowanie jest już podobne jak w klasycznej procedurze MES.
e
Dodatek C
Opis programu komputerowego
C.1.
Struktura programu
Autorski program komputerowy był początkowo pisany w systemie OCTAVE. Jednak z powodu ograniczonych możliwości tego systemu, procedury
zostały przeniesione do systemu MATLAB. W programie zostały wprowadzone dwie struktury: danych – dan oraz wyników – sig. Poniżej wymienione
zostaną najważniejsze zmienne wchodzące w skład tych struktur:
dan.wez – macierz współrzędnych węzłów siatki elementów skończonych,
dan.elem – macierz topologii elementów skończonych,
dan.gr – wektor numerów węzłów ES na linii brzegowej otuliny betonowej,
dan.nb – wektor z numerami węzłów, w których zdefiniowany jest beton,
dan.war – wektor z numerami znanych wartości stopni swobody,
dan.mat – wektor z numerami materiału dla poszczególnych elementów,
dan.P – wektor obciążenia zewnętrznego,
dan.Qw – wektor wymuszonych przemieszczeń,
dan.zbr - wektor parametrów położenia i warunków obciążenia ubytkiem
stali w pręcie zbrojeniowym,
dan.E.b, dan.E.s, dan.E.r – odpowiednio moduły Younga dla betonu,
stali i rdzy,
dan.v.b, dan.v.s, dan.v.r – odpowiednio współczynniki Poissona dla betonu, stali i rdzy,
C.1. Struktura programu
93
sig.s1, sig.s2 – macierze ze współrzędnymi punktów numerycznego całkowania dla poszczególnych elementów z podziałem na materiał beton
(s1) i korodującą stal (s2),
sig.sig.s1, sig.sig.s2 – macierze z wartościami naprężeń w punktach numerycznego całkowania dla poszczególnych elementów z podziałem na
materiał beton (s1) i korodującą stal (s2),
W skład pakietu własnego programu komputerowego wchodzą następujące m-plik wypisane w kolejności występowania:
start procedura nadrzędna; w procedurze tej odbywa się wczytywanie danych, sterowane są kroki przyrostowe oraz wykonywane są wydruki
map naprężeń; jako dane należy wpisać nazwę pliku z siatką ES, np.:
(...)
nazwa=’t2_bg’;
(...)
oraz parametry obciążenia korozją, np.:
(...)
dan.zbr=[0.,30,7.99,.1,0, 1e-4, pi/8,pi/4, 0];
(...)
w wektorze którym zdefiniowane są: współrzędna x i y dla środka pręta
zbrojenowego; promień nieskorodowanego pręta; współczynnik szerokości strefy przejściowej dsf ; parametr kierunku ubytku promienia pręta
zbrojeniowego (0 - kierunek promieniowy, 1 - kierunek osi x, 2 - kierunek osi y); wartość ubytku promienia dla korozji równomiernej oraz
parametry dla korozji wżerowej: kąt amplitudy wżeru θo ; szerokość kąta wżeru θS i przyrost amplitudy wżeru ∆rb, p.4.5.2.
czyt procedura do wczytywania danych geometrycznych dotyczących: siatki
elementów skończonych ze współrzędnymi węzłów; macierzy topologii;
oznaczenia rodzaju materiału i warunków brzegowych,
wbrz procedura pomocnicza do wyznaczenia numerów stopni swobody odpowiadających znanym wartościom przemieszczeń,
elmpg procedura pomocnicza do przydzielenia numeru materiału do odpowiedniego ES,
C.1. Struktura programu
94
renumer procedura pomocnicza kompresująca numery węzłów i elementów
dla betonu,
npgs, npg zestaw procedur do wyznaczenia współrzędnych x i y punktów
numerycznego całkowania dla poszczególnych elementów,
pg procedura pomocnicza określająca wagi i współrzędne naturalne ξ i η
punktów numerycznego całkowania,
kat, tR, tr, dr, dR zestaw procedur do wyznaczenia ubytku promienia
pręta zbrojeniowego w zależności od kąta między promieniem przechodzącym przez dany punkt a osią x,
addmat, prmat, fR, fdR zespół procedur przypisujących marker materiałowy do danego punktu numerycznego całkowania,
przwmat, zwmat zespół procedur przypisujących wartości materiałowe
do danego punktu numerycznego całkowania,
PPrust procedura główna, w której wykonywane są kroki iteracyjne. Wyznaczany jest układ równań MES wyznaczane są przyrosty ∆r,
bool procedura do wyznaczania globalnych numerów stopni swobody dla
elementów,
e
blin, bnlin procedury do wyznaczania liniowej BL i liniowo-nieliniowej BeNL
macierzy pochodnych funkcji kształtu,
zmB procedura do modyfikacji liniowej macierzy pochodnych funkcji kształtu dla całkowania selektywnego
bbarn procedura do wyznaczenia współczynnika α w równaniu (3.19),
∗
fkszt2 procedura do wyznaczenia wartości funkcji i jej pochodnych w punktach numerycznego całkowania oraz wyznaczenia Jakobianu przejścia
między współrzędnymi naturalnymi ξ i η a współrzędnymi kartezjańskimi x i y,
klin, knlin procedury do wyznaczenia odpowiednio macierzy liniowej KeL
i geometrycznej Keσ dla poszczególnych elementów,
wresid procedura do wyznaczenia wektora residuum Re ,
zmsig procedura do przeliczenia tensora naprężeń Pioli-Kirchhoffa na tenor
Cauchy’ego ((3.26)),
C.2. Przygotowanie danych
95
sigbetzz procedura do wyznaczenia wartości naprężeń w węzłach elementu
(B.3),
sigbieg procedura do wyznaczenia wartości naprężeń w węzłach elementu
w układzie biegunowym,
siggl procedura do wyznaczenia wartości naprężeń głównych,
disprys, sigryszz procedury tworzące pliki danych do programu PLOTMTV
służące do sporządzenia map przemieszczeń i naprężeń,
ploterg procedury do sporządzenia wstępnej i zdeformowanej siatki ES do
programu GNUPLOT,
ttime procedura pomocnicza do drukowania czasu obliczeń.
C.2.
Przygotowanie danych
Siatka elementów skończonych może być wygenerowana przy pomocy dowolnego programu komputerowego. Z programu tego należy utworzyć pliki:
• dane 1 .n zawierający macierz współrzędnych węzłów; w pliku pierwsza
kolumna zawiera współrzędne x, a druga współrzędne y poszczególnych
węzłów; numer wiersza jest identyfikowany jak numer węzła., np.:
(...)
1.893219
1.322112
(...)
1.321323
1.232312
• dane.e zawierający macierz topologii; w pliku kolejne kolumny są numerami węzłów tworzących dany element skończony; numer wiersza
jest identyfikowany z numerem elementu, np.:
(...)
202 201 84 83
201 200 85 84
(...)
• dane.m zawierający wektor z numerami materiału dla poszczególnych
elementów skończonych; beton oznaczony jest numerem 1; oraz numer
wiersza pliku identyfikowany jest z numerem elementu,
1
należy podać odpowiednią nazwę pliku z danymi
C.2. Przygotowanie danych
96
• dane.dx i dane.dy zawierające odpowiednio wektory z numerami węzłów z zablokowanymi przesuwami w kierunku x i y,
• dane.b zawierający wektor z numerami węzłów, w których zdefiniowany jest materiał beton,
• dane.g zawierający wektor z numerami węzłów z linii należącej do linii
brzegowej pręta zbrojeniowego.
W celu wyprodukowania powyżej opisanych plików wykorzystany był
w pracy program ANSYS. Z powodu zbyt dużego zagęszczenia elementów
w okolicy brzegu pręta zbrojeniowego należało zwiększyć dokładność wydruku współrzędnych węzłów. W tym celu napisano skrypt o nazwie net
zawierający linie:
allsel
*get,_mxnode,node,,num,max
*dim,vvector,array,_mxnode,3
/prep7
*vget,vvector(1,1),node,,nsel
*vget,vvector(1,2),node,,loc,x
*vget,vvector(1,3),node,,loc,y
*cfopen,net,n
*vmask,vvector
*vwrite,vvector(1,2),vvector(1,3)
(f13.8,f13.8)
*cfclose
Do utworzenia pliku z macierzą topologii użyto instrukcji
/output,net,e
elist
Natomiast do utworzenia pliku z informacjami o warunkach brzegowych
/output,net,d
dlist
Do stworzenia pliku z danymi numerami węzłów leżących na brzegu pręta
zbrojeniowego zapisano ciąg instrukcji
lsel,s,line,,5
lsel,a,line,,8
nsll,s,1
/output,net,g
nlist
C.3. Wyniki
97
gdzie 5 i 8 oznaczają numery linii brzegowej.
Ostatnim plikiem był plik z informacjami o węzłach należących do materiału beton
allsel
asel,s,,,1
asel,a,,,2
asel,a,,,3
nsla,s,1
/output,net,b
nlist
gdzie 1, 2 i 3 oznaczają numery obszarów z materiałem beton.
Ostateczne wydruki należało poddać transformacji do wymaganego formatu opisanego na początku tego punktu. W tym celu wykorzystano programy GREP i AWK w systemie LINUX. Zawartość skryptu realizującego
zaplanowane zadanie ma postać:
file2=dane
grep "^[[:space:]]*[[:digit:]]\+[[:space:]]\+[[:digit:]]" net.e
| awk ’{print $7,$8,$9,$10}’ > $file2.e
grep "^[[:space:]]*[[:digit:]]" net.n | awk ’{print $1 ,$2}’
> $file2.n
grep "^[[:space:]]*[[:digit:]]\+[[:space:]]\+[-]\?[[:digit:]]"
net.g | awk ’{print $1}’ > $file2.g
grep "^[[:space:]]*[[:digit:]]\+[[:space:]]\+[-]\?[[:digit:]]"
net.b | awk ’{print $1}’ > $file2.b
grep "^[[:space:]]*[[:digit:]]\+[[:space:]]\+[[:digit:]]" net.e
awk ’{print $2 }’ > $file2.m
grep "^[[:space:]]*[[:digit:]]\+[[:space:]]\+UX" net.d
| awk ’{print $1}’ > $file2.dx
grep "^[[:space:]]*[[:digit:]]\+[[:space:]]\+UY" net.d
| awk ’{print $1}’ > $file2.dy
gdzie plik z danymi ma nazwę „dane”.
C.3.
Wyniki
Program generuje w trakcie obliczeń pliki wsadowe:
– do programu graficznego PLOTMTV w celu wykonania map warstwicowych przemieszczeń i naprężeń,
C.3. Wyniki
98
– do programu graficznego GNUPLOT w celu wykonania wykresu naprężeń głównych po obwodzie przekroju poprzecznego pręta zbrojeniowego.
Takie mapy warstwicowe naprężeń i naprężenia główne pokazane już były
przy omawianiu przykładów. Nie pokazywano tam jedynie map przemieszczeń, jako nieistotnych dla rozwiązywanych problemów. Przykładowa mapa
przemieszczeń w układzie kartezjańskim dla przęsła płyty (rys.5.14) pokazana jest na rys.C.1
ux
uy
100
0.000364
0.000231
0.000269
0.000136
0.000174
4.06e−05
7.92e−05
−5.44e−05
−1.58e−05
y
y
100
−0.000149
−0.000111
−0.000245
−0.000206
−0.00034
−0.000301
2
−100
−0.000396
0
x
100
−0.000435
2
−100
(a)
−0.00053
0
x
100
(b)
Rys.C.1. Przęsło płyty - brak obciążenia zewnętrznego - mapy przemieszczeń: ux
(a), uy (b)
W trakcie wykonywania obliczeń program w pliku stan gromadzi informacje o stanie obliczeń. Przykładowa część tego pliku ma postać:
////////////////////////////////////
Start - 0 d 0 h 0 m 0.012539 s
////////////////////////////////////
Krok przyrostowy NR:1 - 0 d 0 h 0 m 11.4169 s
--------*******************--------Start procedury sig - 0 d 0 h 0 m 11.4196 s
Koniec procedury sig - 0 d 0 h 0 m 11.7762 s
-----------------------------------Start procedury PPrust - 0 d 0 h 0 m 11.779 s
Krok iteracyjny NR:1
Obliczone macierze
Przed rozwiązaniem układu równań - 0 d 0 h 2 m 15.7966 s
Obliczony układ - 0 d 0 h 2 m 16.9344 s
Krok iteracyjny NR:1 - Koniec błąd residuum 76.0842
błąd przemieszczeń 1
C.3. Wyniki
0 d 0 h 2 m 34.8966 s
(...)
Obliczone macierze
błąd przemieszczeń 0.00366
0 d 0 h 7 m 24.6806 s
Koniec procedury PPrust - 0 d 0 h 7 m 34.0306 s
-----------------------------------Rysunki
Krok przyrostowy NR:2 - 0 d 0 h 8 m 27.2928 s
--------*******************--------Start procedury sig - 0 d 0 h 8 m 27.2954 s
Koniec procedury sig - 0 d 0 h 8 m 27.5811 s
-----------------------------------Start procedury PPrust - 0 d 0 h 8 m 27.5839 s
Obliczone macierze
błąd przemieszczeń 1
0 d 0 h 10 m 50.2559 s
(...)
////////////////////////////////////
KONIEC - 1 d 22 h 11 m 4.8836 s
////////////////////////////////////
99
Literatura
[1] A. Ajdukiewicz. Konstrukcje betonowe projektowane na okres użytkowania – badania a nowe ujęcie normatywne. W: Problemy naukowo–
badawcze budownictwa. Konstrukcje budowlane i inżynierskie, v. II, s.
15–38, Białystok, 2007. Wydawnictwo Politechniki Białostockiej.
[2] G.J. Al-Sulaimani, M. Kaleemullah, I.A. Basunbul, Rasheeduzzafar. Influence of corrosion and cracking on bond behavior and strength of
reinforced concrete members. ACI Structural Journal, 87(2):220–230,
1990.
[3] A.A. Almusallam. Effect of degree of corrosion on the properties of
reinforcing steel bars. Construction and Building Materials, 15, 2001.
[4] C. Andrade, C. Alonso. Durability design based on models for corrosion
rates. W: H. Jennings, J. Kropp, K. Scrivener (red.), Modelling of
microstructure and its potential for studying transport properties and
durability, s. 473–492. The Netherlands: Kluwer Academic Publisher,
1996.
[5] C. Andrade, C. Alonso, F.J. Molina. Cover cracking as a function of
bar corrosion: Part I – experimental test. Materials and Structures, 26:
453–464, 1993.
[6] Inc. ANSYS. Ansys. http://www.ansys.com, 1970–2008.
[7] D. Barthelmy. Mineralogy database. www.webmineral.com, 2000–2005.
[8] Z. Bažant. Physical model for steel corrosion in concrete sea structures
– theory. Journal of the Structural Division, 105(ST6):1137–1153, 1979.
[9] J. Bonet, R.D. Wood. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis. Cambridge University Press, 2000.
[10] B. Boroomand, O.C. Zienkiewicz. Recovery procedures in error estimation and adaptivity. Part II: Adaptivity in nonlinear problems of
LITERATURA
101
elasto–plasticity behaviour. Computer Methods Applied Mechanics and
Engineering, 176:127–146, 1999.
[11] O. Coussy. Mechanics of Porous Continua. John Wiley & Sons, 1995.
[12] B. Cwalina, Z. Dzierżewicz. Procesy istotne w przebiegu biologicznej
degradacji konstrukcji żelbetowych (cz.II). Przegląd Budowlany, 9:23–
28, 2007.
[13] H.J. Dagher, S. Kulendran. Finite element modeling of corrosion damage in concrete structures. ACI Materials Journals, 89(6):699–708,
1992.
[14] J.W. Eaton. Octave. http://www.gnu.org/software/octave, 1998–2006.
[15] MTV Plot Data Format. Intel Corporation, 2200 Mission College Boulevard, Santa Clara, California 95052, 1994.
[16] Y.C. Fung. Podstawy mechaniki ciała stałego. PWN, Warszawa, 1969.
[17] T.J.R. Hughes. The Finite Element Method. Linear Static and Dynamic
Finite Element Analysis. Dover Publications INC., Mineola, New York,
2000.
[18] J. Jaśkowiec. Integracja MES z BMG w dwuwymiarowej analizie propagacji pękania quasi–kruchego. Praca doktorska, Politechnika Krakowska,
Kraków, 2003.
[19] T. Koziara, C. Cichoń. Solfec–xfem program for crack growth analysis
in 2D concrete structures. W: Computer Methods in Mechanics (CMM–
2003), Gliwice, Poland, June 3–6 2003.
[20] S. Kranc, A. Sagüés. Computation of reinforcing steel corrosion distribution in concrete marine bridge substructures. Corrosion, 50(1):
50–61, 1994.
[21] T. Krykowski. Computational model of corrosion damage analysis in
shell concrete. Computer Methods in Mechanics, June 21–24 2007. CD
materials.
[22] W. Krzyś, M. Życzkowski. Sprężystość i plastyczność. Wybór zadań i
przykładów. PWN, 1962.
[23] P. Lancaster, K. Salkauskas. Surface generated by moving least squares
methods. Mathematics and Computations, 155(37):141–158, 1981.
LITERATURA
102
[24] Y. Liu, R.E. Weyers. Time to cracking for chloride–induced corrosion in
reinforced concrete. W: C. Page, P. Bamforth, J. Figg (red.), Corrosion
of Reinforcement in Concrete Construction, s. 88–104. Cambridge: The
Royal Society of Chemistry, 1996.
[25] Y. Liu, R.E. Weyers. Modeling the time–to–corrosion cracking in chloride contaminated reinforced concrete structures. ACI Materials Journal,
95(6):675–681, 1998.
[26] K. Lungren. Modelling the effect of corrosion on bond in reinforced
concrete. Magazine of Concrete Research, 54(3):165–173, 2002.
[27] K. Lungren. Modelling the splitting effects of corrosion in reinforced
concrete. W: Bićanić et al. (red.), Computational Modelling of Concrete
Structures, s. 491–499. Swets & Zeitlinger, 2003.
[28] K. Lungren, K. Gylltoft. A model for the bond between concrete and
reinforcement. Magazine of Concrete Research, 52(1):53–63, 2000.
[29] T. Matsuo, T. Kanzu. Crack propagation analysis of concrete due to
expansion of reinforcement corrosion. Fracture Mechanics of Concrete
Structures. Proceedings FRAMCOS–3, s. 1669–1676, 1998.
[30] F. Molina, C. Alonso, C. Andrade. Cover cracking as a function of
bar corrosion: Part 2 – numerical model. Materials and Structures, 26:
532–548, 1993.
[31] B. Martı́n–Pérez. Service Life Modelling of R.C. Highway Structures
Exposed to Chlorides. PhD thesis, Department of Civil Engineering,
University of Toronto, 1999.
[32] Norma. EN 199-1-1:2004 Design of concrete stuctures - Part 1-1: Generals rules and rules for buildings. (polskie tłumaczenie: PN-EN 19921-1 Eurokod 2: Projektowanie konstrukcji z betonu - Część 1-1: Reguły
ogólne i reguły dla budynków).
[33] Norma. Bulletin fib 34. Model Code for Service Life Design, February
2006.
[34] Norma. Minimum Requirements for Durable Concrete. Crowthorne,
1998.
[35] W. Nowacki. Teoria sprężystości. PWN, Warszawa, 1973.
LITERATURA
103
[36] M. Ohtsu, S. Yosimura. Analysis of crack propagation and crack initiation due to corrosion of reinforcement. Construction and Building
Materials, 11:437–442, 1997.
[37] Rasheeduzzafar, S.S. Al-Saadoun, A.S. Al-Gahtani. Corrosion cracking
in relation to bar diameter, cover and concrete quality. Journal of
Materials in Civil Engineering, 4(4):327–342, 1993.
[38] P. Romanowski. Analiza numeryczna trwałości elementów konstrukcji
betonowych poddanych obciążeniom chemiczno–mechanicznym. Praca
doktorska, Politechnika Krakowska, Kraków, 2005.
[39] A. Rosenberg, M.C. Hanson, C. Andrade. Mechanisms of corrosion of
steel in concrete. W: J. Skalny (red.), Materials Science of Concrete I,
s. 285–313. The American Ceramic Society, Inc, Westerville, OH, 1989.
[40] Z. Ściślewski. Trwałość konstrukcji żelbetowych. Seria: Monografie.
Wydawnictwo Instytutu Techniki Budowlanej, 1995.
[41] J.C. Simo, R.L. Taylor, K.S. Pister. Variational and projection methods
for the volume constraint in finite deformation elasto–plasticity. Computer Methods Applied Mechanics and Engineering, 51:177–208, 1985.
[42] R. Tepfers. Cracking of concrete cover along anchored deformed reinforcing bars. Magazine of Concrete Research, 31(106):3–10, 1979.
[43] Inc The MathWorks. Matlab & simulink. http://www.mathworks.com,
1994–2008.
[44] K. Tuutti. Corrosion of Steel in Concrete. Swedish Cement and Concrete Research Institute, Stockholm, 1982.
[45] T. Vidal, A. Castel, R. François. Analyzing crack width to predict
corrosion in reinforced concrete. Cement and Concrete Research, 34:
165–174, 2004.
[46] K. Washizu. Variational Methods in Elasticity and Plasticity. Pergamon
Press, 1982.
[47] P. Wawrzynek, A.R. Ingraffea. Discrete modelling of crack propagation.
Theoretical aspects and implementation issues in two and three dimensions. School of Civil and Environmental Engineering, Report 91–5,
1991.
LITERATURA
104
[48] R.E. Weyers. Service life model for concrete structures in chloride laden
environments. ACI Materials Journal, 95(4):445–453, 1998.
[49] T. Williams, C. Kelley. Gnuplot. http://www.gnuplot.info, 1986–1993,
1998, 2004.
[50] O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. The finite element patch test revisited. A computer test for convergence, validation and error estimates.
Computer Methods Applied Mechanics and Engineering, 149:223–254,
1997.
[51] O.C. Zienkiewicz, J.Z. Zhu. A simple error estimator and adaptive
procedura for practical engineering analysis. International Journal for
Numerical Methods in Engineering, 24:337–357, 1987.
[52] O.C. Zienkiewicz, J.Z. Zhu. Superconverence and the superconvergent
patch test recovery. Finite Elements in Analysis and Design, 19:11–23,
1995.
[53] O.C. Zienkiewicz, B. Boroomand, J.Z. Zhu. Recovery procedures in
error estimation and adaptivity. Part I: Adaptivity in linear problems.
Computer Methods Applied Mechanics and Engineering, 176:111–125,
1999.

numeryczna analiza efektów mechanicznych korozji

Transkrypt

Podobne dokumenty

Rozciąganie i ściskanie w układach statycznie niewyznaczalnych

00 - poczatek

PHU ELKA - Hurtownia stali

PHU ELKA - Hurtownia stali

Wzory rysunków Laserowe urządzenie będzie słuyło do

Sunex inhibitor korozji.cdr

SMAR F-5

KATAL - EPUROCET W300