Caªki wielokrotne

Caªki wielokrotne
Wspóªrz¦dne
Zamiana zmiennych

x = r cos ϕ
biegunowe
y = r sin ϕ


x = r cos θ cos ϕ



y = r cos θ sin ϕ



z = r sin θ


x = r cos ϕ



y = r sin ϕ



z = z
sferyczne
cylindryczne
(walcowe)
Zadanie 1.
1.
R2 R2x
0
1.
0
2.
dx;
x
r
r2 cos θ
r
cos(x + y)dx dy .
0
Narysowa¢ obszary caªkowania oraz dokona¢ zmiany kolejno±ci caªkowania:
f (x, y)dy dx;
RR
Zadanie 3.
π/2
R Ry
0
x/2
R1 R1
Jakobian
Obliczy¢ podane caªki iterowane:
dy
(1+x+y)2
Zadanie 2.
Dziedzina

r > 0
ϕ ∈ (0, 2π)


r>0



ϕ ∈ (0, 2π)



θ ∈ (− π , π )
2 2


r>0



ϕ ∈ (0, 2π)



z ∈ R
Obliczy¢
2.
Re2 lnR y
1
f (x, y)dx dy .
0
f (x, y) dxdy ,
gdy:
D
1
,
(y+x)2
D = [1, 2] × [3, 4];
1.
f (x, y) =
2.
f (x, y) = yex , D
3.
f (x, y) = sin x cos y , D
-trójk¡t o wierzchoªkach:
A = (1, 1), B = (2, 2), C = (3, 2);
-trójk¡t o wierzchoªkach:
A = (a, 0), B = (0, a), C = (0, 0),
a > 0;
4.
f (x, y) = 2y + x, D
5.
f (x, y) = 2xy 2 , D
6.
f (x, y) =
7.
f (x, y) = y + x, D
8.
f (x, y) = e−2x , D
9.
f (x, y) = xy 2 , D
-zbiór ograniczony krzywymi
10.
f (x, y) = 2xy , D
-zbiór okre±lony nierówno±ciami
11.
f (x, y) =
1
,
1+x
1
,
ln2 x
D
D
-trójk¡t o wierzchoªkach:
A = (0, 0), B = (2, 2), C = (1, 1);
y = x, y = x1 , y = 2;
-zbiór ograniczony krzywymi
-zbiór ograniczony krzywymi
y = x, y = x2 ;
-zbiór ograniczony krzywymi
-zbiór okre±lony
y = x, y = 4x, y =
4
;
x
2 − x2 ≤ y ≤ x2 − 3x;
-zbiór ograniczony krzywymi
1
y = x1 , y = − x1 , y ∈ [1, 2];
y 2 + x2 ≤ 16, x ≤ −2;
|y| = x1 , x = e, x =
√
e;
12.
f (x, y) = cos(xy), D
13. *f (x, y)
= xy , D
14. *f (x, y)
=
-zbiór ograniczony krzywymi
-zbiór ograniczony krzywymi:
√
√
x+ y
ey
,
(4+x)2
15.
f (x, y) =
16.
f (x, y) = x + 2y , D
17.
f (x, y) = √
18.
f (x, y) =
D
1
,
x2 +y 2
-zbiór ograniczony krzywymi
20.
f (x, y) = x, D
22.
23.
D
√
√
x + y = 2.
|x|
,y
4
4
;
x
=
1 ≤ y 2 + x2 ≤ 4;
-zbiór okre±lony nierówno±ciami
x2 + y 2 − 2x ≤ 0;
-zbiór okre±lony nierówno±ciami
x2 + y 2 ≤ 4, y ≥ |x|;
zbiór ograniczony krzywymi:
1
,
x2 +y 2
y = |x| , y =
-zbiór okre±lony nierówno±ciami
D
x = 0, y = 0,
y = ln |x| , y = 0, y = 1;
-zbiór ograniczony krzywymi
19.
=√
xy = 1, xy = 2, y = x2 , y = 3x2 ;
-zbiór D ograniczony krzywymi:
p
x2 + y 2 , D
p
f (x, y) = x2 + y 2 , D
21. *f (x, y)
2y |x| = π, y = 1, y = 2;
x2 + (y − 1)2 = 1, y = x, (x ≥ y);
- zbiór ograniczony krzywymi:
(x2 + y 2 )2 − 4x(x2 + y 2 ) = 4y 2 ,
x2 + y 2 = 4, (x ≥ 0);
p
f (x, y) = (x2 + y 2 )3 , D -zbiór okre±lony nierówno±ciami 2y ≤ x2 + y 2 ≤ 6y ;
p
f (x, y) = sin x2 + y 2 , D -zbiór okre±lony nierówno±ciami 4π 2 ≤ x2 + y 2 − 2x ≤
8π 2 , y ≥ 0;
24.
f (x, y) = x + y , D
25. *f (x, y)
26.
-zbiór okre±lony nierówno±ciami
= x2 + y 2 , D
0 ≤ x ≤ y, x2 + y 2 ≤ 18;
- zbiór b¦dacy sum¡ nastepuj¡cych zbiorów
K̄((−1, 0), 1), K̄((0, 1), 1), K̄((0, −1), 1);
p
*f (x, y) = x x2 + y 2 ,D -zbiór ograniczony
krzywymi:
K̄((1, 0), 1),
(x2 + y 2 )2 = x2 − y 2 , x = 0,
(x ≥ 0).
Niech
Zadanie 4.
D ⊂ R2
b¦dzie zbiorem ograniczonym i normalnym wzgl¦dem obu osi,
takim, »e
∀ (x, y) ∈ D
f :D→R
Zaªó»my, »e
jest funkcj¡ ci¡gª¡ i speªniaj¡c¡ warunek
∀ (x, y) ∈ D
Wykaza¢, »e
RR
(x, −y) ∈ D.
f (x, y) = −f (x, −y).
f (x, y) dxdy = 0.
D
Zadanie 5.
Niech f
: [a, b]×[c, d] → R b¦dzie funkcj¡ caªkowaln¡. Obliczy¢
RR
[a,b]×[c,d]
wiedz¡c, »e
RR
f (3x, 4y) dxdy = 2.
a b
c d
[ , ]×[ , ]
3 3
4 4
Zadanie 6.
Obliczy¢
RRR
f (x, y, z) dxdydy ,
gdy:
D
2
f (x, y) dxdy ,
1.
f (x, y, z) = y(cos x + z), D
f (x, y, z) = z
y =
√
x, y = 0,
π
;
2
z = 0, x + z =
2.
- zbiór ograniczony powierzchniami
p
x2 + y 2 , D
- zbiór ograniczony powierzchniami
z = −2, z = 3,
x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 16;
3.
f (x, y, z) = xy , D
- zbiór ograniczony powierzchniami
z = 0, x = 0, y = 0,
2x + y + z = 6;
4.
f (x, y, z) = z 2 , D
5.
f (x, y, z) = (x + y)2 , D
6.
f (x, y, z) = z , D
7.
f (x, y, z) = √
- zbiór ograniczony powierzchniami
x2 + y 2 = z 2 , x2 + y 2 = −2x;
- zbiór ograniczony powierzchniami
- zbiór okre±lony nierówno±ciami
1
,
x2 +y 2 +(z−2)2
D
z = −2, z = 7 − x2 − y 2 ;
y2 ≤ x ≤ 6 − y, 0 ≤ z ≤
- zbiór ograniczony powierzchniami
√
x;
z = −1, z = 1,
x2 + y 2 = 1;
8.
f (x, y, z) = x2 + y 2 , D
- zbiór ograniczony powierzchniami
z = 0, x2 + y 2 + z 2 = 1,
x2 + y 2 + z 2 = 16;
9.
f (x, y, z) = z , D
- zbiór ograniczony powierzchniami
2x + y = 2, x = 0, y = 0,
z = 0, x2 + y 2 + z 2 = 9;
10.
f (x, y, z) = y , D
- zbiór ograniczony powierzchniami
11.
f (x, y, z) = x2 yz , D
z = y, z = 0, y = 1 − x2 ;
- zbiór ograniczony powierzchniami
x = 2, y = −x, y = x2 ,
z = 0, z = x + y ;
12.
f (x, y, z) =
p
x2 + y 2 , D
- zbiór ograniczony powierzchniami
z = x2 + y 2 , z = 1,
z = 4;
13.
f (x, y, z) = √
1
,
x2 +y 2 +z 2
D
- zbiór ograniczony powierzchniami
x2 + y 2 + z 2 = 4,
x2 + y 2 + z 2 = 16;
14.
f (x, y, z) = x2 +y 2 , D - zbiór ograniczony powierzchniami x2 +y 2 = 4, z =
p
x2 + y 2 ,
z = 0;
15.
f (x, y, z) =
Zadanie 7.
p
x2 + y 2 + z 2 , D - zbiór ograniczony powierzchniami x2 +y 2 +z 2 −z = 0.
Obliczy¢ obj¦to±¢ bryªy ograniczonej powierzchniami:
1.
z = x2 + y 2 , y = 0, z = 0, x = 0, x + y = 4;
2.
x2 + y 2 = 1, y 2 + z 2 = 1;
3
3.
x2 + y 2 = 2y , x2 + y 2 + z 2 = 4;
4.
z = x2 + y 2 , y 2 + x2 = z 2 ;
5.
x2 + y 2 + z 2 = 8, y 2 + x2 = 2z ;
6.
z = x2 + y 2 , 2y 2 + x2 = 1, y = x, y = 2x;
7.
z = 4 + x2 + y 2 , z = −2, y 2 + x2 = 4;
8.
z = 4 + x2 + y 2 , z = −2, y 2 + x2 + 4y = 0;
9.
y 2 = z , z = −1, y = 0, y = 3 − x, y = 3 + x;
p
4y − x2 − y 2 , z = 1;
10.
z =1+
11.
z=
12.
x2 + y 2 + z 2 = 9, z =
13.
z = 4x2 + y 2 , z = 4 − 3y 2 ;
14.
y 2 + z 2 = 1, y = x, x = 0.
p
√
4
x2 + y 2 , z = 1, z = 2.
Zadanie 8.
Obliczy¢ pole powierzchni:
1.
z 2 = 4x
2.
x2 + y 2 + z 2 = 4
3.
z = 2x + 2y − 13
4.
z=
5.
z = 9 − x2 − y 2
6.
x2 + z 2 = y 2
le»¡cej w pierwszym oktancie wyci¦tej powierzchniami
√
2xy
Zadanie 9.
p
x2 + y 2 ;
wyci¦tej powierzchni¡
wyci¦tej powierzchni¡
wyci¦tej powierzchniami
y 2 = 4x i x = 1;
3z = y 2 + x2 ;
y 2 + x2 = 2x;
y = 1, y = x, x = 4;
le»¡cej pomiedzy powierzchniami
le»¡cej wewn¡trz powierzchni
x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 4;
x2 + y 2 = 4.
Wyznaczy¢ wspóªrz¦dne ±rodka ci¦»ko±ci bryªy:
1.
V = [0, a] × [0, b] × [0, c], a, b, c > 0
2.
V = K̄((0, 0, 0), 3)
o g¦sto±ci
o g¦sto±ci
ρ(x, y, z) = x + y + z ;
ρ(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
4