Wykład dwunasty Weryfikacja hipotez statystycznych
Transkrypt
Wykład dwunasty Weryfikacja hipotez statystycznych
Wykład dwunasty Weryfikacja hipotez statystycznych Definicja 1 Hipoteza˛ statystyczna˛ nazywamy każde przypuszczenie dotyczace ˛ nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego decyduje si˛e na podstawie pobranej próby. Definicja 2 Hipoteza˛ prosta˛ nazywamy hipotez˛e, która jednoznacznie precyzuje wartości nieznanych parametrów. W przeciwnym przypadku hipoteza jest złożona. H0 - hipoteza zerowa - hipoteza, której prawdziwość poddaje si˛e w watpliwość ˛ H1 - hipoteza alternatywna - hipoteza, która˛ jesteśmy skłonni przyjać, ˛ jeśli odrzucimy hipotez˛e zerowa˛ Definicja 3 Bł˛edem I rodzaju nazywamy odrzucenie hipotezy zerowej, gdy jest ona prawdziwa. Bł˛edem II rodzaju nazywamy przyj˛ecie hipotezy zerowej, gdy jest ona fałszywa. Definicja 4 Poziomem istotności testu nazywamy prawdopodobieństwo bł˛edu I rodzaju. Definicja 5 Zbiorem krytycznym testu nazywamy zbiór wartości statystyki testowej prowadzacych ˛ do odrzucenia hipotezy zerowej na korzyść hipotezy alternatywnej: Jeśli wartość statystyki testowej należy do C, to odrzucamy hipotez˛e H0 na korzyść H1 ; Jeśli wartość statystyki testowej nie należy do C, to mówimy, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0 . Test zgodności χ2 - Pearsona: Niech X1 , . . . , Xn , n > 100 b˛edzie próba˛ prosta˛ pobrana˛ z rozkładu o nieznanej dystrybuancie F . Niech F0 b˛edzie zadana˛ dystrybuanta.˛ Testować b˛edziemy hipotez˛e H0 : F = F0 przeciwko hipotezie H1 : F 6= F0 . Podzielmy wartości próby na k rozłacznych ˛ klas. Niech: ni - liczność i - tej klasy (n1 + . . . + nk = n); pi - prawdopodobieństwo teoretyczne że, przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 , obserwowana zmienna losowa przyjmie wartość z i - tej klasy. Wtedy zmienna losowa χ2P = k X (ni − npi )2 npi i=1 ma rozkład χ2 o k − 1 stopniach swobody. Przy zadanym poziomie istotności α, zbiór krytyczny jest postaci C = [χ2 (1 − α, k − 1); ∞), gdyż za odrzuceniem H0 przemawiaja˛ duże wartości statystyki χ2P oraz P (χ2P > χ2 (1 − α, k − 1)) = α. 1