Przestrzenie metryczne
Transkrypt
Przestrzenie metryczne
Przestrzenie metryczne: metryki i zbieżność Zadanie 1. Sprawdzić, że poniższe wzory zadają metryki na płaszczyźnie R2 : (i) (metryka euklidesowa) d2 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = q (y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 ; (ii) (metryka miejska, inaczej: taksówkowa) d1 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = |y1 − x1 | + |y2 − x2 |; (iii) (metryka „szachowa”) d∞ ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = max {|y1 − x1 |, |y2 − x2 |}; (iv) (metryka pocztowa) dP ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = ( = d2 ((x1 , x2 ), (P1 , P2 )) + d2 ((P1 , P2 ), (y1 , y2 )), 0, gdy (x1 , x2 ) 6= (y1 , y2 ), gdy (x1 , x2 ) = (y1 , y2 ), gdzie P = (P1 , P2 ) ustalony punkt („poczta”); (v) (metryka pocztowa w mieście) dmP ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = ( = d1 ((x1 , x2 ), (P1 , P2 )) + d1 ((P1 , P2 ), (y1 , y2 )), 0, gdy (x1 , x2 ) 6= (y1 , y2 ), gdy (x1 , x2 ) = (y1 , y2 ), gdzie P = (P1 , P2 ) ustalony punkt; (vi) (metryka kolejowa) dK ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = = d2 ((x1 , x2 ), (w1 , w2 )) + d2 ((w1 , w2 ), (y1 , y2 )), d2 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )), 0, gdy (x1 , x2 ) 6= (y1 , y2 ) i (w1 , w2 ) nie są współliniowe, gdy (x1 , x2 ) 6= (y1 , y2 ) i (w1 , w2 ) są współliniowe, gdy (x1 , x2 ) = (y1 , y2 ), gdzie w = (w1 , w2 ) ustalony punkt („węzeł kolejowy”); | Im u − Im z|, (vii) (metryka-rzeka) drz (u, z) = gdy Re u = Re z, | Im u| + | Im z| + | Re u − Re z|, gdy Re u 6= Re z, gdzie u, z ∈ C ' R2 ; (viii) (metryka „przymusowej kąpieli”) 0, dkrz (u, z) = gdy u = z, | Im u| + | Im z| + | Re u − Re z|, gdy u 6= z, gdzie u, z ∈ C ' R2 . 2 Zadanie 2. Zaznaczyć na płaszczyźnie √ (R , d) następujące kule otwarte: B( (3, 2), 2), B( (3, 2), B( (6, 4), 1), B( (6, 4), 3), B( (6, 4), 13), B( (6, 4), 4), B( (6, 4), 5), B( (6, 4), 8), B( (6, 4), 9), gdzie d jest jedną z metryk z Zad. 1 (d2 , d1 , d∞ , dP , dmP , dK , drz , dkrz ). Narysować kule domknięte o tych samych środkach i promieniach. Zadanie 3. Sprawdzić, że poniższe wzory zadają odległość w N: a) d(x, y) = |x2 − y 2 |, b) d(x, y) = x1 − y1 , c) d(x, y) = x19 − 1 1 , y9 x d) d(x, y) = 1+x − √ y . 1+y 17), Zadanie 4. Sprawdzić, że poniższe wzory zadają odległość w Q oraz w R: q a) d(x, y) = |x3 − y 3 |, b) d(x, y) = |x2 − y 2 | + |x5 − y 5 |, c) d(x, y) = |x − y| , √ |x−y| y x − 1+|y| , e) d(x, y) = 3 |x2 − y 2 | + 2 |x3 − y 3 |, f) d(x, y) = √ , d) d(x, y) = 1+|x| g) d(x, y) = min {1, |x − y| }, h) d(x, y) = |arc tg x − arc tg y|, i) d(x, y) = Zadanie 5. Sprawdzić, czy poniższe wzory zadają metrykę w R: a) d(x, y) = |x − y|3 , b) d(x, y) = |ln(1 + |x|) − ln(1 + |y|)|, d) d(x, y) = e|x−y| − 1, e) d(x, y) = x arc sin 1+|x| − arc sin 1+ |x−y| |x−y| . 1+2|x−y| c) d(x, y) = ln(1 √ + |x − y|), y , 1+|y| f) d(x, y) = |x−y| 1+|x−y| . Zadanie 6. Sprawdzić, czy poniższe wzory zadają metrykęqw R3 : q q a) d( (x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) ) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | + |x3 − y3 |, b) d( (x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) ) = ln ( (1 + |x1 − y1 |) (1 + |x2 − y2 |) (1 + |x3 − y3 |)). Zadanie 7. Niech d i D będą metrykami w X, a > 0 ustaloną liczbą, zaś f : X → X dowolną bijekcją. Sprawdzić, że ρ też jest metryką, gdy: d(x,y) a) ρ(x, y) = a · d(x, y), b) ρ(x, y) = min {a, d(x, y)}, c) ρ(x, y) = a+d(x,y) , d) ρ(x, y) = d(x, y) + D(x, y), e) ρ(x, y) = max{d(x, y), D(x, y)}, f) ρ(x, y) = d(f (x), f (y)). Zadanie 8. W których spośród metryk z Zad. 1 (d2 , d1 , d∞ , dP i dmP z pocztą P = (3, 2), dK z węzłem w = (3, 2), drz , dkrz ) zachodzą zbieżności: a) 3 − n1 , 2 n→∞ −→ (3, 2), c) 3 − e) 6 − g) 1 − Wyniki d2 a + b + .. . 1 1 , 2 − −→ (3, 2), 2 2 n n n→∞ 3 2 −→ (6, 4), n , 4 − n n→∞ 1 −→ (1, 0), n2 , 0 n→∞ zebrać w tabeli d1 d∞ dP dmP + + + + + + + + dK + + drz + − b) 3 − n1 , 2n+1 −→ (3, 2), n+1 n→∞ √1 n d) 3, 2 + −→ (3, 2), n→∞ f) 6 − n1 , 4 − n1 n→∞ −→ (6, 4), h) q 3 27 + √ 1 3n −→ n, n n→∞ (3, 0). dkrz − − Zadanie 9. (Zbieżność po współrzędnych) Wykazać, że w (R2 , d) d (xn , yn ) n→∞ −→ (x, y) ⇔ xn n→∞ −→ x ∧ yn n→∞ −→ y, gdzie d jest którąkolwiek z metryk d2 , d1 , d∞ z Zad. 1. Zadanie 10. (X, d) – przestrzeń metryczna. Udowodnić, że: a) |d(x, z) − d(y, z)| 6 d(x, y), b) | dist(x, A) − dist(y, A)| 6 d(x, y), gdzie x, y, z ∈ X, ∅ = 6 A ⊂ X, dist(x, A) = inf a∈A d(x, a). Zadanie 11. Udowodnić, że: a) ciąg (xn )∞ n=1 elementów przestrzeni metrycznej X jest zbieżny do x0 ∈ X wtedy i tylko wtedy, ∞ ∞ gdy każdy podciąg (xnk )∞ k=1 ciągu (xn )n=1 zawiera podciąg (xnkl )l=1 zbieżny do x0 , b) ciąg Cauchy’ego zawierający pewien podciąg zbieżny jest zbieżny, c) jeśli xnk → x0 dla podciągów nk = 2k i nk = 2k + 1, to xn → x0 . Zadanie 12. Podać przykład takiego ciągu (xn )∞ n=1 , który nie spełnia warunku Cauchy’ego, ale a) d(xn , x3n ) n→∞ −→ 0, b) d(xn+1 , xn ) n→∞ −→ 0, c) ∀k∈N d(xn+k , xn ) n→∞ −→ 0. 2 Przestrzenie metryczne: otwartość i domkniętość Zadanie 13. Zbadać domkniętość/otwartość następujących podzbiorów prostej R: a) [2, 3], (−1, 3), (2, 5], [3, 5), b) [−2, −1] ∪ {0}, [−3, −2) ∪ {1}, c) [1, ∞), (−π, ∞), (−∞, 5] ∪ (10, ∞), d) [0, 1] ∩ Q, [0, 2] \ Q, (0, 2) \ Q, n o n o 1 1 1 e) n : n ∈ N ∪ {0}, n + m : n, m ∈ N . Znaleźć ich domknięcia, wnętrza i brzegi. Zadanie 14. Zbadać domkniętość/otwartość następujących podzbiorów płaszczyzny euklidesowej (R2 , d2 ): a) (0, 1) × (1, 2), [1, 2] × [0, 1], (0, 1] × [1, 2), (−1, 1) × [−2, 2], b) (−1, 1) × ([−2, 2] ∪ {3}), ([−3, −2) (−π, ∞), n ∪ {1}) × o 1 c) ([0, 2] ∩ Q) × ([0, 2] \ Q), [0, 1] × n : n ∈ N ∪ {0} , d) {(x, y) ∈ R2 : x < 2 + y}, {(x, y) ∈ R2 : x2 + y < 1}, {(x, y) ∈ R2 : x y < 4}, 2 2 2 2 e) {(x, y) ∈ R : x − y 6 1, 2x 6 1, y > 0}, {(x, y) ∈ R : (x − 1)2 + y 2 > 8}, f) {(x, y) ∈ R2 : |x + 1| + |y − 2| < 7}, {(x, y) ∈ R2 : max{|x|, |y|} 6 4}, g) {(x, y) ∈ R2 : xp + y p = 7} (p ∈ N), {(x, y) ∈ R2 : x2 − 4y 2 6 4, x > 0}, 2 2 2 h) {(x, y) ∈ R : x + y − 2x − 6y + 6 6 0}, {(x, y) ∈ R2 : ex−y < 4, x > 0}, i) {(x, y) ∈ R2 : x5 y 3 + 6 xy 2 < 0}, n {(x, y) ∈ R2 : x5 − 7y 2 <o 3, y < −2}, 2 j) {(x, y) ∈ R2 : e−x + xy 6 3}, (x, y) ∈ R2 : ex + |y|3 6 4 . Znaleźć ich domknięcia, wnętrza i brzegi. Co w sytuacji innych metryk z Zad. 1 ? Zadanie 15. (X, d) – przestrzeń metryczna. Uzasadnić, że: (i) ∅ = ∅, X = X, Int ∅ = ∅, Int X = X, (ii) Int A ⊂ A ⊂ A, (iv) A ⊂ B ⇒ [Int A ⊂ Int B ∧ A ⊂ B], (v) A ∪ B = A ∪ B, Int(A ∩ B) = Int A ∩ Int B, (vi) A = X \ Int(X \ A), Int(A) = X \ X \ A, (viii) znaleźć kontrprzykład dla równości (iii) A = A, Int(Int A) = Int A, S (vii) Int(A ∪ B) ⊃ Int A ∪ Int B, A ∩ B ⊂ A ∩ B ; At = t∈T S At , gdzie {At }t∈T -rodzina podzbiorów X; czy t∈T domkniętość zbiorów At wpływa na słuszność wzoru? (ix) A = A ∪ Fr A, Int A = A \ Fr A, (x) A = A ∪ Ad , gdzie Ad - zbiór punktów skupienia A; co można powiedzieć o wzajemnych relacjach pomiędzy Ad a Fr A ? Ze wzorów (i), (ii), (iii) i (v) na domknięcie wyprowadzić pozostałe wzory na domknięcie. Korzystając dodatkowo z (vi) wyprowadzić również wszystkie wzory na wnętrze. Przestrzenie metryczne: Operacje na przestrzeniach Zadanie 16. (Podprzestrzeń) (X, d) – przestrzeń metryczna, ∅ = 6 A ⊂ X. W A określamy odległość d|A d d|A (x, y) = d(x, y) dla x, y ∈ A. Wykazać, że: a) an −→ a0 ⇔ an −→ a0 , gdzie an , a0 ∈ A; n→∞ n→∞ A X b) B (a0 , r) = B (a0 , r) ∩ A, gdzie r > 0, a0 ∈ A, B X – kula otwarta w X, B A – kula otwarta w A; c) wszystkie zbiory G otwarte w (A, dA ) są postaci U ∩ A, gdzie U - otwarty w (X, d); d) wszystkie zbiory F domknięte w (A, dA ) są postaci D ∩ A, gdzie D- domknięty w (X, d); f -domknięcie w A, M -domknięcie w X. f = M ∩ A, gdzie M ⊂ A, M e) M Zadanie 17. (Produkt) Niech (Xis , di ), i = 1, . . . , k, będą przestrzeniami metrycznymi. Wykazać, że: a) wzór %2 (xi )ki=1 , (yi )ki=1 = k P [di (xi , yi )]2 metryzuje produkt i=1 k Q Xi , i=1 (Wskazówka: nierówność Cauchy’ego-Schwarza); b) wzory %1 (xi )ki=1 , (yi )ki=1 = k P i=1 di (xi , yi ) oraz %∞ (xi )ki=1 , (yi )ki=1 = max di (xi , yi ) również i=1,...,k 3 k Q metryzują produkt Xi ; c)%∞ 6 %1 6 %2 6 i=1 √ k %∞ ; % d 2 i d) (zbieżność po współrzędnych) (xi (n) )ki=1 −→ (xi )ki=1 ⇔ ∀i=1,2,...,k xi (n) −→ xi ; n→∞ n→∞ podobnie dla %1 i %∞ (Wskazówka: skorzystać z punktu c) ); e) jeżeli Ui są otwarte w (Xi , di ) (przy i = 1, . . . , k), to U1 × . . . × Uk jest otwarty w k Q Xi ; i=1 f) jeżeli Fi są domknięte w (Xi , di ) (przy i = 1, . . . , k), to F1 × . . . × Fk jest domknięty w k Q Xi ; i=1 g) B Q k Q (xi )ki=1 , r = B Xi (xi , r) w metryce %∞ ; h) k Q Ai = i=1 i=1 k Q Ai . i=1 Uwaga: Przy k = 2 i Xi = R znajdujemy się w sytuacji Zad. 1 (i),(ii),(iii). Zadanie 18. Porównać pomiędzy sobą przestrzenie: (R3 , %2 ) = (R × R × R, %2 ), ( (R2 , d2 ) × R, %2 ), ( (R2 , d1 ) × R, %2 ), ( (R2 , d∞ ) × R, %2 ), (R3 , %1 ), ( (R2 , d2 ) × R, %1 ), ( (R2 , d1 ) × R, %1 ), ( (R2 , d∞ ) × R, %1 ), (R3 , %∞ ), ( (R2 , d2 ) × R, %∞ ), ( (R2 , d1 ) × R, %∞ ), ( (R2 , d∞ ) × R, %∞ ). (Jak wyglądają w nich kule? Jak „wygląda” zbieżność?) Zadanie 19. (Przestrzenie ciągów) Niech c0 ⊂ c ⊂ `∞ oznaczają: N c0 = {(xi )∞ i=1 ∈ R : lim xi = 0}, i→∞ N N c = {(xi )∞ `∞ = {(xi )∞ i=1 ∈ R : ∃g∈R g = lim xi }, i=1 ∈ R : ∃M ∀i |xi | 6 M }. i→∞ ∞ W zbiorach tych wprowadzamy odległość d∞ ( (xi )∞ i=1 , (yi )i=1 ) = supi∈N |xi − yi |. Sprawdzić, że: a) c0 , c i `∞ są przestrzeniami metrycznymi; ∞ ∞ ∞ ∞ d∞ 1 1 1 1 , i ∈ c0 oraz 1i + n1 −→ w każdej z przestrzeni c0 , c, `∞ ; b) i + n i n→∞ i=1 c) c0 63 2 + 1i + i=1 ∞ d∞ 1 −→ n i=1 n→∞ ∞ d∞ 1 −→ n i=1 n→∞ ∞ i=1 1 wci i i=1 ∞ ((−1)i )i=1 w `∞ ; ∞ 2+ i=1 `∞ ; d) c 63 (−1)i + e) c0 jest domkniętym podzbiorem c i ` , a c jest domkniętym podzbiorem `∞ . Zadanie 20. (Przestrzeń funkcji ograniczonych) Niech (X, d) będzie dowolną przestrzenią metryczną, o n zaś T jakimkolwiek niepustym zbiorem. Definiujemy B(T, X) = f ∈ X T : f (T ) ⊂ X jest ograniczony . W rodzinie funkcji ograniczonych zadajemy tzw. metrykę jednostajną (Czebyszewa) wzorem %sup (f, g) = sup d [ f (t), g(t) ] . t∈T Pokazać, że: a) %sup jest poprawnie zdefiniowana stanowi metrykę; i rzeczywiście %sup 1 b) dla X = R, T = [0, 1], fn (t) = 1 + n · t, f (t) = t (przy t ∈ [0, 1]) zachodzi fn n→∞ −→ f ; c) ciąg fn (t) = tn , fn : T = [0, 1] → R = X nie posiada granicy w ( B([0, 1], R), %sup ). Wskazówka do c): zauważyć, że %sup (fn , f2n ) = 14 . Uwaga: (`∞ , d∞ ) = ( B(N, R), %sup ). ∞ Zadanie 21. Sprawdzić, że d1 ( (xi )∞ i=1 , (yi )i=1 ) = N `1 = {(xi )∞ i=1 ∈ R : P∞ i=1 ∞ P |xi − yi | zadaje metrykę w zbiorze i=1 |xi | < ∞}. Wskazówka: Poprawność wynika z prostej nierówności dla szeregów ∞ P i=1 4 |xi − yi | 6 ∞ P i=1 |xi | + ∞ P i=1 |yi |. Przestrzenie metryczne: zupełność, zwartość, spójność Zadanie 22. Zbadać, które spośród przestrzeni rozważanych w Zadaniach 1, 3, 4 są: ograniczone, zupełne, zwarte, a które spójne? Zadanie 23. Podać przykład podzbioru A ⊂ Rn , który jest: a) zwarty i spójny, b) zupełny, niezwarty i spójny , c) niezupełny i spójny, d) zupełny, niezwarty i niespójny, e) zwarty i niespójny, f) niezupełny i niespójny. Zadanie 24. (Podprzestrzeń) Niech X będzie przestrzenią metryczną zupełną [odpowiednio: zwartą]. Pokazać, że podprzestrzeń A ⊂ X jest zupełna [odpowiednio: zwarta] wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór A jest domknięty w X. Zadanie 25. Wykazać, że jeśli A, B ⊂ X są zupełne [zwarte], to ich suma A ∪ B również. Zadanie 26. (Produkt kartezjański) Iloczyn kartezjański skończonej ilości przestrzeni zupełnych [odpowiednio: zwartych, spójnych] jest zupełny [zwarty, spójny]. Co dla produktu z metryką miejską? A co dla metryki „max”? Wskazówka: Skoncentrować się na sytuacji dwóch czynników. W przypadku zupełności i zwartości skorzystać z twierdzenia o zbieżności po współrzędnych. Zadanie 27. (Przestrzenie ciągowe c0 , c, `∞ ) Niech c0 ⊂ c ⊂ `∞ oznaczają: N c0 = {(xi )∞ i=1 ∈ R : lim xi = 0}, i→∞ c= {(xi )∞ i=1 N ∈ R : ∃g∈R g = lim xi }, `∞ = {(xi )∞ i=1 ∈ R : ∃M ∀i |xi | 6 M }. N i→∞ ∞ W zbiorach tych wprowadzamy odległość d∞ ( (xi )∞ i=1 , (yi )i=1 ) = supi∈N |xi −yi |. Wykazać, że przestrzeń `∞ jest zupełna (podobnie c0 i c). n o∞ ∞ Wskazówka: Bierzemy dowolny ciąg Cauchy’ego (xi (n) )∞ i=1 n=1 ⊂ ` . Sprawdzamy, że dla każdego ustalonego wskaźnika i ∈ N ciąg liczbowy {xi (n) }∞ n=1 ⊂ R spełnia warunek Cauchy’ego (bo ∞ ∞ |xi − yi |6 d∞ [(xi )i=1 , (yi )i=1 ] ). Dzięki zupełności R możemy położyć xi = n→∞ lim xi (n) . Wystarczy teraz d ∞ ∞ sprawdzić, że (xi (n) )∞ i=1 −→ (xi )i=1 . n→∞ Zadanie 28. że przestrzeń (X, d) jest zupełna [odpowiednio: zwarta, spójna] wtedy i tylko Wykazać, d wtedy, gdy X, 1+d ma tę samą własność. Podobnie dla (X, min{1, d}). ∞ N 2 Zadanie 29. (Przestrzeń Hilberta `2 ) Niech `2 =q {(xi )∞ i=1 |xi | < ∞}. i=1 ∈ R : P ∞ ∞ 2 2 a) Sprawdzić, że wzór d2 ( (xi )∞ i=1 , (yi )i=1 ) = i=1 |xi − yi | zadaje metrykę w ` . b) Udowodnić zupełność (`2 , d2 ). c) Pokazać, że w przestrzeni `2 nie zachodzi twierdzenie o zbieżności po współrzędnych. d) Wykazać, że kula domknięta D(θ, 1) = { x ∈ `2 : d2 (x, θ) 6 1 }, θi = 0, stanowi zbiór domknięty, ograniczony i zupełny w `2 , lecz nie jest zwarta. Wskazówki: ad (a) korzystając z nierówności Minkowskiego dla sum skończonych udowodnić nierówność qP qP qP ∞ ∞ ∞ 2 2 2 Minkowskiego dla szeregów: i=1 (ai + bi ) 6 i=1 ai + i=1 bi (należy systematycznie przechodzić P n Pn o∞ (n) ∞ )i=1 i=1 do granicy przy n → ∞); ad (b) por. Zad. 27; ad (c) kontrprzykładu dostarcza ciąg (xi n=1 ( 1 √ , gdy i 6 n, n ⊂ `2 dany wzorem xi (n) = ad (d) z ciągu jednakowo odległych „wersorów” 0, gdy i > n; ( 1, gdy i = n, (n) (ε(n) )∞ = nie sposób wybrać podciągu zbieżnego. n=1 , εi 0, gdy i 6= n, w 5 ∞ Zadanie 30. (Przestrzeń ciągowa `1 ) Sprawdzić, że d1 ( (xi )∞ i=1 , (yi )i=1 ) = P∞ ∞ P |xi − yi | zadaje metrykę i=1 1 N w zbiorze `1 = {(xi )∞ i=1 |xi | < ∞}. Udowodnić zupełność ` . i=1 ∈ R : Wskazówka: Poprawność wynika z prostej nierówności dla szeregów ∞ ∞ ∞ P P P |xi − yi | 6 |xi | + |yi |. Na temat zupełności por. wskazówki do Zad. 27 i 29. i=1 i=1 i=1 n o Zadanie 31. (Przestrzeń funkcji ograniczonych) Niech B(T, X) = f ∈ X T : f (T ) ⊂ X jest ograniczony , gdzie (X, d) jest dowolną przestrzenią metryczną, zaś T jakimkolwiek zbiorem. W rodzinie funkcji ograniczonych zadajemy metrykę jednostajną (Czebyszewa) wzorem %sup (f, g) = supt∈T d [ f (t), g(t) ]. Pokazać, że: a) Jeśli (X, d) jest zupełna, to ( B(T, X), %sup ) też jest zupelna. b) Jeśli ( B(T, X), %sup ) jest zupełna, to (X, d) też jest zupełna. c) Jeśli T jest zwartą przestrzenią metryczną, to C(T, X) = {f ∈ X T : f jest ciągła} stanowi domkniętą podprzestrzeń B(T, X). Kiedy C(T, X) jest zupełna? d) Przestrzenie B(I, I) oraz C(I, I), gdzie I = [0, 1], nie są zwarte. Kiedy przestrzenie B(T, X) i C(T, X) są zwarte? Wskazówki: ad (a) dla ciągu Cauchy’ego {fn }∞ n=1 ⊂ B(T, X) ustalić t ∈ T , wyznaczyć f (t) = %sup (X,d) lim fn (t), a na końcu sprawdzić, że fn −→ f , por. Zad. 27; ad (b) wziąć ciąg Cauchy’ego n→∞ n→∞ ∞ {xn }n=1 ⊂ X, przyjąć za {fn }∞ ⊂ B(T, X) ciąg funkcji stałych fn ≡ xn , a następnie zauważyć, n=1 %sup ∞ że {fn }n=1 jest ciągiem Cauchy’ego, wreszcie granica fn −→ f jest funkcją stałą, powiedzmy f ≡ x, n→∞ skąd ostatecznie d(xn , x) = %sup (fn , f ) → 0; ad (c) (jeśli tu zaglądasz, to jeszcze nie przejrzałeś zestawu); ad (d) wykorzystać stosowne ciągi funkcyjne z wcześniejszych Zadań. Zadanie 32. Wykaż, że trójkąt T = {0} × [0, 1] ∪ [0, 1] × {0} ∪ { (x, y) ∈ R2 : x + y = 1, x, y > 0 } jest spójnym podzbiorem płaszczyzny euklidesowej: a) z definicji, b) za pomocą twierdzenia Darboux (o zachowywaniu spójności przy przekształceniach ciągłych). Zadanie 33. Pokazać, że jeśli S, M ⊂ X są spójne, to: o ile w b) założymy S ∩ M 6= ∅. a) S ⊂ X, b) S ∪ M są też spójne, Zadanie 34. (Twierdzenie Arzeli) Niech F = {fα, m ∈ C([0, 1], R) : α ∈ (−2, 2], m ∈ [5, 6]}, gdzie fα,m (x) = α x + m. Pokazać, że F jest jednakowo ciągła i wspólnie ograniczona, ale nie jest zwarta w C([0, 1], R). Wskazówki: |x − y| 6 δ ⇒ |fα,m (x) − fα,m (y)| 6 ε, gdzie δ = µε , µ = supα∈(−2,2] |α| = 2 (kres górny „nachyleń”); %sup (fα,m , fβ,n ) = supx∈[0,1] |α x + m − β x − n| 6 |α − β| + |m − n|; rozważyć f−2+ 1 , 5 . n Zadanie 35. (Twierdzenie Arzeli) Uzasadnić zwartość rodziny F = {gα : α ∈ [2, 3]} ⊂ C([0, 1], R), gdzie gα (x) = α x2 . Wskazówka: Por. z Zad. 34; skorzystać z twierdzenia Arzeli, aby otrzymać relatywną zwartość F; następnie wykorzystać, że %sup jeśli gαn −→ h ∈ C([0, 1], R), to α = lim αn ∈ [2, 3] istnieje, a przy tym h = gα , n→∞ n→∞ celem uzyskania domkniętości F. Jak otrzymać relatywną zwartość F bez kryterium Arzeli? Zadanie 36. Jeśli A ⊂ X posiada skończoną r-sieć S ⊂ X, to ma też skończoną 2r-sieć Σ ⊂ A. Zadanie 37. (Twierdzenie Cantora o przekroju) Niech f : X → Y będzie ciągła, zaś {An }∞ n=1 będzie zstępującym ciągiem zbiorów domkniętych. Załóżmy, że zachodzi jeden z następujących warunków: a) X jest przestrzenią zwartą, lub b) X jest przestrzenią zupełną, a średnice δ(An ) −→ 0. n→∞ T∞ T∞ T Wówczas f ( n=1 An ) = n=1 f (An ). Ponadto, jeśli An 6= ∅ dla n ∈ N, to ∞ n=1 An 6= ∅. 6 Przestrzenie metryczne: jednostajna ciągłość, warunek Lipschitza Zadanie 38. (X, d) – przestrzeń metryczna. Udowodnić, że: a) d : X × X → R, b) dist(·, A) : X → R. W X × X rozważyć metrykę produktową euklidesową, miejską i „max”. Co z lipschitzowskością ? Wskazówka: Por. Zad. 10. Zadanie 39. Pokazać, że każda funkcja określona na przestrzeni dyskretnej jest ciągła. Czy musi być jednostajnie ciągła? A lipschitzowska? Co można powiedzieć o (jednostajnej) ciągłości funkcji z dyskretną przeciwdziedziną? Zadanie 40. Sprawdzić, że są kontrakcjami w metryce miejskiej d1 , ale nie w metryce euklidesowej d2 . Co się dzieje w metryce „max” d∞ ? 1 8 2 2 (x + y) , a) f : R → R , f (x, y) = 10 (x + y), 10 5 (x + y + z), x+y+z , x+y+z , 8 8 8 x+y 5 x+z 3 3 c) f : R → R , f (x, y, z) = 8 , 8 (y + z), 8 . (x,x), f (0,0) ] Wskazówki: ad (a) d2d[2 f[ (x,x), > 1, stała kontrakcji względem (0,0) ] b) f : R3 → R3 , f (x, y, z) = d1 wynosi 9 ; 10 ad (b), (c) podobnie. Zadanie 41. (Twierdzenie Banacha o punkcie stałym) Niech X będzie zupełną przestrzenią metryczną oraz f : X → X dowolną funkcją. a) Podać przykład takiej funkcji f , która nie jest zwężająca, chociaż jej złożenie f ◦ f : X → X już jest. b) Udowodnić, że jeśli f ◦ f : X → X jest zwężające, to f posiada punkt stały i to dokładnie jeden. Wskazówki: ad (a) wystarczy szukać na prostej X = R; ad (b) niech a ∈ X, a = (f ◦ f )(a); rozpatrzyć wyrażenie f (f ( f (a) )). Zadanie 42. Z dokładnością do 0,001 znaleźć metodą kolejnych przybliżeń pierwiastek równania a) x3 − 10x − 5 = 0 leżący w (−1, 0), b) x3 + 5x2 − 15x = 7, c) 2x + sin x = 1. Wskazówka do c): podzielić obustronnie przez 2 i przekształcić do postaci x = f (x) (ze względu na sinus pomocny kalkulator). Literatura: 1. L. Górniewicz, R.S. Ingarden „Analiza matematyczna dla fizyków” 2. J. Banaś, S. Wędrychowicz „Zbiór zadań z analizy matematycznej” 3. J. Jędrzejewski, W. Wilczyński „Elementarne zadania z teorii przestrzeni metrycznych” 4. W. Rzymowski „Przestrzenie metryczne w analizie” 5. D. Brydak, E. Turdza „Zbiór zadań z teorii mnogości i teorii przestrzeni topologicznych i metrycznych” 6. M. Malec „Przestrzenie metryczne” 7. A.B. Antoniewicz, P.N. Kniaziew, Ya.V. Radyno „Zadaczi i uprażnienija po funkcjonalnomu analizu”, Wyszejszaja Szkoła, Mińsk 1978 7