Zadania IV z teorii silnie skorelowanych elektronów

Kraków, 20 marca 2015 roku.
Zadania IV
z teorii silnie skorelowanych elektronów
1. Consider the problem I/1 again for N = 2 electrons in the regime of t ≪ U (Hubbard model,
2 sites). How could one obtain the ground state energy approximately using perturbation
theory ? What is the structure of the eigenstate which corresponds to this lowest energy
? Is this ground state better or worse than the Hartree state in the considered regime of
parameters ?
2. Rozważyć cztery spiny S = 1/2 na plakiecie w modelu Heisenberga,
H=J
4
∑
⃗i · S
⃗i+1 ,
S
1=1
z J > 0 (antyferromagnetyk) oraz periodycznym warunkiem brzegowym. Poklasyfikować
stany wlasne i ustalić ich degeneracjȩ. Wykazać, że stan podstawowy jest dany przez
symetryczna̧ kombinacjȩ linowa̧ stanu opisuja̧cego dwa singlety ustawione na wia̧zaniach
poziomych |Φh ⟩ oraz stanu opisuja̧cego dwa singlety ustawione na wia̧zaniach pionowych
|Φv ⟩ (sa̧ to tzw. stany valence bond.
∑
∑
3. Rozważyć model Lieba-Mattisa dla spinów SA = i∈A Si ; SB = i∈B Si określonych na
równolicznych podsieciach A i B w 2D sieci kwadratowej o oddzialywaniu antyferromagnetycznym J > 0 (la̧czna liczba atomów wynosi N ):
HLM =
2J
SA · SB .
N
(a) Znaleźć ścisly stan podstawowy tego modelu, zakladaja̧c spiny S = 1.
(b) Zakladaja̧c, że mamy do czynienia ze spinami klasycznymi Si na sieci podać rozwia̧zanie
dla stanu podstawowego w przybliżeniu średniego pola. Porównać energiȩ z wynikiem
dokladnym i zinterpretować wynik.
Andrzej Michal Oleś