okręgi-przykładowe zadania

Zadanie 1. Ile punktów wspólnych ma okrąg
z prostą o równaniu:
?
Rozwiązanie - 1 sposób
Rozwiązanie - 2 sposób
Punkty wspólne należą jednocześnie do
Oznaczmy:
okręgu i do prostej, spełniają więc
- promieo okręgu
- środek okręgu
jednocześnie ich wzory. Rozwiązujemy układ
- odległośd środka okręgu od prostej
prosta leży poza okręgiem
prosta jest styczna do okręgu (ma z
nim jeden punkt wspólny)
prosta przecina okrąg w dwóch
punktach
, to
Korzystam ze wzoru na odległośd punktu
od prostej
k
brak rozwiązao
Odp. Prosta i okrąg o podanych wzorach nie
mają punktów wspólnych
więc prosta leży poza okręgiem, czyli
nie ma z nim punktów wspólnych
Zadanie 2. Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek o koocach
Rozwiązanie:
Środek okręgu jest środkiem odcinka PR:
Promieo okręgu to długośd odcinka SP lub SR
współrzędne środka okręgu
Podstawiam do wzoru na równanie okręgu
Odp. Równanie okręgu ma postad:
promieo okręgu
Zadanie 3. Znajdź współrzędne punktów przecięcia okręgu
z osiami układu współrzędnych
Aby obliczyd punkty przecięcia z osią OX
Aby obliczyd punkty przecięcia z osią OY
podstawiam do równania okręgu
(bo podstawiam do równania okręgu
(bo
punkty leżące na osi OX mają drugą
punkty leżące na osi OY mają pierwszą
współrzędną =0)
współrzędną =0)
lu
lu
Współrzędne punktów przecięcia z osią OX Współrzędne punktów przecięcia z osią OY
to:
to:
Zadanie 4. Napisz równanie prostej stycznej do okręgu
.
w punkcie
Rozwiązanie:
Wiadomo, że styczna jest prostopadła do promienia i że punkt P leży na stycznej.
Korzystam ze wzoru na równanie kierunkowe prostej:
Prosta zawierająca promieo przechodzi przez punkty S i P,
to środek okręgu
Obliczam współczynnik kierunkowy prostej zawierającej promieo okręgu:
Korzystając z warunku prostopadłości prostych:
mamy:
i
Podstawiam do wzoru stycznej współrzędne punktu P i wyliczony współczynnik kierunkowy
, stąd
Odp. Prosta styczna do okręgu w punkcie P ma postad:
Zadanie 5.Okrąg o środku
jest styczny do prostej o równaniu
. Oblicz
współrzędne punktu styczności.
Wiadomo, że styczna jest prostopadła do promienia. Jeżeli oznaczę punkt styczności przez
P, to prosta zawierająca punkty S i P jest prostopadła do stycznej
. Współczynnik
kierunkowy stycznej
Aby napisad równanie prostej zawierającej punkty S i P korzystam ze wzoru na równanie
prostej przechodzącej przez jeden punkt o danym współczynniku kierunkowym
.
Z warunku prostopadłości prostych:
mamy:
i
Podstawiam do wzoru współrzędne punktu S i wyliczony współczynnik kierunkowy:
. stąd
i ostatecznie
Zatem równanie prostej zawierającej punkty S i P ma postad:
Punkt styczności P leży zarówno na stycznej jak i na prostej
Należy więc rozwiązad układ równao (bo punkt P spełnia równania obu prostych)
po dodaniu stronami
i
Podstawiam wyliczony y do pierwszego równania i wyliczam x:
Odp. Punkt styczności P ma współrzędne
Zadanie 6. Punkty
promienia tego okręgu.
ozwiąz nie
Oznaczmy ś o ek ok ęgu p zez
należą do okręgu. Wyznacz długośd
Długość p omieni ok ęgu to:
u uję ukł
ówn ń
o noszę o ust onnie o kw
tu
po przeprowadzeniu redukcji mamy:
dodajemy stronami:
Podstawiam
i ostatecznie
do pie wszego ówn ni :
=
O p.
omień ok ęgu m
ługość .
stą
=
Zadanie 7. t zną o ok ęgu
jest p ost o ówn niu
A.
B.
C.
D.
Przekształcam równanie okręgu, następnie odczytuję współrzędne środka i długośd
promienia:
Środek
, promieo
Odp. B (można naszkicowad, jeżeli tego nie widzimy )
Zadanie 8. Ś o ek ok ęgu p ze ho zą ego p zez punkt
i
n leż
do prostej
. Zn j ź ówn nie tego ok ęgu.
ozwiąz nie
Korzystam z równania okręgu
gdzie
środek, promieo
1.Ponieważ środek leży na prostej
, więc współrzędne środka spełniają jej
równanie. Stąd
. Wobec tego środek ma współrzędne
więc
równanie okręgu ma postad:
2.Punkty A i B należą do okręgu, więc ich współrzędne spełniają równanie okręgu
3.Podstawiam współrzędne punktów A, B do równania okręgu z punktu 1.
porównuję:
Z punktu 1 mamy
więc
. Zatem środek okręgu
promieo
Odp. Równanie okręgu ma postad: