Analiza Wektorowa. Lista 2. Literatura A. Goetz, Geometria

Analiza Wektorowa. Lista 2.
Literatura
A. Goetz, Geometria Ró»niczkowa, PWN, Warszawa 1965
1. Napisa¢ równanie prostej przechodz¡cej przez punkt
wektora
→
−
b:
A i równolegªej do
→
−
A = (−3, 1, −2), b = (3, 0, −1);
→
−
b. A = (2, 3, 1), b = (1, −1, 2).
a.
2. Napisa¢ równanie prostej przechodz¡cej przez punkty
a.
A = (0, 0, 0), B = (1, 1, 1):
b.
A = (1, 4, 2), B = (1, 4, −2).
A, B :
3. Napisa¢ równanie parametryczne nast¦puj¡cych prostych:
a.
x = y , z = 0:
b.
x = y, y = z;
c.
x + y + z = 1, x − z = 0;
d.
x + y − z = 2, 2x − 5y + z = 3.
4. Narysowa¢ nast¦puj¡ce krzywe zadane w postaci parametrycznej
t ∈ R:
−
a. →
r = (t, 1/t, 0);
b.
c.
d.
e.
→
−
r = (0, t2 , t);
→
−
r = (0, cos t, 2 + 2 sin t);
→
−
r = (cos 3t, sin 3t, −t);
→
−
r = ( √1 cos t, sin t, √1 cos t).
2
2
→
−
r (t),
5. Okr¡g o promieniu
si¦ toczy¢
krzywej o
ϕ
a,
styczny do osi
P = (0, 0) zaczyna
po dodatniej póªosi x. Wykaza¢, »e punkt P porusza sie po
−
parametryzacji →
r (ϕ) = (a(ϕ − sin ϕ), a(1 − cos ϕ)), gdzie
x
w punkcie
jest k¡tem o jaki obrócony zostaª okr¡g. Krzywa zakre±lana przez
punkt
P
nazywa sie cykloid¡.
→
−
= cos(t) i +
−
6. Trajektoria poruszaj¡cego si¦ punktu dana jest wzorem →
r (t)
→
−
2 sin(t) j . Znale¹¢ przyspieszenie styczne i normalne. Znale¹¢ chwile, w
których warto±ci przyspieszenia i pr¦dko±ci sa minimalne i maksymalne.
7. Dane s¡ ró»niczkowalne funkcje wektorowe
czywista
c(t).
→
−
→
−
a (t), b (t)
i funkcja rze-
Wykaza¢, »e
−
−
−
a + c→
a 0,
(c→
a )0 = c0 →
→
−
→
− − →
−0
−
−
(→
a · b )0 = →
a0· b +→
a · b ,
→
−
→
− − →
−0
−
−
(→
a × b )0 = →
a0× b +→
a × b .
8. Dana jest krzywa
krzywizna
c
→
−
r (t) (t
jest dowolnym parametrem). Wykaza¢, »e
jest równa
c=
9. Wyznaczy¢ poªo»enie w
R3
−
−
|→
r 0×→
r 00 |
,
−
|→
r 0 |3
krzywej zadanej parametrycznie
1
1
→
−
r (t) = ( √ cos t, sin t, √ cos t).
2
2
Obliczy¢ jej krzywizn¦.
y = f (x), zp= 0, a ≤ x ≤ b. Wykaza¢,
Rb
»e dªugo±¢ krzywej dana jest wzorem a
1 + (f 0 (x))2 dx a krzywizna
00
0
2 −3/2
c(x) = |f (x)|(1 + f (x) )
.
10. Krzywa dana jest wzorem
11. Krzywa na pªaszczy¹nie dana jest we wspóªrz¦dnych biegunowych r(ϕ),
[α, β].
Wykaza¢, »e jej dªugo±¢ dana jest wzorem
Rβ√
α
r2
+
r02
dϕ.
12. Nawijamy pªaszczyzn¦ na walec, prosta le»¡ca na tej pªaszczy¹nie przechodzi na krzyw¡, któr¡ nazywamy lini¡ ±rubow¡. Napisa¢ równanie
parametryczne tej krzywej w parametryzacji naturalnej. Obliczy¢ krzywizn¦ w ka»dym punkcie.
ϕ∈