Zadania na czwartek, 6 maja Zadanie 1. Znaleźć funkcje tworzące

Zadania na czwartek, 6 maja
Zadanie 1. Znaleźć funkcje tworzące Dirichleta dla ciągów:
(i) gn = n(n + 1),
(ii) gn = (ln n)2 /n,
(iii) gn = [n jest bezkwadratowe],
gdzie bezkwadratowość została zdefiniowa w ćwiczeniu 4.13.
Odpowiedź. (i) ζ(z − 2) + ζ(z − 1), (ii) ζ 00 (z + 1), (iii) ζ(z)/ζ(2z).
Zadanie 2. Niech n i k będą ustalonymi liczbami naturalnymi. Udowodnić, że liczby:
" #
bn/2c
n
oraz
k
k − dn/2e
!
mają tę samą parzystość.
Wskazówka. Wprowadzić relację przystawania mod 2 dla funkcji tworzących:
X
k
ak z k ≡
X
bk z k (mod 2)
⇐⇒
∀k ak ≡ bk (mod 2).
k
Zzapisać równanie na funkcję tworzącą dla
n
w postaci wprowadzonej kongruencji,
k
a następnie porównać współczynniki przy z k po obu jej stronach.
Ponadto zadania: 22, 23, 31, 37, 39 z rozdziału 7.
Uwaga. W dalszym ciągu można deklarować zadanie 46 z zestawu 23.