Wybrane aspekty dynamiki procesu transportowego

PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ
z. 97
Transport
2013
Jolanta ak
Politechnika Warszawska, Wydzia Transportu
WYBRANE ASPEKTY DYNAMIKI PROCESU
TRANSPORTOWEGO
Rkopis dostarczono, czerwiec 2013
Streszczenie: W artykule przedstawiono zagadnienie dynamiki procesu transportowego.
Zaprezentowano najistotniejsze pojcia dotyczce programowania dynamicznego. Zidentyfikowano
elementy systemu transportowego w aspekcie ich wpywu na dynamik procesu. Odwzorowano
struktur i charakterystyki sieci transportowej i sie faz procesu.
Sowa kluczowe: modelowanie, proces transportowy, transport
1. WPROWADZENIE
Jedn z cech charakteryzujcych kady system jest jego zmienno w czasie, przy
jednoczesnym zachowaniu podstawowych wasnoci. Zmienno, polegajc na tym, e na
wielkoci wyjciowe systemu w chwili biecej, ma wpyw przebieg wielkoci
wejciowych w chwilach wczeniejszych, w dalszej czci nazywa bdziemy dynamik
systemu. Moemy wówczas stwierdzi, e system niejako pamita to, co dziao si
wczeniej z jego wielkociami wejciowymi [1,9].
Przez stan systemu w wyrónionej chwili (w danym momencie) rozumiemy
najmniejsz liczb danych (zmiennych stanu systemu), których znajomo w wyrónionej
chwili, pozwala jednoznacznie okreli wielkoci wyjciowe systemu. Procesem systemu
bdzie natomiast przebieg zmian stanów systemu.
W artykule przyjto, e elementami systemu transportowego s elementy struktury oraz
jednostki transportowe przemieszczajce si w elementach tej struktury. Poniewa czas
przemieszczania pojazdów zaleny jest midzy innymi od wyposaenia elementów
struktury, zatem analizujc zagadnienie dynamiki procesów transportowych naley
uwzgldni wyposaenie systemu transportowego oraz charakterystyki elementów
systemu. Uwzgldniajc powysze przyjmujemy, e, stan systemu transportowego zaleny
bdzie od stanu elementów infrastruktury oraz stanu jednostek transportowych
przemieszczajcych si po drogach tego systemu.
Jedn z metod które mona zastosowa do analizy dynamiki procesów transportowych
s zadania programowania dynamicznego. Dla kadego zadania tego typu wyrónia si
546
Jolanta ak
zbiór stanów oraz zbiór dopuszczalnych sterowa stosowanych na kadym etapie procesu
sterowania.
2. PROCES TRANSPORTOWY – IDENTYFIKACJA
ELEMENTÓW
System transportowy, którego celem jest przemieszczanie adunków i/lub osób, skada
si z okrelonej liczby elementów i relacji midzy nimi [1], [8].
ST
A, R
(1)
gdzie:
A – zbiór numerów elementów systemu A ^a : a  N `
R – zbiór relacji wystpujcych pomidzy elementami systemu.
Elementy systemu charakteryzuj wasnociami które mona opisa formuami
algebraiczno logicznymi a wic s kwantyfikowalne. Zatem kady element systemu
transportowego charakteryzuje si wektorem n(a) wasnoci tj.:
na
ª na 1 , ..., na k , ... na K a º
¬
¼
(2)
przy czym symbol na k oznacza k-t wasno elementu o numerze a, natomiast
K a stanowi liczb wasnoci charakteryzujcych element o numerze a.
Elementami systemu transportowego s obiekty nalece do jego infrastruktury oraz
jednostki transportowe przemieszczajce po niej (suprastruktura). Zbiór numerów
infrastruktury (drogi, wzy) opisano symbolem A1, natomiast zbiór numerów
suprastruktury (pojazdy) opisano symbolem A2.
Dla formalnego rozdzielenia elementów systemu transportowego na zbiorze A zadane
jest odwzorowanie ࢻ przeprowadzajce elementy tego zbioru w zbiór {0, 1} tj.
*:
A 
o^0,1`
(3)
przy czym (a)=1 jeeli a-ty element jest elementem infrastruktury, natomiast (a)=0 gdy
a-tym elementem systemu transportowego jest pojazd. Zatem:
A1
^a : * a 0; a  A`
(4)
A2
^a : D a 1; a  A`
(5)
Wybrane aspekty dynamiki procesu transportowego
547
Konstruujc model dynamiki procesu transportowego konieczne jest zdefiniowanie
czasu. Zakadamy zatem, e ponumerowano odcinki czasowe o dowolnej dugoci, przy
czym tworz one zbiór T, tj.:
T
^t : t
t p ,..., t ',..., t k `
(6)
Zakadamy, ponadto e t , t ' T t ് t’ co oznacza, e zbiór odcinków czasowych jest
zbiorem uporzdkowanym cile monotonicznie.
Oczywistym jest, e czas przemieszczania zaleny jest od wyposaenia elementów
struktury, co jest konsekwencj wyposaenia systemu transportowego, jak równie
charakterystyk tych elementów.
Jednym ze sposobów opisania wasnoci dynamicznych system transportowego jest
zastosowanie do opisu metod programowania dynamicznego. W tym przypadku system
transportowy przedstawiamy jako transformacj strumieni wejciowych na strumienie
wyjciowe (rys. 1).
Wej
cie do
systemu
Wyj
cie
z systemu
Stansystemu
Rys. 1. Transformacja strumieni wejciowych na strumienie wyjciowe
(ródo: opracowanie wasne)
Poniewa, jak wspomniano we wstpie stan systemu w wyrónionej chwili naley
rozumie jako najmniejsz liczb danych, niezbdnych dla jednoznacznego okrelenia
wielkoci wyjciowych systemu. Zatem bdzie on zalea od stanu elementów
infrastruktury oraz stanu jednostek transportowych przemieszczajcych si po drogach
tego systemu. Stany elementów dróg wyznaczaj jednoznacznie stany pojazdów
i odwrotnie Badajc dynamik procesu transportowego naley zatem odwzorowa
zarówno struktur sieci transportowej jak i pojazdy przemieszczajce si po jej
elementach. Stan systemu mona zapisa zatem jako wektor o wielu skadowych,
wyznaczajcy punkt w przestrzeni stanów systemu.
Cig nastpujcych po sobie zmian stanów systemu okrelimy jako proces o jego istocie
decyduj zalenoci pomidzy stanami elementów dróg i stanami pojazdów. Cig ten
mona zapisa w postaci wektora stanów. Zalenoci wpywaj na liczb dopuszczalnych
stanów (ograniczaj) przestrzeni stanów systemu transportowego. Pozwala to na
przedstawienie zmian postaci wektora stanu jako cigu zmian [10, 11,8]:
stanu elementów dróg systemu,
stanu pojazdów znajdujcych si w analizowanym systemie transportowym.
Zmiany postaci wektora stanu w przestrzeni stanów systemu zale od warunków
brzegowych wynikajcych z wczeniej wspomnianych charakterystyk. Gdy mamy do
548
Jolanta ak
czynienia ze cigiem zmian stanu elementów dróg systemu wówczas to zmiany stanu
pojazdów je implikuj, w przeciwnym przypadku poprzednikiem implikacji jest zmianami
stanu pojazdów. Oba ujcia s równowane i moliwe jest przeksztacanie jednego
w drugie.
Zgodnie z zaproponowan w [8] terminologi w dalszej czci artykuu stan systemu
transportowego bdzie okrelany jako faza procesu transportowego, natomiast zmian
stanu systemu (zmian fazy procesu) okrela bdziemy jako zdarzenie. Faz procesu
charakteryzuje czas trwania (przedzia czasowy), a zdarzenie chwila wystpienia
(moment).
Szczegóowo odwzorowania zarówno infrastruktury systemu transportowego jak
i potoku ruchu z wykorzystaniem charakterystyk jednostek tworzcych potok ruchu
wynika z celu i zakresu bada dla których model jest konstruowany. W artykule przyjto,
e stan systemu transportowego przedstawiany jest jako punkt przestrzeni fazowej
okrelonej przez iloczyn kartezjaski stanów elementów infrastruktury systemu
transportowego oraz stanów pojazdów tworzcych potok jednostek transportowych w
systemie.
s : A1 u A2 u T 
o Rn
(7)
gdzie:
A1 – zbiór numerów elementów infrastruktury systemu transportowego,
A2 – zbiór numerów pojazdów znajdujcych si w systemie transportowego,
T– zbiór numerów chwil czasowych,
Rn – wspórzdne punktu n-wymiarowej przestrzeni fazowej
A zatem, do opisu stanu systemu moe by wykorzystany wektor o skadowych
wyznaczajcych punkt w przestrzeni stanów tego systemu. Odwzorowaniu zwizków
midzy stanami systemu transportowego nadamy posta sieci. Sie t nazwiemy sieci faz
procesu, gdy odwzorowuje ona zwizki midzy fazami procesu. Struktur sieci faz
procesu moemy uwaa za odwzorowanie struktury procesu.
Rónym ujciom postaci wektora zmian odpowiadaj róne opisy struktury sieci faz
procesu. Wze sieci faz procesu odwzorowuje element drogi, przez który przepywa potok
pojazdów lub odwzorowuje pojazd, któremu s przydzielane elementy odwzorowujce
zasoby systemu.
Faz procesu systemu transportowego ST, mona opisa za pomoc parametrów
wyraonych liczbowo. Parametrami mog by:
liczba jednostek transportowych przemieszczajcych si po danym poczeniu sieci
transportowej
prdko tych jednostek
rednia prdko na danym poczeniu transportowym
liczba pojazdów przejedajca przez dany wze transportowy w przedziale czasu
i inne.
Parametry te bdziemy nazywali wspórzdnymi fazowymi ukadu fizycznego ST,
a stan ukadu bdziemy przedstawia za pomoc punktu M o tych wspórzdnych w
pewnej umownej przestrzeni fazowej.
Zmian stanu systemu transportowego w procesie sterowania bdziemy przedstawia
jako ruch punktu M w przestrzeni fazowej. Wybór sterowania U oznacza wybór okrelonej
Wybrane aspekty dynamiki procesu transportowego
549
trajektorii punktu M w przestrzeni fazowej i okrelonego prawa ruchu. Liczba wymiarów
przestrzeni fazowej zaley od liczby parametrów, charakteryzujcych stan ukadu.
3. ODWZOROWANIE STRUKTURY I CHARAKTERYSTYK
PROCESU TRANSPORTOWEGO
Jak przedstawiono w punkcie wczeniejszym dla potrzeb analizy dynamiki
przemieszczania jednostek transportowych (dynamiki procesu transportowego) w sieci
transportowej, wystarczajc jest struktura przedstawiona w postaci struktury sieci faz
procesu przemieszczania jednostek transportowych. Przyjmujemy, e struktura sieci faz
procesu przemieszczania jednostek transportowych odwzorowana jest równie w postaci
grafu Berge’a, Struktur systemu transportowego zapisujemy w postaci grafu G.
G = <W, L>
(8)
gdzie:
W - zbiór wierzchoków (wzów) grafu G
W = {w: w=1, 2, ..., a, ..., i,…, j, ..., b, ..., W} W ’ A1
(9)
L - jest zbiorem uporzdkowanych par (i, j) wzów grafu bdcych podzbiorem
iloczynu kartezjaskiego WuW, przy czym uk (i, j) jest interpretowany jako
poczenie transportowe od wza i do wza j.
W tak odwzorowanej strukturze jednoznacznie zwiemy jednostki transportowe
z wzami sieci faz procesu odwzorowujcymi stany elementów dróg systemu
transportowego.
Analizujc proces transportowy naley okreli zbiór typów rodków transportowych
nalecych do analizowanego systemu ich liczb. Ponadto, naley sprawdzi czy liczba
rodków transportowych znajdujcych si na danym poczeniu sieci transportowej nie
przekracza ogranicze wynikajcych z wyposaenia tego poczenia (jego charakterystyk –
w teorii kolejkowej bd one miay wpyw na liczb kanaów obsugi). Dlatego naley
okreli liczb rodków transportowych dla poszczególnych uków (i, j) sieci
z uwzgldnieniem czasu.
Zakadamy zatem, e po sieci transportowej mog przemieszcza si rodki
transportowe rónych typów tworzc potok ruchu. Dla jednoznacznoci dalszych rozwaa
przyjmujemy, e S jest zbiorem numerów typów rodków transportowych, tj.:
P= {p: p=1, ...,p’,…,P} P ’ A2
(10)
gdzie P jest liczebnoci zbioru P.
Poniewa po sieci transportowej moe jednoczenie przemieszcza si wiele rodków
transportowych jednego typu, std niezbdnym jest ponumerowanie rodków kadego typu
550
Jolanta ak
p, pP. Zbiór numerów rodków transportowych p-tego typu oznaczymy przez K(p), przy
czym bdzie on zbiorem postaci:
K(p) = {(k,p): k=1,…,K(p)}, p‫ג‬P
(11)
gdzie par (k,p) interpretujemy jako k-ty numer rodka transportowego p-tego typu,
natomiast K(p) jest liczb rodków transportowych p-tego typu przemieszczajcych si po
sieci transportowej.
Analizujc problem dynamiki procesu transportowego naley uwzgldni
przemieszczanie jednostek transportowych po wszystkich poczeniach nalecych do
danej sieci transportowej. Definiujemy zatem zbiór K((i,j),t) którego elementy opisuj
numer rodka transportowego p-tego typu, który w wyrónionej t-tym odcinku czasowym
chwili znajduje si na (i,j)-tym poczeniu sieci transportowej.
E : L u K p u P u T o ^0,1`
(12)
przy czym E i,j , k, p ,t 1 jeeli k-ty numer rodka transportowego p-tego typu
w przedziale czasowym t znajduje si na poczeniu (i, j), natomiast E i,j , k, p ,t 0
w przeciwnym przypadku. Wic K i,j ,t :
t  T, i, j  L, K i,j ,t ^ k , p : E i,j , k, p ,t 1`
(13)
Inn z charakterystyk procesu transportowego jest czas transportu rodka
transportowego danego typu na okrelonym uku. Zaoymy zatem, e na iloczynie
kartezjaskim L×P×T tym zadane jest odwzorowanie t1, przy czym wielko t1((i,j), p, t)
mie bdzie interpretacj czasu pokonania uku (i,j) przez s-ty rodzaj jednostek
transportowych, jeli rodki transportowe s znajduj si na uku (i,j) w przedziale
czasowym t.
Zatem dla ustalonej chwili t oraz dla danego poczenia (i,j) pena charakterystyka
dynamiki prowadzona oddzielnie dla kadego rodzaju jednostek transportowych opisana
t
bdzie wektorem w i, j :
t
+
t  T (i , j )  L w i, j = ª¬t1((i,j ) , p, t ) : t1((i,j ) , p, t )  R
p  P º¼
(14)
Faz procesu transportowego charakteryzuje czas trwania, a zdarzenie charakteryzuje
chwila wystpienia zmiany stanu. Powsta w ten sposób struktur definiujemy jako
struktur sieci faz procesu transportowego. W takim ukadzie struktura sieci faz procesu
transportowego jest odwzorowaniem struktury transportowej oraz odwzorowaniem
procesu transportowego jednostek transportowych w sieci transportowej. Struktur sieci
faz procesu transportowego moemy zapisa w postaci sieci kolejkowej.
Wybrane aspekty dynamiki procesu transportowego
551
Dla kadej jednostki transportowej cig faz procesu transportowego jest opisany
wektorem faz procesu transportowego - ze wzgldu na wyrónione fazy jest to wektor
cile uporzdkowanym. Przyjmujemy wic, e wektor W(p) ma posta:
W(p) = [w(p, n, j)] n‫{ג‬1,…,F(s)}, p‫ג‬P s‫ג‬S
(15)
gdzie F(s) jest liczb faz procesu transportowego si w systemie transportowym p-tej
jednostki transportowej. Wektor W(p) okrelony jest dla kadego p‫ג‬P n-numer fazy.
Oczywistym jest, e w odwzorowaniu dynamiki procesu transportowego adna jednostka
transportowa tworzca potok ruchu nie moe by w adnym stanie wicej ni jeden raz.
4. STEROWANIE PROCESEM TRANSPORTOWYM
Pojazd pojawiajcy si na wejciu sieci po pewnym skoczonym czasie pojawia si na
wyjciu sieci. Zatem dynamik ruchu, w przypadku sieci transportowej, odwzorowuje
przesunicie w czasie i zmiana kolejnoci pojazdów na wyjciu z sieci w porównaniu do
kolejnoci wystpujcej na wejciu W tym sensie mona mówi o sieci faz procesu jako
ukadzie dynamicznym przetwarzajcym wielowymiarowy strumie ruchu.
Sposób przeprowadzenia potoku ruchu drogami czcymi wejcia z wyjciami oraz
sposób wykorzystania zasobów systemu transportowego w obserwowanym czasie jest
wasnoci procesu transportowego, która powinna by odwzorowana w modelu procesu.
Przyjto, e zasady prowadzenia ruchu okrela si jako sterowanie. W analizie procesów
dynamiki transportu wystpuj dwa rodzaje sterowania ruchem:
organizacja ruchu,
reguy (regulaminy) biecego sterowania ruchem.
Pod pojciem organizacji ruchu rozumie si rozoenie potoku ruchu w sieci faz
procesu. Rozoenie to jest jednoznacznie opisane zbiorem klas pojazdów w strumieniu
zgosze oraz charakterystykami wicymi skadowe potoku ruchu ze struktur sieci
(drogami w sieci). Odwzorowanie takie nazywamy je statycznym modelem organizacji
ruchu w procesie transportowym. Statycznie traktowany potok ruchu ma wymiar
intensywnoci (natenia) potoku ruchu i jest wyraany w liczbie pojazdów na jednostk
czasu, obciajcej wzy i uki sieci faz procesu.
Natomiast biece sterowanie ruchem, wynika ze statycznych miar potoku ruchu
warunków koniecznych istnienia skoczonej wartoci ocen granicznych symulowanego
procesu. Istnienie skoczonych wartoci ocen granicznych jest z kolei warunkiem
koniecznym istnienia przynajmniej jednego rozwizania dopuszczalnego biecego
sterowania ruchem w czasie, a tym samym warunkiem koniecznym zakoczenia symulacji
procesu do zadanej chwili kocowej lub zadanego stanu kocowego.
Warunki konieczne istnienia skoczonej wartoci ocen granicznych symulowanego
procesu mona przedstawi w postaci [8]:
552
Jolanta ak
i W
¦M
p,i
a p W p,i li '
(16)
s S
gdzie:
M p,i  ^0,1` M p,i 1
gdy pojazdy typu p - moe przejecha przez wze o numerze i,
M p,i
ap
0
w przeciwnym przypadku,
- natenie ruchu na jednostk czasu j,
W p,i
- czas obsugi pojazdów p-tego typu w i – tym w
le,
li - liczba kanaów obsugi (np. pasów ruchu) i – tego wza,
' - czas
obserwacji procesu (symulacji), '
tk t p
Zasady biecego sterowania ruchem w procesie transportowym s odwzorowane
w modelu regulaminami dziaania wzów sieci faz procesu poprzez wybór pojazdu lub
wybór wza. Powysze zasady zadane zostan w postaci funkcji stanu podzbioru wzów
sieci faz procesu tworzcego obszar analizowany przy podejmowaniu decyzji.
W skrajnych przypadkach obszar ten moe ogranicza si do jednego wza lub moe
obejmowa wszystkie wzy sieci. Dziedziny tych funkcji zawieraj stany wzów
podzbioru zbioru wzów sieci faz procesu W, a wynikami indeksy wskazujce wybrany
pojazd i kana obsugi w przypadku spenienia warunków wyboru lub „zero” traktowane
jako decyzja zaniechania wyboru. Tak wic funkcja decyzyjna, korzystajca z zasad
wyboru przybiera posta:
i  W, t  T
ui , t
­D
®
¯0
dla spelnionych warunków w zbiorze Wi
w przeciwnym przypadku
gdzie: t - chwila podejmowania decyzji t ‫ ג‬T,
­ k,p gdy interesuje nas
numer
pojazdu
D ® l
n
gdy
interesuje
nas
numer
kanalu
obslugi
¯ i
l
ni (17)
numer wybranego kanau obsugi w w
le sieci faz procesu,
Wi - zbiór wzów analizowany przez procedur wyboru przy podejmowaniu decyzji
Wi ‫ ؿ‬W.
W przypadku jednorodnych kanaów obsugi wystarczy sprawdzi, czy w chwili
podejmowania decyzji t w w
le jest wolny kana obsugi. Zatem, zadanie sterowania
realizowane przez procedur wyboru moe by formuowane jako poszukiwanie
rozwizania:
dopuszczalnego - speniajcego ograniczenia procesu transportowego,
optymalnego - najlepszego sporód dopuszczalnych w obszarze analizowanym przy
podejmowaniu decyzji u oraz t w analizowanym zbiorze sieci faz procesu Wi .
Wybrane aspekty dynamiki procesu transportowego
553
5. PODSUMOWANIE
Modelowanie stanowi pierwszy etap formalnego ujcia zagadnie zwizanych zarówno
z analiz dziaania jak i syntez systemów. Pozwala ono z okrelonym przyblieniem
odtworzy zasady organizacji i funkcjonowania systemie, co dalej umoliwia uzyskanie
informacji o samym modelowanym systemie.
Moliwe bliski rzeczywistoci opisu systemu transportowego wymaga odwzorowania w
modelach tych systemów dynamiki procesów oraz losowoci. Zatem do analizy naley
zastosowa model odwzorowujcy dynamik. Modelami które uwzgldniaj dziaanie
systemu w czasie s modele dynamiczne. Wykorzystujc do rozwizania problemu zadanie
sterowania naley uwzgldni: warunki realizacji decyzji, ograniczenia sieci faz procesu,
kryterium sterowania rozumiane jako maksimum lub minimum okrelonej funkcji
wyraajcej strat (koszt) lub zysk przewidywany w wyniku realizacji decyzji lub te jej
zaniechania gdy analiza prowadzona przez procedur wyboru doprowadzi do takiego
rezultatu. W analizie naley uwzgldni wszystkie jednostki tworzce potok ruchu
znajdujce si w obszarze analizy w sytuacji konfliktowej wzgldem jednostki wybranej
do ewentualnego przeniesienia do nastpnej fazy procesu.
Bibliografia
1. Ambroziak T., Jacyna M..: Wybrane aspekty modelowania dynamiki procesów transportowych, Prace
Naukowe PW, z. 53, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2004.
2. Bellman R.: Programowanie dynamiczne. PWN, Warszawa 1967.
3. Bhaskar V., Lallement P.: Modeling a supply chain using a network of queues. Applied Mathematical
Modelling Volume 34, Issue 8, August 2010,
4. Filipowicz B.: Modele stochastyczne w badaniach operacyjnych. Analiza i synteza systemów obsugi i
sieci kolejkowych. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne Warszawa 1996
5. Findeisen W., Szymanowski J., Wierzbicki A.: Teoria i metody obliczeniowe optymalizacji. PWN,
Warszawa 1977.
6. Han, S.: Dynamic traffic modelling and dynamic stochastic user equilibrium assignment for general road
networks, Transportation Research 37B, 225–249.
7. Huang, H.J., Lam, W.H.K.: Modeling and solving the dynamic user equilibrium route and
8. Leszczyski J.: Modelowanie systemów i procesów transportowych. Oficyna Wydawnicza Politechniki
Warszawskiej, Warszawa 2009.
9. Wasiak M.: Odwzorowanie obiektu logistycznego jako systemu masowej obsugi. Logistyka 6/2006
Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2009.
10. ak J.: Parametryzacja elementów procesu transportowego. Logistyka 4/2011.
11. ak J.: Teoria kolejek w zastosowaniu do opisu procesu transportowego. Logistyka 4/2012.
SELECTED ASPECTS OF THE DYNAMICS OF TRANSPORT PROCESS
Summary: The most important dynamic features of transport system are presented in a way allowing using
dynamic programming in modelling. The selected elements of transport system are identified in aspect of
their influence on transport process dynamics. Structure and appropriate characteristics of transport process
are represented as a network of process phases.
Keywords: modelling, transport process, transport