ANALIZA MATEMATYCZNA DLA INFORMATYK´OW 4

PaweÃl Domański
ANALIZA MATEMATYCZNA DLA INFORMATYKÓW 4
Program wykÃladu ANI214
1. Elementy teorii funkcji analitycznych:
• (WykÃlad 1) liczby zespolone i pÃlaszczyzna zespolona; sfera Riemanna;
• (WykÃlad 2) różniczkowalność w sensie analizy zespolonej; różniczkowanie funkcji zÃlożonej,
interpretacja geometryczna, funkcja holomorficzna, przykÃlady funkcji holomorficznych;
• (WykÃlad 3) holomorficzność sumy szeregu potȩgowego; logarytm i potȩga zespolona jako
funkcje holomorficzne;
• (WykÃlad 4) równania Cauchy’ego-Riemanna; caÃlka (krzywoliniowa) z funkcji zespolonej;
• (WykÃlad 5) lemat Goursata, twierdzenie caÃlkowe Cauchy’ego, wzór caÃlkowy Cauchy’ego, twierdzenie o reprezentacji funkcji holomorficznej szeregiem potȩgowym;
• (WykÃlad 6) nierówności Cauchy’ego, twierdzenie Liouville’a i wnioski, funkcja pierwotna;
• (WykÃlad 7) wÃlasności funkcji holomorficznych, zera i twierdzenie o jednoznaczności;
• (WykÃlad 8) szeregi Laurenta, izolowane punkty osobliwe, residua;
• (WykÃlad 9) twierdzenie Cauchy’ego o residuach, zastosowania do obliczania caÃlek.
2. Wielokrotna caÃlka Riemanna:
• (WykÃlad 10) caÃlka po przedziale, kryterium caÃlkowalności;
• (WykÃlad 11) twierdzenie ,,typu Fubiniego”, caÃlkowanie po zbiorach normalnych wzglȩdem osi i
pÃlaszczyzn ukÃladu wspóÃlrzȩdnych, zastosowania geometryczne caÃlek wielokrotnych, pole figury,
objȩtość bryÃly;
• (WykÃlad 12) zamiana zmiennych w caÃlce wielokrotnej;
• (WykÃlad 13) zbiory miary zero i objȩtości zero, oscylacja funkcji, twierdzenie Lebesgue’a o
caÃlkowalności funkcji ograniczonej;
• (WykÃlad 14) caÃlkowanie po zbiorze mierzalnym w sensie Jordana; podziaÃl jedynki, caÃlkowanie
po zbiorach otwartych;
3. CaÃlki krzywoliniowe:
• (WykÃlad 15) definicja caÃlki krzywoliniowej (skierowanej); podstawowe wÃlasności caÃlki krzywoliniowej, niezależność caÃlki krzywoliniowej od drogi.
1
Literatura
Podrȩczniki
[1] J. Conway, Functions of one complex variable, Springer, New York 1978.
[2] G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i caÃlkowy, t.1 i 3, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
1994 (t.1) i 1995 (t. 3).
[3] F. Leja, Funkcje zespolone, PWN, Warszawa 1979.
[4] H. i J. Musielakowie, Analiza matematyczna, t.2, cz.1, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 1999.
[5] W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej , Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998.
[6] A. SoÃltysiak, Analiza matematyczna, cz.3, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań, 2000.
Zbiory zadań
[7] G.N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej , PWN, Warszawa 1975.
[8] B.P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej , t.1, 2 i 3, Naukowa Ksia̧żka, Lublin 1992
(t.1) i 1993 (t.2 i 3).
[9] W. Krysicki, L. WÃlodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1 i 2, Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa 1975.
[10] J. Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych, PWN, Warszawa 1975.
[11] J. Rutkowski, Zadania z funkcji analitycznych, WydziaÃl Matematyki i Inf. UAM, Poznań, 1999.
2