postępy astronomii
Transkrypt
postępy astronomii
POSTĘPY ASTRONOMII C Z A S O P I S M O POŚWIĘCONE UPOWSZECHNIANIU WIEDZY ASTRONOMI CZNEJ PTA TOM XX — ZESZYT 4, 19 7 2 WARSZAWA • PAŹDZIERNIK — G RU D ZIEŃ 1972 POLSKIE TOWARZYSTWO ASTRONOMICZNE POSTĘPY ASTRONOMII K W A R T A L N I K TOM XX — ZESZYT 4 1972 WARSZAWA • P A Ź D Z I E R N I K — G R U D Z I E Ń 1972 KOLEGIUM REDAKCYJNE Redaktor naczelny: Stefan Piotrowski, Warszawa Członkowie: Józef Witkowski, Poznań Włodzimierz Zonn, Warszawa Sekretarz Redakcji: Jerzy Stodółkiewicz, Warszawa Adres Redakcji: Warszawa, Al. Ujazdowskie 4 Obserwatorium Astronomiczne UW W Y D A W A N E Z ZASIŁKU POLSKIEJ A K A D E M II NAUK PHntod in Poland Państwowe Wydawnictwo Naukowe Oddział u) Łodzi 1972 W ydanie I. Nakład 500+120 egz. Ark. uipd. 5,75. Ark. druk 6,00 Papier plśm. m gł. ki. II I , 80 g. 70x100. Druk ukończono uj Podpisano do druku 9. X I. 1972 f. listopadzie 1972 r. Zam . 505. D-2. Cena zł 10.— Zakład Graficzny Wydawnictw Naukowych Łódź, ul. Gdańska ,162 POSTĘPY ASTRONOMII Tom XX (1972). Zeszyt 4 U K Ł A D Y P O D W Ó JN E T Y P U W U R SA E M A JO R IS (W UMa) Część I S - L A WO MI R R U C I N S K I Obserwatorium Astronomiczne Uniwersytetu Warszawskiego flBOtóHblE CMCTEMbI TMI1A W URSAE MAJORIS (W UMa) HaCTb I C.PyU HHbCKH C o A e p *aHMe C T aT bfl COflep)KMT KpaTKOe MCCJieflOBaHHe cJ)aKTOB HaÓJUOfleHMfi OTHOCHmMXCH W UMa u npocMOTp nocjieamix npo6 nocTpoeHWH TeopeTHMecKOM MOflejiu (Bena Hyjib hjim *©■ 3BOJiioi»ioHHoro) 9 thx cucTeM. k 3Be3aaM Tuna THE BINARY SYSTEMS OF W URSAE MAJORIS T YPE (W UMa) Part I S u m m ar y The article briefly discusses the observational facts concerning W UMa stars and contains a review of recent attempts to give a theoretical model (zero age or evolutionary) of these systems. Układy typu W UMa są jedną z nielicznych klas gwiazd, o których wiemy jeszcze na tyle niew iele, że dyskusja trwa wokół zagadnienia, dlaczego gwiaz dy te w ogóle istnieją. Z drugiej strony są to najliczniejsze (w sensie abso lutnym) układy podwójne w przestrzeni: jeden [275] układ W UMa występuje prze- 276 S. R u c iń sk i ciętnie w o bjętości 106 p c 3 (w okolicach Słońca), w której znajduje s ię ok. 2 • 103 karłów zbliżonego typu widmowego (F*C) i ja s n o ś c i ( K r a f t 1967). W ostatnich latach notujemy znaczny wzrost z ainteresow ania tymi atrakcyjnymi, zarówno obserw acyjnie jak i teoretycznie, obiektami. Artykuł poniższy pomy ślany j e s t jako przegląd nowych prac i wyników dotyczących tych gwiazd. W rozdz. 1 zestaw ion e z o s ta n ą fakty o bserw acyjne, z a ś w rozdz. 2 aktu alne próby interpretacji teoretycznej i podania modelu układów W UMa. Oba te rozdziały tworzą p ie r w s z ą c z ę ś ć artykułu. W c z ę śc i drugiej (rozdz. 3 i 4) o p isa n a zostanie sy tu a c ja w dziedzinie w y znaczania parametrów tych układów na p odstaw ie obserw acji fotometrycznych i spektroskopowych. Zwra camy uwagę, że zbliżone ujęcie tematyki rozdziału I zn a le ź ć można w II czę śc i artykułu , , C iasne układy podwójne” ( S m a k 1968), który ukazał s ię przed czte rema laty w „ P o s t ę p a c h A stronomii” . 1. FAKTY OBSERWACYJNE Spośród wielu kryteriów wyróżniających układy typu W UMa spośród innych zaćmieniowych gwiazd podwójnych można podać jedno, izolujące je w sposób, jak s i ę wydaje, jed noznaczny. Układy W UMa to gwiazdy zaćmieniowe o okre sach krótszych od około jednego dnia, które w ykazują ciągłe zmiany ja s n o śc i (bez możliwości w yzn aczen ia kontaktów zaćmieniowych) oraz dodatnią zmianę koloru (poczerwienienie) w obu minimach. W ten sposób z o s t a j ą wyłączone z rozważań krótkookresowe układy podwójne o nieco zbliżonych krzywych j a s n o ś c i (tzw. krótkookresowe P Lyr), w których składnik bardziej masywny j e s t prawdopodobnie bliższy powierzchni R oche’a niż jego tow arzysz (układy E B wg oznaczeń „O gólnego katalogu gwiazd zmiennych” ) oraz układy, w któ rych składnik mniej masywny wypełnia powierzchnię R oche’a (tzw. krótkookre sowe Algole; EA wg ozn aczeń „ K a ta lo g u ” ). J a s n o ś c i składników w układach W UMa s ą bardzo podobne, co wynika z podobnej głębokości zaćmień, natom iast k s z ta łt krzywych ja s n o ś c i i zmiany kolorów w stro nę bardziej dodatnich w obu minimach św iad c z ą , że efekty b lisk ośc i składników m uszą grać w ię k s z ą rolę niż ew entualna n iew ielk a róż n ic a temperatur efektywnych, która objawiałaby s ię „ p o c z e rw ien ie n ie m ” jednego minimum i „ p o n ie b ie s z c z e n ie m ” drugiego (rys. 1). O kresy gwiazd typu W UMa zaw iera ją s i ę w stosunkowo wąskim z akresie od ok. 0,25 do 0,60 dnia, z w ię k s z o ś c ią w z akresie 0,3 do 0,5 dnia (patrz ze staw ie n ie E g g e n a 1961, 1967). P raw ie w szy stkie układy wykazują zmiany okresu. Tylko bardzo n ie lic z n e , których krzywe ja s n o ś c i s ą je d noc z e śnie bardzo regularne z brakiem asymetrii i zmian k s z ta łtu (np. V 566 Oph — Bi n n e n d i j k 1965, B o o k m y e r 1969) nie zm ien iają okresu. Obserwowane tempo Układy podwójne typu W Ursae Majoris, I 277- Rys. 1. Krzywe jasności w barwach B i V oraz krzywa koloru B-F dla prototypu rozwa żanych układo'w, gwiazdy W UMa (wg R. B r e i n h o i - > t — Astroph. Space Sci., 10, 411 (1971)) zmian je s t bardzo d u że , (d log P /d t) = (0,3 -f 1,0) • 10"7 rok’ 1, w przy bliżeniu odpow iadające a term icznej s k a li czasowej dla gw iazd o (podobnych masach, diagramy O-C mają, na ogół k sz ta łt z grubsza paraboliczny (rys. 2), lecz n iew ie lk ie odchylenia od paraboli s ą prawdopodobnie realne i w skazują, że m echanizm w y d łużający czy skracający okres nie d z ia ła w sposób jednostajny. Praw ie przy identyczna ilo ś ć układów skraca okres i identyczna okres w ydłuża, czym nie stwierdzono- dotychczas, aby w łasność ta korelowała z ja k ą kolw iek in n ą cech ą m orfologiczną układu. Warto zwrócić uwagę, że dla tak ciasnych układów isto tn ą rolę w bilansie całkow itej energi odgrywa zapewne em isja fal graw itacyjnych, która może modyfikować ew olucję układu w sk ali czasow ej zb liżo n e j do sk a li ew olucji jądrowej karłów o podobnych masach (Paczyński 1967). 278 S. Ruciński 3* 2 1 O Rys. 2. Diagram O-C dla układu SW Lac (wg B. B o o k m y er — A .J ., 70, 415 (1965)) L o g P (dni ) Rys. 3. Zależność koloru B-V od logarytmu okresu (w dniach) dla układów typu W UMa wg E g g e n a (1967). Kółkami wypełnionymi zaznaczone s ą układy z 6 W-B) ■$ 0,05; kółkami pustymi — układy, dla których 6 (U-B)~2- 0,08 Dwie łatwo mierzalne wielkości: okres układu i jego kolor (bardzo słabo zmienny z fazą — poczerwienienie w minimach jest niew ielkie, rzędu najwyżej 0,1 mag) wykazują pewien luźny związek, wykryty przez E g gen a (1967). Zależność ta odgrywa dosyć znaczną rolę w testowaniu proponowanych modeli Uktady podwójne typu V/ Ursae Majoris, I 279 układów W LIMa, głównie w tym sensie, iż pozwala wykluczyć te z nich, które jej jawnie nie spełniają. Jednak, jak zobaczymy dalej, sens obserwacyjnego rozrzutu układów w ramach nachylonego równoległo boku na rys. 3 nie jest wyjaśniony, nie wiadomo w szczególności, czy ma on charakter ewolucyjny oraz jaki byłby przebieg ewolucji we współrzędnych diagramu. Warto zwrócić uwagę, że niektóre układy lewego og-aniczenia zależności mają nadwyżki ultrafioletowe 6 (U-B) > 0,08, podczas gdy układy prawego ograniczenia mają te nadwyżki małe, mniejsze od 0,05. Nie wiadomo jednak, czy nadwyżki te traktować należy jako indykator wieku układu, czy też raczej jako wynik zjawisk powierzchniowych związanych z osobliwościami atmosferycznymi systemów. A in, ( m a g . ) Rys. 4. Rozkład amplitud obserwowanych systemów typu W UMa wg L ucy’ego (A p.J., 153, 877 (1968)). Jeden układ z n ajw iększą am plitudą 1,28 mag. powinien być zapewne klasyfikowany jako gwiazda typu P Lyr. Strzałkami zaznaczono maksymalne amplitudy krzywych teoretycznych liczonych dla modelu kontaktowego, gdy składniki w ypełniają wewnętrzną (C = C,) lub zewnętrzną (C = Ca) w spólną powierzchnię równego potencjału (por. równania (2) oraz II część artykułu) Amplitudy zmian jasności zawierają się pomiędzy ok. 1,25 wielkości gwiaz dowej w gómym ograniczeniu (co w połączeniu z podobną głębokością minimów świadczy o silnych efektach bliskości, bowiem efekty zaćmieniowe sferycznych gwiazd o jednakowych temperaturach powierzchniowych mogą dać 0,75 wielk. gw.), a granicą wykrywalności w dolnym (rys. 4). Stosunkowo duża ilość ukła dów posiada krzywe wskazujące na istnienie swego rodzaju „płaskiego dna” w jednym z minimów, przy czym istnieją w tej klasie układy o stosunkowo nie- 280 S. Ruciński wielkiej amplitudzie (rzędu 0,2 wielk. gw.), co w konwencjonalnej interpretacji świadczyłoby o znacznej różnicy w rozmiarach składników układu. Porównywal na i w tym przypadku głębokość minimów sugeruje podobną jasność powierzch niową (rys. 5). Oba te fakty w powiązaniu wskazują, że składniki układów W UMa muszą mieć charakterystyki znacznie odbiegające od posiadanych przez pojedyncze gwiazdy podobnych typów na ciągu głównym. Na podstawie kolorów i nachylenia widma ciągłego wnioskować można, iż układy typu W UMa zawarte są wyłącznie w zakresie typów widmowych od wczesnych F do wczesnych K . Na diagramie H-R odnajdujemy je blisko ciągu głównego. Koronnymi pi^ykładami s ą tu układy w gromadach otwartych, których fotometria wielobarwna plasuje je na ogół znacznie poniżej punktu zagięcia cią gu głównego gromady (np. TX Cne prawie 4 wielk. gw. poniżej punktu zagięcia Preasepe; podobnie cztery układy w NGC 188). Ze względu na szybką rotację składników i związane z tym rozmycie lin ii zawodzą zupełnie konwencjonalne metody spektroskopowej oceny położenia układów na diagramie H-R i jedynym sposobem wyznaczania jasności absolutnych są metody fotometryczne i wyko rzystanie paralaks trygonometrycznych. Odległości układów s ą na ogół większe od ok. 20—40 parseków, tak że ze zrozumiałych względów dokładna lokalizacja układów pola na diagramie li-R nie jest możliwa. Rozkład przestrzenny układów W UMa nie wykazuje większych różnic w sto sunku do przeciętnych karłów typów F-G pośredniej I populacji. Nie s ą to więc obiekty stare, ani też bardzo młode. Nie odkryto też dotąd żadnego układu w gromadzie kulistej, ani też nie ma żadnych wskazówek przynależności cho ciaż jednego układu do II populacji. Obserwacje spektroskopowe utrudnione s ą n isk ą jasnością obserwowaną większości układów (najjaśniejsze m ają wielkość gwiazdową ok. 8; jeden jest 6 wielk.gw.), silnym rozmyciem rotacyjnym lin ii i krótkimi okresami, które dla zachowania odpowiedniej rozdzielczości w czasie zmuszają do stosowania dużych teleskopów. Na ogół pomiar amplitud prędkości radialnych jest trudny, lecz możliwy, przy czym najłatw iej wyznaczalnym parametrem, do którego można mieć zaufanie jest stosunek mas (q = 7 ^ /1 ^ < 1), czyli po prostu stosunek amplitud prędkości radialnych. Zawiera się on dla obserwowanych układów w granięach 0,3 < q < 0,9, przy czym o ile górne ograniczenie znane jest do statecznie pewnie i możemy powiedzieć, że nie istnieją układy z q = 1 (dwie identyczne gwiazdy), o tyle dolne ograniczenie może być po prostu efektem selekcji, który odrzuca układy ze słabo świecącymi i zbyt mało masywnymi składnikami wtórnymi. Biorąc rozsądne Wartości na kąt nachylenia orbit ukła dów (albo z rozwiązań fotometrycznych, albo z oszacowań statystycznych) otrzymujemy zakres sumy mas 0,8731e <33li -ł-331a < 2,8W10. Obserwacje spektro skopowe wskazują też, że na ogół zaćmienie główne (głębsze) odpowiada zakryciu gwiazdy o mniejszej masie, choć reguła ta nie jest zawsze spełniona \ Układy podwójne typu WUrsae Majoris, R y s. 5. Krzywa ja s n o ś c i i koloru gwiazdy A W UMa b ęd ącej skrajnym przypadkiem układu o całkow itych, le c z płytkich zaćm ieniach (wg B. P a c z y ń s k i e g o — A .J ., 6 9 , 124(1964)). L in ią c ią g łą zaznaczon o rozw iązan ie S. M o c h n a c k i e g o (M .N .R .A .S., 156, 51 (1972)) oparte na modelu kontaktowym wspólnej powierzchni (patrz II c z ę ś ć artykułu) to CD 282 S. R u c i ń s k i (np. wspomniana, regularnie zachowująca się V 566 Oph). Niekiedy daje się ocenić nieco wcześniejszy typ widmowy składnika mniej masywnego; na ogół jednak widma wskazują na typ widmowy niemal identyczny dla obu składników. Widoczność linii obu składników oraz przybliżone rozwiązania orbit fotometrycznych prowadzą do ocen jasności składników zaskakująco bliskich sobie. W obserwowanym zakresie stosunków mas (z zastrzeżeniem do selekcji od stro ny małych q) zachodzi w obrębie układu (a więc podana zależność dotyczy odpowiednich stosunków wielkości): L~ rn a ; a = 0,8 - 1,0 (1) Znajduje się to w jawnej sprzeczności z zależnością dla ciągu głównego, na którym w tym zakresie typów widmowych a = 4,5- 5,0. Fakt ten ma zasadni cze znaczenie w znalezieniu prawidłowego opisu struktury wewnętrznej ukła dów W UMa. Tradycyjnie za S t r u v e m (1950) cytuje się, że linie składnika przybliżają cego się do obserwatora są silniejsze niż składnika oddalającego się (nieza leżnie który jest to składnik). Efekt ten wymaga dokładniejszego zbadania, jednak jego obecność nie byłaby niczym zaskakującym w świetle znacznych asymetrii w krzywych jasności oraz ze względu na pojawianie się w niektórych fazach linii emisyjnych (Ca II), a nawet rozbłysków w widmie ciągłym za skokiem Balmera raportowanych u niektórych układów W UMa (por. K u h i 1965). Obserwuje się też, że suma natężeń linii w elongacjach jest wyraźnie mniejsza niż w złączeniach; efekt ten nie ma oczywistej interpretacji na gruncie od dzielnych,nawet silnie zniekształconych składników w układach. 2. MODELE BUDOWY WEWNĘTRZNEJ I. MODEL L U C Y ’ EGO WIEKU Z E RO Przy założeniu, że układy W UMa są nieodewoluowane, co jest konsekwen cją obserwowanego rozkładu w przestrzeni i na diagramie H-R wytłumaczenie istnienia układów podwójnych spełniających zależność (1) napotyka na znaczne trudności. Ewolucja składnika bardziej masywnego też nie polepsza sytuacji, bowiem zastanawiające pozostawałoby uderzające podobieństwo jasności po-# wierzchniowych składników, ilość układów byłaby znacznie mniejsza (ze wzglę du na krótszy czas życia gwiazd poza ciągiem głównym), wystąpiłyby też kłopoty z uzgodnieniem ilości układów i tempem ewolucji gwiazd I populacji obserwowanego zakresu mas z jednej strony, a ocenianym wiekiem Galaktyki z drugiej. Wszystko zresztą wskazuje, że tego typu układy klasyfikowane byłyby pod względem zmian jasności i kolorów jako ,,krótkookresowe układy typu (3 Lyrae” . Układy podwójne typu W Ursae Majoris, I Aby w yjaśnić istnie nie układów W UMa L u c y 283 (1968a) zaproponował, aby uw ażać je za kontaktowe układy w ypełniające je d n ą ze wspólnych pow ierzchni równego ze potencjału składnika byłaby n ę trzn ą z ob e cn o śc ią silnego m asyw niejszego do mniej transportu konwektywnego energii masywnego. Wspólna pow ierzchnia zawarta pomiędzy w ew nętrzną (przechodzącą przez punkt L J (p rzech o dzącą przez L 2) p ow ierzchnią krytyczną. w ramach tzw . modelu R oche’ a (dwa odbiegające się a zew T raktując punkty układ materialne) po w ierzchnie takie m a ją opis: (*» y> 2 ! q) — ^ 1 + q r2 1+ q r 1 = C = const., 2 ( ) ri,2 = [(* - * i , 2 ) 2 + 1 2 + = - _£_ 1+ q ' = d = 1 1+ (* 2 q + y 2) , c 2 (q) 4. C 4. Cx iq) , Xi i x2 s ą p o ło że nia m i punktów masowych (środków składników ) na o s i x, zaś układ w spółrzędnych (ac, y, z) um ieszczony je s t w środku c ię żk o śc i układu i obraca się razem z gw iazdam i (rys. 6). Zasadniczym zało żeniem L u c y ’e g o je s t, iż składniki układu p o s ia d a ją zgodnie z zakresem typów widmowych głębokie otoczki konwektywne; otoczki te m u szą byc na tyle głębokie, aby mógł w y stąpić energii z jednego sk ła d n ik a na drugi. konwektywny transport Wymienione za ło że n ia m ają n a stęp u jące im plikacje: a) Zetkn ięcie części adiabatycznych otoczek do bardzo wydajnego transportu energii. L u c y konwektywnych prowadzi z a k ła d a , że transport ten spowo duje wyrównanie się entropii w obu otoczkach, albo in a c z e j, że w uproszczonym zw iązku dla otoczek adiabatycznych: P = K I 2*5 s ta ła K je s t jednakow a dla obu składników . (3) 284 S. Ruciński Rys. 6. W modelu kontaktowym układ opisany jest jed ną w spólną powierzchnią zawartą między wewnętrzną (C = C j), a zewnętrzną (C = Ca) krytyczną powierzchnią równego potencjału w ograniczonym problemie trzech c ia ł (tzw. model Roche’a) b) Silna zależność promieni gwiazd od entropii daje szansę skonstruowania modelu układu, w którym promienie gwiazd będą spełniały warunek kontaktowości, podczas gdy jądra ,,nie będą wiedziały” o zmienionym zewnętrznym wa runku brzegowym i będą produkować energię zgodnie z zależnością od masy na ciągu głównym, tzn z a rzędu 4,5 do 5,0 w równaniu (1). c) Energia produkowana w obu jądrach wypromieniowywana jest przez wspólną otoczkę o stałej entropii. Dla zniekształconych gwiazd z otoczkami konwektywnymi L u c y (1967) znalazł uprzednio analogon prawa von Zeipela, który sugeruje bardzo słabą zależność temperatury efektywnej od grawitacji: Tg ~ gP ; p s 0,08. (4) Oznacza to, że temperatura na powierzchni wspólnej otoczki jest wszędzie' prawie identyczna, zaś różnice jasności składników wynikają głównie z różnic ich rozmiarów geometrycznych. Warto przy tym zwrócić uwagę na fakt, że sto sunek powierzchni składników spełnia z grubsza warunek (1), tzn. że znaną z obserwacji wartością a = 0,8 — 1,0. Dodamy tu jeszcze, że zależność (4) spełniona jest zapewne tylko wówczas, gdy konwekcja pojawia się płytko, na głębokościach optycznych, z których dociera do nas promieniowanie ( t = 0,6 — 1,0); w przeciwnym przypadku można się spodziewać, iż zależność temperatury efektywnej od grawitacji przypominać będzie bardziej przypadek transportu czysto promienistego (prawo von Zeipela) i że ogólnie 0,08^ (3^ 0,25. Uktady podwójne typu W Ursae Majoris, I 285 Warunek spełnienia kontaktu (obie gwiazdy wypełniają wewnętrzną, krytycz ną powierzchnię Roche’a) ma w przybliżeniu postać: R~ m Y ; y = 0,46 , (5) gdzie promienie definiowane s ą przez sfery o identycznych objętościach co powierzchnie Roche’a. (Warto dodać, że podobną, nieco „n a s iłę ” wprowadzoną zależność można otrzymać również dla zewnętrznej, krytycznej powierzchni Roche’a; wówczas y = 0,41). Zgodnie z L u cym oba składniki układu powinny więc leżeć na prostej o nachyleniu y na zależności log R — logWl,a jednocześ nie spełniać warunek identyczności entropii (lub inaczej stałej K, zgodnie z punktami a) i b) powyżej). Na rys. 7 podane s ą zależności promieni gwiazd Log M/M 0 Rys. 7, Z a le ż n o ś ć m asa — promień dla pojedynczych gw iazd o zadanej w artości entropii w o to c z c e konwektywnej (linie ciąg łe sparam etryzow ane w a rto ś c ią log K). Warunek kontaktowy (5) z az nac zon o l i n i ą przerywaną; cien ka lin ia c ią g ła (MS) podaje przybliżo n ą z a le ż n o ś ć m as a — promień na ciągu głównym od masy przy stałej entropii; krzywe sparametry zowane s ą wartością log K. Układy W UMa powinny więc leżeć na przecięciu się jednej z krzywych o stałej wartości K i prostej danej przez zależność (5). 286 S. Rucińslci Mimo, że rozw ażania sw oje L u c y prowadzi znacznie d a l e j, a ż do skonstruo w ania konkretnych m odeli, podstaw ow e ich charakterystyki w ynikają z interpre ta c ji rys. 7. A więc z a g i ę c i e s i ę krzywych s t a ł e j entropii (konieczne w tym celu aby były dwa, a nie jedno p r z e c ię c ie z z a l e ż n o ś c i ą (5)) wynika z p r z e j ś c i a z cyklu CNO (w o b s z a r z e w iększych mas) do cyklu pp. R ó ż n ic a w typie gene ra c ji energii wprowadza tu je d y n ą n ieh om olog iczn ość modeli; obie gwiazdy traktowane s ą jako obiekty wieku zero. Z a k r e s ist n ie n ia układów W UMa pod względem ich typu widmowego wynikałby n ato m iast z dwu ograniczeń na s t a ł ą K. Od strony małych K , in a c z e j — coraz c ień szy c h o to c ze k , dochodzimy do momentu, gdy konwektywny transport energii nie j e s t możliwy ze w zględu na zbyt mały kontakt między składnikam i. Od strony dużych K n a to m ia st (in a cz ej — gwiazdy coraz bardziej w c a ł o ś c i konwektywne, a więc i coraz bardziej podobne do s ie b ie ) za ch o d zi jedno p r z e c ię c i e krzywych s t a ł e j w artości K i z a l e ż n o ś c i (5). O graniczenie d aje tu warunek K 2Ul R 3 = const, słu sz n y d la gwiazd całk ow icie konwektywnych. Małe w arto śc i K o d p o w ia d a ją w c z e ś n ie js z y m typom widmowym, s t ą d ogra n ic z e n ie od wysokich temperatur ( L u c y o c e n i a , że log K > —4,2). Gwiazdy układu ró ż n ią s i ę w ó w c z as n ajb ard z ie j (op isan e s ą modelami n ajb ard zie j niehomologicznymi); jedna z nich generuje e n e rg ię w cyklu CNO, druga w cyklu pp. Stosunki m as q powinny być w ięc n a jm n ie jsz e d la układów w c z e ś n i e js z y c h typów widmowych. P o w ię k sz e n ie s t a ł e j K prowadzi, ja k to ju ż mówiliśmy, do „ u p o d o b n ie n ia ” s i ę gwiazd z jed n oczesn ym p r z e jś c ie m do p ó ź n ie jsz y c h typów widmowych. O g ran icz en ie n arzu c a q = 1,0, in a c z e j dwie identyczne gwiazdy. Przypominam y, że mimo d o p u sz c z a n ia p rzez model L u c y ’ ego ro z w ią zan ia o je d nakowych g w iazd ach , s y t u a c j i takiej nie obserw uje s i ę . W podanej in terpretacji r y s. 7 zawarta j e s t też inna s ł a b o ś ć modelu: układy m ogą is t n ie ć tylko w bardzo wąskim za k re sie temperatur efektywnych wyzna czonym p rz e z fakt, że skład n ik główny musi je d n o c z e ś n ie p o s i a d a ć głęb ok ą o to c z k ę konwektywną i generować energię w cyklu CNO. T ego rodzaju warunki s p e ł n i a j ą jed yn ie gwiazdy z w ą sk ie g o za k re su temperatur efektywnych i m as. W przybliżeniu : l,3MTe < 3 3 l< l , 5 32Ia , 7000° < Tg < 8000°. Po tym omówieniu pomysłu L u c y ’ e g o podamy w sk ró c ie metodę, j a k ą p o słu ż y ł s i ę w p o lic ze n iu konkretnych m odeli. Otóż traktował on oba składniki ja k o sfery (a więc bez wchodzenia w geometrię typu równań (2)) z konwencjo nalnymi warunkami w centrum: 3n|. = 0, L. = 0 i na powierzchni (zgodnie z punktem a)): dla r. = 0 (6) Układy podwójne typu WUrsae Majoris, l = K I?’5 , T. + O dla r. -> 1 287 (7) (gdzie r. je s t względnym promieniem każdej z gwiazd), wraz z dodatkowymi warunkami zgodnymi z założeniam i modelu: R 2/ R 1 = ( j y a i j ) 0 . 46 (8) K 1 = K 2 = X (log re , l o g g ) . (9) (patrz zale żn o ść (5)); W równaniach (6) i (7) w skaźnik i = 1, 2 numeruje składniki układu. Tempe ratura efektywna układu Tg i p rzysp ieszen ie graw itacyjne g na powierzchni liczon e były z uproszczonych związków, które brały pod uw agę, że energia promieniowana j e s t przez ca łą pow ierzchnię o jednakowej w przybliżeniu temperaturze: Ll + L2 = 4 ™ T * ( R * + R 2) t oraz, że sta ła K zależy tylko od warunków powierzchniowych (ze względu na płytkie pojaw ienie s ię konwekcji) i nie je s t zbyt czuła na zmiany graw itacji: l o g g = [lo g (G33lj//?^) + lo g (C33l2//?22) ] / 2 . T ak i układ warunków pozw ala skonstruow ać rodzinę modeli sparametryzowan ą jed n ą w ielk ością, np. m a są składnika m asyw niejszego 7flt. Z otrzymanych z modeli w artości R lt R 2, L , + L 2 , q n ajłatw iej w ykorzystać w porównaniu z obserw acjam i w zględnie pewne obserw acyjne w artości stosunku mas q lub utworzyć w ielkości pochodne: kolor B-V na podstaw ie temperatury efektywnej oraz okres obiegu P na podstaw ie promieni i stosunku m as, przy wykorzystaniu prawa K eplera i uproszczonej formuły interpolacyjnej: R\ log — p = = -0 ,4 2 1 - 0,2 1 2 log q , 2 t x A * / 2 G ' l / 2 (Wij + m 2y 1/2 ( 10) ( 11) 288 S. R u c iń sk i R y s. 8. P o ło ż e n ie ciągów m odeli L u c y ’ego (1968a) A i B (lin ie c ią g le) o raz m odeli B ierm anna i T hom asa (1972) (lin ia przery w ana) na z a le ż n o śc i (B -V ) — log P. R ów noległobok w yznacza przybliżony za k re s w ystępow ania obserw ow anych ukła dów typu W UMa. S trzałki w zdłuż ciągu m odeli B -T p o zw alają o c en ić ro zrzu t wy w ołany zm ianą sto su n k u m as; ja k w idać c ią g je s t p ra k ty c z n ie je d n o z n a c z n ie sparam etryzow any p rz e z je d n ą z m as sk ład ników . G w iazdka o z n a c z a p o ło ż en ie układu TX Cne LOG P 1,0 </> g 0,8 0 10,6 O •* - 0.U LO G P R ys. 9. Z ale ż n o ść sto su n e k mas - o k re s m odeli L u c y ’ego (1968a). W ypełnionymi kół kami zazn aczo n o k ilk a układów z dobrze znanymi stosunkam i m as P oło żen ie modeli L ucy’ego na diagramie Eggena (B-F) - log P i zależność q — log P podają rys. 8 i 9. Kropką zaznaczono początek każdej sekwencji z q = 1,0; ciągi kończą s ię , gdy log K< - 4 ,2 . Sekwencja A odpowiada sytuacji z normalnym składem chemicznym, ciąg B natomiast policzono dla 50-krotnie sztu czn ie podwyższonej wydajności cyklu CNO. W ten sposób L u c y chciał zorientować s ię , jaka byłaby ewentualna zmiana w wynikach modeli, je ż e li zaistniałaby k onieczność rewizji w yjściowych danych fizycznych, np. danych co do współczynnika n ieprzezroczystości itp. Jak jednak wykazali M o s s Układy podwójne typu W Ursae Majoris, / 289 i W h e l a n (1970) założenie poczynione przy liczeniu ciągów B powoduje w rze czywistości przejście od cyklu CNO do pp w niższych temperaturach, a więc tam, gdzie otoczki konwektywne są głębsze, co w sposób oczywisty ułatwia skonstruowanie modelu. Na dodatek tak znaczny wzrost wydajności cyklu CNO jest nie do pogodzenia z ocenianą niedokładnością znajomości tej wydajności. P rzelicźając wydajności cyklu na obfitość masową określających go pierwiast ków otrzymuje się przejście od ocenianego obecnie zakresu 0,005 < 0,015 z górną, dopuszczalną granicą rzędu 0,022 do liczby całkowicie nie do przyjęcia = 0,367! Mimo innych drobnych niedostatków, które będą jeszcze dalej omawiane, model w postaci przedstawionej przez Lucy’ego spełnił zasadniczy warunek: pozw olił on na skonstruowanie układu niejednakowych, różniących się masami gwiazd wieku zero w kontakcie. Kontakt ten jest na dodatek koniecznym warun kiem istnienia modelu, zaś zakres obserwowanych typów widmowych gwiazd typu W UMa jest bezpośrednią konsekwencją odpowiednich własności otoczek konwektywnych, które tylko w pewnym zakresie temperatur efektywnych mogą służyć jako wygodna droga transportu energii ze składnika bardziej masywnego do mniej masywnego. II. M O D Y FIK A C JE MODELU L U C Y ’ EGO Model przedstawiony przez L u c y ’ e g o dosyć szybko podjęto jako roboczą hipotezę do dalszych ulepszeń i modyfikacji. W szczególności M o s s i Whe l a n (1972) powtórzyli obliczenia L u c y ’ e g o , stosując zamiast aproksymacji wielomianowej współczynników nieprzezroczystości i generacji energii ściślej sze dane tablicowe. Stosowali oni technikę konstruowania modeli, którą zwą explicite względem ilości energii A L przenoszonej z jednego składnika na drugi (w przeciwieństwie do metody „im p licite ” — założne K ” Lucy’ ego, w której wartość A L była wynikiem modelu). Sprowadza się ona do skonstruo wania dwu sferycznych gwiazd, składnika głównego (p) i wtórnego (s) z cztere ma warunkami brzegowymi (dwa w centrum i dwa na powierzchni) przy spełnie niu warunków stałości entropii w otoczce, warunku kontaktowości i transportu A L ilości energii między składnikami w ten sposób, że ilość energii produko wana w jądrze L n je st zmniejszana (dla składnika głównego) lub zwiększana (dla składnika wtórnego) o A L kontaktowości M o s s i Whelan w adiabatycznej otoczce gwiazdy. Warunek zapisują w postaci uwzględniającej zmodyfi kowaną o siłę odśrodkową wartość grawitacji: g' = m W , (12) gdzie 6 = 0,92 (dla wewnętrznego kontaktu) lub 5 = 0,82 (jeżeli dopuścić mo żliw ość otoczki zewnętrznej, tzn. przechodzącej przez punkt L 2 Lagrange ’a; 2 — Postępy Astronomii z. 4 290 5. Kuciński przypadek zwany przez autorów ,,ponad-kontaktem” ). Zespół warunków, z któ rych dwa pierwsze odnoszą się do oddzielnych gwiazd, zaś trzy ostatnie opi* s u ją dopasowanie składników do wspólnej otoczki jest następujący: FU>e , T e . ^ . R ) p - 0 t F V c > Tc> Ln ’ R h = 0 ’ (13) K.p —K.S • 9 A L pn = - A L.S J, Sp = * Rozw iązania tego układu autorzy dokonują przez skonstruowanie dużej ilo ści modeli pojedynczych gwiazd o różnych masach i z różnymi wartościami AL w otoczce, a następnie przez wybór za pomocą warunków kontaktowości par parametrem. tworzących modelowe układy W UMa; jedna z mas jest tu wolnym Wyniki sugerują możliwość skonstruowania takich modeli wieku zero jedynie dla składu chemicznego skrajnej I populacji (X < 0,60, Z > 0,042); dyskusja innych swobodnych parametrów modeli (np. parametru wydajności konwekcji 1/H) wykazuje słab ą od nich zależność w przesądzeniu, czy model w ogóle można skonstruować, czy nie. Jedynie dopuszczenie silniejszego kontaktu (5 < 0,92 w równaniu (12)) wpływa na wyraźne skrócenie okresu i zmalenie stosunku mas. Zawsze jednak stosunki mas są dosyć duże i każdy z ciągów par (Wlp , 331^) dopuszcza rozwiązanie OTL = M s , zawsze też q > 0,5, w niezgo dzie z obserwowanym zakresem stosunków mas (patrz rozdz. 1). Modele wieku zero nie sięgają w szczególności do regionu gwiazdy ciągu głównego TX Cne na zależnościach (B-V) lo g P lub q — log P. Posługując się tym samym co wyżej formalizmem W h e l a n (1972) rozpa trzył możliwość włączenia dodatkowego źródła A L w otoczce składnika wtór nego w płytkich, superadiabatycznych częściach strefy konwektywnej. O ile założenie dowolnej A L w części adiabatycznej nie wpływa formalnie na strukturę modelu, o tyle podobne postępowanie w warstwach superadiabatycz nych wymaga ju ż wyraźnego określenia rozkładń dodatkowego źródła energii (lub ewentualnie ścieku w przypadku składnika głównego) z głębokością; poja wia się tu więc pewna dowolność. Można jednak tą drogą uzyskać temperatury efektywne składników wtórnych wyższe aż do ok. 500° (podczas, gdy obserwo- Układy podwójne typu w Ursae Majoris, I 291 wane różnice wynoszą średnio ok. 200°) od temperatur składników głównych. J e s t to w tej ehwili jedyny teoretyczny sposób wyjaśnienia tego faktu obserwa cyjnego; przypominamy, że w oryginalnym modehi Lucy’ ego temperatury powierz chniowe składników s ą identyczne. Na zakończenie omawiania układów kontaktowych wieku zero wspomnimy o próbie B i e r m a n n a i T h o m a s a (1971) skonstruowania modeli b e z zało żenia równości entropii w otoczkach. Wprzeciwieństwie do poprzednich modeli z jednym wolnym parametrem mogą oni umieścić w układzie kontaktowym dwie dowolne masy i T^s , przy czym dopasowanie następuje przez odpowiedni dobór A L. Wten sposób mogą oni skonstruować układ z praktycznie dowolnym stosunkiem mas, zaś wszystkie dotychczas omawiane modele wieku zero byłyby pewnym podzbiorem ich modeli. Występująca różnica entropii powoduje transport energii ze składnika o większej masie (mniejszej stałej K) do składnika o mniejszej masie (większe K). Zgodnie z autorami pracy transport konwektywny nie je st na tyle wydajny, by całkowicie wyrównać entropie i przypuszczenie to je st o tyle słuszne, iż praktycznie nie znamy sposobu konwektywnego transportu energii w obszarze przewężenia pomiędzy gwiazdami, gdzie np. potencjał ma osobliw ości. War tości stałej entropii dla każdego ze składników z osobna pozwalają autorom oszacow ać ilość energii możliwej do przetransportowania z jednego składnika na drugi, gdy różnica ta je st jedynym powodem transportu. Ilość ta, zależnie od tego na jakiej głębokości odbywa s ię wyn iana energii, zawiera się w typo wym przypadku w granicach 10'* do 106 jasn o ści Słońca; stwierdzenie, iż w za kresie tym m ieści się wartość A L (rzędu jasn o ści Słońca) je st absolutnie nie do przyjęcia i wskazuje na ile niefizyczne mogą być te rozwiązania. Dodamy tu je sz c z e , że o ile nie ma sensu dyskutowanie wyników na zależności q —log P (możliwe s ą w szystkie q i P), o tyle na diagramie Eggena układy tworzą wąs ki ciąg, wzdłuż którego zmienia się masa składnika głównego, zaś jego nie wielkie poszerzenie powodują różne wartości stosunku mas. Warto zwrócić uwa gę, że ciąg ten dochodzi do regionu TX Cne (a nawet poniżej), zaś jego loka lizacja z grubsza odpowiada położeniu środka pasa zajmowanego przez obser wowane układy WUMa (rys. 8). Nie je st w tej chwili sprawą jasn ą, na ile k lasa modeli podana przez B i e r m a n n a i T h o m a s a je s t za duża. Konieczne byłoby przede wszystkim zrozumienie zależności A L od A K, a to wiąże się z teorią transportu konwek tywnego między gwiazdami. Można przypuszczać, iż istnieje wyraźny warunek na A K-, który pozwoliłby wyodrębnić możliwe z punktu widzenia układów kon taktowych pary (® ,,< ^ s ); wydaje się jednocześnie, iż założenie L u c y ’ e g o A K = 0 daje szan se lepszego zrozumienia podstawowych zależności w tych układach. Dodamy tu, że temperatury powierzchniowe składników głównych w modelach z A K * 0 s ą wyższe niż składników wtórnych, co je s t w zgodzie 292 S. Ruciński z r ó ż n ic ą w entropiach, le c z nie ma pokrycia w obserw acjach sugerujących sytuację akurat przeciw ną, III. MODELE EWOLUCYJNE N a m o żliw o ść wpływu ew olucji na strukturę modeli w skazyw ał ju ż w kon tekście swego modelu L u c y przykład (1970) w (1968) sugerując, że może ona powodować na obserwowany rozrzut na w skazał bardzo na w ąskich fakt, za le żn o śc i że L u c y p rze d zia ła c h (fi-F) — log P. Hazlehurst móg£ skonstruować swoje modele tylko stosunku mas 0,8 < q < 1,0 i sumy mas 2 , 3 5 ^ 0 <OT-j + ^ 2 < 2 , 6 5 ^ 0 , podczas gdy obserwowane układy m ają na ogół stosunki mas m niejsze (patrz rozdz. 1), zaś suma mas u mniej w ięcej połowy układów je s t m n ie jsza od 2 2K0 (z zastrzeżeniem do niezbyt dokładnie znanego nachylenia orbity; można jednak p rzypuszczać, że nachylenia w yznaczone kon wencjonalnym i metodami s ą system atycznie za m ałe, co raczej podw yższa sumy mas). W tak mało masywnych gw iazdach na ciągu głównym reakcje CNO nie m ają praktycznie żadnego wkładu do produkcji energii, znika w ięc powód niehom ologiczności m odeli, którą u L u c y ’ego w każdym ze składników . H a z l e h u r s t dawały różne typy reakcji tw ierdzi w ięc, że w układach małej masy ró żn ic ę w strukturze składników powoduje pewne niew ie lk ie zaawansowa nie ew olucyjne sk ładn ika bardziej masywnego. Bardzo uproszczona a n a liza w skazuje, iż ew olucja pow inna odbywać się mniej w ięcej rownolegle do obser wowanego nachylenia lu źn e j za le żn o ś c i (b-V) - log P na diagramie Eggena, przy czym układy najbardziej zaawansowane ew olucyjnie powinny znajdow ać s ię w lewym dolnym rogu za le żn o śc i (krótkie okresy, układy czerwone). Wśród uproszczeń stały autora zn a lazło się jednak za ło że n ie , iż stosunek mas pozostaje z czasem , tak że wynik H a z l e h u r s t a w skazanie należy traktować jedynie jako drogi dalszych prób. Dodamy tutaj, że choć sposobem tym moż na formalnie w ytłum aczyć położe nie gw iazd takich ja k TX Cne na Należności koloru od okresu, to jednak przyn ależn ość tej w łaśnie gwiazdy do ciągu wieku zero w Preasepe w skazuje, że h ipoteza ew olucyjna napotyka tu na poważne trudności. Je d y n ą na ra zie , kom pletną p ró b ą p o lic z e n ia ew olucji układów ft UMa je st praca M o s s a (1971), R ozw aża on ew olucję układu podw ójnego, w którym prze pływ po masy ze sk ła d n ik a głównego (pierwotnie m asyw niejszego) do wtórnego w ypełnieniu pow ierzchni R oche’ a tego pierwszego na skutek ew olucji zostaje zahamowany przez fakt, że składnik wtórny rów nież dochodzi do swej pow ierzchni R oche’ a na skutek akrecji m aterii. Tego typu ew olucja nie była dawniej rozw ażana, bowiem dla uproszczenia wybierano zaw sze taki zestaw warunków początkow ych, aby po odzy skaniu równowagi termicznej przepływu masy obie gwiazdy były albo w jej wnętrzu. M o s s w trakcie albo na krytycznej pow ierzchni R oche’ a, konstruuje swe modele ew olucyjne w następujący U kłady podw ójne typu W Ursae M ajoris, / 293 sposób. Wybierane są dwie masy z zakresu sumy 1,37 < 2,25’?il0 o danym początkowym stosunku qQ < 1. Okres obiegu dobierany jest w ten sposób, aby na skutek ewolucji składnik masywniejszy osiągał powierzchnię Hoche’a, gdy w jego centrum zawartość X c wodoru była mniejsza od 0,5 (dla kilku policzonych modeli 0,27 < A’c < 0,41). Jednocześnie zakładano na ogół okres dłuższy od 0,44 dnia, bowiem statystyka krótkookresowych układów podwojnych klasyfikowanych jako (3 Lyr (składnik masywniejszy bardziej znie kształcony) wskazuje krótki, aby wany) powiększyło powierzchni na ostre ucięcie koło przeniesienie masy na składnik jego rozmiary Roche’ a. F aza co osiągnięcia tej wartości, wtórny najmniej do równowagi lecz (w ogóle na tyle nie ewoluo rozmiarów krytycznej termicznej układu nie była śledzona, lecz poszukiwano od razu konfiguracji kontaktowej (w sen sie modelu Lucy’ego) z odewoluowanym jądrem wewnątrz składnika bardziej masywnego. Model kontaktowy obliczano przez iterację względem stosunku mas q i stałej entropii K. Następnie odbywała się ewolucja układu kontakto wego, lecz w dalszym ciągu przy założeniu, że zmienia się skład chemiczny jądra składnika masywniejszego. Na każdym kroku czasowym dokonywana była iteracja w q i K, przez co układ miał możliwość zmiany stosunku mas. Zgodnie z tym co było dyskutowane poprzednio, coraz większe odstępstwa od homologiczności składników (tym razem na skutek ewolucji) wymagały coraz bardziej różniących się mas; ogólną tendencją było więc malenie stosunku mas. Warto od razu wymienić czynniki, które eliminowały wg M o s s a układ z dalszych obliczeń. Zdarzało się więc niekiedy, że rozmiary gwiazd były więk sze n iż dopuszczalne przez zewnętrzną, wspólną powierzchnię Roche’ a. Choć systemy takie, dzięki utracie całkowitej masy i momentu pędu, mogłyby być interesującym wytłumaczeniem niskiego położenia układów W UMa w stosunku do punktu zagięcia ciągu głównego gromad otwartych, to jednak teoretyczne potraktowanie takiej ewolucji wymagałoby szczegółowych założeń co do tempa utraty masy i momentu pędu przez okolice punktu L2. Tego typu ewolucja wydaje się jednak m ożliw ością bardzo interesującą i godną dalszych rozważań. Obliczenia ulegały przerwaniu również wówczas, gdy log K < -4,0 (otoczka konwektywna za cienka), lub gdy potencjał C > C,, tzn. gdy kontakt ulegał przerwaniu i układ stawał się rozdzielony. Sprawdzano też, czy dolne ograni czenie strefy konwektywnej jest poniżej (głębiej) od powierzchni C»; w prze ciwnym razie następowałby kontakt przez wewnętrzne części promieniste. Wy daje się, że założenie to, dodatkowo ograniczające klasę modeli, ma jednak charakter nieco dyskusyjny. Zasadnicze rezultaty modeli M o s s a sprowadzają się do tego, że układy w fazie kontaktowej zn ajd ują się w obszarze na diagramie Eggena zajmowa nym przez obserwowane systemy W UMa. Ewolucja odbywa się od lewej ku prawej części luźnej zależności koloru od okresu, przy czym na brzegach pasa obserwowanych układów ewolucja jest wyraźnie w olniejsza, co pozwo- 294 S. Ruciński lito by wytłumaczyć grupowanie się układów w dwa w przybliżeniu równolegle leżące ciągi. W dolnej części zależności znajdują się układy małej masy, których ewolucja jest praktycznie stacjonarna (suma mas 1,37 <WI0). Warto zwrócić uwagę, że kierunek ewolucji nie jest w zasadzie zgodny z interpreta cją 6 (U-B) (patrz rozdz. 1) jako efektu wieku. Na początku fazy kontaktowej stosunek mas jest większy niż w układzie rozdzielonym przed kontaktem, tzn. ewolucja w termicznej skali czasowej , .upodabnia” gwiazdy do siebie. Potem następuje stopniowe zmniejszanie się stosunku mas, wzrost jasności całkowitej, malenie koloru B-V i wydłużanie się okresu aż do momentu przer wania kontaktu (rys. 10). Ewolucja po przerwaniu kontaktu nie była śledzona. LOG P ( d n i ) Rys. 10. Zależność (B-V) — log P dla kilku ewolucyjnych modeli Mossa (1971). L in ią przerywaną zaznaczono przebieg ewolucji w termicznej skali czasowej, zaraz po o siąg nięciu wspólnej powierzchni kontaktowej. Ewolucję układów kontaktowych w skali nuklearnej reprezentują lin ie ciągłe. Układ oznaczony kropką (praktycznie stacjonarny na wykresie) ma całko w itą masę 1,37 295 Układy podwójne typu W Ursae Majoris, I Zasadniczą słabością modeli Mo s s a jest stosunkowo krótkie trwanie fazy kontaktowej w stosunku do trwania poprzedzającej ją fazy ewolucji składników rozdzielonych; dla typowego układu zilustrowanego na rys. 11 stosunek czasów Rys. 11. Zmiany okresu obiegu P (w dniach), koloru B-V, stosunku mas q, całkowitej jasności L j oraz potencjału C dla ewolucyjnego układu Mossa (1971) z początkowymi parametramimp = 1.37JX, , 9q = 0,4, X q = 0,38, P Q = 0,53 dnia życia w fazie kontaktowej = (t ) do fazy ewolucji rozdzielonej (tj) jest w przy bliżeniu 2/3. Statystyka krótkookresowych gwiazd zaćmieniowych wskazuje natomiast, że stosunek ilości systemów W UMa do ilości krótkookre sowych gwiazd typu pLyr (a tak byłyby klasyfikowane systemy „przedkontaktow ej", rozdzielonej fazy u Mo s s a ) jest z dokładnością do efektów selekcji E W / E B = 2. Mechanizm M o s s a może wyjaśnić istnienie części, a nie całości układów W UMa. Inna sprawa, że nie została przeprowadzona analiza stabilności jego modeli, ani też nie zostały rozważone losy układu z chwilą przerwania 296 S. Ruciński kontaktu. Biorąc pod uwagę zmiany okresów obserwowane u prawie wszystkich systemów W UMa narzuca się tu zagadnienie, czy nie możemy mieć w rzeczy wistości do czynienia ze zjawiskami cyklicznymi, których ewolucja policzona przez M o s s a mogłaby być tylko jednym z fragmentów. Krótka, termiczna skala czasowa zmian okresów mogłaby przy tym wskazywać, że większość układów może być niestabilna termicznie. Powyższy rozdział można podsumować stwierdzeniem, że nie istnieje już problem skonstruowania modeli układów kontaktowych o składnikach z nierówny mi masami. Większość zależności obserwacyjnych można już modelami tymi zreprodukować, a ich zasadniczą cechą jest niehomologiczność składników wpro wadzona przez różnice w typie generacji energii lub przez ewolucję różnicową. Otwarte zagadnienia stanowią: istnienie czerwonych układów o krótkich okre sach, ewolucyjne implikacje dużych zmian okresu u większości układów, natura mechanizmu transportu energii pomiędzy gwiazdami, problemy ewolucji (w skali nuklearnej) z utratą masy i momentu pędu, wreszcie nieistnienie układów ze stosunkiem mas równym jedności. .W następnej części artykułu ómowione zostaną problemy interpretacji krzy wych jasności i widm układów W Lirsae Majoris. LITERATURA B i e r m a n n , P. , T h o m a s , H .C ., 1972, Astron. Astroph., 16, 60. B i nn en d i j k, L ., 1965, A .J., 70, 209. B o o k m y e r , a , 1965, A .J., 70, 415. B o o k m y e r , B., 1969, A .J., 74, 1197. B r e i n h o r s t , R ., 1971, Astroph. Space Sci«, 10, 411. E g g e n , O .J ., 1961, Roy. Obs. B ull., No. 31* E g g e n , O .J ., 1967, Mem. Roy. Astr. Soc., 70, 111. H a z l e h u r s t , J ., 1970, M .N .R .A .S., 149, 129. K r a ft, R .P ., 1967, P .A .S .P ., 79, 395. K u h i , L ,V „ 1965, P .A .S .P ., 76, 530. L u c y , L .B ., 1967, Z .f.A p ., 65, 89. L u c y , L .B ., 1968a, A p .J., 151, 1123. L u c y , L .B ., 1968b, A p .J., 153, 877. M o c h n a c k i , S.W., 1972, M.N.R. A.S., 156, 51, M o s s , D .L ., 1971, M.N.R. A.S., 153, 41. M o s s , D .L ., W h e l a n , J .A .J ., 1970, M .N .R .A .S., 149, 147, P a c z y ń s k i , B., 1964, A .J., 69, 124. P a c z y ń s k i , B., 1967, Acta Astr., 17, 287, S m a k , J ., 1968, Post. Astr., 16, 3. S t r u v e , O ., 1950, Stellar Evolution (Princeton: Princeton Univ. Press). W h e l a n , J .A .J ., 1972, M .N .R .A .S ., 156, 115. POSTĘPY ASTRONOMII Tom XX (1972). Zeszyt 4 P R O B L E M S T A BI L N O Ś C I G R O M A D G A L A K T Y K MARIA KARPOWICZ Obserw atorium A stronom iczne U niw ersytetu W arszaw skiego nPOBJIEMA CTABMJIbHOCTM CKOfUIElMM TAJIAKTMK M. K a p n o B H q Co a e p *aHHe B cTaTbe npeacTaBjieHa npo6jieMa cTa6njibHOcra CKonjieHHM raJiaKTMK u pa3Hbie npo6bi ee pemeHus npeanpHHHMaeMbie r TeneHMH nocjieamix 18 JieT. rnnoTe3a 3KcnaHcnn, ZlBa 0CH0BHbix noflxofla k pememiio s to k npoÓJieMbc paBHO KaK w npeflnojioxceuMe o cymecTBOBaHMi yKpbiTotó, HeBMflMMOM, b CKonjieHHM HarajiKHBaiOTCfl Ha 3HamiTejibHbie TpyflHOCTM npn Ha6jlK)fleHMM M B TBOpeTMMeCKOM OTHOIIieHHM. Maccw npoBefleHMf THE PROBLEM O F THE STABILITY O F CLUSTERS O F GALAXIES I Summary A number of attempts mńde during the last eighteen years at solution of the problem of the stability of clusters of galaxies are considered. Two important approaches to it, the hypothesis of expansion and the assumption of the presence of invisible intergalactic matter, are shown to involve serious* difficulties of an observational and theoretical nature. Hipotezę niestabilności gromad galaktyk wysunął w roku 1954 A m b a r c u mian (1954) przypuszczając, iż niektóre gromady i grupy są niestabilne, ekspandują, ponieważ m ają całkowitą energią mechaniczną dodatnią. Wskutek tego galaktyki w grupie lub gromadzie oddalają się od siebie, układ ulega dezintegracji i należy przypuszczać, iż w ciągu 107—199 lat przestanie istnieć. Podanie granicy wieku dla gromad ustala jednocześnie skalę czasu w kosmolo* gii i czas ewolucji galaktyk. [ 297] , 298 M. Karpowicz Ambarcumian nej nie próbuje wyjaśnić źródła nadmiaru energii mechanicz lub przyczyny olbrzymich eksplozji, które dostarczyłyby wystarczającą ilość energii potrzebnej dla ucieczki galaktyk na zewnątrz z prędkością średnią ok. 100 km/s. Przyczyną wysunięcia hipotezy niestabilności gromad galaktyk był stwier dzony fakt niezgodności wyznaczonych indywidualnie mas galaktyk ze średnimi masami, jakie wynikają z twierdzenia o wiriale, je ś li zastosować go do dys persji prędkości galaktyk w gromadach, przyjętych za stabilne. Niezgodność tę można wyjaśnić nadwyżką energii kinetycznej nad potencjalną, czyli ruchem galaktyk na zewnątrz gromady, lub też istnieniem ekstra-masy niewidocznej: jako rozproszonej materii między galaktycznej lub ewentualnie w postaci licz nych obiektów o małej jasności. Ta druga możliw ość pociąga za sobą wniosek, iż ponad 90% materii we Wszechświecie jest niedostępna obserwacji i przyjęcie tej możliwości oznaczałoby m a łą wartość wniosków uzyskanych przez kosmolo gię, gdyż oparte byłyby na obserwacjach zaledwie kilku procent materii. Jedenaście lat temu odbyło się w Santa Barbara w Kalifornii sympozjum ( N e y m a n 1961) dotyczące stabilności lub niestabilności układów galaktyk. Wygłoszono tam szereg referatów i przedyskutowano obszernie zagadnienie z rozmaitych punktów widzenia. W" konferencji brali udział wybitni astrono mowie amerykańscy i europejscy, pracujący w dziedzinie astronomii pozagalaktycznej. Rozpatrzmy obecnie twierdzenie o wiriale zastosowane do układu samograwitującego n punktów masowych ( L i m b e r 1961). Ustanawia ono zależność pomiędzy energią kinetyczną T i potencjalną Q układu. Druga pochodna po czasie momentu bezwładności układu względem jego środka ciężkości wyraża się wzorem: 2 l i i 2 d t2 = 2T + Q = 7- + (T+Q) = T + E . Wyrażenie T + Q = E nosi nazwę c a ł k o w i t e j e n e r g i i m e c h a n i c z n e j u k ł a d u . Dla układów zachowawczych E = const, (może być większe, równe lub mniejsze od zera): 1 d^I 1) gdy E > 0, w t e d y ----- = 2 dt 1 ----- Z m . r > 0 'i po dostatecznie długim dt t czasie -r~ Sm r 2 > 0, a więc układ jest niestacjonarny i niestabilny; moment dt i ii bezwładności wzrasta wraz z czasem nieograniczenie; 2) je śli £ < 0 to wtedy, ponieważ T > 0, może być T + E = 0 i układ może być stacjonarny i stabilny. Problem stabilności gromad galaktyk 299 Warunkiem koniecznym, ale nie dostatecznym, stabilności układu jest więc ujemna wartość energii całkowitej: E < 0. Je ś li w jakimś układzie zachowane jest twierdzenie o wiriale, tzn.: 2T + Q = 0 , wtedy możemy wyznaczyć masę całkowitą układu jako sumę mas poszczegól nych członków, jeśli znany je st średni kwadrat prędkości względem środka masy, promień układu i względny rozkład przestrzenny składników. Stąd można wyznaczyć masy poszczególnych członków. Stosowanie twierdzenia o wiriale do gromad galaktyk jest pewną idealizacją, bo w rzeczywistości: a) galaktyki w gromadzie nie s ą punktami masowymi nawet w tym stopniu przybliżenia, w jakim można uważać gwiazdy w gromadach gwiazdowych; b) odległości pomiędzy galaktykami s ą na ogół tego samego rzędu co i roz miary galaktyk; c) nie jest jasne, czy całkowita energia mechaniczna gromady pozostaje stała; może się ona zmieniać wskutek innych oddziaływań, n iż grawitacyjne oraz wskutek procesów wewnątrz indywidualnych galaktyk; d) m ożliwie, iż istnieje jakiś ośrodek wewnątrz gromady w postaci materii rozproszonej lub w formie gwiazd między galaktycznych. W przypadku stabilności — twierdzenie o wiriale można przedstawić w posta- < gdzie < g > - C l gg c ( ^ ) y* > oznacza średni kwadrat prędkości punktu masowego. Średnia wartość < > otrzymana została przez ważenie prędkości punktów masowych proporcjonalnie do ich mas i przez uśrednianie w interwale czasu branego pod uwagę; Wig i R oznaczają, masę, całkowitą galaktyk członków gromady oraz promień zewnętrzny gromady odpowiednio zdefiniowany; C q q oznacza pewną s ta lą bezwymiarową, określoną zgodnie z wartością braną na R . Stała ta cha rakteryzuje średni rozkład przestrzenny masy w. układzie w postaci galaktyk. W celu zastosowania twierdzenia o wiriale do gromady konieczne jest otrzymanie z obserwacji prędkości przestrzennych i odległości galaktyk w gro madzie. We wszystkich prawie przypadkach otrzymuje się składowe radialne prędkości i składowe odległości prostopadłe do promienia widzenia. Pozostałe składowe prędkości i odległości oceniane są przy założeniu pewnej symetrii. W przypadku gromad o wielkiej liczbie członków uśrednianie jest zwykle wys tarczające, aby średnie współczynniki kierunkowe można było wyznaczyć z do stateczną dokładnos'cią. Gorzej sprawa przedstawia się w przypadku gromad o mniejszej liczebności członków. 300 M. Karpowicz S tosując twierdzenie o wiriale przebadano kilka gromad w celu przekonania s ię o ich stabiln ości. Otrzymane wyniki dla grupy otaczających galaktykę M81 oraz dla Grupy L o kaln ej, do której naTeży n a sz a Galaktyka i M31 budzą s z c z e gólne zainteresowanie z powodu blisko ści galaktyk obu grup tak, iż masy więk szych i ja śn ie jszy ch można ocenić na podstawie ruchów wewnątrz nich rozmai tych obiektów. N a sz a Galaktyka j e s t jedną z dwóch masywnych członków Grupy Lokalnej.Wyznaczenie współczynników kierunkowych odległości innych galaktyk tej grupy j e s t w tym przypadku d o ść pewne. Grupę M81 przebadał A m b a r c u m i a n w roku 1959. Wynik, jaki otrzymał, iż suma mas członków gromady je s t n iew ystarczająca, aby utrzymać j ą w stanie stabilności,potw ierdza, jego hipotezę o niestabilności gromad. Całkowita ener gia mechaniczna j e s t dodatnia i grupa prawdopodobnie ekspanduje. D la Grupy Lokalnej wyznaczono masy kilku członków — masy pozostałych oceniono na podstawie stosunku: f = M /L masy do ja s n o ś c i. Grupa Lokalna zawiera dwa potężne składniki, o których była mowa: n a s z ą Galaktykę i M31, obie z masami znacznie przekraczającymi masy pozostałych członków gromady. H u m a s o n i W a h l q u i s t (1955) w ykazali, iż wartość numeryczna < V 2 > za leży od przyjętej prędkości Galaktyki względem środka układu — ta z kolei od dokładności wyznaczenia ruchu Słońca w Galaktyce. Przyjęli oni wówczas war to ść na prędkość Słońca: = 216 km /s, przy której Grupa Lokalna nie j e s t stabilna. Zw iększając jednak nieznacznie V Q można byłoby otrzymać jej stabil n o ść. A zatem wyników dla Grupy Lokalnej nie należy traktować jako o sta tecz nych. Sposób wyznaczania masy z twierdzenia o wiriale stosowany był przez kilku astronomów do znanej gromady Coma, w której wiadome s ą prędkości ra dialne dla ok. 50 galaktyk. Aby gromada była stabilna średnie masy n a jja ś n ie j szych członków powinny być rzędu ok. 10ł2 M0. Gromada p osiad a rozkład sfe ryczny galaktyk i fakt ten sugeruje, iż je s t stabilna. Powinna jednak zawierać dużą ilo ść materii między galaktycznej oraz znaczną liczbę być może galaktyk karłowatych: od 50 do 90% masy. D y sp e rsja prędkości galaktyk o jednakowej ja s n o ś c i dla tej gromady j e s t s t a ła , przy tym - g a la k t y k i ja s n e koncentrują s ię ku środkowi, sła b e z a ś p o s ia d a ją inny rozkład przestrzenny. Gromady o podob nej strukturze obserwuje s i ę na rozmaitych odległościach . Według wszelkiego prawdopodobieństwa osiągn ęły stan stacjonarny i należy uważać je za stabilne. J e ś l i idzie o inne gromady, to wnioski nie s ą tak pewne ze względu na fakt, iż znamy niewiele prędkości radialnych ich członków-galaktyk. W ostatnim d z ie sięc io lec iu przebadano wiele grup i gromad galaktyk. U znacz nej ich liczby całkowita energia mechaniczna j e s t dodatnia, wydawałoby s ię iż s ą zatem niestabilne. Jednakże takie wnioskowanie natrafia na poważne wątpliwości, a mianowicie: Problem sta b iln o ś c i gromad g a la ktyk 301 1) nie posiadamy niezależny ch danych obserw acyjnych dotyczących poło żeń i prędkości ucieczki p o szczeg ólny ch galaktyk-członków, aby zdecydować z c a łą pew nością, iż dana galaktyka należy do grupy, czy też gromady; 2) j e ś l i z obliczeń wynika, iż układ j e s t nie sta b iln y , możemy podejrzew ać j e s z c z e o b ecn ość niewidocznej materii w ilo śc i do statecznej do jego ustabilizowania; 3) j e ś li mamy do czynienia z dużymi gromadami — is tn ie je nieb e z p ie cz e ń stwo pom ieszania dwóch lub więcej układów znajdujących s ię w tym samym polu, le ż ą c y c h jeden za drugim, i uw ażania ich za je d n ą fiz yc z ną gromadę. Tak np, niektórzy astronomowie s ą d z ą , iż znana gromada w Virgo nie stanow i jednego układu, le c z sk ła d a s i ę z kilku oddzielnych grup galaktyk; 4) być może, z rozmaitych względów, nie powinno stoso w ać się metod w yznaczan ia mas bliskich galaktyk do galaktyk w grupach dalekich; 5) przyjęcie n ie sta b iln o ś c i gromad galaktyk jako reguły p o ciąga za sobą usta le n ie ska li c z a s u dla nich, który otrzymuje s i ę zbyt krótki, bo zaledwie 107—109 la t, p o d c z a s gdy przeciętny wiek gwiazd, gromad k ulistych, czy też galaktyk oceniany j e s t jako znacznie dłuższy; 6) otrzymywany krótki cz a s trw ania gromad sugeruje, iż powinno być wiele galaktyk eliptycznych w ogólnym polu, z tych bowiem sk ła d a ją s i ę głównie gromady. Tymczasem wśród nie z rz e szon yc h obserwuje s ię przeważnie galaktyki sp ira ln e , natom iast prawie nie ma w polu galaktyk eliptycznych; 7) wśród galaktyk pola powinno istn ie ć wiele z dużymi prędkościam i, gdyż takie n a jsz y b c ie j o p u s z c z a ją gromady, o bserw acje jednak nie po tw ierd zają tego wniosku. Możliwym wyjaśnieniem w ystępowania niektórych układów z całkowitą e nerg ią m e c h a n ic zn ą dodatn ią j e s t p rz y p u sz c zen ie , iż j e s t spowodowane wie lokrotnymi zderzeniami i wychwyceniami pomiędzy galaktykami pola. Takie wy ja ś n ie n ie pociąga jednak za s o b ą przyjęcie skali c z a su znacznie w iększej niż c z a s ewolucji galaktyk. Tworzenie s ię zatem grup i gromad na drodze wy chwytu j e s t niezmiernie mało prawdopodobne. Być może ro z sz e rz a n ie s i ę i rozpad gromad zachodzi jedynie lokalnie, jak to p r z y p u s z c z a ją niektórzy zwolennicy e k s p a n s ji. W teoriach kosmologicznych przyjmuje s i ę niekiedy, iż gromady galaktyk u c z e s tn ic z ą w ogólnym rozszerzan iu s i ę W szechświata, same jednak nie ekspandują. P rz y p u s z c z a ln y rozpad gpup i gromad prowadzi do poważnych konsekwencji, na które zwrócili uwagę A m b a r c u m i a n i Bu r b i d g e ’o w i e. Chodzi o to mia nowicie, iż składniki galaktyk wielokrotnych i gromady musiały uformować się razem, w jakim ś jednym p ro c e sie . Tylko n ieznaczny ułamek układów o małej licz b ie członków mógł utworzyć s ię na skutek wychwytu po dc z a s spotkań potrójnych. Niektórzy astronomowie uw ażają za możliwe tworzenie się galaktyk grupowo, wskutek podziału jakiegoś supergęstego jądra. I s tn ie ją na to pewne 302 M. K a rp o w icz argumenty, np.: u pewnej liczby radiogalaktyk obserwuje się podział jądra. Przypuszczalnie obserwowane, łączące galaktyki włókna lub mosty powstają również na skutek rozszczepienia się jąder galaktyk. Grupowe powstawanie galaktyk wydaje się wysoce prawdopodobne. Częste przypadki występowania fizycznych par galaktyk nie skłaniają do przypuszcze nia, iż utworzyły się wskutek przypadkowych spotkań. Wiele grup, które prawdopodobnie nie s ą stabilne, składają się z galaktyk eliptycznych, uważanych za formacje bardzo stare, natomiast długie włókna, przebiegające niekiedy pomiędzy galaktykami w gromadach w skazują raczej na ich młodość i niestabilność. Stajemy zatem wobec alternatywy: a) wszystkie działające na siebie galaktyki, również eliptyczne w układach ekspandujących, s ą młode, lub b) wszystkie układy s ą stabilne pomimo mechanicznych względów. W tym miejscu dochodzimy do nowego pomysłu, mianowicie, iż środkowe partie galaktyk posiadają pewne właściwości dotąd nieznane. Prawdopodobnie w jądrach dzielących się galaktyk w yzw alają się, w wyniku procesów o niezna nej naturze, olbrzymie ilo ści energii, konieczne do odepchnięcia wyrzuconych części z d u żą prędkością. Istnienie s ił odpychających można zauważyć w nie których spiralach z poprzeczką, np.: NGC6872 i IC4970. Sprzeczności wynikające w związku z problemem stabilności gromad ga laktyk wyraźnie występują w pomadach super zwartych. Można by ich uniknąć przypuszczając, iż: 1) siły działające pomiędzy galaktykami na odległościach przewyższają cych 10 kps nie s ą jedynie siłam i grawitacyjnymi. Je śli byłyby tylko takimi — dla członków gromad superzwartych powinno otrzymać się stosunki M/L bliskie jak dla członków układów podwójnych. Tymczasem) np. U /L dla dwóch gromad zwartych: V 166 i V 288 wypadają odpowiednio: 350 i 100, podczas gdy dla układów podwójnych — przeciętnie U/ L = 5 ( v a n d e n B e r g 1961); 2) znaczna część masy gromad galaktyk występuje w postaci nieświecącej materii międzygalaktycznej. Ponieważ jednak objętość gromad superzwartych stanowi 10'4 objętości normalnych gromad, mało prawdopodobne wydaje się przypuszczenie istnienia w nich wielkiej ilości materii niewidocznej, której wpływ objawiałby się w tak dużych stosunkach masy do jasności, jakie się otrzymuje; 3) gromady galaktyk ekspandują, posiadając całkowitą energię mechanicz ną dodatnią i do nich nie stosuje się twierdzenie o wiriale. Ta możliwość natrafia również na trudności, o których była wyżej mowa. Przypuszczenie 1) zasługuje na specjalną uwagę. Pogląd, iż na odległo ściach, z jakimi ma się do czynienia w przypadku gromad galaktyk, mogą działać inne siły oprócz grawitacji Mianowicie w „A tlasie Palomarskim” znajduje potwierdzenie obserwacyjne. wykryto ponad 200 wzajemnie działa- Problem stabilności gromad galaktyk 303 jących n a siebie układów: galaktyk podwójnych i wielokrotnych z zauważal n ą deformacją, z mostami lub pogrążonych w jakiejś jednej mgławicy gazowej. Niektóre z galaktyk wzajemnie się przenikają. Istn ie ją pary o jednakowej pręd kości radialnej, które nie wykazują śladów wzajemnego oddziaływania przycią gającego, jak gdyby malało ono wraz z w yższą potęgą odległości niż w prawie grawitacji. Na fakt ten zwrócił uwagę Z w i c k y jeszcze w roku 1957 ( Z w i c k y 1957). W blisko położonych względem siebie układach można zauważyć wzajemne oddziaływanie w następującej postaci: 1) części galaktyk zwrócone do siebie s ą mniej jasne; 2) 3) 4) 5) spiralna struktura jest zdeformowana lub nie występuje zupełnie; obserwuje się połączenia pomiędzy galaktykami, mosty; występują niekiedy anomalne występy, ogony, włókna lub tp., galaktyki typu symetrycznego bywają zdeformowane, asymetryczne. Jasność i rozmiary ogonów i włókien u niektórych galaktyk s ą tego samego rzędu co jasność i wielkość samych galaktyk. Dobrze znany jest most o dłu gości ok. 70 kps i grubości 2 kps. Podobne włókna lub mosty łą c z ą niekiedy ramiona spiralne galaktyk grupy i posiadają podobny skład. Od czasu konferencji w Santa Barbara zainteresowanie problemem stabil ności gromad galaktyk nie słabnie i kilku astronomów, pracujących w dziedzi nie astronomii pozagalaktycznej, ogłosiło ciekawe prrice dotyczące tego za gadnienia. W początkach Zwicky lub lat sześćdziesiątych de Vaucouleurs i niezależnie zaproponowali pewien test, który mógłby zdecydować, czy gromada grupa galaktyk, posiadająca całkowitą energię dodatnią rzeczywiście rozszerza się, czy też posiada „niew idoczną masę” , lub może d z ia ła ją w niej jakieś nieznane siły. W przypadku ekspansji powinno obserwować się w iększą dyspersję prędkości radialnej w centrum gromady n iż w jej zewnętrznych regio nach, je śli gromada ekspanduje w czasie wystarczająco dużym, aby galaktyka przeszła średnice gromady. VI związku z tym testem N o e rd l i n g e r (1971) rozpatrywał rozmaite możliwe ruchy galaktyk w gromadzie i czy test mógłby rozstrzygnąć z jakiego rodzaju ruchem mamy do czynienia w rzeczywistości. Stosowalność testu zależy od historii gromady i przyczyny rozpadu. Autor rozpatruje trzy możliwe modele ekspansji: 1) galaktyki początkowo poruszały s ię w gromadzie w małym regionie, wolno i w sposób przypadkowy. Następnie zadziałały jakieś siły, które przyspieszyły ich ruch i spowodowały, iż zaczęły wybiegać radialnie na zewnątrz; 2) galaktyki w układzie zwartym posiadały na początku ruch szybki i przy padkowy; zostały następnie uwolnione na skutek utraty masy wewnątrz gromady, zmiany grawitacji lub innej przyczyny; 304 M. Karpowicz 3) galaktyki nigdy nie tworzyły fizycznego układu; oglądam y natom iast de zintegrację przypadkowego ze jś c ia s ię poruszających się w sposób przypadkowy galaktyk. Jed ynie w przypadku 1) test de Vaucouleursa i Z w i c k y ’ego pow i nien być spełniony, poniew aż na granicy gromady galaktyki nie p o s ia d a ją sk ła dowej ra dialnej. W przypadkach natom iast 2) i 3) trzy składowe prędkości są zmiennymi n ie za le żn y m i, a zatem pomiędzy dy sp ersją prędkości i o d le g ło ścią od środka gromady nie powinno być korelacji. Ja k dotąd znany je s t jedyny przypadek grupy galaktyk w Sculptor, w którym spełniony je s t test de V a u c o u 1 e u r s a-Z w i c k y’ e go i prawdopodobnie grupa rozszerza s ię . Je d nak że , jako jedyny — wynik ten może być statystycznie mało znaczący i na jego podstaw ie n ie można wypowiadać ogólnego tw ierdzenia, dotyczącego ek sp an sji gromad, tym bardziej iż wyniki negatywne nie zawsze s ą ogłaszane. Z w i c k y (1962) przeprow adził analo giczne badania b lisk ie j gromady, ozna czonej w jego katalogu symbolem Cl 0123—0138 i w nioskuje, iż ta gromada nie ekspanduje. W przeciwnym przypadku nie powinno obserwować się koncentracji galaktyk ku środkowi i oprócz tego sym boliczne prędkości ucieczki powinny d ąży ć do zera na peryferiach gromady. Zgodnie z badaniami Z w i c k y ’ e g o i Itumasona (1964) rów nież gromada dokoła \GC541, która zawiera ok. 500 galaktyk w polu 4 stopni kwadratowych, galaktyk o jas n o śc ia c h 13,4 < m < 19,0 — nie wykazuje ek sp an sji. P raca W o o l f a (1967) dotyczy p oszukiw ania brakującej masy w gromadach. Autor p rzypuszcza, iż m oże to być wodór w postaci gazu zarówno molekularne go, jak atomowego lub też zjonizow anego. O bserw acje w d z ie d z in ie fal radiowych, w dłu g o śc i fa li 21 cm odkryły s ła b ą absorpcję w gromadzie Virgo w skazując na obecność pewnej ilos'ci neutralnego wodoru, jednak n ie d o s ta te c z n ą d la u sta b ilizo w a n ia gromady. In n i astronom owie, np. O o r t teria może zaw ierać się i P a a 1, p rz y p u sz c z a ją , iż niew idoczna ma w w ypełniającym o mniej w ięcej stałej g ęstości. M etagalaktyką gazie neutrinowym B rakująca masa może przyjmować rozm aite po stac i, a w ięc np.: a) zjonizow anego i neutralnego wodoru, b) gw iazd, c) słabych galaktyk. Ułamek ukrytej masy pow inien w zrastać wraz ze wzrostem promienia gromady. Iłok temu ukazała się ciekawa praca zbiorowa ( S p i n r a d i in. 1971),w któ rej autorzy s y g n a liz u ją odkrycie w podczerw ieni olbrzym iej, masywnej galaktyki eliptycznej w o dleg ło ści ok. 1 Mps, porównywalnej z n a s z ą G alaktyką i ga lak ty k ą M31. Je s t ona prawdopodobnie członkiem Grupy L o k a ln e j. N a zakończenie warto w spom nieć prace R o d a i in. (1970), w której autorzy badali stosunek mas (gdzie M yp oznacza m asę gromady otrzym aną Problem stabilności gromad galaktyk 305 z twierdzenia o wiriale, M — masę, jako sumę mas indywidualnych galaktyk) dla bliskich grup galaktyk. Stosunek ten wykazuje wyraźną korelację z promieniem gromady R i dyspersją prędkości V : H ± T ^ V 1’5 M M Na podstawie tych badań autorzy dochodzą do następujących wniosTców: 1) jeśli grupy przebadane są stabilne, wtedy ułamek „masy ukrytej” wzrasta wraz ze wzrostem promienia i dyspersją prędkości, przy tym „masa ukryta” może znajdować się w niezwykłym stanie fizycznym; 2) jeśli przyjąć, iż gr. ;iy są niestabilne, wtedy musiały rozpocząć ekspan sję w rozmaitych epokach i niezależnie od wieku Wszechświata; 3) hipoteza siły działającej, innej niż grawitacja mogłaby wyjaśnić korela cję (Myj/M, R), ale nie wyjaśnia związku {Myp/M, V). Wyjaśnienie obecności obu korelacji mogłoby sugerować istnienie bardziej ogólnych praw nowej dynamiki. Do chwili obecnej podejmowane są próby rozwiązania problemu stabilności czy też niestabilności gromad i prace dotyczące bezpośrednio lub pośrednio tego zagadnienia ukazują się w dalszym ciągu w podstawowych czasopismach astronomicznych. Wydaje się, iż główna przyczyna trudności i niepowodzeń leży w zbyt skąpym materiale obserwacyjnym, zwłaszcza w małej ilości znanych prędkości radialnych galaktyk w gromadach. Nadzieja rozwiązania zagadnienia wiąże się zatem z ich skompletowaniem, jak również z większym nagromadze niem obserwacji materii międzygalaktycznej w podczerwieni i w zakresie fal radiowych. LITERATURA A m b a r c u m i a n , V .A ., 1955, I.A .U . Symposium No. 5, 4. H u m a s o n , M .L ., W a h 1 q u i s t, H. D ., 1955, A .J . 60, 254. L i m b e r , D .N ., 1961, A .J . 66, 572. N e y m a n , J . , P a g e , T», S c o t t , E ., 1961, A .J . 66, 533. N o e r d l i n g e r , P .D ., 1971, A p .J . 163, 437. R o o d , H .J ., R o t h m a n , V .C .A ., T u r n r o s e , B .E ., 1970, A p .J. 162, 411. S p i n r a d , H. and a l., 1971, A p .J . 163, 125. v a n d e n B e r g , S ., 1961, A .J . 66, 566. V o r o n t s o v-V e l y a m i n o v , B ., 1961, A .J ., 66, 551. Z w i c k y , F ., 1962, I.A .U . Symposium No. 15, 347. Z w i c k y , F. , H u m a s o n , M .L ., 1964, A p .J . 139 , 269. 3 — Postępy Astronomii z. 4 ' ■ ' ■ ■ ____ __________ POSTĘPY ASTRONOMII Tom XX (1972)* Zeszyt 4 A ST R O FI ZY KA RELATYWI STYCZNA I P O L E GRAWITACYJNE MAREK DEMIAŃSKI Instytut Fizyki Teoretycznej Uniwersytetu Warszawskiego PEJ1HTMBWCTCKAH ACTPO$W3MKA. I M. Ae MSHb CKM C o n e p *aHMe B cTaTbe flaHO onMcaHwe BHeuiHero rpaBHTamioHHoro nojiH pejiHTHBHCTCKMX a c T p o 4 > H 3 im e c K M x 06b e K T 0B . THE RELATIVISTICAL ASTROPHYSIC. I Summary A description of the external gravitational field of the relativistic astrophysical objects is given. Od momentu powstania ogólnej teorii względności zdawano sobie sprawę z tego, że powinna być ona podstawą rozważań kosmologicznych. Przez długi okres czasu było to jedyne — poza przewidzianymi efektami przesunięcia prąż ków widmowych ku czerwieni, ruchem peryhelium Merkurego i zakrzywieniem promieni świetlnych w polu grawitacyjnym — zastosowanie ogólnej teorii względ ności, mogące mieć jakiś związek z obserwacjami astronomicznymi. W latach sześćdziesiątych rozwinęła się nowa dziedzina wyrosła na pograniczu fizyki i astrofizyki — astrofizyka relatywistyczna. Zajmuje się ona badaniem wpływu efektów relatywistycznych na procesy zachodzące w gwiazdach i galaktykach oraz zmianami, jakie one wywołują na drodze ewolucyjnej tych obiektów. Ogra li 307] M. Demiański 308 niczymy s ię tu do om ów ienia wpływu pola grawitacyjnego na procesy zachodzą ce w otoczeniu gw iazd lub galaktyk, w szczególności w ich ostatnich etapach ew olucji. Najprostszym i najw ażniejszy m przykładem je s t statyczne pole graw itacyj ne sferycznie symetrycznej nierotującej gwiazdy. W teorii Newtona pole grawi tacyjne opisujem y ża pomocą potencjału V, który sp ełnia dobrze znane równanie Poissona: = 4u Gp gdzie (1) p opisuje rozkład materii a G je s t s ta łą graw itacyjną (G = 6,67 10 . . g"1 . cms . s 'J). D la statycznego, sferycznie symetrycznego ograniczonego roz kładu materii p o tencjał grawitacyjny ma postać: <P(r) = - -G ml r)- (2) r gdzie m(r) = 4 tr / p (r') r ' 2 dr'. Jako warunek brzegowy przyjęliśm y ograniczenie, o że- po tencjał znika w niesko ńczon ości przynajm niej ja k 1 /r, W teorii Newtona pole graw itacyjne nie wpływa ani na w łasności geometryczne przestrzeni, która pozostaje nadal euklidesow a, ani też nie zm ienia biegu zegarów w yznacza jących czas absolutny. Szczególna teoria w zględności istotnie zm ieniła nasze wyobrażenia o prze strzeni i czasie odrzucając p ojęcie absolutnego czasu i absolutnej przestrzeni, a na ich m iejsce w prow adzając pojęcie czasoprzestrzeni. Czasoprzestrzeń w szczególnej teorii w zględności je s t to czterowymiarowa przestrzeń pseudoeuklidesow a, w której kwadrat odleg ło ści pomiędzy sąsiednim i punktami (zda rzeniam i) wyznaczony je s t przez element liniow y: ds^ dt^ - dx^ - dy^ - dt\ (3) gdzie x, y i z s ą w spółrzędnym i w trójwymiarowej przestrzeni euklidesow ej, t je s t w spółrzędną czasow ą a c je s t p rę d k o śc ią św ia tła . W ogólnej teorii w zg lędności przyjmuje s ię , że pole graw itacyjne zm ienia geometryczne w łasności czasoprzestrzeni. Tylko w ów czas, gdy nie występuje pole grawitacyjne można w całej przestrzeni wprowadzić tak układ w spółrzęd nych, aby kwadrat o d le g ło ści pom iędzy dwoma sąsiednim i punktami w yrażał s ię prostą z a le ż n o ś c ią (3). J e ż e li występuje pole graw itacyjne układ taki nie is tn ie je , choć w otoczeniu każdego punktu można wybrać w spółrzędne tak, aby kwadrat odleg ło ści redukował s ię do postaci (3). O gólnie element liniow y zapi sujemy w postaci: A s tr o fiz y k a re la ty w is ty c zna. I 309 d$2 = Sap d x a d x t (4) (a, (3 i w szystkie w skaźniki greckie przyjmują w artości 0,1 ,2 ,3, sumujemy po powtarzających s i ę w skaźnikach, np. u a v a = u q v ° + Uj t>^ + v ? + u ^ v ^), gdzie g a p (xp)= gpa (*P) s ą składowymi tensora metrycznego, które wyznaczamy z równania pola. Pole grawitacyjne n a zewnątrz sferycznie symetrycznego rozkładu materii j e s t opisyw ane przez element liniowy: ds2= X^~t ) c2rft2- 4 - r 2( <i e 2 + s i n 2 0 ^ 2), (5) 2 OM gdzie r5 = -----(patrz np. L a n d a u , L i f s z i c ) . To rozw iązanie równań Einn CL s te in a S c h w a r z s c h i l d otrzymał po raz pierwszy w roku 1916. Aby dokładniej zbadać różnice pomiędzy w łasnościam i pola grawitacyjnego w teorii Newtona i ogólnej teorii w zględności zbadajmy ruch c z ą ste k próbnych w c z a so p rz estrz en i Schw arzschilda. Równanie ruchu c z ąste k próbnych znajdu jemy rozw iązując równanie H amiltona-Jacobiego: g ° n a s,p = Równanie (6) roz pisa ne jawnie dla ™2 c 2 . metryki ( 6) Schw arzschilda przyjmuje p ostać: 1 l_ / d _ S \ 2 i _ JL c 2 V < / r J a k w każdym polu centralnie symetrycznym ruch będzie się odbywał w jed nej p ła s z c z y ź n ie ; przyjmujemy, że pokrywa się ona z p ła s z c z y z n ą 0 - t t /2. Rów nanie Hamiltona-Jacobiego rozwiązywać będziemy metodą se pa ra c ji zakład ając, że funkcja tw orząca daje s i ę z a p is a ć jako: S = - E t + J V . + S r (r) , (8) M. Demiański 310 gdzie E je s t energią cz ąstk i a J momentem pędu względem centrum. Na funkcję S r (r) otrzymujemy równanie: 1 3r 7c “ 2 “2 - stąd: Tor cząstki określamy przyrównując do sta łe j pochodną funkcji tworzącej S względem wartości momentu pędu J l ^ j~ - const J, skąd: * Jdr (i d Całka ta sprowadza s ię do całek eliptycznych i w ogólnym przypadku nie wyraża s i ę przez funkcje elementarne. Ruch, czyli zależno ść współrzędnej radialnej od c z a su t, znajdujemy SS / ' z równości ~rir = const. Otrzymujemy w ten sp osób równanie, które zap isan e óE w postaci różniczkowej sprowadza s i ę do: 1 dr 1 - — cdi r ,2 mc E //£ Y \\m c ^ J 1 J 2 r J 2 rg ~ m2c2 r2 W podobny sp o só b na <P otrzymujemy równanie: Równań tych nie można rozwiązać przy pomocy funkcji elementarnych. Jako ściow e informacje o ruchu można uzyskać znajdując krzywe potencjalne. Astro fizyka relatywistyczna. I 311 Dla porównania rozważmy na początek analogiczne zagadnienie Newtona. Ruch dany jest wówczas dobrze znanym wyrażeniem: 1 dr — =— dt / 2 GM V 2 E +f J w teorii T (14) r , r , 77 GM J2 r otencjał efektywny Vej ----- +---- - przy r -» 0 rośnie nieskończenie, 2mr 2 przy r -» oo dąży do zera od strony ujemnych wartości, a przy r = minimum równe ( K f ) min “ G 2M2' / 2 GMr osiąga 2/2 Def Rys. 1, P o te n c ja ł efektywny c z ą s tk i o różnym od zera momencie pęd u w p o lu grawi tacyjnym Gdy E > 0 tor cząstki będzie nieograniczony, a przy E < 0 będziemy mieli stan związany i ruch cząstki będzie ruchem ograniczonym. Wówczas gdy / = 0 obraz' ruchu ulegnie zmianie. M. Demiański 312 Rys. 2. Potencjał efektywny c ząstk i poruszającej się w polu grawitacyjnym z zero wym momentem pędu Potencjał efektywny jest cały czas ujemny, gdy r -* 0 dąży do minus nie skończoności, a gdy r -» oo maleje do zera od strony wartości ujemnych i w ob szarze r t (O, o o ) nie posiada ekstremów. Cząstki próbne poruszające się z / = O i z dodatnią energią oddalać się będą do nieskończoności, a ruch cząstek z E < O będzie ograniczony; spadać będą one na ciało centralne. Możemy łatwo obliczyć efektywny przekrój czynny na spadanie cząstek o masie m na powierzchnię ciała sferycznego o masie M i promieniu R , które przyciągają się zgodnie z prawem Newtona. Warunkiem złapania cząstki przez ciało centralne jest spełnienie nierówności rmjn < R , gdzie rmin jest naj m niejszą odległością cząstki od środka centrum s ił. N ajw iększą m ożliwą wartość parametru zderzenia, przy której następuje jeszcze wychwyt, znajdu jemy z warunku Vef (R) = E , skąd na przekrój czynny otrzymujemy wyrażenie: + (15) gdzie vx jest prędkością cząstki w nieskończoności. Przy , v efektywny przekrój czynny dąży, jak można się było tego spodziewać, do geometrycz nej powierzchni przekroju poprzecznego kuli. . Astrofizyka relatyw istyczna, I 313 P rz ejd z iem y do d y s k u s ji przypadku re la ty w isty c z n e g o . Przyrównując do ze ra w yrażenie pod pierw iastkiem w równaniu (12) otrzymamy z a l e ż n o ś ć : / r I2 I 2r E (r) =1 mc 2 l / l — - + -----— _______ £_ _ \ r m ^c2r 2 m ^ c2r^ Krzywe p o ten c jaln e dla różnych w a rto śc i / (16) p rzed staw ion e s ą na r y s . 3. R y s . 3. Z a le ż n o ść potencjału efektywnego od o d le g ło śc i dla różnych wartości momentu pędu c z ą s t e k poru szających s i ę w polu Schwarzschilda Porów nując otrzymane krzywe p o ten c jaln e z krzywymi potencjalnymi a n a lo * g ic z n e g o z a g a d n ie n ia w teorii Newtona widzimy dwie z a s a d n i c z e ró ż n ic e. P o p ie rw sz e w newtonowskim przypadku p o te n c jał d ą ż y ł do n ie sk o ń c z o n o śc i, gdy r -* 0, w przypadku relatyw istycznym dąży do minus n ie sk o ń c z o n o śc i, gdy r -» Tg. P o drugie k a ż d a krzywa p o ten c jaln a c z ą s t k i o J > 2 m c r g p o sia d a dw a punkty ekstrem alne maksimum i minimum, p o d c z a s gdy w newtonowskim przypadku w ystęp ow ało tylko minimum. M. Demiański 314 Rozważmy ogólną charakterystykę ruchów cząstek próbnych. Jeżeli cząE stka porusza się z e n e rg ią-- -< 1, wówczas jej trajektoria jest ograniczona mc* i gdy / < 2 mc rg spada ona na centrum siły , a gdy / > 2 mc ruch odbywa się w obszarze r ograniczonym od dołu przez r m;n * 0 i od góry przez rmax £ oo. E ma x , / , i - i i / f Gdy 1 < --- < --- ^— , gdzie £ raax, / odpowiada maksymalnej wartości ę m c2 mc przy zadanej wartości / , cząstka z nieskończoności zb liża się do centrum siły na odległość minimalną i oddala się następnie od nieskończoności, analogicznie jak w przypadku ruchu hiperbolicznego w teorii Newtona. C ząstka poruszająca się z energią w iększą niż £ max j (przy ustalo n y m /) zb liżając się z nieskończoności osiąga powierzchnię r = r g i nie oddala się do nieskończoności. Zostaje ona złapana grawitacyjnie. Przenika ona po wierzchnię r = rg radialnie, gdyż jak wynika ze wzoru (13) <P-* 0, gdy r -» r g. Powierzchnię r = rg nazywać będziemy horyzontem Schwarzschilda. Ruchy tego rodzaju nie występują w teorii Newtona. Zauważmy, że dla cząstki po ruszającej się, z energią niewiele m niejszą o d ? max,/ w pobliżu rmin może być dowolnie małe. Oznacza to, że przy zmianie radialnej współrzędnej r o dr współrzędna kątowa może zmienić się o bardzo dużą wartość. Zatem w po b liżu r mjn cząstka musi wykonać wiele obrotów wokół centrum zanim oddali się do nieskończoności. W granicy, gdy £ -» £ min, / tor cz£lstki będzie naw ijał się, na okręg o promieniu równym rmax, j • Charakter ruchu w tym przypadku jest zasadniczo różny od ruchu w przypadku klasycznym. O wiele dokładniej można przeanalizować ruchy radialne cząstek prób- /i V r nych. Kładąc w wyrażeniu (12) / = 0 orazl—-— ] = 1 ~ J L otrzymujemy: mc^J To (17) gdzie r0 jest położeniem, w którym cząstka spoczywała w chwili początko wej. Dla dużych rQ i r nowską: formuła ta przechodzi w znaną postać newto A s t r o f i z y k a re l a t y w i s t y c z na . I 315 Wzór (17) o k re śla za le ż n o ść prędkości cz ą stk i próbnej mierzonej przeż dalekiego obserwatora od położenia. Daleki obserw ator stw ierdza, że prędkość cz ą stk i maleje do zera w miarę zb liż a nia s ię jej do horyzontu Schw arzschilda, tzn. gdy r - rg . Ja k to samo zjawisko będzie widział obserwator spoczyw ający w punkcie, w którym znajduje s i ę w danej chwili c z ą stk a ? Aby odpow iedzieć n a to pytanie wprowadzimy lokalnie układ współrzędnych tak, aby element liniowy w otocze niu punktu, w którym znajduje s ię cz ą stk a w danej chwili zredukował s ię do ■postaci elementu liniowego p łaskiej przestrzen i Minkowskiego. L o k a ln ą współ rz ę d n ą c z a so w ą i r a d ia ln ą oznaczamy p rz e z t i R s ą one powiązane ze współ rzędnymi t i r związkami: dr-- dti dR = -----— & . (19) P ręd kość cz ą stk i względem spoczyw ającego obserw atora, którego właśnie mija j e s t równa: dR dt~ *■ dr I - I* dt (20) O bserw ator ten powie, że c z ą s tk a sp a d a ją c a swobodnie z odle g ło śc i r0 od centrum porusza s ię coraz prędzej i prędkość jej zbliża s ię asymptotycznie dR do prędkości ś w i a t ł a ------►c w miarę zbliżan ia się je j do horyzontu Schwarzdt schilda. Zupełnie inaczej zmienia się R w zależno ści od c z a s u mierzonego przez dalekiego obserwatora. 316 M. D em iański dR ~dv ° r r6 ’ ten j est wywołany relatywistycznym opóź nianiem się zegarów dalekiego obserwatora. dR. Prędkość mierzona przez lokalnego obserwatora -- posiada sens fizyczny, dt je st to bowiem ta prędkość, która wchodzi do wzoru określającego lokalną ener gię kinetyczną cząstki. Możemy teraz zapytać, jak długo będzie spadała cząstka od r = rQ do r = rg względem zegara dalekiego obserwatora. Prostym rachunkiem można się prze konać, że cząstka asymptotycznie będzie się zbliżała do r = r g i osiągnie tę powierzchnię dopiero po nieskończonym czasie. Nawet promień świetlny wysłany radialnie z dowolnego punktu rQ > rg osiąga horyzont Schwarzschilda po nieskończonym czasie. Czas własny mierzony przez lokalnego obserwatora poruszającego się wraz z cząstką, jaki je st potrzebny na przebycie odcinka od rQ do r wzdłuż promie nia jest skończony i co więcej skończony jest też czas po jakim cząstka dotrze do punktu r = 0. Z równania (17) można znaleźć zależność r = r(t), to je st położenie cząstki próbnej w chwili czasu t mierzonej przez dalekiego obserwatora. Jest to oczy wiście nie to miejsce, gdzie obserwator będzie widział cząstkę w chwili t. Z powodu bowiepi retardacji światło będzie potrzebowało dodatkowego czasu At na to, aby dotrzeć do obserwatora. Je że li przez t 0 oznaczymy chwilę, w któ rej światło dotrze do obserwatora, wówczas dla r -» r g asymptotyczna postać zależności r{tQ) je st następująca: c (t0- O r = rg + O-i- rg) e 2\ , (22) gdzie rj = r (t '). Interesujące jest również zbadanie zmian natężenia źródła światła spadają cego swobodnie w polu Schwarzschilda z punktu widzenia dalekiego obserwa tora. Niech w pewnej chwili źródło światła znajduje się w pobliżu r = rg i po rusza się z prędkością v = z obserwatorem. Założymy, dt w zdłuż promienia łączącego ciało centralne że dla obserwatora poruszającego się wraz ze światłem promieniuje ono izotropowo ze stałym natężeniem. Gęstość strumie nia promieniowania w nieskończoności I°» je st dana wzorem: A strofizyka re la ty wis tyczna, l 1 00 = const Asymptotycznie, gdy r -* r r« (1 -■— ) I --- — I . 317 (23) korzystając z (20) i (22) mamy: const e s (24) Częstość obserwowanego promieniowania zmienia się w podobny sposób dążąc do zera z tym, że wykładnik potęgi jest cztery razy mniejszy. Równania ruchu promieni świetlnych otrzymamy przez przejście graniczne Jc E -» oc i / -> oo, ale tak aby —— ► l gdzie l posiada interpretację parametru E zderzenia. Równania (12) i (13) przyjm ują wówczas postać: (25) (26) l2 c 2 r C z ło n ------£ we wzorze (25) powoduje zakrzywianie się promieni świetlr3 nych w polu grawitacyjnym, np. promień świetlny przebiegający w pobliżu powierzchni Słońca zostaje odchylony o 1",75. Ten teoretycznie przewidziany efekt ogólnej teorii względności został jako pierwszy potwierdzony obserwacyj nie w czasie pełnego zaćmienia Słońca w 1918 roku. Krzywa zależności l = l (r) otrzymana z warunku — = 0 przedstawiona jest dt na rys. 4. Każdy promień przychodzący z nieskończoności z parametrem zderzecl 3 \/lf . . . . . . . . y m a — < ----nie napotyka krzywej powrotu i zostaje grawitacyjnie złapany. re 2 318 M. DemiaAski Rys. 4. Z ależność rmin od parametru zderzenia dla promieni świetlnych Podobnie jak w przypadku cząstek próbnych, promienie złapane przybliżają się do horyzontu Schwarzschilda radialnie, gdyż <P -> o, gdy r -* r Można by i w tym przypadku zastanawiać się nad czasem liczonym przez dalekiego obserwatora jaki jest potrzebny na to, aby promień świetlny dotarł do horyzontu. Rozważania te dają jakościowo wyniki takie same jak w przypadku cząstek próbnych. Zauważmy, że promień świetlny wysyłany przez spoczywające źródła w od ległości r od centrum nie może dotrzeć do nieskończoności przy dowolnych kątach emisji. Promienie wysłane do stożka o kącie rozwarcia 2 y danym przez: re 1-1 |tg Vl = ~ = Ag . r ( 27) g nie uchodzą do nieskończoności. Zarówno cząstki próbne jak i promienie świetlne poruszające się z nie wielkimi parametrami zderzenia s ą grawitacyjnie wychwytywane przez źródło siły centralnej. Jak łatwo pokazać przekrój czynny na złapanie cząstek prób nych wynosi: Astrofizyka relatywistyczna. I 319 r/r <3 . 2t Rys. 5. Grawitacyjny wychwyt promieni świetlnych (28) d la promieni św ietlnych: a = 27 tt rg 2 (29) A n a lizu jąc ruchy cząste k próbnych i prom ieni św ietlnych w czasoprzestrzeni opisyw anej elementem liniow ym S chw arzschilda doszliśm y do w niosku, że te c ząstk i i te prom ienie, które o s ią g a ją horyzont potrzebu ją na to skończo nego czasu w łasnego. N aturalne je s t w ięc pytanie, co s ię z nim i będzie działo po przekroczeniu horyzontu. N ie m ożna do op isu w ła sn o śc i czasoprzestrzeni odpow iedzieć na to pytanie używ ając elementu on osobliw y na pow ierzchni horyzontu r = r natom iast w spółczynnik S chw arzschilda, gdyż je s t W spółczynnik przy dt ^ znika na tej pow ierzchni, Ja k s ię okazuje o so b liw o ść ta je s t zw iązan a z wyborem układu w spółrzęd przy d r 2 rośnie nieograniczenie. nych i nie posiada sensu fizyczn ego. Można tak wybrać układ w spółrzędnych, aby element liniow y b y ł regularny dla r = rg . N a jp e łn ie jszy układ w s p ó ł rzędnych sp e łnia jąc y te warunki zo sta ł podany przez K r u s k a l a . on współrzędne u i v p o w iązane z r i t przez: Wprowadził 320 M. D emiański { /= ! - — 6 2r® c h T T > (31) i ~2 ^ \2 V = n ie 1- — ) V e sh 2r« z m ie n i a ją c w s p ó łr z ę d n y c h k ąto w y c h . E le m e n t lin io w y w tych w sp ó łrz ę d n y c h p rzy jm u je p o s t a ć : R y s. 6. L in ie T - c o n st n a diagram ie K ruskala d S2 = f { d V * - d V V - r 2 (<fó2 + sin2 0 f * .* - f gdzie / - — !_ e s t r j e s t p o w ią z a n e z II i V p r z e s tę p n y m rów naniem (32) Astrofizyka relatywistyczna I 321 Rys. 7. Linie stałego czasu na diagramie Kruskala |p gj1 Własności współrzędnych najlepiej je st zobrazować szczyźnie (U, V) krzywe r = const i t = const ct r * rfl Rys. 8. Część r = const, są. hiperbolami na płaszczyźnie (U, V) natomiast linie stałego czasu t = const są prostymi prze chodzącymi przez początek układu współ rzędnych. Zobaczmy' jeszcze jaka część płaszczyzny ({/, V) odpowiada czasoprzestrze ni opisywanej elementem liniowych Schwarzschilda. * Metryka Schwarzschilda jest określa na dla r > rg, odpowiada jej część płasz^ czyzny W , V) ograniczona przez proste U = V oraz U = - V i warunek V > 0. Możemy teraz znając własności współ czasoprzestrzeni Schwarzschilda opisywana współrzędne ct i r promienie Krzywe przedstawiając na przez rzędnych nie U i dotyczące V odpowiedzieć na pyta losu cząstek próbnych i promieni świetlnych po przekroczeniu horyzontu. Warto tu dodać, że radialne świetlne na płaszczyźnie (U, V) będą reprezentowane przez proste U ± V - const. Niech na płaszczyźnie (U, V) hiperbola CTO reprezentuje linię 4 — Postępy Astronomii z. 4 322 M. Demiański św iata (trajektorię w czasoprzestrzeni) A BC będzie l in ią św iata dalekiego obserwatora, a krzywa c ząstk i próbnej. Z punktu w idzenia dalekiego obser watora cząstka próbna z b liż a ć się- będzie asym ptotycznie do horyzontu i dotrze do punktu nym B po czasie. ru sza jący p ow ie, nieskończo Obserwator s ię po wraz z c z ą s tk ą że punkt B o s ią g a po skończonym czasie własnym i p rzenika przez horyzont poru s z a ją c się po lin ii św iata BC. Czasoprzestrzeń p oza horyzon tem p o siad a zupełnie inne wła sno ści. 0 ile w obszarze r > c ząstk ę p ró b n ą przez przyłoże nie siły ków (np. w łączenie rakiety) m ożna s iln i było za w rócić i o d d alić znowu do nie sk ończo ności, m o żliw e to je s t poza to nie horyzontem. W obszarze r < r g k a żd a c z ą stka niekoniecznie poruszająca Rys. 9. C zęść czasoprzestrzeni Schwarzschilda opisyw any przez współrzędne ct i r na diagra mie Kruskala s ię cyjnie s iły gdzie pole sw obodnie, je s t grawita zw iązan a przez centrum i po skończonym czasie własnym o siąg a punkt r = 0, graw itacyjne staje się nieskończone. J e ż e li z dowolnego punktu wewnątrz obszaru r < r g (np. punkt L) wypuścimy radialnie sygnały św ietlne w kierunku ku środkowi i na zew nątrz, to pierw szy sygnał dotrze oczyw iście do punktu r = 0, ale i drugi sygnał wysłany na zewnątrz zostanie w silnym polu grawitacyjnym osiągnie zakrzywiony ta k ,ż e po skończonym punkt r = 0. czasie własnym te ż Żaden sygnał nie może przeniknąć z obszaru r < do dalekiego obserwatora. Nie bez powodu w ięc pow ierzchnię r = rg ogranicza j ą c ą ten obszar nazw aliśm y horyzontem. O bszar r < r g je s t obszarem niestatycznym, w tym obszarze niem ożliw y je s t spoczynek i co w ięcej wszystkie c z ą s tk i i promienie św ietlne, które znalazły s ię w tym obszarze po skończo nym czasie własnym o s ią g a ją oso bliw o ść r = 0. Te w łasności obszaru r < m a ją podstawowe padania. Zajm ow aliśm y znaczenie s ię dla dotychczas zrozum ienia opisem zjaw isk a w łasności graw itacyjnego sferycznie za symetrycz nego p ola grawitacyjnego w próżni. Pole takie je s t wytwarzane przez statycz- 323 A s tr o fiz y k a re la ty wisty czna, / Rys. 10. H istoria zapadającego się obłoku pyłu we współrzędnych Kruskala ny sferycznie symetryczny rozkład materii. Często w zastosowaniach astro fizycznych spotykamy się, z układami stacjonarnej materii. Dotychczas nie udało s ię nikomu znaleźć rozwiązania równań Einsteina, reprezentującego pole grawitacyjne wytwarzane przez taki rozkład materii. Znamy kilka szczegól nych rozwiązań, wsrdd nich na uwagę zasługuje rozwiązanie opisujące pole grawitacyjne daleko od mas oraz rozwiązanie podane przez K e r r a . W obszarze r » rg pole grawitacyjne wytwarzane przez dowolny stacjonar ny rozkład materii j e s t opisywane przez element liniowy w postaci: xb. di \ c jJ “* cdt - + dy^ + dzty, (34) r3 gdzie 9 je s t newtonowskim potencjałem grawitacyjnym, a Ma^ j e s t tensorem momentu pędu układu. Na uwagę zasługuje pojawienie się członów pozadiagonalnych, których źródłem j e s t moment pędu układu. W ogólnej teorii względ ności, obracające się sferycznie symetryczne ciało będzie wytwarzało pole grawitacyjne osiowo-symetryczne i w przeciwieństwie do teorii newtonowskiej 324 M . Uemiański daleki obserwator będzie m ógł stw ierdzić, że źródłem p ola je s t obracające się ciało. N a cząstki próbne, oprócz siły p rzyciągania grawitacyjnego, d z ia ła ć będzie dodatkowa s iła o w łasnościach analogicznych do siły C o rio lis a, wy stęp u jącej w obracających się nieinercjalnych układach o dn iesienia. Ja k ju ż w spom inaliśm y znamy tylko jedno śc isłe rozw iązanie równań pola grawitacyjnego podane w 1963 roku przez K e r r a , które może opisyw ać pole graw itacyjne wytwarzane przez o b ra c a ją c ą s ię gw iazdę w próżni. Elem ent lin io wy Kerra je s t podany w postaci: ds2 = 1- r6 r t 2+a 2 c o s 2 Qy 0 ,0 2 re r a s in 2 0 c 2 d t 2 ----*--------- cdt d f r 2 +a 2 c o s2© (35) r 2 + a 2 cos2 0 r 2 + a 2 - r r„ 2 o r re a 2 sin2 6 dr2 - ( r 2 + 0 2 CO8 20 ) J q 2 - s in 2 e r l + a 1 +— g-------r 2 + a 2 cos 20 dtp2 . Rys. 11. Powierzchnia nieskończonego przesunięcia ku czerwieni i horyzont w czaso przestrzeni Kerra U kład w spółrzędnych z o s ta ł wybrany tak, aby d la a = O element liniow y redukował s ię do p ostaci Schw arzschilda. Dowolny parametr r g w ystępujący w metryce można pow iązać podobnie ja k w przypadku pola sferycznie symetrycznego z m a s ą c ia ła centralnego r 2 GM = ----- . F iz y c z n ą in te ip re ta c ję parametru a 8 c2 znajdujem y rozpatrując słabe pole graw itacyjne, tzn. pole w takich odle- 325 A str ofizyka relatywistyczna. I ległościach, że 6 /r « 1 i a/r « 1. Porównując wynik tego przejścia granicz nego z postacią metryki znajdujemy, że: J - Mac, (36) gdzie / jest całkowitym momentem pędu ciała centralnego a jest- więc momen tem pędu na jednostkę masy. Metrykę Kerra zapisać można w asymptotycznie płaskich współrzędnych; przyjmuje ona wówczas postać: r r3 ds^ = c 2 dt 2- dofi - dy2 - d z 2 -- 7 ----s—s ^ ' r* + o z z z » (37) gdzie A; określona jest związkiem: (r2 + a 2) r i = (*efoc +ydy) + or (acdy - ydx) + (r 2+ a 2) (zdz + rcdt), (38) a r jest zdefiniowana jako rozwiązanie równania: r * - (/?2 - « 2) r 2 - a 2 z2 = 0 ; /?2 = * 2 +y2 + z 2 i Rozw ażając przypadek słabego pola (3 9 ) znajdujemy potencjał newtonowski w postaci: C M r3 T * r 4--+ o 2zz~ z , JA. (40) Korzystając z defini<g'i współrzędnej r możemy przedstawić go jako sumy multipoli: _G M GM a 2 GM a* -- + ------ ^ 2 (cos ®) “ --- :— ^ 4 (cos 0) + . . . R R3 R5 (41) i ogólnie, je że li przez V^ oznaczymy 1 -ty moment multipolowy mamy: f 2/ ♦ 1 = 0, ? 2/ = (-1 ) 2 GM a 21 (42) 326 M. Demiański W ogólnym przypadku ciało centralne w wyniku obrotu u le gać będzie defor m acji nie tak, że rozkład masy będzie opisywany przez szereg m u ltip o li, które s ą ze s o b ą pow iązane. Z powodu bardzo szczególnych zw iązków między momentami multipolowym i a momentem pędu rozw iązanie Kerra nie może opisy wać pola gw iazdy. grawitacyjnego dowolnej sferycznie symetrycznej obracającej się Tym niem niej rozw iązanie to je s t bardzo istotne dla badania końco wych faz grawitacyjnego zapadania gw iazd niesferycznych. Zarówno w przypadku metryki Schw arzschilda ja k i metryki podanej przez Kerra £00 dla pewnej w artości w spółrzędnej radialnej = 0. P ow ierzchnia = 0 je s t pow ierzchnią nieskończonego p rzesunięcia ku czerw ieni. D aleki obserwator, który będzie ś le d z ił monochromatyczne źródła św iatła z b liża ją c e się do tej pow ierzchni stw ierdzi, że d łu gość fa li obserwowanego św iatła roś nie n iesko ńczen ie. Zegary zsynchronizow ane ze w skazaniam i zegarów w nie sk ończo ności coraz um ieszczane coraz b liże j tej pow ierzchni b ędą sp ó źn iały się bardziej. W czasoprzestrzeni Schw arzschi Ida g QO = 0 , gdy r = pokazaliśm y i jak je s t to pow ierzchnia ro z d z ie la ją c a dwa obszary, pomiędzy któ rymi informacje m ogą być przesyłane tylko w je d n ą stronę. Tak nie je s t w przy padku metryki Kerra, gdzie pow ierzchnia g 00 = 0 je s t tylko pow ierzch nią n ie skończonego p rzesunięcia ku czerw ieni, le c z nie je s t horyzontem. Pow ierzch n ia horyzontu je s t dana jako ro zw iązanie równania: r 2 ~ r r g + a 2 = 0. (43) r R ów nanie to nie p o siad a rzeczyw istych ro zw iązań, gdy a > J L n j e n,a r 2 ’ w ówczas horyzontu* Gdy a < — pow ierzchnia horyzontu je s t dana przez: 2 i je s t ona zaw sze zawarta wewnątrz pow ierzchni g 00 = 0 . C z ę ś ć przestrzeni zawarta pom iędzy p ow ie rzc h n ią gQ = 0 a horyzontem nazywamy ergosferą. W granicznym przypadku a -* 0 pow ierzchnia horyzontu pokrywa s ię z pow ierzch n i ą nieskończonego p rz e s u n ię c ia ku czerwieni g QQ - 0. P odobnie ja k w przy padku metryki S chw arzschilda w czasoprzestrzeni Kerra lin ie św iata cząstek próbnych i promienie św ietlne d o c ie ra ją do horyzontu po skończonym czasie własnym. P ow inien zatem is tn ie ć układ w spółrzędnych, w którym m ożna by Astro fizyka relaty wis ty czna. I je p rzed łu ży ć d zięk i pracom Istn ien ie poza horyzont. Boyera, w T a k i pełny Lindquista c z a s o p r z e s tr z e n i Kerra 327 układ współrzędnych j e s t znany i Cartera. dwóch n ie z a le ż n y c h stały c h ruchu p o z w a la sp ro w a d z ić zag ad n ien ie zn ajdo w ania ruchu w ogólnym przypadku do kwadratur. A n aliz a ruchu c z ą s t e k próbnych i promieni św ietln ych w c z a s o p rz e strz e n i Kerra j e s t o w iele ba rd z iej skom plikow ana niż w przypadku metryki S c h w a rz sc h ild a . LITERATURA L .D . L an d a u, E. L i f s z i c, Teoria pola, P WN, 1958. M. K r u s k a l , Phys. Rev. 119, 1743, 1960. J . B. Z e l d o v i c z, I. D. No v i k o v, R elativistsk aja Astrofizika, Nauka, Moskwa 1967. R. P. K e r r , Phys. Rev. Lett. 11, 237, 1963. R. H. Bo y e r, R. W. L i n d qo u i s t, J . Math. Phys. 8, 265, 1967. B. C a r t e r , Phys. Rev. 141, 1243, 1966. I P O S T Ę P Y ASTRONOMII Tom XX (1972). Zeszyt 4 A ST RO FI ZYKA RELATYWI STYCZNA II HYDRODYNAMIKA MAREK DEMIAŃSKI Instytut F izyki Teoretycznej Uniwersytetu Warszawskiego PEJIHTMBMCTCKAH ACTPO$M3MKA. II M. / Je M J i H b CK M Coflepacamie B C T aT be n p e A C T a B .ie u b i vt M c c jie flO B aH b i ypaBHeH M H B npmioKeHMM paccMOTpeHbi pejiHTHBWcrcKMe yaapHbie b o jih h rw flp o flM H a M m k m . . THE R E L ATIVISTICAL ASTROPHYSIC. II Summar y Hydrodynamic equations are stated and discussed. One describes also relativistic shock waves. Pole grawitacyjne, zarówno w teorii Newtona jak i w ogólnej teorii względ ności, możemy wyznaczyć, jeżeli zadany jest rozkład materii oraz warunki brzegowe, np. charakteryzujące zachowanie pola w nieskończoności. Ważną rolę odgrywać będą zatem metody opisu rozkładu materii i jej ruchu. Intereso wać nas będzie makroskopowe zachowanie się materii i dlatego stosować będziemy obraz hydrodynamiczny, biorąc pod uwagę jedynie wartości uśre dniania po mikroskopowo dużych, lecz małych makroskopowo obszarach. Przypomnijmy sobie, jak opisuje się ruch ośrodka w newtonowskiej czaso przestrzeni. Stan ośrodka zadany jest całkowicie, je że li jest znany rozkład [3291 330 M. Demiański prędkości f = v(x, y, z, l ) = v(r, i), tzn. z a le żn o ść prędkości każdego elementu ośrodka od czasu oraz jakiekolw iek dwie w ie lk o śc i termodynamiczne, na przykład ciśnienie p(r, t) i gęstość p(r> , t). Z n a jąc rozkład prędkości możemy ruch cieczy scharakteryzować d o k ład niej, badając względne prędkości dwóch elementów ośrodka. Wyobraźmy so b ie , że poruszamy s ię wraz z wybranym elementem ośrodka, którego prędkość je st v = v(r* t). Sąsiedni element odległy o Sr w tej samej c h w ili czasu poruszać s ię będzie z p rędkością v(r*+ Sr*, t). P rędko ść w zględna Au = v(r + 6r, i) - v(r, t) = 8r lub wektorowo At>^= = t>£. i 5x[ (sumujemy po pow tarzającej s ię parze w skaźników )^ przebie g a ją w artości 1, 2, 3. P ochodną kow ariantną można zastąpić przez zw y kłą p ochodną cząstk ow ą, gdy rozw ażania w spółrzędnych. Z A nj P och odną wektora = 5x £ . drugiej strony prowadzimy w kartezjańskim układzie prędkość w zg lę d n ą można prędkości rozkładam y określić przez na nieprzywiedlne sk ła d n ik i: Rys. 1. Względne położenie w przestrzeni dwóch sąsiednich elementów ośrodka ; Z = u k l + °k l + 3 h l Q > M A stro fizyka relatyw istyczna. II 331 gdzie cofci = co[£/] oznacza część całkowicie antysymetryczną, o^i = a(ki) część symetryczną bezśladową, a © = jest diwergencją wektora prędko ści. Oczywiście zgodnie z definicją mamy: 2 ( ) Aby podać interpretację poszczególnych składników, rozważmy jak zmieni się wektor względnego położenia po upływie czasu dt. Rozw ijając Sr*{t + dt) w szereg Taylora i zatrzymując jedynie wyrazy liniowe w dt otrzymamy: (4) 6* ’^. = 8 jc ic + vfc. i 8%i dt. Je że li u>/ę[ = 0 = wówczas 6 * ’^. = 6*^ + v/c. i 8x[dt. Wprowadzając oznaczenie l2 = 5x ^ 6^. łatwo sprawdzić, że — — = 0 , czyli 0 jest związane z izotropowymi zmianami objętości, a więc rozszerzeniem lub kurczeniem. Tradycyjnie parametr 0 nazywa się ekspansją, gdy 0 = 0 = Gfyj, 5%’^ = = Sxj. + 6X[ dt. Macierz cr^ jest m acierzą symetryczną, można ją więc w każdym punkcie sprowadzić do postaci diagonalnej = A(^) (Uwaga: nie sumować po wskaźniku k). W takim układzie, w którym o ki jest macierzą diagonalną mamy zatem 6 *’^ = Sx ^ + A(^) 6*^ dt, a wiec A(^) chara kteryzować będą zmiany odległości w kierunkach osi głównych Macierz charakteryzuje zatem anizotropowe deformacje. Je że li natomiast 0 =0 = = i j ^ , wówczas 6x^dt = 8x ^ i, jak łatwo sprawdzić, Sx’^ Sx’^ = = 5x ^ Sx i( , a zatem odkształcenie związane z pomiędzy sąsiednim i elementami nie ulegają jest takie, że odległości zmianie, opisuje zatem obrót, macierz co^ nazywamy macierzą obrotu. Obrót opisujemy zwykle podając wektor prędkości kątowej. Konstruujemy go kładąc: w /c 6ki m w Im £ ki m v l, m > (5) lub wektorowo <3 = rot v, gdzie t/dm jest całkowicie antysymetrycznym tensorem, przy czym £ i 2 3 = Znając co^ możemy odtworzyć c z e związku: 1 wI m ~ który jest konsekwencją (5). 2 e,clm (6) 332 M. Demiański K orzystając z wyprowadzonych nieprzyw iedlnych składników możemy klasyfikow ać ruchy. Je ż e li <Jkl = 0, to pow iadam y, że ruch je s t bez ś c in a n ia , gdy w kl~ 0 ruch nazywamy bezwirowym i w ów czas, ja k łatw o pokazać, wektor prędkości je s t gradientem. R uch ta k i, że 0 = 0 nazywamy ruchem bez ekspansji (zachowującym objęto ść). Przechodząc zauw ażm y, że do zestaw ienia podstawowych parametry określające stan równań hydrodynamicznych ośrodka, a w ięc pole prędkości gęstość p i ciśn ie n ie p nie mogą być zupełnie dowolne. Spełniona musi być bowiem zasada zachow ania m aterii. Ośrodek może s ię p rzem ieszczać, ale w czasie ruchu materia a ni nie p ow staje, a n i te ż nie zn ika . Je ż e li roz patrzymy pew ien n iew ie lk i obszar ośrodka, to zm iany g ę sto śc i m aterii mogą być wywołane tylko przez „ w p ły w a n ie ” m aterii do tego obszaru, bądź też przez je j „w y p ły w ” . Z ach o d zić m usi zatem równanie c ią g ło ś c i: o t + div (pt$) = 0, (7) lub w no ta cji w skaźnikow ej: f f * (0 '*>.•*- °' (7a) Podstawowym równaniem ruchu ośrodka je st równanie Eulera: ^ d t + ( v v ) v = - — v p - v<P , (8) p które można za p isa ć jako: vk ; i v r - - p P’ k - V ’ k ■ (8a) U zupełniam y go równaniem P oisso na: ' A<P = <P;klc= 4 u 6 p , (9) określającym p o te n c jał graw itacyjny <P. Rów nania E ulera o p is u ją ruch ośrodka ide alne go, tzn. takiego, w którym .nieistotne s ą procesy przew odnictwa cie plnego i le p ko ści. Brak wymiany ciep ła pom iędzy różnym i c z ę ś c ia m i ośrodka o z n a c za , że ruch zach o dzi a d ia b a ty c znie , przy czym adiabatycznie w każdej części c ie c zy . P rzy ruchu adiabatycznym entropia każdej c z ę ś c i ośrodka A s tr o fiz y k a r e la ty w is ty c zn a . II 333 p o z o sta je s ta ł a podczas przem ieszczania tych c z ę ś c i w p rzestrzeni. O znacza jąc przez s entropię o dn ie sio n ą do jedn ostki masy ośrodka, adiabatyczność ruchu wyrazić możemy równaniem: grad 5 = 0. (10) K orzystając z równania c ią g ło śc i (7) a d iab atyczn ość ruchu możemy z a p isa ć w p o stac i równania ciąg ło śc i dla entropii: Wps) n —-z-----+ div ( p s v) = 0. dt (ID J e ż e l i w pewnej chwili początkowej entropia j e s t jednakowa we w sz y st k ich punktach ośrodka, to pozostanie ona w sz ę dz ie jednakowa i niezmienna w c z a sie i przy dalszym ruchu ośrodka. A diabatyczność ruchu sprowadza s i ę w tym przypadku do szc z e g ó ln ie prostego warunku: s = co nst. (12) T a k i ruch nazywamy izentropowym. Izentropowość ruchu wykorzystamy do z a p isa n ia równań Eulera w pro s t s z e j p o s ta c i. W tym celu posłużymy s i ę znanymi związkami termodynamicz nymi: dh = T ds + — dp, P (13) gdzie h j e s t e n ta lp ią jednostki masy c ie c z y a T temperaturą. P oniew aż w ruchu izentropowym s = c o nst mamy po prostu: dh = - d p . P (14) Równanie (8a) można zatem n ap isać w p ostaci: z której wynika, że p rz y sp ie sz e n ie w ruchu izentropowym j e s t gradientem. 334 M. Demiański K o rzystając z równania c ią g ło ś c i, równania ruchu zap isać można je szc ze inaczej jako: = - ( P vi v k>ik~ p f f l , a w prow adzając oznaczenie t ^ = p 8 j^ + pv,- v ^ przepisujem y je w równoważnej postaci: ^ j"(P vi ^ ~ ~ * i k ; k ~ P ^ ’ i » (17) gdzie t-. nazywamy tensorem gęstości strum ienia pędu. P rzechodzim y teraz do badania wpływu, ja k i w yw ierają na ruch ośrodka zachodzące w nim podczas ruchu procesy dyssy pacji energii. Procesy te s ą wyrazem, m ającej zaw sze m iejsce w mniejszym lub w iększym stopniu, termo dynam icznej nieodw racalności ruchu zw iązan ej z istnieniem tarcia wewnętrzne go (lepkości) i przewodnictwa cieplnego. P o to aby otrzymać równanie opisujące ruch ośrodka lepkiego, konieczne je s t wprowadzenie dodatkowych wyrazów do równań ruchu ośrodka idealnego. Procesy tarcia wewnętrznego zw iązane s ą ze względnym czy, a i więc występować b ę d ą w ów czas, występować będzie anizotropowa gdy nie deform acja. ruchem będzie cząste k c ie znikać ekspansja Tensor strum ienia gęstości pędu dla ośrodka lepkiego zapiszem y w postaci: h k = PSik + P vi vk + 2t1"<*+ £S ikQ, (18) g dzie r| i £ s ą dodatnim i w spółczy nnik am i, które nazywamy w spółczynnikam i le p ko ści. P o dstaw iając (18) do równań ruchu (17).otrzymujemy: dvk — J e ś li dt + v k- = ~ P ’ k + Wk; U + l v l ' 1 temperatura +T) vk; l l - P < P ’ k ' (19) ośrodka nie je st s ta ła , to obok wspomnianego w yżej m echanizm u d y ssy pa c ji energii będzie zachodzie przenoszenie ciep ła za po średnictw em molekularne tem peraturze. przewodnictwa przenoszenie Nie cieplnego. Rozum ie energii z m iejsc s ię pod tym bezpośrednie, o w y ższej do m iejsc o n iżs z e j zw iązane je s t ono z makroskopowym ruchem c ieczy i za c h o d zi także w cieczy nieruchomej. Aby uw zględnić przewodnictwo cieplne rozw ażm y prawo zachow ania energii w ośrodku lepkim . D ość długim rachun* Astrofizyka relatywistyczna. II 335 kiem, korzystając z równań ruchu, równania c ią g ło ś c i oraz tożsam ości ter- 3 modynamicznej de = Tds -p<f I— ), można pokazać, że { - Ą p *2 + PE] = - Pvi ^ + l f j + 2r\vka ki + i vi QJ.i + (20) + 2rPki aki + lQ 1 - P vi'P>i > gdzie e oznacza energię wewnętrzną jednostki objętości. G ęstość strumienia energii w ośrodku lepkim je s t zatem dana przez wyrażenie: p»i +y J + 2n vk Oki + i viQ - (21^ Przewodnictwo cieplne spowoduje wystąpienie w g ę s to śc i strumienia energii, dodatkowego wyrazu związanego ze strumieniem ciepła qi> Strumień ciepła ęj związany je s t ze zmianami temperatury w ośrodku. J e ż e li różnice temperatur nie s ą zbyt duże, przyjmuje s i ę , że: qi--«TH, (22) gdzie k je s t współczynnikiem przewodnictwa cieplnego. J e s t on zaw sze do datni. Widać to już bezpośrednio z tego, że strumień energii powinien być skierowany z obszarów o w yższej do obszarów o n iższej temperaturze, tj. qi i T ti powinny być przeciwnie skierowane. Współczynnik k na ogól zależy od temperatury i ciśnienia. W ten sp o só b całkowita g ę s t o ś ć strumienia energii w ośrodku, przy uwzględnieniu lepkości i przewodnictwa cieplnego, równa je s t sumie: (h + y j + 2r\vk %,■ + £t;,0 -k T ,,-. (23) Odpowiednio do tego ogólne prawo zachowania energii wyraża s ię równa niem: ( 24 ) + 2tF * ; ak i + E0 * i f 336 M. Dem iański które można, korzystając z równań ruchu oraz tożsamości termodynamicznych, zapisać w postaci: p T (jf +*:'* "*) =2t1CT‘*C T ‘* + 02+(K T ’ <) ’ i • (25) Zw iązek ten posiada jasny sens fizyczny. Lewa strona równości, którą ds można zapisać jako pT — reprezentuje ilość ciepła otrzymaną przez jedno stkę objętości w jednostce czasu. Pierwsze dwa wyrazy prawej strony przed stawiają energię dyssypowaną w postaci ciepła dzięki lepkości, a ostatni — ciepło przenoszone do rozpatrywanej objętości za pośrednictwem przewo dnictwa cieplnego. W rezultacie nieodwracalnych procesów przewodnictwa cieplnego i tarcia wewnętrznego entropia ośrodka wzrasta. W szczególnej i ogólnej teorii względności ruch ośrodka opisujemy w czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Każdy element ośrodka zakreślać-będzie w czasoprzestrzeni linię świata — odpowiednik toru w przestrzeni euklidesowej. Opisywać ją będziemy podając zależność współrzędnych w czasoprze strzeni od czasu własnego xa = xa Cs), gdzie a i inne wskaźniki greckie prze biegać będą wartości 0, 1, 2, 3. Wektor styczny do lin ii świata: (26) as nazywać będziemy czterowektórem prędkości. Zauważmy, że cząstka spoczy wająca w trójwymiarowym euklidesowym sensie w czasoprzestrzeni poruszać się będzie z czteroprędkością u° = (1, 0, 0, 0). Składowe czterowektora pręd kości nie są niezależne i jak wynika z definicji: S a p u° ^ “ ot = (2 gdzie g a p (*P) jest tensorem metrycznym w czasoprzestrzeni o sygnaturze (+, —, —, -). W czasoprzestrzeni Winkowskiego sparametryzowanej przez kartezjańskie współrzędne można podać związek pomiędzy składowymi trójwy miarowej prędkości v^ a składowymi wektora czteroprędkości u®. Mamy bowiem: A s t r o f i z y k a r e l a t y w i s t y c z n a . II 337 Z w iązki te s t a j ą s ię bardziej skomplikowane w krzywej c z a so p rz es trz e n i. Wektor c z te ro p rzy s p iesz e n ia określamy analog icznie jak w mechanice jako pochodną cz teroprędkości po c z a s ie własnym: j,. a a“ = - g - = . (29) Ja k łatw o spraw d zić, czterowektor p rz y sp ie sz e n ia j e s t prostopadły do k ie runku czterop rędk ości, tzn.: ua a a= 0. (3 0 ) L in ię św iata charakteryzu jącą s ię tym, że jej cz te ro przy spiesz e nie znika, nazywamy lin ią geodezyjną. P o s ia d a ona ciekaw e w ła sn o śc i, wzdłuż takiej linii wektor cztero pręd ko ści j e s t przesuwany równolegle. J e s t to również najk ró tsz a linia łą c z ą c a niezbyt od s ie b ie odległe punkty. Zajmijmy s ię obecnie ruchem ośrodka w c z a s o p rz es trz e n i. Każdemu e le mentowi ośroaka odpowiadać będzie w c z a so p rz e s trz e n i linia ś w ia ta . Pow ia dać będziemy, że ośrodek wypełniać będzie pewien obszar w c z a so p rz e s trz e n i, je ż e li przez każdy punkt z tego obszaru przechodzić będzie dokładnie jedna linia ś w ia ta . Rodzinę linii ś w ia ta o tej w ła sn o ś c i nazywać będziemy kongrue n c ją . A nalogicznie jak w przypadku klasycznym interesow ać s i ę będziemy ruchem są s ie d n ic h elementów ośrodka. Niech * a (ya, s ) opisuje kongruencję linii św ia ta , gdzie y a o znacza zbiór parametrów numerujących linie. Względne dxa położenie 6 * “ = x a {ya + 5 y a, s) - x a (ya, s ) = ------ 6 y ° sp e łn ia an alogicznie d y° jak w przypadku trójwymiarowym równanie propagacyjne: ds ’ P (31) Aby zdefiniować w ielkość s p e łn ia ją c ą rolę trójwymiarowego wektora po ło ż e n ia względnego wprowadzimy operator rzutowy A a ^= 5 a ^ - uau $ na lokalną trójwymiarową p ła sz c zy z n ę p ro sto p a d łą do ua i tak: A < y p = 0, A y P y = A“y . (32) Rzut prostopadły wektora p rzem ieszczen ia: t j j * 01 = A a|}5%P 5 — P o stę p y A stronom ii z. 4 (33) 338 M. D em iański R ys. 2. Względne p oło żenie w c z a s o p r z e s tr z e n i dwóch elem entów ośrodka j e s t w ektorem p o ło ż e n ia w z g lę d n e g o e le m e n tu •f' + 6 y° i y°. P r ę d k o ś ć w z g lę d na j e s t zatem d a n a p rz e z : (34) co ja k ła tw o s p r a w d z ić można z a p i s a ć w ró w n o w a ż n e j p o s t a c i ja k o : i / ° = i P ; p h £ S * P = B ® p 5A* P . (35) P o d o b n ie ja k w k l a s y c z n e j hydro d y n am ice t e n s o r p r z e s u n ię ć u “ p h ^ p r o z łożym y na n ie p rz y w ie d ln e s k ła d n ik i: A s tr o fiz y k a rela ty w is tyczn a . I I 339 Infinitezimalna transform acja, której podlega wektor w zględnego p rz e su n ięc ia 5j.%a w c z a s ie własnym ds sk ła d a s ię zatem z obrotu coap 6^*^, od k s z ta łc e n ia cjap (bez obrotu i zmiany objętości) oraz transform acji po- dobieństwa-^-0 6x* a . ó T e n s o r obrotu coQp , tensor o d k sz ta łc eń CTa jj i sk a la r e k sp a n sji 0 dane s ą przez: w afł = w[a,-p] - “ [a = u ( a ;p ) - “(a u|3) - J 0 Aap> ^ © = u“ ;a , gdzie ua = ua .p uP. P ró c z © można dodatkowo wprowadzić charaktery zu jące ruch ośrodka: n a s tę p u ją ce w ie lko ści skalarne ua = - ua ua, co1 = “ coa Pcoa p i a J = i <Tap cja P. (39) P rz y pomocy tych w ie lko śc i możemy klasyfikować ruchy ośrodka. Ruch będziem y nazywali swobodnym lub inercjalnym , gdy u = 0, bezwirowym, gdy co = 0, a zachowującym o b ję to ść , gdy 0 = 0. J e ż e li ośrodek porusza s i ę tak, że a = 0, to ruch taki nazywać będziemy ruchem bez o dk sz ta łc e ń (ciało może tylk o izotropowo kurczyć się lub ro z s z e r z a ć ) . Gdy p odczas ruchu zachowana j e s t objętość i odległość pomiędzy cząstka m i ośrodka, to ruch ta k i nazywać będziemy ruchem sztywnym. Charakteryzuje s i ę on znikaniem 0 i a. P r z y s p ie s z e n ie względne s ą s ie d n ic h elementów ośrodka definiujemy jako rzut prostopadły do kierunku prędkości u a prędkości względnej: . a“ - AL a V 3 7 . (40) K orz ystają c z d efinicji v a oraz biorąc pod uwagę fakt, że teraz pochodne kowariantne nie s ą przem ienne, lecz sp e łn ia ją zw iązek “ a ;|};p - = u 6 R5app otrzymujemy: ua,p;|3 = 340 M. Demiański aa = (- /?aj} y 5 u$ u5 + Aa p «P;y - iia Uy) 8±xY. (41) W ielkości kinematyczne opisujące ruch substratu nie s ą niezależne, lecz sp e łniają szereg tożsamości różniczkowych, w kto're wchodzi metryka czaso przestrzeni i tensor Riemanna. Szczególnie interesujący jest wzór propagacyjny na skalar ekspansji 0 : 0 = - | © J + 2 (WJ - er2) + u “ .a - Kap ua (42) P gdzie Ra p = R opp > który odgrywa bardzo w ażną rolę przy analizie ruchu ośrodka w modelach kosmologicznych. Jednym z najważniejszych zadań, przed którym obecnie stoimy, jest opi sanie własności materii będącej źródłem pola grawitacyjnego. Prócz kinema tycznych parametrów, takich jak czteroprędkość i przyspieszenie, do pełnego opisu ruchu materii trzeba będzie podać np. rozkład gęstości i ciśnienia. Uwa ża jąc materię za ośrodek ciągły można to zrobić podając tensor energii pę du. Budujemy go w sposób następujący: strumień pędu przez element powierz chni ciała jest po prostu d zia ła jąc ą na ten element s iłą , a zatem s ił ą d zia ła jąc ą na element powierzchni d d'lP jest l Przyjmiemy, że w układzie, w któ rym element ten spoczywa, słuszne jest prawo P ascala, tzn. ciśnienie d zia łające na dany element jest takie same we wszystkich kierunkach i jest skie rowane prostopadle do płaszczyzny, na którą działa. Czasam i, szczególnie w rozważaniach kosmologicznych, przyjmować będziemy, że ciśnienie jest anizotropowe i wartość jego w różnych kierunkach będzie różna. Wyliczając układ odniesienia tak, aby poruszał się wraz z materią i był jednocześnie układem własnym tensora naprężeń t a f, otrzymamy ta i dl** = p (a ) d 1 a (nie sumo wać po wskaźniku a). Zakładając, że słuszne jest prawo Pascala, będziemy m ieli ta )} d 1 b = p d l a. W układzie poruszającym się wraz z materią składowe Toa reprezentujące gęstość strumienia energii s ą równe zeru. Składowa T 00 jest gęstością energii układu, który zapiszemy w postaci p(c2 + e), gdzie p c1 oznaczać będzie gęstość energii masy spoczynkowej, a p e jest gęstością energii wewnętrznej. Otrzy maliśmy w ten sposób postać tensora energii pędu w układzie własnym daną przez: 341 A s tr o fi z y k a rela ty w is ty c zn a . U Znajdziem y teraz łatw o ogólne wyrażenie na te n so r energii pędu T a $ żądając b y przyjmował on postać (43) w układzie poruszającym s ię wraz z materią, t z n . wówczas gdy czterow ektor prędkości sprowadza się do u a = (1, 0, 0, 0). Ja k bez trudu można się przekonać, w dowolnym układzie w spółrzędnych tensor energii pędu je s t określony przez: TaP> = p ^c 2 + e + -^j u a b P - p g “ P . (44) Na to, aby tensor energii pędu 7 a Popisy w ał zachowanie s i ę materii bę dą c e j źródłem pola graw itacyjnego potrzeba, aby diw ergencja tego tenso ra znikała: r a P.p - 0, (45) j e s t to bowiem warunek c ałko w aln ości równań E in s te in a . Zw iązki te s ą bardzo w a ż n e , gdyż s ą w nich zawarte równania ruchu. Uzupełnimy je z a s a d ą zacho wania liczby c z ą s te k . J e ż e li przez n oznaczymy gę sto ść liczby c z ą s t e k , wów c z a s przyjmuje ona postać: (nua).a = 0, (46) c o można również z a p isa ć w p o sta c i równania c ią g ło ś c i dla g ę s to ś c i masy spoczynkowej (pua ) ; a = 0 . (47) Równania (45) zapiszem y, rzutując je na kierunek prędkości ua i kierunek prostopadły. W pierwszym przypadku otrzymujemy: p ic * + e + -E- ] ua ■a — p,r» a u a = 0. (48) K o rzystając z równania c ią g ło śc i zw iązek ten możemy z a p isa ć w równo ważnej p o sta c i, jako: pua Przypomnijmy, że h = Ic 2 + e +— , a P/ P P’a = 0. (49) e + — j e s t e n ta lp ią na je d no stkę masy, która spełn ia 342 M. D em iański tożsamość termodynamiczną dh = Td + — dp, gdzie T jest temperaturą, a s entropią na jednostkę masy spoczynkowej. Korzystając z tego związku, możemy przekształcić równanie (49) i zapisać prościej w postaci: ' (5°) i używając znowu równania ciągłości (47) otrzymujemy związek: («»«)• a-.O, wyrażający (51) zasadę ciągłości strumienia entropii. Równanie to oznacza, że ruch jest adiabatyczny, tzn. entropia zachowuje sta łą wartość wzdłuż lin ii świata cząstek. Wynik ten nie jest zaskakujący, gdyż tensor energii pędu, którego tu używamy, nie uwzględnia procesów tarcia wewnętrznego i prze wodnictwa cieplnego, tj. opisuje ruch cieczy doskonałej. Rzutując równania = 0 na kierunek prostopadły otrzymujemy: A<xp 7p P,-p = P (c2 + e Ua;p ^ - ha P P.p , <52) czyli Pi°2+t +Pjo) “a= (53) W ogólnym przypadku element ośrodka nie będzie się poruszał po geode zyjnej, a jego przyspieszenie powiązane będzie z gradientem ciśnienia zw iąz kiem (53). Ruch będzie swobodny tylko wówczas, gdy ciśnienie znika lub gdy gradient ciśnienia jest skierowany zgodnie z prędkością cząstki. Z taką sytua c ją spotykamy się w jednorodnych i izotropowych modelach kosmologicznych. Zanim przejdziemy do dyskusji relatywistycznych procesów dyssypacyj- nych zastanówmy się nad metodami opisu ruchu rotacyjnego ośrodka, wpro wadzimy w tym celu antysymetryczny tensor v = (Hup ) .v — który nazywać będziemy tensorem wirów, gdzie H = 1 +^Th. Z tensorem wirów można powiązać wektor wirów: wa=l ^ f EaPy5u[r.5]“ P (54) > Astrofizyka relatywistyczna. II 343 bowiem zachodzi związek: (55) Zauważmy, że zgodnie z definicją co° ua = 0, a więc wektor wirów jest prostopadły do kierunku prędkości. Jak można się łatwo przekonać, znikanie wektora wirów coa prowadzi do znikania tensora obrotu C0pV, a więc do ruchu bezwirowego. staci: Tensor wirów można również przedstawić w następującej po Q u v = / / y r i e a m v “ T “ CT+ T S ;V u \x~ T S ; \ i u v * (56 ) Ja k widać zatem z wzorów (55) i (56), P | jv = wtedy i tylko wtedy, gdy ruch jest bezwirowy (coa = 0) i isentropowy (s = const.). Tensor Q y v odgrywa w hydrodynamice relatywistycznej rolę rotacji prędkości. W granicy małych prędkości mamy S p v -* r° ł -» Poza tym, podobnie jak w hydrodynamice klasyczc nej rot v, związane jest z cyrkulacją prędkości. Przypomnijmy, żę w przy padku nierelatywistycznym cyrkulacja prędkości T równa jest: r { ł)= fS d 7 , gdzie się (57) całkowanie bdbywa się po dowolnej krzywej zamkniętej poruszającej wraz z ośrodkiem. Łatw o widać, że T = 0 , wtedy i tylko wtedy, gdy rot v = 0. Relatywistycznym odpowiednikiem C (s) = cyrkulacji f 2H u „ z a d-T, ii ° ’ prędkości jest wielkość: (58) przy czym całkowanie odbywa się po zamkniętej lin ii poruszającej się wraz z ośrodkiem (w lokalnych współrzędnych (y°* s), gdzie s jest czasem własnym, można ją przedstawić przy pomocy równania y a = ya (t), y a (Tj) = y a ( T j ) ) , a z a je s t wektorem stycznym do tej lin ii. Można pokazać, że C — 0, wtedy i tylko wtedy, gdy Q = 0. Jak wiadomo ~ 0, wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równanie p = p(f&, a więc praktycznie rzecz biorąc, gdy ciecz jest izentropowa. W teorii względności mamy sytuację analogiczną: 344 M. Demiański a więc -j j = O, wtedy i tylko wted^ , gdy p - p(p). Tak więc na ogół ruch bez- wirowy jest możliwy tylko przy stałej entropii. Procesy dyssypacyjne uwzględnia się przez wprowadzenie dodatkowych wyrazów do tensora energii pędu. Rozważania prowadzić będziemy w układzie poruszającym się wraz z wybranym elementem ośrodka. W takim układzie znika strumień cząstek, ale występować będzie strumień energii q a. Tensor energii pędu będzie miał postać: Ta$ = p (c2 + e + P/p) ua u ^ - p q a^ - 2U(<V ) + TaP, (60) przy czym ę a ua = 0 i Ta ^up = 0. Równania ruchu, które otrzymujemy z 2raP>p = 0 mają postać: [p (c2 + e)], a ua + p (c 2 + e + P/p) 0 + q P p (cJ + e + p /pj + u a q a + u „ TaP.p = 0 (61) ua + ha P (qp - p,p + TpP;p) + (coa p + cfp) q& + |-09a =0(62) Równanie (61) można zapisać w równoważnej postaci jako: (su* + = L “ [ ia - t f » D ta] + J ua;pTa P, (63) skąd widzimy, że s u a + y ; q a jest strumieniem gęstości entropii. Postać wektora q a oraz tensora T°P znajdziemy, żądając aby entropia rozpatrywanego elementu nie m alała, innymi słowy, aby prawa strona równania (62) była nieujemna. Dodatkowo wymagać będziemy, aby t “ P zbudowany był liniowo z pochodnych wektora czteroprędkości. Łatwo sprawdzić, że: q* = — (7*,p - T u j (64) oraz Ta|3 = 2lF ap + t Q h aę> (65) 345 A s tr o fi z y k a re la ty w is ty c zn a . II s p e ł n i a j ą w sz y stk ie nałożone na nie ograniczenia. J a k poprzednio r| i £ s ą współczynnikami lepkości a k j e s t współczynnikiem przewodnictwa cieplnego. W ogólnym przypadku w spółczynniki lepk ości i przewodnictwo cieplne z a l e ż ą od c iśn ie n ia i g ę s to ś c i masy spoczynkowej. Porównując te wzory z odpowiednimi wzorami klasycznymi widzimy, że p rocesy tarcia wewnętrznego uwzględnia s i ę przez dodanie do tensora energii pędu analogicznych członów, natom iast strumień c ie p ła , który w klasycznym przypadku z a le ż a ł tylko od g ra d ie n tu temperatury w relatywistycznym przy padku z ale ż y również od p rz y sp ie sz e n ia względnego. P rz ed sta w io n e tu fenomenologiczne podejście do opisu procesów dyssypacyjnych posiada jedną bardzo poważną s ł a b ą stro nę, mianowicie — dla dane go typu ośrodka trzeba zadać z a le ż n o ś c i współczynników lep k o śc i i prze wodnictwa cieplnego od p i p. Dopiero re laty w isty c z n a teoria kinetyczna i równanie transportu p o z w ala ją na konsekwentne opisanie procesów dyssypacyjnych. DODATEK F a le uderzeniowe* Uwzględnienie rzecz y w isty ch efektów d yssypacyjnych w przepływach c i e c z y wprowadza na ogół olbrzymie komplikacje matematyczne. Na s z c z ę ś c ie istn ie je wiele takich procesów, w których d y ssy p a c ja zachodzi tylko w cien kich w arstw ach su b stra tu . Jak wiadomo w hydrodynamice można wtedy z dosko nałym przybliżeniem obszar d y s sy p a c ji przestaw ić jako powierzchnię nie ciągłości w cie c z y dosk on ałej, inaczej mówiąc — jako falę uderzeniową. Pokażemy te r a z , iż w teorii v\»zględności zachodzi sy tu a c ja ana lo g ic z n a. Zaznaczm y je s z c z e przedtem, że relatyw isty czn e fale uderzeniowe mogą pow sta w a ć w trakcie graw itacyjnego za p a d an ia, przy a k re c j' materii przez gwiazdę neutronową lub c z a rn ą jamę, a także prawdopodobnie we w czesny ch eta pa c h ewolucji W szechświata. D a ls z e n a sz e wywody o p ie ra ją s ię na pracach T a u b a (1948, 1959). Rozpatrzmy jednowymiarowy, izentropowy ruch c ie c z y doskonałej w s z c z e gólnej teorii w zględności. Załóżmy, ze ruch odbywa s i ę w kierunku o si x l , tak więc w sz y stk ie w ie lk o ś c i fizyczne s ą funkcjami tylko x l = x i x° = ct. Wzór (28) przyjmuje wtedy postać: U°= ---i-- ; (1 - u*)* gdzie u v l = v; v 2 = v, = 0. * Tę c z ę ś ć n a p i s a ł J . P . L a s o t a . , (1 - U 2)X (66) 346 M. D emiański Z równań (47) i (48) otrzymujemy: pu 1 d c d t \(1 - „ O * ; dx V (1 - u2) H g g U P ' ' ' ,,).,, c d t \ l - u2 / (67) d x \ 1 - u2 Wprowadzimy dwie nowe w ielkości: (68) J a k łatwo sp raw d zić, dla małych p r ę d k o ś c i ! ---- » Oj a ap , a więc a j e s t wtedy p rę d k o ś c ią dźwięku w ciec z y . K orzystając z pierw szego prawa termodynamiki można pokazać, że: dp (69) \ d( p( c2 + e ))y J a k zobaczymy dalej a j e s t re la ty w is ty c z n ą pręd k o ścią dźwięku. P o s łu g u ją c s i ę wielkościam i a i \ równania (67) przedstawimy w n a stę p u jąc e j postaci: D+ u + (1 - u2) \ = 0, (70) D_ u + (1 - u J) D_ A= 0, gdzie operatorzy D+ i £L równe są: (71) D± = (1 t o u ) i ± (a ± u)-^- . dx c dt D± u K o rz y sta ją c z r ó w n o ś c i ą ------ ; = D± In 1- fl + u\ % ( - ------- j przedstawimy równanie u2 (70) jako: (1 - u2) D+ = 0, ( 72 ) 347 A s t r o f i z y k a r e l a t ywi s t y czn a . II (1 - u 2) D_ (72) = 0. Zdefiniujemy teraz dwie w ie lko śc i r i s będące relatywistycznymi odpo wiednikami parametrów Riemanna (r = L + v, s = L - v): 1+ u I- u ’ (73) s = \ - \ n l L1 ±+ u - u Mamy zatem: (74) D+ r - 0, D_ s = 0, a +u jy > dx _ cc u * . dx a wiec r ie s t s ta łe wzdłuż linii - — ---, , - a - s wzdłuz — , — ---------; tak więc * J dt 1 + au iii dx 1-aii t ' przedstaw ia re la ty w isty c z n ą sumę (różnicę) prędkości ośrodka i prędkości dźwięku. F a la m i biegnącymi nazywamy zabu rzenia, dla których s ta łe s ą r lub s . Załóżmy, że s = Aq = c o n st, (fala biegnąca w prawo), wtedy z (73) wynika że: (75) u = ł h(A - A0), a z pierwszego z równań (74) mamy: X d^ rpł 77t ■ gdzie r(X) = a +u 1 + au dA « ~dx= (76) a + th (A - Aq) i-------- ttt— — ; , a a = a(A) zgodnie z (68). 1 + a th (A - Ao) ° Ogólnym rozw iązaniem równania t ania (76) j e s t: * - T M c t = /(A), (77) gdzie f ( h ) j e s t dowolną funkcją w y zn aczon ą przez warunki brzegowe. Dla małych zaburzeń u -» 0, a więc wtedy T ( \ ) -* a i otrzymujemy liniow ą falę dź w ię k o w ą b ie g n ą c ą z pręd k o śc ią ac = a. T a k więc a j e s t p rę d k o śc ią dźwięku m ierzoną w je d no stka c h prędkości św ia tła . Rozw iązanie (77) p okazuje, że 348 M. D e m ia ń ski A jest stałe wzdłuż lin ii prostych o nachyleniu T{A) leżących w płaszczyźnie *, t. Dla pewnych funkcji /(A) (np. gdy jak to na ogół bywa T(X) rośnie wraz z A, weźmiemy takie /, że < 0) linie te będą się przecinać. Ponieważ jest to fizycznie niemożliwe, więc w pewnych warunkach nie może zachodzić nieogra niczony, ciągły, jednowymiarowy ruch izentropowy. Podobnie jak w hydro dynamice klasycznej tak i tutaj sytuacja taka powstaje podczas ruchu zagęsz czenia. Powstaje nieciągłos'ć, którą interpretujemy jako falę uderzeniową. Można podać argumenty (T a u b 1956) przemawiające za tym, że podobne zjawiska zachodzą również w ogólnej teorii względności. Określmy teraz warunki, jakie m uszą zachodzić na powierzchni fa li uderze niowej. Na powierzchni tej skokowo zm ieniają się takie w ielkości jak, p, u2, r a P, ale prawa zachowania liczby cząstek, energii i pędu muszą być oczywiście nadal spełnione. Można pokazać, że przyjmują one na powierzchni nieciągłości następującą postać: [p u“ /Va ] = 0 , (78) [ 7**P TVjjJ =0, gdzie Na jest jednostkowym wektorem normalnym do powierzchni fali (A'a Na = “ 1), poza tym użyliśmy oznaczenia: [f\ = lim [/ (* n- e £>*) - / (* “ + e £»*)] = {_ — / +, e ■* o gdzie x ^ są współrzędnymi punktów na powierzchni fali, a ^ są dowolne. Zakładamy dalej, że wielkości ze znakiem minus opisują stan ośrodka znajdu jącego się przed fa lą uderzeniową, a w ielkości ze znakiem plus stan ośrodka po przejściu tej fali. Warunek A/a N a = “ 1, który oznacza, że fala uderzeniowa porusza się z prędkością m niejszą od prędkości św iatła, będzie spełniony, gdy zachodzi: (^), >0, (t)p>0'(^>.<H' Ostatni warunek (79) oznacza, że <79’ prędkość dźwięku jest mniejsza od prędkości światła (patrz (68)). Równanie (78) można zapisać w postaci: 349 Astrofizyka relatywistyczna. II 7 =p+ < Na = p_ u _ ° N a , (80) — (//+ u + ° - //_ u_°) = (p +- p_). c c Dla fali uderzeniowej m t 0. Gdy m = 0, mamy do czynienia z tzw. skokiem gęstości. A zatem na powierzchni fali uderzeniowej składowa styczna wektora jest ciągła, a składowa normalna ma skok. Równania (80) można sprowadzić do postaci: „ 1 / 7/+ h\ //+° - //_“ = — (P+ - p-)(— ---- , c \P + P-/ (81) Są to relatywistyczne równania Renkina-Hugoniota. W przybliżeniu nie- relatywistycznym pierwsze z równań (81) wyznacza tzw. adiabatę Hugoniota — przy zadanych p_ i p_ określa ono zależność między p + i p +. W teorii względ ności mamy jak widać analogiczną sytuację. Pamiętać należy przy tym, że w obecności fali uderzeniowej entropia nie jest zachowana i trzeba uwzględniać warunek nieodwracalności > s_. Gdy wektor W nie jest stały w czaso przestrzeni mówimy, że mamy do czynienia z falą uderzeniową o zmiennym natężeniu. Dla takich fal zachodzi interesujące zjawisko: załóżmy, że przed czołem fali o zmiennym natężeniu u^, p_ i p _ s ą stałe, a więc R^ v = 0. Gdyby zachodziło również R *v = 0, to po przejściu fali przepływ byłby zarówno bezwirowy jak i izentropowy. Tymczasem zmienne natężenie fali uderzeniowej powoduje, że skok entropii na jej powierzchni zależy od punktu, a zatem przepływ po jej przejściu nie może być izentropowy. Skoro tak, to =£ 0. A zatem również i cyrkulacja C , znikająca przed fa lą uderzeniową, będzie różna od zera za nią. Je że li rozpatrywany ośrodek jest istotnym źródłem pola grawitacyjnego, to fale uderzeniowe powodują powstawanie nieciągłości również w pierwszych pochodnych tensora metrycznego ( T a u b 1957). 350 M. Demiański LITERATURA L. L. J. A. G. A. A. A. L a n d a u , E. L i f s z i c, 1958, Mechanika ośrodków ciągłych, PWN. L a n d a u , E. L i f s z i c , 1958, Teoria pola, PWN. E h 1e r s, 1961. Akad. Wiss. Mainnz, Nr 11. R a y c h a u d h u r i, 1955, Phys. Rev. 98,1123, F. R. E l l is , 1971, Relativistic Cosmology, Corso X LVII, Varenna. H. Ta u b , 1948, Phys. Rev. 74, 328. H. Ta u b , 1959, Arch. Rac. Mech. Ann. 3, 319. H. T a u b , 1957, 111. Math. J. 1, 370. Z PRACOWNI I OBSERWATORIÓW POSTĘPY ASTRONOMII T om X X (1972). Zeszyt 4 ROTACJA GWIAZD W UKŁADACH PODWÓJNYCH S. L. PIOTROWSKI, S. M. RUCINSKI Obserwatorium Astronomiczne Uniwersytetu Warszawskiego (Otrzymano dn. 29. IV . 1972 r.) Streszczenie — Redyskusja pracy N a r i a i e g o (Publ. Astr. Soc. Japan 23,529 (1971)) wykazuje, że wyraźną, zależność paramteru asynchronizmu V / V od okresu obiegu układów podwójnych typów BOV-A3V można najłatw iej wytłumaczyc przez fakt, że prędkość rotacji V jest stała w ramach każdego z dowolnie wprowadzo nych podgrup typów widmowych; w każdej z podgrup (z wyjątkiem B0V-B3V) prędkość rotacji gwiazd w układach podwójnych (z włączeniem rotujących w synchronizmie z obiegiem) jest m niejsza od prędkości r o ta c ji gwiazd pojedynczych. BPAIUEHME 3BE3A B ABOMHblX CMCTEMAX C. JI. rieTpoBCKM, C. M. P y u HHbCKH. Coflep>KaHHe - MccJieflOBamie paóoTbi N a r i a i (Publ. Astr. Soc. Japan 23, 529 (1971)) yKa3biBaer, m to HBHyio 3aBMCWM0CTb napaMeTpa cMHxpoHM3Ma V/ Fchh ot nepnofla o ó o p o T a aboKhmx cwcTeM Twia B0V-A3V mo>kho J ie rq e Bcero o6i>flCHMTb TeM, qTo CKopocTb V ecTb noCTOsiHHoii b paM K ax Ka*floro cneKTpajibHoro Tuna cpeflM npcw3B0flbH0 bbofleHHbix noflrpynn 3Thx tmiiob. B KajKfloft noflrpynne ( MCKJiKmas B0V-B3V) CKopocTb BpameHMH 3 B e 3 fl B flBOMHblX C H C T e M ax ( BKJUOqafl BpameHMe CMHXpOHHOe C OÓpameHMeM) M eHbllie CKOpOCTM BpameHMS OflMHOHHblX 3 B e 3 fl. T H E ROTATION O F STARS IN BINARY SYSTEMS. of the paper by N a r i a i Abstract - Rediscussion (P ubl. Astr. Soc. Japan 23,529 (1972)) shows that the apparent dependence of the asynchronism parameter ^ / ^ syn on orb ital period for BOV-A3V binaries can be most easily explained by alm ost constant rotational velocities V for each of the four arbitrarily introduced spectral subgroups; in each subgroup (except BOV-B3V) the rotational velocities of stars in binary systems (inlcuding those rotating at synchronism) are smaller that those of single stars. Problem prędkości rotacji składników ma duże znaczenie w w yjaśnieniu tworzenia się układów podwójnych i ich dalszej ew olucji. Jedną, z ostatnich prac dotyczących tego zagadnienia jest dyskusja N a r i a i e g o (1971) parametru asynchronizmu (zdefinio wanego jako stosunek prędkości rotacji gwiazdy V do prędkości rotacji synchronicznej [ 351] 352 Z pracow ni i o b serw a toriów P R y s . 1. Je d e n z rysunków z pracy N a r i a i e g o (jego F ig . 6) p rzedstaw iający zale żno ść l V K Syn (symbole wypełnione) lub V s in i/ V (symbole puste) od okresu (w dniach); naniesione s\ w szystkie dyskutowane przez niego układy podgrup BO-B3 (kołka) i B4-B7 (trójkąty) z obiegiem Pgyn) jako funkcji okresu obiegu. Rozpatruje on tylko główne (jaśniejsze) składniki układów podwójnych na ciągu głównym w zakresie typów widmowych BOV-A3V. Dla części z nich na podstawie obserwowanej z poszerzenia lin ii widmowych wartości Fsint wyznacza prędkość rotacji przy znajomości nachylenia orbity. Jest to możliwe wówczas, gdy gwiazda należy do układu zaćmieniowego, albo gdy widocz ność linii obu składników pozwala na oszacowanie nachylenia przy założeniu, iż masy gwiazd odpowiadają obserwowanym typom widmowym; dla części układów sta tystyka dotyczy po prostu Ksini, które daje dolne ograniczenie na V. On I *0 •T3 s a O 2 R y s . 2. P rę d k o śc i r o ta c ji V i synchronizmu V ayn dla sk ład ników głównych układów podwójnych z z a k r esu typów widmowych B 0 - A 3 . Grupy po dział u wg typów widmowych pod aje legenda rysunku* Symbole p u ste o d n o s z ą s i ę do K sint (z am iast p ręd kośc i rotacji V) ocen ioneg o z s z e r o k o s c i linii dla gw iazd o niewyznaczalnym nachyleniu orbity* Średnie p r ę d k o śc i rotacji g w iazd podwójnych (D) na pod sta w ie użyte go materiału i poje dy nczy ch (S) wg S l e t t e b a k a (1 9 63 ) podane s ą na prawym m arginesie Z pracowni i obserwatoriów 354 K onkluzją pracy jest wniosek, że dla gwiazd ciągu głównego omawianego zakresu typów widmowych synchronizm rotacji w zasadzie nie występuje (z wyjątkiem gwiazd 0 najkrótszych okresach. W poniższej notatce chcielibyśmy zwrócić uwagę na dwa nie wspomniane w pracy fakty: 1. Liniow y bieg parametru asynchronizmu K /F Syn w funkcji okresu P dla dłuższych okresów na publikowanych w pracy rysunkach (rys. 1) jest prawdopodobnie wynikiem w przybliżeniu jednakowej prędkości rotacji składników danego typu widmowego, bez względu na naturę układu podwójnego, do którego należą; omawiana zale żność pojawia s ię w sposób sztuczny przez oczywisty związek prędkości synchronicznej od okresu obiegu. 2. Prędkości rotacji składników w układach podwójnych (niezależnie od stopnia synchronizmu) s ą poza podgrupą B0-B3 mniejsze niż prędkości rotacji gwiazd poje dynczych tego samego typu widmowego. Jest to wniosek zgodny z konkluzją P l a v e c a (1970) opartą na starszym i uboższym materiale. Aby lepiej zilustrować omawiane zw iązki, na rys. 2 przedstawiona została zależ* ność prędkości rotacji' V od prędkości synchronicznej ^ Syn . Dla gwiazd nie występu jących w układach zaćmieniowych lub o widocznych liniach tylko jednego składnika naniesione wartości Ksini dają dolne ograniczenie na V. Materiał podzielono na cztery podgrupy typów widmowych: BO-B3, B4-B7, B8-B9.5, AO-A3. Symbolami wypełnionymi zaznaczono prędkości rotacji V, zaś symbole otwarte podają wartości F sini dla gwiazd, dla których wyznaczenie nachylenia orbity nie jest możliwe. Jednokrotne podkreślenie oznacza układy o okresie P ^ 5^, dwukrotne podkreślenie: P ^ 20^. Naniesiono też lin ię V = ^ syn oraz lin ie prędkości odpowiadające 5- i 20-krotnej wielokrotności ^syn • Na prawym marginesie strzałkam i zaznaczone s ą średnie wartości V dla rozważanych podgrup typu widmowego gwiazd w układach podwójnych z zestawienia N a r i a i e g o ( D — lin ie ciągłe) i pojedynczych wg S l e t t e b a k a (1963) (S — linie przerywane). Z rys. 2 wynika, że prędkości rotacji składników s ą w ramach pewnego rozrzutu stałe dla danej podgrupy typu widmowego, obejmując gwiazdy z rotacją zsynchronizo w aną z obiegiem; rotacja tych gwiazd jest wyraźnie, mniej więcej o czynnik 2 lub 3, w olniejsza n iż gwiazd pojedynczych (z wyłączeniem podgrupy BO-B3). Porównanie średnich prędkości rotacji V (dla gwiazd zaćmieniowych lub z podwój nymi liniam i w widmach) w obrębie podgrup typu widmowego z wartościami dla gwiazd pojedynczych wg S l e t t e b a k a (1963) zawiera tab. 1. Trzecia kolumna tabeli podaje ilo ść gwiazd każdej podgrupy w zestawieniu N a r i a i e g o . Efekt w olniejszej rotacji gwiazd w układach podwójnych jest zapewne realny 1 nie jest wynikiem np. ewentualnej korelacji okresu obiegu z typem widmowym, która mogłaby modyfikować położenie gwiazd na rys. 2 w pobliżu prostej V = ^ Syn- Funkcja gęstości rozkładu okresów orbitalnych sporządzona na podstawie tego samego materia łu Nariaiego (rys. 3), z włączeniem układów, dla których znamy jedynie Ksim nie wykazuje istotnych różnic pomiędzy pierwszą grupą BO-B3 (42 gwiazdy), a ostatnią grupą AO-A3 (20 gwiazd); w szczególności rozkłady te urywają się przy tych samych mniej więcej najkrótszych okresach (1,12 dnia dla pierwszej, 1,20 dnia dla ostatniej). Wydaje się , że podane powyżej przypuszczenia, o ile poparte większym materiałem obserwacyjnym, mogłyby mieć pewne znaczenie w wytłumaczeniu tworzenia s ię i wczes nych faz ew olucji układów podwójnych. Można tutaj jedynie zwrócić uwagę na fakt, że przy jednakowym okresie obiegu i przy założeniach, że synchronizacja następuje Z pracow ni i obserw atoriów T a b e l a Typ widmowy BO-B3 B4-B7 B 8-B 9.5 AO-A3 P r ę d k o ś ć ro t a c j i w u k ła d a c h podwójnych (km / s) 179 96 63 98 ± ± ± ± 355 1 Ilość gw iazd p od w ó jn y ch P rędkość rotacji g w ia z d p o je d y n c z y c h ( k m / s) 14 6 6 12 200 210 22 10 11 22 200 180 P R y s . 3. R o z k ła d i l o ś c i g w iazd p od w ó jny ch podgrupy BO-B3 (kółka) i A O A 3 (kwadraty) w funkcji o k r e s u obieg u P (w dn iach). P o d a n a j e s t w z g lę d n a i l o ś ć g w iazd na p r z e d z i a ł A l o g P * 1 / 6 dla z a k r e s u 0 < log P < 1 i p r z e d z i a ł A l ó g P “ 1 / 3 dla 1 ^ log P < 2; s t r z a ł k a m i z a z n a c z o n o naj k r ó t s z e o k r e sy w k a ż d e j z podgrup w momencie w yp ełnian ia w spólnej k ryty cznej pow ierzchni R o ch e’a (podczas ew olucji przed ciągiem, gło'wnym) i moment pędu j e s t zachow any, prędkość liniow a ro tac ji po winna być prawie n ie z a le ż n a od masy gwiazd (a w ięc i od typu widmowego po o s ią g n ię c iu ciągu głównego). LITERATURA ✓ N a r i a i , K ., 1971* Publ# A str . Soc. J apan 23, 529. P I a v e c , M.# 1970, S te lla r R o ta tio n t E d . A. S l e t t e b a k , p . 1 33 (D . Re id e l; Dord re ch t — Holland). S l e t t e b a k , A., 1963, A str op h, J . , 138, 118. • ■ . ' ■<i , • W l • • ,.V P O S T Ę P Y ASTRONOMII Tom X X (1972). Zeszyt 4 OB SZ A R P E R T U R B A C Y J N Y W P RO B LE M IE SU-SHU-HUANGA A. D R O Ż Y N E R Centrum O b lic ze nio w e PA N (Otrzymano dn. 25 IV 1972 r.) S t r e s z c z e n i e — W pracy tej uogólniono definicję obszaru perturbacyjnego z problemu ograniczonego trzech ciał na ograniczony problem ciał czterech w postaci sformułowanej przez S u-Sh u -H u an g a. W oparciu o tą definicję podano obszar perturbacyjny Księżyca względem Ziemi i Słońca oraz przedyskutowano, w końcowej części pracy, efekty wyższego rzędu w tak uogólnionych obszarach: perturbacyjnym i oddziaływania. nEPTyPBAUMOHHOE A. n e p T y p ó a iM O H H o ro T pex Teji, cnocoóoM riPOCTPAHCTBO Cof lepxcaHwe. /JpoacHHep. no oTHow eHm o ctJiopMyjiMpoBaHHbiM 3 to 8 k u Cojiua. uiero n o p flflK a b B Tan nocjieflH eM riPOBJlEME k S u - S h u - H u a n g ’o m . wacTM o6o6m eH H bix Su-Shu-Huang. paóoTe o6o6meHo o n p e a e jie m ie orpammeimoM onpeflejieHMH BbiCMHTaHO nepTypÓaiwoHHoe 3 e M jia B o th o c h iiim c h npooTpaH CTBa, TaK*e B o rp a m m e H H o fi 3aflaqe Ha 3a^ ane qe T b ip ex Teji o c h o bsm uh 3 T o ro np0CTpaHCTB0 JlyHbi OTHocMTejibHO p a6 oT b i uccjieflO B aH bi n p o c T p a iic T B a x : a^eK T bi nepTypóaiM OHH OM u bm cbo 3- fle fic T B M H . THE PERTURBATION REGION IN THE PROBLEM SU-SHU-HUANG. S u m m a r y The definition of the perturbation region in the case of the restricted three body problem is generalized for the case of the four body problem in Su-Shu-H u a n g ' s formula tion. Basing on this definition the perturbation region of the Moon relative the Earth and the Sun is given. One discusses also the higher order effects in the generalized perturbation and interaction regions. 1 . WSTĘP Praca ta jest kontynuacją uogólnień obszarów grawitacyjnych definiowanych w problemie trzech ciał na ograniczony problem czterech ciał w postaci podanej przez S u - S h u - H u a n g a. Ruch ciała o infinitezymalnej masie m, pod wpływem grawitacyjnego oddziaływania z ciałami m i — 1 , 2 względem układu odniesienia związanego, powiedzmy z masą Bij, można opisać równaniem: [357] 358 Z pracowni i obserwatoriów ? - o*t (m; ) + a*p (m2), gdzie (D i ap s ą wektorami przyspieszeń odpowiednio keplerowskiego i perturbacyjnego w ruchu mj-centrycznym. Interesującą jest rzeczą zbadanie tych przyspieszeń. „w spółgrania” ze sobą Stosunek: opisuje graniczną powierzchnię tzw. obszaru perturbacyjnego ciała m 2 względem mj 2. D E F IN IC JA OBSZARU PE R T U R B A C Y JN E G O DLA UKŁADU N C IA Ł O bszar perturbacyjny dla układu N c ia ł 0V > 3) zdefiniujemy poprzez naturalne rozszerzenie de fin icji tego obszaru z problemu ograniczonego trzech c iał. Rozw ażmy układ N c ia ł o masach m, rrij, j * 1, 2....... A/-1. Niech w pewnej chw ili ciało badawcze m posiadające znikomą masę znajdzie się w otoczeniu masy mj , dla której chcemy wyznaczyć jej obszar perturbacyjny względem pozostałych c ia ł układu m .< i t j “ 1« 2 .........N - l. Przyjmiemy następującą definicję tego obszaru. Definicja: Obszar przestrzeni, w którym spełniona jest nierówność: 2j - 1 ‘7 N-1 _ . j+.i < 1. (3) nazywamy obszarem perturbacyjnym ciała m j względem pozostałych c ia ł układu m j, j *l,j - 1. 2....... A M . K ładąc w (3) znak równości otrzymujemy zawikłane równanie granicznej powierz chni szukanego obszaru perturbacyjnego. 3. OBSZAR P E R T U R B A C Y JN Y K SIĘŻYCA WZGLĘDEM ZIEMI I SŁOŃCA Problem czterech c ia ł zmodelujemy (?) układem Su-Shu-Huanga, tj. ■przyjmiemy, że dwie masy i obracające się wokół własnego środka masy po orbitach kołowych, ob racają s ię wraz z trzecią masa m 3 wokół wspólnego środka masy całego układu kom planam ie. Jest to jak w idać pewna id ealizacja układu K siężyc (mj)-Ziemia (m,, )-Słońce Orij). Czwarte ciało m jest ciałem znikomym. P o sług ując się de finicją (3) otrzymujemy zawikłane równanie powierzchni ograni czającej obszar perturbacyjny K siężyca względem Ziemi i Słońca. Zatem: I 359 Z pracow ni i obserw atoriów g d z i e a p z i a ^ s s ą w e k to r a m i p r z y s p i e s z e ń p e r t u r b a c y j n y c h p o c h o d z ą c y c h o d p o w ie d n io od Z iem i i S ło ń c a w u k ł a d z i e s e l e n o c e n t r y c z n y m , z a ś a ^ j e s t w e k to re m p r z y s p i e s z e n i a w ru c h u k e p l e r o w s k i m t e ż s e l e n o c e n t r y c z n y m . W y k o r z y s t u j ą c n a t u r a l n e c e c h y m odelu S u -S h u -H u a n g a , t j . t o , ze: — m - 0 (bo p r z y p a d e k o g r a n ic z o n y ) , fn-j m2 — o d l e g ł o ś ć Z ie m i a - S ł o ń c e (a2 ) , j a k i o d l e g ł o ś ć S ł o ń c e - K s i ę ż y c s ą d u ż o w i ę k s z e od o d l e g ł o ś c i Z ie m i a - K s i ę ż y c ( a ^ ) , a t a z k o l e i j e s t i s t o t n i e w i ę k s z a od o d l e g ł o ś c i K s i ę ż y c - c i a ł o b a d a w c z e (p), o r a z k o r z y s t a j ą c z r o z w i n i ę ć w s z e r e g M a c la u r in a w z g l ę dem ( p / a j ) i ro z k ła d ają c o dw rotność o d le g ło śc i S ło ń c e-K sięż y c w s z e r e g w ielom ia nó w L e g e n d r e ’a m oże m y 'o b l i c z y ć w a r t o ś c i p o s z c z e g ó l n y c h p r z y s p i e s z e ń w r ów na n iu (4). R o z w i ą z u j ą c t o r ó w n a n i e w z g l ę d e m s z u k a n e g o p ro m ie n ia o b s z a r u p e rtu r b a c y j n e g o K s i ę ż y c a w z g l ę d e m Z ie m i i S ło ń c a otrzy m u jem y: P p ert (9 ' 4 ‘ “l ( ^ J U + 3 cO s2 0 ) i 1 + ^P ert (6 ,< t>)} * (5) g d z i e £ 0 = £ ( a j , p ) , <¥>= £ (a’j , ajj)i z a ś P (0, q>) j e s t fu n k cją u w z g lę d n ia ją c ą w p ły w S ł o ń c a n a p ro m ie ń o b s z a r u p e r tu r b a c y j n e g o K s i ę ż y c a t y lk o w z g l ę d e m Z ie m i, t j . na prom ie ń p(0) ■ Oj • (1 + 3 c o s ^0) ^ . Z a c h o w u j ą c w y r a z y o i s t o tn y m z n a c z e n i u możemy tę fu n k c ję z a p i s a ć w p o s t a c i : 1 \ /° l\* [ l + 3cos^(ip - Oli72 ' « ,9’ ” =r t j t ) • ■ ’ • ’ P o d s t a w i a j ą c ip = (2 tt/ T ) • t, g d z ie T j e s t o k r e s e m s y n o d y c z n e g o o b i e g u K s i ę ż y c a w o k ó ł Z ie m i, o trz y m u je m y , ż e p ro m ie ń o b s z a r u p e r t u r b a c y j n e g o K s i ę ż y c a w z g l ę d e m Z ie m i i S ł o ń c a j e s t p e r i o d y c z n ą f u n k c j ą c z a s u z o k r e s e m równym o k r e s o w i s y n o d y c z n e g o o b i e g u K s i ę ż y c a w o k ó ł Z ie m i. W ła s n o ś c i fu n k c ji Ppert (0, f ) s ą i d e n t y c z n e z w ł a s n o ś c i a m i fu n k c ji Pact , . p o p r a w i a j ą c e j ” z u w a g i n a S ł o ń c e pro m ie ń Z ie m i, t z n . d la m 3 -> 0, lub - * Pp rt p e r tu r b a c y j n e g o . Z n a k fu n k c ji P t© , q>), i m i e j s c a z e r o w e f u n k c ji c o s q>. P r z y j m u j ą c oraz o z n ac za jąc przez p ^ z a ś przez p ^ p ro m ie ń o b s z a r u p e r tu r b a c y j n e g o K s i ę ż y c a w z g l ę d e m Z ie m i, — p ro m ie ń o b s z a r u p e r tu r b a c y j n e g o K s i ę ż y c a w z g l ę d e m Z ie m i i S ło ń c a otrzy m u jem y : — dla <p= 0 (nów): 0 = 0, 0 = tt / 2 tt , 3 tt/ 2 p (3)= 0,1832, p < 4 ) =. 0 , 1 8 3 5 p (3)= 0,2307, p < 4) = 0 , 2 3 1 1 ; p (3)= 0,1832, p <4 >= 0 , 1 8 2 9 , p (3)= 0 , 2 3 0 7 , p <4)= 0 , 2 3 0 3 . — dla ip = tt (p ełn ia): 0 = 0 , 0 = tt tt / 2 , 3 tt/ (0, <p) sfe ry o d d ziały w an ia K s ię ż y c a względem ip) -* 0 i mamy k l a s y c z n y prom ie ń o b s z a r u ja k i je j m ie js c a zerow e określa z n ak o d le g ło ść Z ie m ia-K sięży c za jed n o stk ę 2 Z pracowni i obserwatoriów 360 Dla 9 - t t / 2 lub 9 - 3t t / 2, co odpowiada kwadrom (lub kwadraturom, ponieważ przyjęta dokładność nie pozwala tego rozstrzygnąć) funkcja Ppert (6 , 9 ) = 0 dla każde go 0 . 4. E FE K T Y W YZSZEGO RZĘDU DLA OBSZA RU PE R T U R B A C Y JN E G O 1 SFERY ODDZIAŁYW ANIA Funkcja „p o p raw iająca” promień pact(0) sfery oddziaływania K siężyca względem Ziem i była wyznaczona w poprzedniej pracy dotyczącej uogólnienia sfery oddziaływa nia na problem ograniczony czterech ciał w postaci S u - S h u - H u a n g a . Postać jej była następująca: P 1 /^3\ , (6 , 9> = ~ 5 \V 3 /ai\ \2 / X r 1 + 3cos^if - 0)~| ~-------- -----— • cos [ i + 3co^e]« 9 . (7) 9 Porównując (6 ) z (7) widzimy, że zarówno Ppert (0 , <p) jak i Pact ( 0, q>) m uszą mieć jednakowe w łasności. Funkcje Pp ( 6 , 9 ) i ^ act ( 6 , 9 ) uw zględniające efekty wyższego rzędu wpływu Słońca na P p ^ (0) i P a c t (®) d a ją s ię zapisać w postaci: 1 A 3 [ l + 3cos2 (ip - 0 )J^ * ^ 0 8 9 T / j \u ; " s in 9 • a in u j , “ • 1,1 * ! & ) & ) " [ 1 * W e ] » J *A 8]’ (8) i(jią Pacl (e. 9) = - ' - 5\m2 J [l + 3cos (q, _ \a .»] 1 “ 1 [l + 3cos 0^ * •&-.»♦ k <•> -»]. gdzie Widać stąd, że dla 9 = t t /2 lub 9 = 3t t / 2 , co odpowiada kwadrom (lub kwadraturom) promienie obszarów perturbacyjnego oddziaływania nie będą w ogólności równe pro mieniom tych obszarów w ograniczonym problemie trzech c ia ł (a tak było przy uwzglę dnieniu tylko członu cosip). Równość ta zajd zie tylko w przypadku 0 = 0 lub 0 = t t Dla 9 = t t / 2: . 0 = tt / 2 (kierunek o d Słońca): Z pracow ni i obserw atoriów (3) rp„_ pert. = 0,2307, ’ * (3) p act = 0,1721, 361 (4) Ppert = 0.2309, (4) p a c t = 0,1722. 6 = 3tt/ 2 (kierunek d o Słońca): (3) (4) P pert = ° - 2307(3) P pert= O-2305(4) P a c t = ° , 1721 , P a c t " O'1719’ Dla ip = 3tr/2: 0 = it/2 (kierunek d o Słońca): (3) (4) P Pe r t = ° ’ 2307(3) P p e r t= ° * 2305* (4) P a c t = 0 - 1721, P a c t = ° - 17196 - 3tr/2 (kierunek o d Słońca): (3) (4) P p e r t= ° « 2307» (3) Pact = 0 , 1 7 2 1 , P pert= ° ’ 2309> (4) p a c t = 0,1722. Widzimy stą d , że działanie perturbacyjne Słońca w kwadrach (lub w kwadraturach) zarówno dla obszaru perturbacyjnego jak i dla sfery oddziaływania polega n a , p r z e s u n ięciu ” tych obszarów w kierunku o d Słońca. Amplituda zmian rozmiarów obszaru perturbacyjnego j e s t w ięk sza od amplitudy zmian rozmiarow sfery oddziaływania, co j e s t r z e c z ą zrozumiałą z uwagi na w ięk sze rozmiary obszaru perturbacyjnego. LITERATURA POMOCNICZA [ l ] S u- S h u - H u a n g, A h ypoth etical four-body problem and its a p p lic a tio n s, reprinted from ,, V is ta s in Astronomy” . ■ ■ . aI } '!■ ■.. . • os - : t-.Ktf.t! ■■ }t UlS « > ' ‘*1 ■ ' i '* , '<■ ■ ■ » « * > . '. A NAUKOWE OŚRODKI ASTRONOMICZNE W KRAJU A ktualizacja na 10 V 1972 r. Zakład Astronomii PAN: Pracownia A s t r o f i z y k i II: od 1 V 1972 r. zatrudniono na stanowisku st. asystenta Mgr Magdalenę S r o c z y ń s k ą (przeniesienie z OAUW), a od 1 I 1972 r. na stanowiskach asystentów Mgr Ryszarda S i e n k i e w i c z a wykonana została dziurkarka 8-kanałowa z dekoderem. i Mgr Andrzeja S o ł t a n a ; Pracownia Związków S ł o ń c e - Z i e mi a: od 1 X 1971 r. kierownikiem pracowni został Prof, dr Antoni O p o l s k i , zastępca kierownika Dr Zbigniew Ko r d y l e w s k i ; jako organ kontrolno-opiniodawczy działa R a d a P r a c o w n i w składzie: Dr hab. Stanisław G r z ę d z ie 1s k i, Dr hab. Jerzy J a k i m i e c , Doc. dr Tadeusz J a r z ę b o w s k i , Prof, dr Jan M e r g e n t a l e r ; Pracownia składa się z dwu pionów: naukowego (kieruje Dr hab. Jerzy J a k i m i e c , 4 pracowników nauk. dydakt.) i kon strukcyjno-technicznego (kieruje Dr Zbigniew K o r d y l e w s k i , 1 pracownik nauk. dydakt. i 4 pracowników adm. techn.). Opracowano wyniki badań rentgenowskiego promieniowania Słońca; trwają prace montażowe aparatury do badań krótkofalowego promieniowania Słońca w następnych eksperymentach kosmicznych. Obserwatorium emeryturę Prof. Astronomiczne dr Jan a Uniwersytetu Wrocławskiego: Me r g e n t a l e r a po przejściu na dyrektorem został od 1 X 1971 r. Prof, dr Antoni O p o l s k i . Obserwatorium posiada dwa zakłady dydaktyczne: astronomii i astrofizyki, realizujące programy nauczania studentów astronomii, geografii, matema tyki i fizyk i, oraz cztery zespoły naukowe: astrofizyki (kieruje Doc. dr Tadeusz J a r z ę b o w s k i , 5 pracowników), heliofizyki (Dr hab. Adolf S t a n k i e w i c z , 4 pra cowników), astronomii klasycznej (Prof, dr Stefan W i e r z b i ń s k i , 3 pracowników), fizyk i kosmicznej (Dr hab. Jerzy J a k i m i e c , 3 pracowników). Mgr Barbara S z c z o drowska uzyskała 15 XII 1971 r. stopień doktora na podstawie pracy pt. Orbity okresowe w zre gulary zouianym ograniczonym zagadnieniu trzech c iał — promotor Prof, dr Stefan W i e r z b i ń s k i , recenzenci: Dr hab. Maciej B i e l i c k i , D r hab. Sta nisław G ą s k a. [363] . . . KROM KA P O S T Ę P Y ASTRONOMII Tom X X (1972) Z e szyt 4 CZTERDZIESTOLECIE PRACY NAUKOWEJ PROFESORA KAROLA KOZIEŁA W dniu 1 kwietnia 1972 r. upłynęło 40 lat od chw ili objęcia przez obecnego dyre ktora Obserwatorium Astronomicznego Uniwersytet!' Jagiellońskiego Prof, dra Karola Kozieła stanowiska asystenta w tymże obserwatorium. K ilka m iesięcy przedtem, w roku 1971, upłynęło 40 lat od chw ili ogłoszenia w „B iule tynie Polskiej Akademii U m iejętności” w Krakowie pierwszej większej pracy naukowej Karola K o z i e ł a z dziedziny teorii refrakcji astronomicznej pt. Twierdzenie Laplace-Oriani w ścisłym liczbow o ujęciu (1931). Tak więc Prof. Karol K o z i e ł obchodził w ostatnich mie siącach podwójną rocznicę czterdziestolecia pracy naukowej. Karol K o z i e ł urodził s ię dnia 28 kwietnia 1910 r. w Trzyńcu na Z aolziu. Wykształcenie elementarne odebrał w szkole podstawowej w C ieszynie, po czym u czę szc zał od roku 1920 do gimnazjum im . A. Osuchowskiego w Cieszynie, gdzie otrzymał w roku 1928 świadectwo dojrzałości. W latach 1928—1932 odbył studia na Uniwersytecie Jagiellońskim kończąc je uzyskaniem w marcu 1932 r. stopnia magistra matematyki, a w czerwcu 1932 — magistra astronomii. Doktoryzował s ię tamże w roku 1939 na podstawie pracy Aproksymacja wielomianowa wyrażeń na stosunki p ó l trój kątów nj i ng w problemie wyznaczania orbit ciał niebieskich wykonanej pod kierunkiem Prof. T. B a n a c h ie w ic z a , a w roku 1945 przedstawił rozprawę hab ilita cy jn ą na temat The Moon’s L ibration and. Figure as derived from Hartwig’s Dorpat Heliometric 0 bservations, za którą otrzymał stopień naukowy docenta. W roku 1955 zo sta ł miano wany profesorem nadzwyczajnym. W tymże roku, po śm ierci Prof. B a n a c h i e w i c z a, p rze jął Katedrę Astronomii przemianowaną następnie na Katedrę Astronomii Teoretycz nej i Geofizyki Astronomicznej. W roku 1961 został mianowany profesorem zwyczajnym, a w dniu 1 kwietnia 1970 r. powołany na stanowisko dyrektora Obserwatorium Astrono micznego Uniwersytetu Jagiellońskiego, które funkcjonuje od tego czasu jako uniwersy tecki instytut astronomii. Ro'źne dziedziny astronomii i geofizyki s ą domeną zainteresowań i pracy naukowej Prof. Kozieła. W ażniejsze jego osiągnięcia w zakresie astronomii sferycznej 1 teorii krakowianów to wzory różniczkowe poligonometrii sferycznej oraz metoda odwracania szeregów potęgowych z zastosowaniem do astronomii geodezyjnej. W za kresie teorii wyznaczania orbit planet i komet opracował wariant metody L ap lac e ’a-Leuschnera wyznaczania orbif w oparciu o nowe wzory na / i g. N ajw ażniejsze jednak osiągnięcia ma Prof. K o z i e ł bezsprzecznie w dziedzinie selenodezji, a w szczegól n ości w badaniach libracji fizycznej K siężyca. Opracował tu nową metodę wyrównywa nia obserwacji tibracyjnych znaną (Sz. T . C habibulin, J. Witkowski) pod nazw ą metody K o zie ła. Zastosow ał j ą m. in. do wyznaczania stałych libracji w oparciu o heliometryczne obserwacje K siężyca z lat 1877—1915. R adziecki „Astronom iczeskij Jeżeg odnik” podaje efemerydę krateru Mosting A w oparciu o wyrażenia lib racji fizycz nej uzyskane przez K. K o z i e ł a . [365] 366 Kronika W uznaniu tych osiągnięć Prof. K o z i e ł został wybrany w latach 1958—1964 na dwie kadencje prezesem Komisji 17 Ruchu i Figury Księżyca Międzynarodowej Unii Astronomicznej. Pod koniec tej prezesury przeprowadził uchwałę o przekształceniu Komisji 17 na komisję obejmującą całokształt badań księżycowych pod nazwą ,,Ko m isji Księżyca” i został wybrany jej wiceprezesem na dalsze 3 lata (1964—1967). Jako członek Komitetu Nomenklatury Księżycowej Międzynarodowej Unii Astronomicz nej przyczynił się do uwiecznienia na odwrotnej stronie Księżyca kilku nazwisk polskich, a w szczególności stoczył z pomyślnym wynikiem batalię o nazwę „krater Skłodowska” . Prof. Kozieł jest członkiem komitetów redakcyjnych (associate editor) dwóch ukazujących się zagranicą czasopism międzynarodowych: „The Moon” oraz ,,Physics of the Earth and Planetary Interiors” , a przez okres 10 lat był członkiem komitetu redakcyjnego międzynarodowego czasopisma „Icarus” . Na terenie Obserwatorium Astronomicznego Fort Skała pod Krakowem uruchomił Prof. K o z i e ł z dniem 1 X 1957 r. stałe obserwacje natężenia radiopromieniowania Słońca najpierw teleskopem 5-metrowym, a od 1959 r. — 7-metrowym. Zorganizował też budowę systemem gospodarczym największego obecnie w Polsce pojedynczego radioteleskopu o średnicy 15 metrów na montażu paralaktycznym, którego rozruch naukowy zbliża się ku końcowi. Dla ratowania najdłuższej nieprzerwanej serii obser wacji meteorologicznych w Polsce dokonywanych w Obserwatorium Krakowskim od roku 1825 w warunkach dziś już niereprezentatywnych, założył w roku 1958 drugą stację meteorologiczną na terenie Ogrodu Botanicznego UJ w sąsiedztwie Obserwa torium, która pracuje w warunkach tzw. normalnych jednocześnie ze stacją ,,histo ryczną” . Na Zebraniu Naukowym Obserwatorium Astronomicznego Uniwersytetu Jagielloń skiego w Krakowie w dniu 15 października 1971 r., które połączono ze skromnym wspomnieniem czterdziestolecia pierwszej publikacji naukowej Prof. K o z i e ł a , referowano m. in. wyniki pracy Sir Harolda J e f f r e y s a pt. Libracja Księżyca, która właśnie się ukazała w tomie 153 ,.Monthly Notices of the Royal Astronomical Society” (1971). J e f f r e y s redyskutuje w tej pracy rezultaty badań libracji opubli kowane w roku 1967 przez Prof. K o z i e ł a w czasopiśmie „Icarus” i potwierdza w zupełności jego osiągnięcia. Uczonych dzielimy na ogół na dwie kategorie: na typ wąskiego specjalisty o szcze gólnie wysokich kwalifikacjach w danej dziedzinie i na typ umysłu syntetycznego, obejmującego swymi zainteresowaniami duże połacie wiedzy. Prof. K o z i e ł łączy w sobie te dwie na pozór sprzeczne cechy. Jest zarazem jednym z nielicznych w świecie specjalistów tej klasy w bardzo szczegółowym zagadnieniu, jakim jest fizyczna libracja Księżyca, a jednocześnie nie tylko się interesuje, lecz pracuje naukowo i organizuje badania w tak odległych od siebie dziedzinach jak astronomia sferyczna i geodezyjna, mechanika niebieska, radioastronomia, meteorologia i klimatologia. Życzymy Drogiemu Jubilatowi długich lat dalszej pracy i osiągnięć we wszystkich interesujących go dziedzinach. Konrad Rudnicki SPIS TREŚCI ZESZYT U 4 ARTYKUŁY S . R u c i ń s k i , Układy podwójne typu W Ursae Majoris (W UMa). C zęść I. . . . 275 M. K a r p o w i c z , Problem stabilności gromad galaktyk.................................................. 297 M. D e m i a ń s k i , Astrofizyka relatywistyczna. 1...............................................................307 M . D e m i a ń s k i , Astrofizyka relatywistyczna. I I .............................................................329 Z PRACOWNI I OBSERWATORI ÓW S. L . P i o t r o w s k i, S. M. R u c i ń s k i , Rotacja gwiazd w układach podwójnych 351 A . D r o ż y n e r , Obszar perturbacyjny w problemie Su-Shu-Huanga................................357 Naukowe ośrodki astronomiczne w kraju............................................................................. 363 KRONIK A K . R u d n i c k i , Czterdziestolecie pracy naukowej Profesora Karola K ozieła. . . COflEPKAHME TETPA^M 4 C Ta T b H C. PyUMHbCKM, /jBOilHbie CMCTeMbl THna W Ursae Majoris (W UMa). HacTb 1................................................................................................................................275 M. K a p n o B M M , llpo6 jieM a cTaÓMJibHOCTH CKonjieHMft rajiaKTHK. . . . 297 M . / J eMHHbCKH, PejlflTHBMCTCKaH aCTpO(j)H3HKa. 1.......................................... 307 M. / J e M f l H b C K M , PejIHTMBMCTCKafl acTpo(|)H3MKa. I I ....................................329 113 J ia 6 o p a T o p m K C . JI. n e Tp o B C KM, C. M. m o6cepBaTopnfó PyUHHbCKM, BpaweHMe 3Be3fl b abohhmx CHCTeMaX............................................................................................................................. 351 A . / JpoacHHep, riepTyp6 auM0 HH0e np0 CTpaHCTB0 b npoójieMe Su-Shu- H u a n g a ..................................................................................................................................357 Haymibie acTpoHOMMMecKMe yqpexfleHMH b cTpaHe.............................................. 363 Spis treści 368 XpOHMKa K. PyflHMUKM, CopoKajieTHe Haymioft p a ó o T b i npo(J)eccopa Kapejia Ko3ejia........................................................................................................... 365 CONTENTS ARTICLES S. R u c i ń s k i , The Binary Systems of W Ursae Majoris Type (W UMa). Part I. . . 275 M . K a r p o w i c z , The Problem of the Stability of Clusters of G alaxies................... 297 M . D e m i a ń s k i , The R elativistica l Astrophysic. 1........................................................ 307 M . D e m i a r i s k i , The R e lativ istica l Astrophysic. I I ....................................................... 329 FROM L A B O R A T O R I E S S. L . P i o t r o w s k i , AND O B S E R V A T O R I E S S. M. R u c i ń s k i , The Rotation of Stars in Binary Systems 3 51 A . D r o ż y n e r , The Perturbation Region in the Problem Su-Shu-Huang.................... 357 S cientific Astronomical Centres in P oland......................................................................... 363 CHRONICLE K . R u d n i c k i , Professor Karol K ozieł — 40 Years of Research................................ 365 K O M U N I K A T PTA NACRODA MŁODYCH P O L S K I E G O TOW A RZYS T W A A S T R O N O M IC Z N E G O Zarząd Główny Polskiego Towarzystwa Astronomicznego na posiedzeniu w dniu 11 stycznia 1972 r. uchwalił ustanowienie nagród o łącznej wysokości 10 000 zl za najlepsze prace nau kowe młodych astronomów. Nagrodzone prace mają spełniać na stępujące warunki: 1. Praca ma być wydrukowana w „A cta Astronomica” w okre sie od 1 września 1971 r. do 31 sierpnia 1972 r. 2. Autor (lub wszyscy współautorzy) powinien posiadać obywa telstwo polskie i nie mieć ukończonych 30 lat życia w chwili złożenia pracy do redakcji „A cta Astronomica” . 3. Praca powinna wykazywać inicjatywę i oryginalną, myśl autora oraz stanowić wartościowy wkład do nauki. Skład jury konkursu został podany w „Postępach Astronomii” , t. X IX, zesz. 2, 1971. Nagrody zostaną przyznane przed 30 listopada 1972 r. * Sekretarz PTA (—) Prof. Dr J ó z e f Smak Warszawa, dnia 12 stycznia 1972 r. Cena zł 10, W ARUNKI PRENUMERATY CZASOPISMA „POSTĘPY A S T R O N O M II" - KWARTALNIK Cena prenumeraty krajowej: półrocznie zł 20,— rocznie „ 40,— Prenumeraty przyjmowane są do numeraty. 10 dnia miesiąca poprzedzającego okres pre Prenumeratę na kraj dla czytelników indywidualnych przyjm ują urzędy pocztowe oraz listonosze. Czytelnicy indyw idualni mogą dokonywać wpłat również na konto PKO nr 7-6-579 Przedsiębiorstwo Upowszechniania Prasy i Książki „Ruch" w Łodzi ul. Kopernika 53 Wszystkie instytucje państwowe i społeczne mogą zamawiać prenumeratę wyłącznie za pośrednictwem O ddziałów i Delegatur „R uch". Prenumeratę ze zleceniem wysyłki za granicę, która jest o 40% droższa od krajowej, przyjmuje Biuro Kolportażu W ydaw nictw Zagranicznych „Ruch” Warszawa, ul.W ronia 23, konto PKO nr 1-6-100024 tel. 20-46-88. Czasopismo nabywać można w następujących Księgarniach Technicznych PP „Dom Książki": W rocław , ul. Świdnicka 8 Warszawa, ul. Świętokrzyska 14 Łódź, ul. Piotrkowska 45 Bydgoszcz, Stary Rynek 15 Poznań, ul. Paderewskiego 6 Szczecin, Al. W ojska Polskiego 29 Kraków, Rynek Głów ny 36 Białystok, ul. Lipowa 43 Lublin, Krakowskie Przedmieście 39 Opole, ul. Ozimska 8 Katowice, ul. Młyńska 2 Gdańsk-Wrzeszcz, ul. Grunw aldzka 111/113 Egzemplarze zdeaktualizowane są do nabycia w Przedsiębiorstwie Upowszech niania Prasy i Książki „Ruch” , Magazyn Zwrotów w Łodzi, ul. Żwirki 17, konto PKO nr 7-6-579. Bieżące oraz archiwalne numery można nabywać lub zamawiać we W zorcow ni W ydaw nictw Naukowych PAN - Ossolineum - PW N , Warszawa, Pałac Kultury i Nauki oraz w Księgarniach „Dom u Książki". TYLKO PRENUMERATA ZA PE W N IA REGULARNE O T R ZY M Y W A N IE CZASOPISM ! THE QUARTERLY JO U RN A L „POSTĘPY A ST RO N O M II" gives extensive information about the works conducted in Polish Observa tories. The Journal contains also reviews and general articles from the field of Astronomy. Important papers contain summaries in English and Russian. ^nhsrrintinn nrders can be sent directly to: Biblioteka Główna U M K 300048428841 Export and Import Enterprise „R uch” le g anij Handlowy — Warszawa, Traugutta 7 Prices and contents of current issues of scientific periodicals are stated in a special bulletin „Polish Scientific Periodicals” which is to be found in Scientific Libraries and major distributing firms in your country. Post. Astr. T. 20 z. 4 s. 96. Warszawa październik — grudzień 1972 Indeks nr 37143