równanie parametryczne

Kolokwium 1 z rozwi¡zaniami
−→
−→
−−→
−→ −→
AD dziel¡cy na poªowy k¡t mi¦dzy wektorami AB i AC .
1. Dane s¡ dwa wektory: AB = [1, 2, 2] i AC = [3, −6, 6]. Znale¹¢ wektor jednostkowy
−→
−→
= [1, −2, 2]. Wówczas wektory AB oraz
−
→
−
→
a maj¡ taka sam¡ dªugo±¢, czyli ich suma b = [2, 0, 4] ma kierunek (i zwrot) dwusiecznej
√
√
−
→
−
→
k¡ta ^BAC . Musimy wi¦c ,,skróci¢ b do dªugo±ci 1. Poniewa» | b | = 22 + 42 = 2 5,
−−→
wi¦c szukanym wektorem AD jest
·
¸
1
2
Odpowied¹. √ , 0, √ .
5
5
³
³ −
−
→´2
−
→
→´ 1
−
→
−
→
−
→
2. Oblicz a + b , wiedz¡c »e | a |=1, | b | = 5 i ^ a , b = 3 π .
−
Rozwi¡zanie. Zast¡pmy wektor AC przez →
a =
−→
AC
3
Rozwi¡zanie. Korzystaj¡c z wªasno±ci arytmetycznych iloczynu skalarnego otrzymujemy
³
−
→´ ³− −
→´ → −
−
→ −
→ −
→
−
→
→
a + b • →
a + b =−
a •→
a + 2−
a • b + b • b
³ →
−
→
−´ −
→
−
→
−
→
−
→
2
= | a | + 2| a || b | cos ^ a , b + | b |2 .
Podstawiaj¡c liczby z tre±ci zadania otrzymujemy 1 + 2 · 1 · 5 cos π3 + 25 = 31
³
−
→´2
−
→
Odpowied¹. a + b = 31.
−→
3. W trójk¡cie ABC dane s¡: wierzchoªek B(0, 5) i wektory boków AB = [4, 12],
−−→
CB = [−8, 7]. Znale¹¢ równanie wysoko±ci opuszczonej z wierzchoªka C na bok AB .
Rozwi¡zanie. Poniewa» wysoko±¢ jest prostopadªa do AB , wi¦c szukana prosta zawieraj¡ca
wysoko±¢ ma równanie 4x+12y+D = 0. Aby znale»¢ staª¡ D, wykorzystamy fakt, ze szukana
−−→
prosta przechodzi przez punkt C(c1 , c2 ). Mamy [−8, 7] = CB = [0 − c1 , 5 − c2 ]. Zatem
c1 = 8, c2 = −2. Podstawiaj¡c wspóªrz¦dne punktu C do równania prostej, otrzymujemy
4 · 8 + 12 · (−2) + D = 0. St¡d D = −8
Odpowied¹. Równanie prostej: 4x + 12y − 8 = 0.
4. Napisa¢ równanie hiperboli o ogniskach poªo»onych na osi odci¦tych symetrycznie
wzgl¦dem ±rodka ukªadu wspóªrz¦dnych, maj¡c dan¡ odlegªo±¢ 12 mi¦dzy ogniskami oraz
mimo±ród równy 2.
Rozwi¡zanie. Skoro odlegªo±¢ mi¦dzy ogniskami wynosi 12, wi¦c c =
√ 6. Z równania
2
2
2
mimo±rodu, mamy 2 = e = 6/a, wi¦c a = 3. A skoro b = c − a , to b =
x2 y 2
−
= 1.
Odpowied¹.
9
27
27.
5. Napisz równanie paraboli o wierzchoªku w pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych i ognisku
F (2, 0).
Rozwi¡zanie. Równanie naszej hiperboli w standardowej formie to x2 = 2py . Poniewa»
1
p
2
= 2, wi¦c p = 4
Odpowied¹. x2 = 8y .
6. Napisz równanie prostej przechodz¡cej przez punkty A(1, 2, −3) i B(2, 1, 1).
−→
Rozwi¡zanie. Obliczmy wspóªrz¦dne wektora AB . Mamy
−→
AB = [2 − 1, 1 − 2, 1 + 3] = [1, −1, 4].
Odpowied¹ 1. Równanie parametryczne prostej przechodz¡cej przez punkt B w kierunku
−→
wektora AB :


x = 2 + t
y =1−t


z = 1 + 4t.
Odpowied¹ 2. Równanie kraw¦dziowe prostej przechodz¡cej przez punkt B w kierunku
−→
wektora AB :
x−2
y−1
z−1
=
=
.
1
−1
4