dziewczynka x

Zmienne losowe
Rozkład zmiennej losowej
Zmienna losowa to funkcja, która przyjmuje różne wartości
liczbowe wyznaczone przez los (przypadek). Zmienne
losowe oznaczamy symbolem:
X:⌦!R
Look again at the sample space for the sexes of four babies, and remember that
our variable is the number of girls out of four births. The first point in the sample
space is BBBB;
becauseX,
the której
number of
girls is zero here,
X ! 0. The next liczbę
four points
Zmienna
losowa
wartości
reprezentują
in the sample space all have one girl (and three boys). Hence, each one leads to the
dziewczynek
wśród
czworaczków
(B -space
chłopiec,
value X ! 1. Similarly,
the next
six points in the sample
all lead to XG
! -2; the
next four points to X ! 3; and, finally, the last point in our sample space gives X ! 4.
dziewczynka).
The correspondence of points in the sample space with values of the random variable
is as follows:
⌦
Sample Space
BBBB }
GBBB
BGBB
t
BBGB
BBBG
Zmienna losowa X
Random Variable
X!0
X!1
GGBB
GBGB
GBBG
v
BGGB
BGBG
BBGG
X!2
BGGG
GBGG
t
GGBG
GGGB
X!3
GGGG}
X!4
Zmienna losowa może być funkcją, której wartości
reprezentują wartość wygranej w ruletkę.
Zmienna losowa może reprezentować cenę fantazyjnej
koszulki albo jej rozmiar.
Dyskretna zmienna losowa
Zmienna losowa jest skokowa (dyskretna), gdy może
przyjmować wartości ze zbioru co najwyżej
przeliczalnego (tzn. skończonego lub nieskończonego
ale takiego, który można ustawić w ciąg).
Ciągła zmienna losowa
Zmienna losowa ciągła może przyjmować wartości z
dowolnego przedziału liczbowego. Możliwe wartości
takiej zmiennej tworzą zbiór nieskończony i
nieprzeliczalny (nie dający ustawić się w ciąg).
IGURE 3–5
Discrete and Continuous Random Variables
Discrete
Continuous
The values of continuous random variables can be measured (at least in theory) t
Pewne oznaczenia upraszczające zapis:
P (X = x) = P ({! 2 ⌦ : X(!) = x})
P (a 6 X 6 b) = P ({! 2 ⌦ : a 6 X(!) 6 b})
P (X 2 E) = P ({! 2 ⌦ : X(!) 2 E})
Zmienna losowa dyskretna
F
S
1
1
iable by a capital letter, often X. The probability distribution will then
P(X ).
92
Chapter 3
CHAPTER 2
at the sample space for the sexes of four babies, and remember that
correspondence,
the number of girls out of four births. The first point inThisthe
sample when a sample space clearly exists, allows us to define a random
variable as follows:
because the number of girls is zero here, X ! 0. The next four points
A random variable is a function of the sample space.
pace all have one girl (and three boys). Aczel−Sounderpandian:
Hence, each one leads
the Variables
3. to
Random
Text
What
is!
this2;
function?
The correspondence between points in the sample space and
milarly, the next six points in the sample
spaceBusiness
all lead to
X
the
Complete
values of the random variable allows us to determine the probability distribution of X
as
follows:X
Notice
that 1 of the 16 equally likely points of the sample space leads to
to X ! 3; and, finally, the last point in our
sample
space
gives
! 4.
Statistics,
Seventh
Edition
X ! 0. Hence, the probability that X ! 0 is 1!16. Because 4 of the 16 equally likely
dence of points in the sample space with values of the random
variable
points lead
to a value X ! 1, the probability that X ! 1 is 4!16, and so forth. Thus,
Rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej
skokowej jest tablica, wzór lub wykres, który porządkuje
prawdopodobieństwa każdej możliwej wartości zmiennej
⌦
Sample Space
BBBB }
GBBB
BGBB
t
BBGB
BBBG
Zmienna losowa X
looking at the sample space and counting the number of points leading to each value
of X, we find the following probabilities:
Random Variable
X!0
X!1
X!2
BGGG
GBGG
t
GGBG
GGGB
X!3
GGGG}
X!4
Probability Bar Chart
The probability statements above constitute the probability distribution of the random variable X ! the number of girls in four births. Notice how this probability law
was obtained simply by associating values of X with sets in the sample space. (For
example, the set GBBB, BGBB, BBGB, BBBG leads to X ! 1.) Writing the probabil6/16
ity distribution
but first let’s make a small, simplifying
0.4 of X in a table format is useful,
notational distinction so that we do not have to write complete probability statements
such as P(X ! 1).
0.3 earlier, we use a capital letter, such as X, to denote the random variable.
As stated
4/16
But we use a lowercase letter to4/16
denote a particular value
that the random variable
can take. For example, x ! 3 means that some particular set of four births resulted in
0.2Think of X as random and x as known. Before a coin is tossed, the numthree girls.
ber of heads (in one toss) is an unknown, X. Once the coin lands, we have x ! 0 or
x ! 1. 0.1
1/16
1/16
Now let’s return to the number of girls in four births. We can write the probability
distribution of this random variable in a table format, as shown in Table 3–1.
0 important fact: The sum of the probabilities of all the values of the ranNote an
0
1
2
3
4
dom variable X must be 1.00. A picture of the probability distribution of the random
Number
girls, x bar chart for the
variable X is given in Figure 3–1. Such
a picture isof
a probability
random variable.
Marilyn is interested in the number of girls (or boys) in any fixed number of
births, not necessarily four. Thus her discussion extends beyond this case. In fact, the
Probability
GGBB
GBGB
GBBG
v
BGGB
BGBG
BBGG
FIGURE 3–1
P(X ! 0) ! 1!16 ! 0.0625
P(X ! 1) ! 4!16 ! 0.2500
P(X ! 2) ! 6!16 ! 0.3750
P(X ! 3) ! 4!16 ! 0.2500
P(X ! 4) ! 1!16 ! 0.0625
Ran
Niech P będzie prawdopodobieństwem na przestrzeni Ω
i niech xi będą wartościami zmiennej losowej skokowej X.
pi = P (X = xi )
xi
x1
x2
x3
…
xn-1
xn
pi
p1
p2
p3
…
pn-1
pn
pi > 0,
p1 + p2 + . . . + pn = 1,
P (a 6 X 6 b) =
X
a6xi 6b
pi
The cumulative distribution function, F(x), of a discrete random variable
F(x) = P(X … x) = a P(i )
Dystrybuanta zmiennej losowej skokowej
(skumulowana funkcja rozkładu)
(3–
all i … x
Table 3–4 gives the cumulative distribution function of the random varia
Example 3–2. Note that each entry of F (x) is equal to the sum of the correspo
values of P (i ) for all values i less than or equal to x. For example, F (3) ! P (X "
P (0) # P (1) # P (2) # P (3) ! 0.1 # 0.2 # 0.3 # 0.2 ! 0.8. Of course, F (5) !
because F (5) is the sum of the probabilities of all values that are less than or eq
5, and 5 is the largest value of the random variable.
Figure 3–6 shows F (x) for the number of switches on a given call. All cumu
distribution functions are nondecreasing and equal 1.00 at the largest possible
of the random variable.
i a few probabilities. The probability that the number of sw
Let us consider
will be less than or equal to 3 is given by F (3) ! 0.8. This is illustrated, usin
probability distribution, in Figure 3–7.
F (x) = P (X 6 x) =
Dystrybuanta liczby ogłoszeń
FIGURE 3–6
zamieszczanych dziennie w pewnej gazecie
x
0
1
2
3
4
5
P(X=x)
0,1
0,2
0,3
0,2
0,1
0,1
F(x)
0,1
0,3
0,6
0,8
0,9
1
X
pi
x 6x
Cumulative Distribution Function of Number of Switches
F(x)
1.00
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
P(3) = 0.2
x
0
1
2
3
4
5
P (X > a) = 1
P (x 6 a) = 1
P (a 6 X 6 b) = F (b)
F (a)
F (a)
its
ion
ion.
ariwe
mn
rite
ucts
)!
2.3
e of
age
the
ties
s is
Wartość oczekiwana skokowej
zmiennej losowej
FIGURE 3–10
The Mean of a Discrete
Random Variable as a
Center of Mass for
Example 3–2
µ = E(X) =
n
X
i=1
P(x)
xi · P (X = xi ) =
n
X
i=1
x i · pi
E(X) =
= 0 · 0, 1 + 1 · 0, 2 + 2 · 0, 3 + 3 · 0, 2 + 3 · 0, 2 + 4 · 0, 1 + 5 · 0, 1 =
= 2, 3
0.3
0.2
0.1
0 12 3 4 5
Mean = 2.3
x
Dla każdej funkcji h funkcja Y=h(X) jest zmienną losową
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X
xi
x1
x2
x3
…
xn-1
xn
pi
p1
p2
p3
…
pn-1
pn
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y
yi
pi
y1=h(x1) y2=h(x2) y3=h(x3)
p1
p2
E(h(X)) =
p3
n
X
i=1
…
yn-1
=h(xn-1)
yn=h(xn)
…
pn-1
pn
h(xi ) · pi
its
ion
ion.
ariwe
mn
rite
ucts
)!
2.3
e of
age
the
ties
s is
Wariancja skokowej zmiennej
losowej
FIGURE 3–10
2
The Mean of a Discrete
Random Variable as a
Center of Mass for
Example 3–2
= V (X) = E (X
µ)2 =
n
X
i=1
P(x)
(xi
µ)2 · pi
E(X) =
= 0 · 0, 1 + 1 · 0, 2 + 2 · 0, 3 + 3 · 0, 2 + 3 · 0, 2 + 4 · 0, 1 + 5 · 0, 1 =
= 2, 3
0.3
0.2
V (X) =
0.1
0 12 3 4 5
Mean = 2.3
x
= (0 2, 3)2 · 0, 1 + (1
= 2, 01
2, 3)2 · 0, 2 + (2
2, 3)2 · 0, 3 + . . .
Wariancja skokowej zmiennej
losowej
Wygodny do stosowania wzór obliczania wariancji zmiennej
losowej:
2
2
= V (X) = E(X )
E(X)
2
its
ion
ion.
ariwe
mn
rite
ucts
)!
2.3
e of
age
the
ties
s is
Odchylenie standardowe
skokowej zmiennej losowej
FIGURE 3–10
The Mean of a Discrete
Random Variable as a
Center of Mass for
Example 3–2
= SD(X) =
P(x)
p
V (X)
E(X) =
= 0 · 0, 1 + 1 · 0, 2 + 2 · 0, 3 + 3 · 0, 2 + 3 · 0, 2 + 4 · 0, 1 + 5 · 0, 1 =
= 2, 3
0.3
0.2
SD(X) = 1, 1418
0.1
0 12 3 4 5
Mean = 2.3
x
Twierdzenie Czebyszewa
P |X
µ| < k
>1
1
k2
Prawdopodobieństwo, że wartości zmiennej losowej X
odchylą się od średniej o k sigm jest niemniejsze niż 1
pomniejszone o kwadrat 1/k.
•
•
Dla k=2, 1-1/k2 = 0,75.
Dla k=3, 1-1/k2 = 0,89, czyli z prawdopodobieństwem
nie mniejszym niż 0,89 wartość X znajdzie się w
odległości od swojej wartości oczekiwanej mniejszej niż
3 sigma (odchylenia standardowe).
Pewne ważne rozkłady zmiennej losowej
skokowej
Rozkład dwumianowy
(Bernoullego)
Rozkład dwumianowy ma zmienna losowa X, której
wartościami są liczby sukcesów w ciągu n doświadczeń
Bernoullego (w schemacie Bernoullego), w każdym z
których p jest prawdopodobieństwem sukcesu, q=1-p
jest prawdopodobieństwem porażki.
✓ ◆
n
k
n k
P (X = k) =
·p ·q
k
Fakt, że zmienna losowa X ma rozkład Bernoullego z
parametrami n i p zapisujemy skrótowo
X ⇠ B(n, p)
X ⇠ B(4; 0, 1)
X ⇠ B(4; 0, 5)
X ⇠ B(10; 0, 1)
X ⇠ B(20; 0, 3)
Dla zmiennej losowej X ⇠ B(n, p) :
µ = E(X) = np,
2
= V (X) = npq,
p
= SD(X) = npq.
Rozkład Poissona
Rozkład Poissona ma zmienna losowa X, której
wartości podają liczbę zajść pewnego zdarzenia w
określonym przedziale czasu (np. liczę awarii
urządzenia w ciągu tygodnia).
k
µ e
P (X = k) =
k!
µ
,
k = 0, 1, 2, . . .
Rozkład Poissona
Rozkład Poissona jest dobrym przybliżeniem
rozkładu dwumianowego, gdy liczba doświadczeń n
jest duża (większa od 20), a prawdopodobieństwo
sukcesu p niewielkie (mniejsze od 0,05). Przyjmujemy
wtedy μ = np i korzystamy z poniższego wzoru:
k
µ e
P (X = k) =
k!
E(X) = µ,
µ
,
k = 0, 1, 2, . . .
V (x) = µ
1000 aparatów
200 pracowników
Jakie jest prawdopodobieństwo, że określona odmiana
aparatu telefonicznego zostanie zamówiona przez:
• żadnego pracownika,
• jednego pracownika,
• dwóch pracowników,
• trzech pracowników,
przy założeniu niezależności wyborów i tego, że
zamówienie któregokolwiek telefonu z 1000 odmian jest
równie prawdopodobne?
1000 marek aparatów
200 pracowników
n=200, p=0,001, μ=np=0,2
P (X = 0) =
P (X = 1) =
P (X = 2) =
P (X = 3) =
0, 20 e
0!
0, 21 e
1!
0, 22 e
2!
0, 23 e
3!
0,2
= 0, 8187
0,2
= 0, 1637
0,2
= 0, 0164
0,2
= 0, 0011
Rozkład hypergeometryczny
Jeśli pobieramy próbę z populacji N-elementowej,
jak w doświadczeniach Bernoullego, ale bez
zwracania, to zmienna losowa X będąca liczbą
sukcesów w ciągu n takich doświadczeń ma rozkład
hypergeometryczny. Niech S oznacza liczbę
elementów populacji, której wylosowanie stanowi
sukces. Wtedy prawdopodobieństwo uzyskania k
sukcesów w opisanym doświadczeniu jest równe:
P (X = k) =
S
k
N S
· n k
N
n
Zmienna losowa ciągła
Zmienna losowa ciągła to taka zmienna losowa, która
może przyjmować dowolne wartości z pewnego
przedziału liczbowego. Prawdopodobieństwa związane z
ciągłą zmienną losową X są wyznaczane przez tak zwaną
funkcję gęstości f(x), która ma następujące własności:
•
f(x) ≥ 0 dla wszystkich x,
•
prawdopodobieństwo, że zmienna X przyjmie wartość
między a i b jest równe polu pod wykresem funkcji f
między punktami x=a i x=b,
•
całe pole pod wykresem funkcji f ma miarę równą 1.
P (a 6 X 6 b) = pole pod krzywπ =
Z
b
f (x)dx
a
Dla zmiennej losowej ciągłej X:
P (X = x) = 0
P (a 6 X 6 b) = P (a < X < b)
P (a 6 X < b) = P (a < X < b)
P (a < X 6 b) = P (a < X < b)
Skumulowana funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
(dystrybuanta) zmiennej losowej ciągłej jest miarą pola
pod wykresem funkcji f(x) między najmniejszą możliwą
wartością X (często utożsamianą z -∞) a punktem x.
F (a) = P (X 6 a) =
Za
1
f (x)dx
3–23
Probability Density Function and Cumulative Distribution
Function of a Continuous Random Variable
F(x)
1.00
F(b)
F(a)
0
a
f(x)
b
x
P(a ! X ! b) = Area under
f(x) between a and b = F(b) — F(a)
Area =
F(a)
a
b
x
Pewne ważne rozkłady zmiennej losowej ciągłej
Rozkład normalny
Funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej
losowej o rozkładzie normalnym o wartości
oczekiwanej μ i odchyleniu standardowym σ jest:
f (x) =
1
p ·e
2⇡
1
2
(
x
µ
2
) ,
x 2 ( 1, +1)
zmienna X ma rozk≥ad normalny
ze úredniπ µ i wariancjπ
X ⇠ N (µ,
2
)
2
4–2 Three Normal Distributions
X ~ N(50,22)
0.2
W ~ N(60,22)
0.15
0.1
Y ~ N(50,52)
0.05
40
45
50
55
60
65
m 0 to $% is equal to 0.5. The table area associated with a point z is thus equa
value of the cumulative distribution function F (z ) minus 0.5.
Standaryzowaną normalną zmienną losową Z jest
normalna
zmienna
We define
the table
area as losowa o średniej μ = 0 i odchyleniu
standardowym σ = 1.
TA ! F(z) $ 0.5
Z ⇠ N (0, 1)
URE 4–3 The Standard Normal Density Function
f(z)
# !1
"!0
z
(4–4)
m 0 to $% is equal to 0.5. The table area associated with a point z is thus equa
value of the cumulative distribution function F (z ) minus 0.5.
Wykres gęstości jest symetryczny.
We define
thepod
tablecałym
area as
• Pole
wykresem jest równe 1.
• Pole pod prawą częścią
wykresu
TA ! F(z)
$ 0.5 od 0 jest równe 0,5. (4–4)
• Pole pod lewą częścią wykresu do 0 jest również
równe 0,5.
•
URE 4–3 The Standard Normal Density Function
f(z)
# !1
"!0
z
andian:
ss
h Edition
Back Matter
Appendix C: Statistical
Tables
Znajdowanie prawdopodobieństwa w tablicach
standaryzowanego rozkładu normalnego
Appendix C
TABLE 2
© The McGraw−Hill
Companies, 2009
Areas of the Standard Normal Distribution
Table area for z
0
z
The table areas are probabilities that the standard normal random variable is between 0 and z.
Second Decimal Place in z
z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.00
0.0000
0.0398
0.0793
0.1179
0.1554
0.1915
0.01
0.0040
0.0438
0.0832
0.1217
0.1591
0.1950
0.02
0.0080
0.0478
0.0871
0.1255
0.1628
0.1985
0.03
0.0120
0.0517
0.0910
0.1293
0.1664
0.2019
0.04
0.0160
0.0557
0.0948
0.1331
0.1700
0.2054
0.05
0.0199
0.0596
0.0987
0.1368
0.1736
0.2088
0.06
0.0239
0.0636
0.1026
0.1406
0.1772
0.2123
0.07
0.0279
0.0675
0.1064
0.1443
0.1808
0.2157
0.08
0.0319
0.0714
0.1103
0.1480
0.1844
0.2190
0.09
0.0359
0.0753
0.1141
0.1517
0.1879
0.2224
0.6
0.7
0.2257
0.2580
0.2291
0.2611
0.2324
0.2642
0.2357
0.2673
0.2389
0.2704
0.2422
0.2734
0.2454
0.2764
0.2486
0.2794
0.2517 0.2549
0.2823 0.2852
0.8
0.2881
0.2910
0.2939
0.2967
0.2995
0.3023
0.9
1.0
0.3159
0.3413
0.3186
0.3438
0.3212
0.3461
0.3238
0.3485
0.3264
0.3508
0.3289
0.3531
0.3051
0.3315
0.3554
0.3078
0.3340
0.3577
0.3106 0.3133
0.3365 0.3389
0.3599 0.3621
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
0.3643
0.3849
0.4032
0.4192
0.4332
0.3665
0.3869
0.4049
0.4207
0.4345
0.3686
0.3888
0.4066
0.4222
0.4357
0.3708
0.3907
0.4082
0.4236
0.4370
0.3729
0.3925
0.4099
0.4251
0.4382
0.3749
0.3944
0.4115
0.4265
0.4394
0.3770
0.3962
0.4131
0.4279
0.4406
0.3790
0.3980
0.4147
0.4292
0.4418
0.3810
0.3997
0.4162
0.4306
0.4429
1.6
1.7
0.4452
0.4554
0.4463
0.4564
0.4474
0.4573
0.4484
0.4582
0.4495
0.4505
0.4515
0.4525
0.4535 0.4545
1.8
1.9
2.0
0.4641
0.4713
0.4772
0.4649
0.4719
0.4778
0.4656
0.4726
0.4783
0.4664
0.4732
0.4788
0.4591
0.4671
0.4738
0.4793
0.4599
0.4678
0.4744
0.4798
0.4608
0.4686
0.4750
0.4803
0.4616
0.4693
0.4756
0.4808
0.4625
0.4699
0.4761
0.4812
0.4633
0.4706
0.4767
0.4817
2.1
2.2
2.3
2.4
0.4821
0.4861
0.4893
0.4918
0.4826
0.4864
0.4896
0.4920
0.4830
0.4868
0.4898
0.4922
0.4834
0.4871
0.4901
0.4925
0.4838
0.4875
0.4904
0.4927
0.4842
0.4878
0.4906
0.4929
0.4846
0.4881
0.4909
0.4931
0.4850
0.4884
0.4911
0.4932
0.4854
0.4887
0.4913
0.4934
0.4857
0.4890
0.4916
0.4936
0.4951 0.4952
0.3830
0.4015
0.4177
0.4319
0.4441
2.5
0.4938
0.4940
0.4941
0.4943
0.4945
0.4946
0.4948
0.4949
2.6
0.4953
0.4955
0.4956
0.4957
0.4959
0.4960
0.4961
0.4962
0.4963 0.4964
2.7
2.8
2.9
0.4965
0.4974
0.4981
0.4966
0.4975
0.4982
0.4967
0.4976
0.4982
0.4968
0.4977
0.4983
0.4969
0.4977
0.4984
0.4970
0.4978
0.4984
0.4971
0.4979
0.4985
0.4972
0.4979
0.4985
0.4973 0.4974
0.4980 0.4981
0.4986 0.4986
3.0
0.4987
0.4987
0.4987
0.4988
0.4988
0.4989
0.4989
0.4989
0.4990 0.4990
3.1
3.2
3.3
0.4990
0.4993
0.4995
0.4991
0.4993
0.4995
0.4991
0.4994
0.4995
0.4991
0.4994
0.4996
0.4992
0.4994
0.4996
0.4992
0.4994
0.4996
0.4992
0.4994
0.4996
0.4992
0.4995
0.4996
0.4993 0.4993
0.4995 0.4995
0.4996 0.4997
3.4
0.4997
0.4997
0.4997
0.4997
0.4997
0.4997
0.4997
0.4997
0.4997 0.4998
3.5
4.0
4.5
5.0
0.4998
0.49997
0.499997
0.4999997
6.0
0.49999999
TA(z) to podawana w tablicy miara
pola (pod krzywą standardowej
gęstości normalnej) wyznaczonego
przez punkt z leżący na prawo od
0 taki, że
TA(z) = F(z) - 0,5
gdzie F(z) jest wartością
dystrybuanty rozkładu normalnego.
Table area for z
Aczel−Sounderpandian:
Complete Business
Seventh Edition
The table areas are probabilities that the standard normal random variable is betweenStatistics,
0 and z.
0
z
4. The Normal Distribution
Text
Second Decimal Place in z
z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.00
0.0000
0.0398
0.0793
0.1179
0.1554
0.1915
0.01
0.0040
0.0438
0.0832
0.1217
0.1591
0.1950
0.02
0.0080
0.0478
0.0871
0.1255
0.1628
0.1985
0.03
0.0120
0.0517
0.0910
0.1293
0.1664
0.2019
0.04
0.0160
0.0557
0.0948
0.1331
0.1700
0.2054
0.05
0.0199
0.0596
0.0987
0.1368
0.1736
0.2088
0.06
0.0239
0.0636
0.1026
0.1406
0.1772
0.2123
0.07
0.0279
0.0675
0.1064
0.1443
0.1808
0.2157
0.08
0.0319
0.0714
0.1103
0.1480
0.1844
0.2190
0.09
0.0359
0.0753
0.1141
0.1517
0.1879
0.2224
0.6
0.7
0.2257
0.2580
0.2291
0.2611
0.2324
0.2642
0.2357
0.2673
0.2389
0.2704
0.2422
0.2734
0.2454
0.2764
0.2486
0.2794
0.2517 0.2549
FIGURE
0.2823
0.2852 4–5
0.8
0.2881
0.2910
0.2939
0.2967
0.2995
0.3023
0.9
1.0
0.3159
0.3413
0.3186
0.3438
0.3212
0.3461
0.3238
0.3485
0.3264
0.3508
0.3289
0.3531
0.3051
0.3315
0.3554
0.3078
0.3340
0.3577
0.3106 0.3133
0.3365 0.3389
0.3599 0.3621
1.1
1.2
0.3643
0.3849
0.3665
0.3869
0.3686
0.3888
0.3708
0.3907
0.3729
0.3925
0.3749
0.3944
0.3770
0.3962
0.3790
0.3980
0.3810 0.3830
0.3997 0.4015
1.3
0.4032
0.4049
0.4066
0.4082
0.4099
0.4115
0.4131
0.4147
0.4162 0.4177
1.4
1.5
0.4192
0.4332
0.4207
0.4345
0.4222
0.4357
0.4236
0.4370
0.4251
0.4382
0.4265
0.4394
0.4279
0.4406
0.4292
0.4418
0.4306 0.4319
0.4429 0.4441
1.6
1.7
0.4452
0.4554
0.4463
0.4564
0.4474
0.4573
0.4484
0.4582
0.4495
0.4505
0.4515
0.4525
0.4535 0.4545
0.4591
0.4599
0.4608
0.4616
0.4625 0.4633
1.8
0.4641
0.4649
0.4656
0.4664
0.4671
0.4678
0.4686
0.4693
0.4699 0.4706
1.9
2.0
0.4713
0.4772
0.4719
0.4778
0.4726
0.4783
0.4732
0.4788
0.4738
0.4793
0.4744
0.4798
0.4750
0.4803
0.4756
0.4808
0.4761 0.4767
0.4812 0.4817
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
0.4821
0.4861
0.4893
0.4918
0.4938
0.4826
0.4864
0.4896
0.4920
0.4940
0.4830
0.4868
0.4898
0.4922
0.4941
0.4834
0.4871
0.4901
0.4925
0.4943
0.4838
0.4875
0.4904
0.4927
0.4945
0.4842
0.4878
0.4906
0.4929
0.4946
0.4846
0.4881
0.4909
0.4931
0.4948
0.4850
0.4884
0.4911
0.4932
0.4949
0.4854
0.4887
0.4913
0.4934
0.4951
2.6
2.7
2.8
0.4953
0.4965
0.4974
0.4955
0.4966
0.4975
0.4956
0.4967
0.4976
0.4957
0.4968
0.4977
0.4959
0.4969
0.4977
0.4960
0.4970
0.4978
0.4961
0.4971
0.4979
0.4962
0.4972
0.4979
0.4963
0.4973
0.4980
2.9
3.0
0.4981
0.4987
0.4982
0.4987
0.4982
0.4987
0.4983
0.4988
0.4984
0.4988
0.4984
0.4989
0.4985
0.4989
0.4985
0.4989
0.4986
0.4990
3.1
3.2
3.3
3.4
0.4990
0.4993
0.4995
0.4997
0.4991
0.4993
0.4995
0.4997
0.4991
0.4994
0.4995
0.4997
0.4991
0.4994
0.4996
0.4997
0.4992
0.4994
0.4996
0.4997
0.4992
0.4994
0.4996
0.4997
0.4992
0.4994
0.4996
0.4997
0.4992
0.4995
0.4996
0.4997
0.4993
0.4995
0.4996
0.4997
3.5
4.0
4.5
5.0
0.4998
0.49997
0.499997
0.4999997
6.0
0.49999999
0.4857
0.4890
0.4916
0.4936
0.4952
P (0 < Z < 1, 56) = T A(1, 56) = 0, 04406
The Normal Distribution
Finding the Probability That Z Is Less Than !2.47
Table area for 2.47
Area to the left of – 2.47
– 2.47
0
2.47
z
P (Z <
2, 47) = P (Z > 2, 47) =
= 0, 5
= 0, 5
T A(2, 47) =
0, 4932 = 0, 0068
1. Let us find the probability that the value of the standard normal random
variable will be between 0 and 1.56. That is, we want P (0 " Z " 1.56). In
Figure 4–4, substitute 1.56 for the point z on the graph. We are looking for the
0.4964
table area in the row labeled 1.5 and the column labeled 0.06. In the table, we
0.4974
find the probability 0.4406.
0.4981
0.4986
2.
Let us find the probability that Z will be less than !2.47. Figure 4–5 shows the
0.4990
required area for the probability P(Z " !2.47). By the symmetry of the normal
0.4993
0.4995
curve, the area to the left of !2.47 is exactly equal to the area to the right of 2.47.
0.4997
We find
0.4998
P (Z " !2.47) # P (Z $ 2.47) # 0.5000 ! 0.4932 # 0.0068
Rozkład t Studenta
Na poniższym rysunku przedstawiono wykresy funkcji gęstości
rozkładu t z różnymi stopniami swobody df (degrees of freedom).
TABLE 3
Critical Values of the t Distribution
"
t"
Degrees of
Freedom
1
2
3
4
t.100
3.078
1.886
1.638
1.533
t.050
t.025
t.010
t.005
6.314
2.920
2.353
2.132
12.706
4.303
3.182
2.776
31.821
6.965
4.541
3.747
63.657
9.925
5.841
4.604
5
6
7
8
1.476
1.440
1.415
1.397
2.015
1.943
1.895
1.860
2.571
2.447
2.365
2.306
3.365
3.143
2.998
2.896
4.032
3.707
3.499
3.355
9
1.383
1.833
2.262
2.821
3.250
10
1.372
11
12
13
1.363
1.356
1.350
1.812
1.796
1.782
1.771
2.228
2.201
2.179
2.160
2.764
2.718
2.681
2.650
3.169
3.106
3.055
3.012
14
1.345
1.761
2.145
2.624
2.977
15
16
17
18
19
1.341
1.337
1.333
1.330
1.328
1.753
1.746
1.740
1.734
1.729
2.131
2.120
2.110
2.101
2.093
2.602
2.583
2.567
2.552
2.539
2.947
2.921
2.898
2.878
2.861
20
21
22
23
24
1.325
1.323
1.321
1.319
1.318
1.725
1.721
1.717
1.714
1.711
2.086
2.080
2.074
2.069
2.064
2.528
2.518
2.508
2.500
2.492
2.845
2.831
2.819
2.807
2.797
25
26
27
28
29
1.316
1.315
1.314
1.313
1.311
1.708
1.706
1.703
1.701
1.699
2.060
2.056
2.052
2.048
2.045
2.485
2.479
2.473
2.467
2.462
2.787
2.779
2.771
2.763
2.756
30
40
60
1.310
1.303
1.296
1.697
1.684
1.671
2.042
2.021
2.000
2.457
2.423
2.390
2.750
2.704
2.660
120
1.289
1.658
1.980
2.358
2.617
!
1.282
1.645
1.960
2.326
2.576
Source: M. Merrington, “Table of Percentage Points of the t-Distribution,” Biometrika 32 (1941), p. 300.
Reproduced by permission of the Biometrika trustees.
W dalszym ciągu nie
będzie nam potrzebna
znajomość wzoru na
funkcję gęstości. Dla
naszych zastosowań
wystarczy wiedzieć jak
wygląda w przybliżeniu
wykres i jak korzystać z
tablic tego rozkładu.
Rozkład chi-kwadrat
Na poniższym rysunku przedstawiono wykresy funkcji gęstości
rozkładu chi-kwadrat z różnymi stopniami swobody df.
Przekształcenia normalnej zmiennej losowej
Niech X bÍdzie zmiennπ losowπ o rozk≥adzie normalnym o wartoúci oczekiwanej µ i odchyleniu standardowym
2
X ⇠ N (µ,
Wtedy zmienna losowa Z dana wzorem
Z=
X
µ
ma rozk≥ad normalny standardowy, tzn.
Z ⇠ N (0, 1)
)
Z=
X
µ
,
P (X < b) = P
P (a < X) = P
P (a < X < b) = P
✓
✓
✓
X=Z·
Z<
a
a
b
µ
µ
µ
+µ
◆
<Z
◆
<Z<
b
µ
◆
Przykład 1.
2
X ⇠ N (50, 10 ),
µ = 50,
= 10
P (X < 60) =? P (X > 55) =?
✓
◆
X µ
60 µ
P (X < 60) = P
<
=
=P
✓
Z<
60
50
10
◆
= P (Z < 1) =
= F (1) = 0, 84134
P (X > 55) = P
=P
✓
✓
X
Z>
µ
>
55
55
50
10
µ
◆
◆
=
= P (Z > 0, 5) =
=P
✓
Z>
55
50
10
◆
= P (Z > 0, 5) =
=1
P (Z 6 0, 5) = 1
=1
0, 69146 = 0, 30854
F (0, 5) =
P (X < 45) =?
P (X < 45) = P
✓
Z<
= F ( 0, 5)
45
50
10
◆
= P (Z <
0, 5) =
Zauwaømy, øe
F ( a) = P (Z 6
a) =
= P (Z > a) = 1
=1
P (Z < a) =
F (a)
czyli
F ( a) = 1
F (a)
Zatem wracajπc do przyk≥adu
P (X < 45) = P
✓
Z<
45
50
10
= F ( 0, 5) = 1
=1
◆
= P (Z <
F (0, 5) =
0, 69146 = 0, 30854
0, 5) =
Przykład 2.
Przebieg silnika:
• úrednio 160000 km
• z odchyleniem 30000 km
Jakie jest prawdopodobieÒstwo, øe silnik
wytrzyma przebieg miÍdzy 100000 a 180000 km?
2
X ⇠ N (160000, 30000 ),
P (100000 < X < 180000) = P
✓
= 30000
100000 160000
180000 160000
<Z<
30000
30000
= P ( 2 < Z < 0, 66) = F (0, 66)
= F (0, 66) + F (2)
µ = 160000,
F ( 2) = F (0, 66)
1 = 0, 74537 + 0, 97725
(1
◆
=
F (2)) =
1 = 0, 72262
Znajdowanie wartoúci z takiej, øe P (Z 6 z) = ↵
Przykład 3.
Z ⇠ N (0, 1)
P (Z 6 z) = 0, 9,
Dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego
P (Z 6 z) = F (z)
1
z =?
X – zmienna losowa, f(x) – funkcja gęstości, F(x) – dystrybuanta
X~N (0, 1),
f (x) =
2π
e
−
x2
2
x
,
F(x)=
∫ f ( t ) dt
Szukamy rozwiπzania równania F (z) = 0, 9
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,00
0,50000
0,53983
0,57926
0,61791
0,65542
0,69146
0,72575
0,75804
0,78814
0,81594
0,84134
0,86433
0,88493
0,90320
0,91924
0,93319
0,94520
0,95543
0,96407
0,97128
0,01
0,50399
0,54380
0,58317
0,62172
0,65910
0,69497
0,72907
0,76115
0,79103
0,81859
0,84375
0,86650
0,88686
0,90490
0,92073
0,93448
0,94630
0,95637
0,96485
0,97193
0,02
0,50798
0,54776
0,58706
0,62552
0,66276
0,69847
0,73237
0,76424
0,79389
0,82121
0,84614
0,86864
0,88877
0,90658
0,92220
0,93574
0,94738
0,95728
0,96562
0,97257
0,03
0,51197
0,55172
0,59095
0,62930
0,66640
0,70194
0,73565
0,76730
0,79673
0,82381
0,84849
0,87076
0,89065
0,90824
0,92364
0,93699
0,94845
0,95818
0,96638
0,97320
0,04
0,51595
0,55567
0,59483
0,63307
0,67003
0,70540
0,73891
0,77035
0,79955
0,82639
0,85083
0,87286
0,89251
0,90988
0,92507
0,93822
0,94950
0,95907
0,96712
0,97381
−∞
0,05
0,51994
0,55962
0,59871
0,63683
0,67364
0,70884
0,74215
0,77337
0,80234
0,82894
0,85314
0,87493
0,89435
0,91149
0,92647
0,93943
0,95053
0,95994
0,96784
0,97441
0,06
0,52392
0,56356
0,60257
0,64058
0,67724
0,71226
0,74537
0,77637
0,80511
0,83147
0,85543
0,87698
0,89617
0,91308
0,92785
0,94062
0,95154
0,96080
0,96856
0,97500
0,07
0,52790
0,56749
0,60642
0,64431
0,68082
0,71566
0,74857
0,77935
0,80785
0,83398
0,85769
0,87900
0,89796
0,91466
0,92922
0,94179
0,95254
0,96164
0,96926
0,97558
0,08
0,53188
0,57142
0,61026
0,64803
0,68439
0,71904
0,75175
0,78230
0,81057
0,83646
0,85993
0,88100
0,89973
0,91621
0,93056
0,94295
0,95352
0,96246
0,96995
0,97615
0,09
0,53586
0,57535
0,61409
0,65173
0,68793
0,72240
0,75490
0,78524
0,81327
0,83891
0,86214
0,88298
0,90147
0,91774
0,93189
0,94408
0,95449
0,96327
0,97062
0,97670
z = 1, 28