1 Wektory

Geometria analityczna w przestrzeni
1
Wektory
1.1
Podstawowe poj¦cia
Denicja
Wektorem zaczepionym w przestrzeni R3 nazywamy uporz¡dkowan¡ par¦ punktów A oraz B
−−→
i oznaczamy go przez AB . Punkt A nazywamy jego pocz¡tkiem, a punkt B jego ko«cem.
−−→
AB
B
A
Denicja
−−→
→
−
Gdy A = B , wektor AB nazywamy zerowym i oznaczamy 0 .
Denicja
Dwa wektory nazywamy równolegªymi, je»eli proste zawieraj¡ce te wektory s¡ równolegªe.
Mówimy, »e wektory równolegªe maj¡ ten sam kierunek.
Denicja
Dwa niezerowe wektory maj¡ ten sam zwrot, gdy póªprosta wyznaczona przez pierwszy wektor
(tj. póªprosta o tym samym pocz¡tku zawieraj¡ca ten wektor) da si¦ równolegle przesun¡¢
na póªprost¡ wyznaczona przez drugi wektor.
Denicja
Je»eli dwa równolegªe wektory nie maj¡ tego samego zwrotu, to mówimy, »e maj¡ zwroty
przeciwne.
Denicja
−−→
Dªugo±ci¡ (ozn. |AB|) wektora nazywamy odlegªo±¢ punktów wyznaczaj¡cych ten wektor.
Denicja
Dwa wektory s¡ równe wtedy i tylko wtedy, gdy maj¡ jednakowy kierunek, zwrot i dªugo±¢.
1
Twierdzenie
Ka»dy wektor mo»na jednoznacznie okre±li¢ przez podanie jego kierunku, zwrotu i dªugo±ci.
Denicja
Katem mi¦dzy niezerowymi wektorami ~a i ~b jest k¡t mniejszy lub równy póªpeªnemu wyznaczony
przez póªproste okre±lone przez te wektory (póªproste maj¡ wspólny pocz¡tek), oznaczamy go
przez α lub ^(~a, ~b).
α
α
1.2
Reguªa równolegªoboku
~b
~a +
~b
~a −
b~
~a
Denicja
Iloczynem skalarnym wektorów ~a i ~b nazywamy
liczb¦
~a ◦ ~b = |~a| · |~b| · cos ^(~a, ~b).
1.3
Orientacja
Denicja
Dane s¡ trzy niezerowe wektory ~a, ~b, ~c zaczepione w jednym punkcie i niele»¡ce w jednej
pªaszczy¹nie.
Mówimy, »e tworz¡ one ukªad prawoskr¦tny, je»eli patrz¡c od strony ko«ca wektora ~c na
pªaszczyzn¦ wyznaczon¡ przez wektory ~a i ~b widzimy, »e k¡t skierowany (czyli k¡t mierzony
w kierunku odwrotnym do kierunku obrotu wskazówek zegara)
od ~a do ~b jest mniejszy ni» od ~b do ~a.
2
1.4
Iloczyny
Denicja
Iloczynem wektorowym ~a × ~b nierównolegªych wektorów ~a i ~b nazywamy
o nast¦puj¡cych wªasno±ciach:
wektor
~c
• kierunek wektora ~c jest prostopadªy do kierunków ~a i ~b,
• zwrot wektora ~c jest taki, »e ~a, ~b, ~c tworz¡ ukªad prawoskr¦tny,
• dªugo±¢ wektora ~c jest równa |~a| · |~b| · sin ^(~a, ~b).
Fakt
1) ~a × ~b = −~b × ~a,
2) ~a × ~b = ~0 wtedy i tylko wtedy, gdy ~a i ~b s¡ równolegªe,
3) pole równolegªoboku zbudowanego na wektorach ~a i ~b jest równe P = |~a × ~b|,
4) pole trójk¡ta zbudowanego na wektorach ~a i ~b jest równe P = 21 |~a × ~b|.
Denicja
Iloczynem mieszanym wektorów ~a, ~b, ~c nazywamy
(~a, ~b, ~c).
liczb¦ (~a × ~b) ◦ ~c i oznaczamy j¡ ~a ~b ~c lub
Fakt
1) Obj¦to±¢ równolegªo±cianu zbudowanego na wektorach ~a, ~b i ~c jest równa V = |(~a, ~b, ~c)|
( | · | oznacza warto±¢ bezwzgl¦dn¡).
2) Obj¦to±¢ czworo±cianu zbudowanego na wektorach ~a, ~b i ~c jest równa V = 61 |(~a, ~b, ~c)|.
Twierdzenie
Zerowanie si¦ iloczynów skalarnego, wektorowego i mieszanego ma nast¦puj¡cy sens
geometryczny:
1) ~a ◦ ~b = 0 ⇔ ~a ⊥ ~b,
2) ~a × ~b = 0 ⇔ ~a k ~b,
3) (~a, ~b, ~c) = 0 ⇔ ~a, ~b, ~c le»¡ w jednej pªaszczy¹nie.
1.5
Wektory w ukªadzie wspóªrz¦dnych
Na ka»dej osi
Ox, Oy, Oz
tworzymy
wersory
tzn. wektory dªugo±ci 1 o kierunku i zwrocie zgodnym
ze zwrotem odpowiedniej osi. Oznaczamy je
~i = [1, 0, 0],
~j = [0, 1, 0],
~k = [0, 0, 1].
Rozpatrujemy w przestrzeni prawoskr¦tny ukªad wspóªrz¦dnych, tzn. wektory
prawoskr¦tny.
3
~i, ~j, ~k
tworz¡ ukªad
Ka»dy wektor w przestrzeni mo»na rozªo»y¢ na sum¦ trzech wektorów le»¡cych na osiach, tzn.
istniej¡ takie liczby
a1 , a2 , a3 ∈ R,
»e
~a = a1 · ~i + a2 · ~j + a3 · ~k.
Liczby
a1 , a2 , a3
wspóªrz¦dnymi wektora ~a.
~a = [a1 , a2 , a3 ] i mo»emy ten wektor potraktowa¢ jako wektor swobodny odpowia−→
OA o pocz¡tku w punkcie O = (0, 0, 0) i ko«cu w punkcie A = (a1 , a2 , a3 ).
okre±lone s¡ jednoznacznie i nazywamy je
Piszemy wtedy
daj¡cy wektorowi
z
(a1 , a2 , a3 )
y
a3 · ~k
a2 · ~j
~a
x
a1 · ~i
Gdy
P = (p1 , p2 , p3 ) i Q = (q1 , q2 , q3 ),
to
−−→
P Q = [q1 − p1 , q2 − p2 , q3 − p3 ].
Dªugo±¢
−−→
|P Q|
wektora
−−→
P Q = [q1 − p1 , q2 − p2 , q3 − p3 ] wyra»a si¦ wzorem
p
−−→
|P Q| = (q1 − p1 )2 + (q2 − p2 )2 + (q3 − p3 )2 .
Twierdzenie
Niech ~a = [a1 , a2 , a3 ], ~b = [b1 , b2 , b3 ], ~c = [c1 , c2 , c3 ] b¦d¡ wektorami w przestrzeni R3 .
Wtedy
• suma i ró»nica
~a + ~b = a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ,
~a − ~b = a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 ,
• mno»enie przez liczb¦
dla k ∈ R,
k · ~a = [k · a1 , k · a2 , k · a3 ],
• iloczyn skalarny
• iloczyn wektorowy
• iloczyn mieszany
~a ◦ ~b = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3 ,
~i ~j
~a × ~b = a1 a2
b1 b2
a1
~
(~a, b, ~c) = b1
c1
4
a2
b2
c2
~k
a3
b3
a3
b3
c3
,
.
Twierdzenie
Dla wektorów ~a = [a1 , a2 , a3 ] i ~b = [b1 , b2 , b3 ] prawdziwe s¡ zale»no±ci
1) ~a ⊥ ~b ⇔ ~a ◦ ~b = 0,
a1
a2
a3
=
= , o ile wszystkie te liczby nie s¡ zerami, za± je±li która± z liczb jest
b1
b2
b3
równa 0, to druga liczba w tym samym uªamku te» musi wynosi¢ 0 i taki uªamek pomija
si¦ w tym warunku.
2) ~a k ~b ⇔
2
Pªaszczyzny
2.1
Równanie normalne pªaszczyzny
π : A · (x − x0 ) + B · (y − y0 ) + C · (z − z0 ) = 0
Jest
to
równanie
pªaszczyzny
do niezerowego wektora
2.2
przechodz¡cej
~n = [A, B, C]
zwanego
przez
punkt
P
= (x0 , y0 , z0 )
i
wektorem normalnym tej pªaszczyzny.
prostopadªej
Równanie ogólne pªaszczyzny
π : Ax + By + Cz + D = 0,
|A| + |B| + |C| > 0
gdzie
Jest to równanie pªaszczyzny o wektorze normalnym
~n = [A, B, C].
Uwaga
Je±li C 6= 0, to pªaszczyzna π przecina o± Oz w punkcie P = (0, 0, − D
C ).
2.3
Równanie ogólne
π : Ax + By + Cz + D = 0,
|A| + |B| + |C| > 0
gdzie
Uwaga
Oto niektóre przypadki szczególne równania ogólnego:
• A = 0 ⇔ πkOx,
• B = 0 ⇔ πkOy ,
• C = 0 ⇔ πkOz ,
• D = 0 ⇔ ±rodek ukªadu wspóªrz¦dnych (0, 0, 0) nale»y do π .
2.4
Równanie parametryczne pªaszczyzny

 x = x0 + λa1 + αb1
y = y0 + λa2 + αb2 ,
π:

z = z0 + λa3 + αb3
Jest
to
równanie
pªaszczyzny
nierównolegªych wektorach

α, λ ∈ R,
przechodz¡cej
przez
punkt
v~1 = [a1 , a2 , a3 ], v~2 = [b1 , b2 , b3 ].
5
a1
R  a2
a3
P

b1
b2  = 2
b3
=
(x0 , y0 , z0 )
rozpi¦tej
na
2.5
Równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez trzy punkty
π : x
x1
x2
x3
y
y1
y2
y3
z
z1
z2
z3
1
1
1
1
=0
Jest to równanie pªaszczyzny przechodz¡cej przez trzy niewspóªliniowe punkty
P1 = (x1 , y1 , z1 ),
P2 = (x2 , y2 , z2 ), P3 = (x3 , y3 , z3 ).
3
Krzywe drugiego stopnia
Denicja
Krzywe drugiego stopnia to zbiór punktów pªaszczyzny, których wspóªrz¦dne speªniaj¡ równanie
Ax2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0,
przy czym przynajmniej jedna z liczb A, B, C nie jest zerem.
3.1
Krzywe sto»kowe
Denicja
Sto»kowymi nazywamy krzywe, które mo»na otrzyma¢ w wyniku przeci¦cia sto»ka pªaszczyzn¡
nieprzechodz¡c¡ przez wierzchoªek.
Fakt
Krzywe sto»kowe s¡ tzw. niezdegenerowanymi krzywymi drugiego stopnia.
• Okr¡g
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2
• Elipsa
x2
a2
• Parabola
+
y2
b2
=1
y 2 = 2px
x2
a2
• Hiperbola
y2
b2
−
=1
Fakt
Zdegenerowane krzywe drugiego stopnia to krzywe o równaniach:
x2
a2
• Dwie przecinaj¡ce si¦ proste
• Dwie proste równolegªe
x2
a2
• Jedna prosta
• Punkt
• Zbiór pusty
x2
a2
+
x2
a2
−
y2
b2
=0
=1
=0
y2
b2
=0
x2
a2
= −1
lub
x2
a2
+
y2
b2
= −1
i krzywe otrzymane z powy»szych przez obrót lub przesuni¦cie.
6
4
Powierzchnie drugiego stopnia
Denicja
Powierzchni¡ stopnia drugiego nazywamy zbiór punktów przestrzeni trójwymiarowej, których
wspóªrz¦dne speªniaj¡ równanie
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0,
gdzie przynajmniej jedna ze staªych A, B, C, D, E, F jest ró»na od zera.
Fakt
Ka»d¡ powierzchni¦ drugiego stopnia mo»na tak obróci¢ i przesun¡¢, by jej równanie przybraªo
jedn¡ z nast¦puj¡cych postaci:
• Elipsoida (sfera)
x2
a2
• Elipsoida
x2
a2
• Sto»ek
+
x2 + y 2 + z 2 = r2
+
y2
b2
y2
b2
−
• Walec eliptyczny
z2
c2
+
z2
c2
x2
a2
• Walec paraboliczny
=1
=0
+
y2
b2
=1
y 2 = 2px
• Walec hiperboliczny
• Paraboloida eliptyczna
−
y2
b2
=1
x2
a2
+
y2
b2
x2
a2
• Paraboloida hiperboliczna
x2
a2
= 2pz
−
y2
b2
x2
a2
• Hiperboloida jednopowªokowa
x2
a2
• Hiperboloida dwupowªokowa
= 2pz
+
−
y2
b2
y2
b2
−
−
z2
c2
z2
c2
=1
= −1
Zdegenerowane powierzchnie drugiego stopnia:
• Pªaszczyzna
x2
=0
a2
• Dwie przecinaj¡ce si¦ pªaszczyzny
• Dwie równolegªe pªaszczyzny
• Prosta
x2
y2
+
=0
a2
b2
• Punkt
x2
y2
z2
+ 2 + 2 =0
2
a
b
c
x2
= −1 lub
a2
2
2
y
z2
x
+
+
= −1
a2
b2
c2
• Zbiór pusty
lub
x2
y2
− 2 =0
2
a
b
x2
=1
a2
x2
y2
+
= −1
a2
b2
7