Kwadratury Romberga

Kwadratury Romberga
Chocia» metoda trapezów jest najªatwiejsz¡ do zastosowania formuª¡
Newtona-Cotesa to jest ona czasami obarczona du»ym bª¦dem ze wzgl¦du na
równoodlegªo±¢ w¦zªów. Dla wielu zagadnie« nie jest to a» tak wa»ne ograniczenie, ale jest niewªa±ciwe, je»eli caªkujemy funkcj¦ po przedziale, który
zawiera obszary o du»ych odchyleniach funkcji, jak i obszary o maªych odchyleniach. Obszar o du»ych odchyleniach wymaga bowiem maªego "kroku",
podczas gdy obszar o maªej zmienno±ci nie potrzebuje maªego kroku. Caªkowanie metod¡ Romberga posiada szerokie zastosowania, poniewa» u»ywa
zªo»onej metody trapezów w celu otrzymania wst¦pnej przybli»onej warto±ci,
a nast¦pnie stosuje ekstrapolacj¦ Richardsona, aby polepszy¢ wynik.
Przypomnijmy, »e zªo»ona metoda trapezów na przedziale [a, b] u»ywaj¡ca
m podprzedziaªów wyra»a si¦ wzorem
Z b
a
m−1
i
X
hh
(b − a)h2 00
f (x)dx = f (a) + f (b) + 2
f (ζ),
f (xj ) −
2
12
j=1
gdzie ζ ∈ (a, b), h = (b − a)/m oraz xj = a + jh dla ka»dego j = 0, 1, . . . , m.
Pierwszy krok w metodzie Romberga polega na zastosowaniu zªo»onej
metody trapezów dla m1 = 1, m2 = 2, m3 = 4, . . . , mn = 2n−1 , gdzie n jest
pewn¡ liczb¡ naturaln¡. Warto±¢ kroku hk odpowiadaj¡cego podziaªowi mk
wynosi hk = (b − a)/mk = (b − a)/2k−1 , a formuªa zªo»onej metody trapezów
w k − tym kroku ma posta¢:
Z b
a
k−1
f (x)dx =
2 X−1
i
hk h
(b − a)h2k 00
f (a) + f (b) + 2
f (ζk ),
f (a + ihk ) −
2
12
i=1
gdzie ζk ∈ (a, b).
Wprowad¹my oznaczenie:
R1,1 =
R2,1 =
=
=
R3,1 =
=
h1
(b − a)
[f (a) + f (b)] =
[f (a) + f (b)];
2
2
h2
[f (a) + f (b) + 2f (a + h2 )]
2
³
(b − a) ´i
(b − a) h
f (a) + f (b) + 2f a +
4
2
1
1
[R1,1 + h1 f (a + h1 )];
2
2
h ³
³
³
h3 n
(b − a) ´
(b − a) ´
3(b − a) ´io
f (a) + f (b) + 2 f a +
+f a+
+f a+
2
4
2
4
n
h
³
´
³
´
³
(b − a)
(b − a)
(b − a)
3(b − a) ´io
f (a) + f (b) + 2 f a +
+f a+
+f a+
8
4
2
4
1
=
³
h ³
1n
h2 ´
3h2 ´io
R2,1 + h2 f a +
+f a+
.
2
2
2
Wtedy ogólny wzór to
Rk,1
k−2
2X
³
³
´i
1h
1´
= Rk−1,1 + hk−1
f a + i − hk−1
2
2
i=1
dla ka»dego k = 2, 3, . . . , n. Mo»na wykaza¢, »e mimo i» obliczenia te nie
s¡ trudne zbie»no±¢ powy»szych formuª do rzeczywistej warto±ci caªki jest
wolna, dlatego te» aby j¡ przyspieszy¢ stosuje si¦ ekstrapolacj¦ Richardsona.
Wówczas otrzymujemy ci¡g przybli»e« warto±ci caªki zgodnie ze wzorem:
Ri,j =
4j−1 Ri,j−1 − Ri−1,j−1
4j−1 − 1
dla ka»dego i = 2, 3, 4, . . . , n oraz j = 2, . . . , i. (Wi¦cej szczegóªów prosz¦
odnale¹¢ w podanej na zaj¦ciach literaturze).
Warunek stopu: obliczanie kolejnych przybli»e« caªki ko«czymy albo po
okre±lonej z góry liczbie kroków, albo kiedy ró»nica mi¦dzy kolejnymi przybli»eniami jest mniejsza od »¡danej z góry dokªadno±ci.
2