ML 12 1 I = L 2 1 h = Mh II + = ML 12 1 I = L 2 1 h = ML 3 1 I = K MV 2

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
. Niech
I śm
90
oznacza moment bezwładności względem osi przechodzącej
przez środek masy ciała o masie i niech
I
będzie momentem
śm
bezwładności tego ciała względem osi równoległej do poprzedniej i
oddalonej o
h od niej. Twierdzenie Steinera stwierdza, Ŝe:
Rysunek 9-7
.
I = I śm + Mh 2
9-21
Twierdzenie Steinera
gdzie
M -masa ciała
PRZYKŁAD
Znajdź moment bezwładności pręta o stałej gęstości względem osi
Rysunek 9-8
y
przechodzącej przez koniec pręta (Rysunek 9-8) .
Analiza zadania. Wiemy, Ŝe moment bezwładności pręta względem
śm
1
ML2 .
12
1
MoŜemy zastosować twierdzenie Steinera podstawiając h =
L.
2
1. Zastosuj twierdzenie Steinera
I = I śm + Mh 2
1
1
1
2. Podstaw I =
ML2 i h = L
I = ML2
12
2
3
osi przechodzącej przez jego środek wynosi
I=
Dowód twierdzenia Steinera.
Twierdzenie Steinera moŜna udowodnić korzystając z twierdzenia o
Rysunek 9-9
energii kinetycznej, które zostało wyprowadzonego w poprzednim
wykładzie: Energia kinetyczna układu cząstek jest równa energii
kinetycznej środka masy plus energii kinetycznej cząstek względem
środka masy:
1
K = MVś2m + K wzgl
2
śm
9-22
RozwaŜmy bryłę sztywną obracającą się z prędkością kątową
9-22
ω
wokół osi oddalonej o
osi przechodzącej przez środek masy ( Rysunek 9-9 ). JeŜeli bryła obróci się o kąt
dθ
h
od równoległej
względem pewnej osi,
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
to obróci się o ten sam kąt
91
dθ względem dowolnej innej osi równoległej do niej. Ruch ciała względem środka
masy jest po prostu ruchem obrotowym z prędkością kątową
ω
względem osi przechodzącej przez środek
masy. W związku z tym energia kinetyczna ruchu względnego będzie równa:
K wzgl =
1
I śmω 2
2
Prędkość środka masy względem dowolnego punktu na osi obrotu wynosi
vśm = hω . W rezultacie energia
kinetyczna środka masy jest równa:
1
1
1
Mv 2śm = M (hω )2 = Mω 2 h 2
2
2
2
Podstawiając powyŜsze wzory do równania 9-22 i uwzględniając 9-21 otrzymujemy:
K=
(
)
1
1
1
1
Mω 2 h 2 + I śmω 2 = Mh 2 + I śm ω 2 = Iω 2
2
2
2
2
Widać, Ŝe :
I = Mh 2 + I śm
co jest treścią twierdzenia Steinera.
Zastosowanie drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego.
RozwaŜmy sznurek, który jest nawinięty na obracający się cylinder. JeŜeli sznurek nie ślizga się to prędkość
liniowa sznurka jest, oczywiście, równa prędkości stycznej na obwodzie cylindra:
vt = Rω
9-23
Związek między
ω i v w przypadku braku poślizgu.
JeŜeli zróŜniczkować równanie 9-23 ( policzyć pochodną obu stron równania ) po czasie, to otrzymamy związek
między przyspieszeniem stycznym na obwodzie cylindra, a przyspieszeniem liniowym sznurka:
at = Rα
9-24
Związek między
α ia
w przypadku braku poślizgu
PRZYKŁAD
Przedmiot jest przywiązany do lekkiej linki nawiniętej na koło, które posiada moment bezwładności
I
i promień
R .Koło obraca się bez tarcia, a linka nie ślizga się po obwodzie. Znajdź napręŜenie linki i przyspieszenie przedmiotu.
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
92
Analiza zadania. W układzie tym przedmiot porusza się do dołu ze stałym przyspieszeniem a , podczas gdy koło obraca
się ze stałym przyspieszeniem kątowym
to a
= Rα .
Aby obliczyć
α
a
i
α(
Rysunek 9-10 ). PoniewaŜ linka odwija się z koła bez poślizgu,
zastosujemy drugą zasadę dynamiki do obracającego się koła i do poruszającego się przedmiotu.
PoniewaŜ przedmiot porusza się do dołu i koło obraca się zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara, to kierunki te
moŜemy obrać jako dodatnie.
1.
Jedyną siłą wywierającą moment siły na koło jest
napręŜenie linki
T o ramieniu R . Zastosuj drugą
zasadę Newtona dla ruchu obrotowego w postaci
Rysunek 9-10
∑ τ i = Iα :
2.
3.
TR = Iα
Narysuj diagram wektorowy dla wiszącego ciała
r
r
i zastosuj ∑ F = ma
mg − T = ma
Mamy dwa równania z trzema niewiadomymi: T
,
a i α . Trzecie równanie otrzymamy ze związku
między a i α :
a = Rα
4.
T , a i α . Zastosuj a = Rα do
równania z punktu 1 i wylicz
Podstaw wyliczone
aby wyliczyć
6.
r
mg
Mamy teraz trzy równania i moŜemy wyznaczyć
szukane
5.
r
T
a
a:
do równania z punktu 2
T=
T:
Podstawiając wyliczone
4 wyznacz
a
TR 2
TR = Iα = I i a =
R
I
T
mg
I
=
mg
2
1 + mR / I I + mR 2
do równania z punktu
a:
mR 2
a=
g
2
I + mR
I = 0 , to przedmiot powinien spadać
swobodnie, a linka powinna być nie napięta; otrzymane wyniki dają T = 0 i a = g . Co się stanie gdy
Sprawdź wyniki. Sprawdźmy parę przypadków granicznych: JeŜeli
I → ∞ ? Dla I znacznie większego od mR 2
otrzymujemy:
9-3 Energia kinetyczna ruchu obrotowego.
T ≈ mg i a ≈ 0 .
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
93
Energia kinetyczna obracającego się ciała jest równa sumie energii kinetycznych poszczególnych cząstek
układu. Energia kinetyczna pojedynczego punktu materialnego
mi
jest równa:
1
K = mi vi2
2
Sumując po wszystkich punktach materialnych, z których składa się bryła sztywna i podstawiając
vi = riω
otrzymujemy:

1
1
1
2
K obr = ∑ mi vi2 = ∑ mi (riω ) =  ∑ mi ri2 ω 2
2 i
i 2
i 2

WyraŜenie w drugim nawiasie jest momentem bezwładności
I względem
osi obrotu. W rezultacie energia
kinetyczna:
K obr =
1 2
Iω
2
9-25
Energia kinetyczna ruchu obrotowego
Równanie 9-25 jest odpowiednikiem energii kinetycznej w ruchu postępowym
1
K = mv 2 .
2
Moc.
JeŜeli obracamy ciało, to wykonujemy nad nim pracę powodując tym samym wzrost energii kinetycznej.
RozwaŜmy siłę
Fi
działającą na i-tą cząstkę obracającej się bryły. Gdy bryła obróci się o kąt dθ , i-ta cząstka
przebędzie odległość
dsi = ri dθ
, a siła wykona pracę:
dWi = Fit dsi = Fit ri dθ = τ i dθ
gdzie
τi
jest momentem siły wywieranym przez siłę
przedmiot obróci się o niewielki kąt
dθ
Fi . Ogólnie, praca wykonana przez moment siły τ
jest równa:
dW = τdθ
9-26
Moc wywołana momentem siły jest równa szybkości z jaką moment siły wykonuje pracę:
P=
dW
dθ
=τ
dt
dt
lub
P = τω
9-27
Moc
gdy
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
94
Równania 9-26 i 9-27 są odpowiednikami
dW = Fs ds i P = Fs vs .
PoniŜsza tabela porównuje ruch obrotowy z ruchem postępowym.
Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym
Ruch obrotowy
Przemieszczenie
Ruch postępowy
∆θ
Przemieszczenie
∆x
kątowe
dθ
dt
Prędkość kątowa
ω=
Przyspieszenie kątowe
dω d 2θ
α=
= 2
dt
dt
Przyspieszenie
dv d 2 x
a=
=
dt dt 2
Równania w
ω = ω 0 + αt
∆θ = ω śr ∆t
Równania w
v = v0 + at
∆x = vśr ∆t
1
vśr = (v0 + v )
2
1
x = x0 + v0 t + at 2
2
v = v02 + 2a∆θ
przypadku stałego
przyspieszenia
kątowego
przypadku stałego
1
ω śr = (ω0 + ω )
2
1
θ = θ 0 + ω0 t + αt 2
2
ω = ω02 + 2α∆θ
τ
Moment siły
Moment bezwładności
Praca
Energia kinetyczna
Moc
Moment pędu
Druga zasada
dynamiki
Prędkość
liniowego
Siła
1 2
Iω
2
P = τω
L = Iω
τ wyp = Iα =
Praca
dW = Fdx
Energia kinetyczna
1
K = mv 2
2
P = Fv
p = mv
Moc
Pęd
dL
dt
dx
dt
F
m
Masa
I
dW = τdθ
K=
przyspieszenia
v=
Druga zasada
dynamiki
Fwyp = ma =
9-4 Toczenie.
Toczenie bez poślizgu. RozwaŜmy kulę o promieniu R toczącą się bez
poślizgu po płaskiej powierzchni. Gdy kula obróci się o kąt
φ
(Rysunek 9-11 ),
Rysunek 9-11
dp
dt
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
95
punkt styczności piłki z płaszczyzną przebędzie drogę
s , która jest związana z φ
następująco:
s = Rφ
9-28
Warunek bezpoślizgowego toczenia dla przemieszczenia
PoniewaŜ środek kuli leŜy bezpośrednio nad punktem kontaktu, to równieŜ poruszając się przebędzie drogę
s.
Dlatego prędkość środka masy jest równa:
vśm =
ds
dφ
=R
dt
dt
lub
vśm = Rω
9-29
Warunek bezpoślizgowego toczenia dla prędkości
RóŜniczkując jeszcze raz obie strony otrzymamy:
aśm = Rα
9-30
Warunek bezpoślizgowego toczenia dla przyspieszenia
Kiedy kula obraca się z prędkością kątową
ω , wtedy górny i dolny punkt poruszają się z
prędkością v = Rω względem środka kuli
(Rysunek 9-12a). Kiedy kula toczy się bez
poślizgu, to górny punkt posiada prędkość
2v ,
a punkt na dole jest w kontakcie z
Rysunek 9-12
powierzchnią i w danej chwili znajduje się w
spoczynku względem powierzchni ( Rysunek 9-12b ). Na kulę działa siła tarcia statycznego i w związku z tym
energia nie ulega rozpraszaniu.
W poprzednim wykładzie było pokazane, Ŝe energia kinetyczna układu cząstek jest równa sumie energii
kinetycznej środka masy i energii kinetycznej cząstek względem środka masy. Dla toczącego się ciała energia
kinetyczna względem środka masy jest równa
1
I śmω 2 .
2
W rezultacie energia kinetyczna toczącego się
przedmiotu jest równa
K=
1
1
I śmω 2 + Mv 2
2
2
9-31
Energia kinetyczna toczącego się przedmiotu
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
96