Lekcja 06

Energia i jej przemiany
Prądowe prawo Kirchhoffa
Algebraiczna suma prądów w węźle sieci równa jest zeru.
I1 + I 2 − I 3 − I 4 + I 5 = 0
NPK (II) prawo Kirchhoffa
U1
U2
U3
U5
U4
oczko sieci
∑ U i= 0
i
Prawa Kirchhoffa
E2
I2
E1
I3
I1
E3
I4
Suma algebraiczna wszystkich sił elektromotorycznych w oczku sieci
równa jest sumie występujących w tym oczku spadków napięć.
I 1 ⋅ R1 − I 2 ⋅ R2 + I 3 ⋅ R3 + I 4 ⋅ R4 = E1 − E 2 + E 3
Praca i moc prądu
Praca=energia prądu elektrycznego stałego
[Ws] watosekunda
2
U
W = UIt = I Rt =
t
R
2
[VAs] = [Ws] = [J ]
Moc prądu elektrycznego stałego [W] wat
2
U
P = UI = I R =
R
2
J
[ = W]
s
Sprawność urządzeń
elektrycznych
Sprawność urządzenia elektrycznego:
PZ
η=
⋅ 100%
PP
η - sprawność urządzenia elektrycznego,
PZ - moc otrzymana z danego urządzenia,
PP - moc doprowadzona do danego
urządzenia.
Zależności wynikające
z prawa Ohma
Reproduced by permission of Tony van Roon, 2002 http://www.uoguelph.ca/~antoon
Elektryczna energia potencjalna
• Jeżeli siła elektrostatyczna działa w jakimś układzie
cząstek, między dwiema lub większą liczbą cząstek
naładowanych, to układowi można przypisać elektryczną
energię potencjalną Ep.
• Jeśli układ zmienia swoją konfigurację ze stanu
początkowego do innego stanu końcowego, to siła
elektrostatyczna wykonuje pracę W nad cząsteczkami.
• Zmiana energii potencjalnej ∆Ep układu:
∆E p = E p końo − E p pocz = −W
Potencjał elektryczny
• Energia potencjalna cząstki naładowanej w
elektrycznym zależy od wartości ładunku cząstki.
polu
• Jednak energia potencjalna przypadająca na jednostkowy
ładunek w dowolnym punkcie pola elektrycznego –
potencjał elektryczny V - ma wartość niezależną od
ładunku w tej części.
V=
∆V =
Ep
q
∆E p
q
Potencjał elektryczny a natężenie pola
P
q0
r
ds
r
q0 E
K
Potencjał elektryczny a natężenie pola
r r
dW = F ⋅ ds
r r
dW = q0 E ⋅ ds
P
koniecr
r
q0
r
d
s
W = q0 ∫ E ⋅ ds
pocz
∆E p
W
∆V =
=−
q0
q0
koniecr
r
∆V = − ∫ E ⋅ ds
pocz
r
q0 E
K
• Potencjał pola ładunku punktowego
1
q
V=
4πε 0 r
• Potencjał pola układu ładunków
qi
V=
∑
4πε 0 i =1 ri
• Potencjał pola dipola elektrycznego
d cos θ
V=
4πε 0 r 2
1
n
q
1
dq
• Potencjał pola ładunku o rozkładzie ciągłym V =
4πε 0 ∫ r
Natężenie pola a potencjał elektryczny
• Gdy pole elektryczne jest jednorodne
∆V
E=
∆s
Pojemność elektryczna - kondensatory
• Kondensatory służą (służyły) do magazynowania energii w
postaci energii potencjalnej w polu elektrycznym (np.. W
lampie błyskowej).
• Obecnie kondensatory pełnią ważną rolę w układach
służących do dostrajania nadawczej i odbiorczej aparatury
radiowej i telewizyjnej.
• Mikroskopijne kondensatory pełnią rolę pamięci (ważna jest
informacja binarna [0,1] a nie ilość zmagazynowanej
energii).
Kondensator
Kondensatorem nazywamy układ
dwóch przewodników oddzielonych
od siebie izolatorem.
Jeżeli do układu tego doprowadzimy
napięcie to na okładkach zgromadzą
się ładunki jednakowe co do wartości
lecz o przeciwnych znakach. Ilość
zgromadzonego ładunku zależy od
przyłożonego napięcia U i cech
konstrukcyjnych
kondensatora
określanych przez pojemność C.
Q = C ⋅U
Jednostką pojemności jest Farad (1F).
1 mF = 10-3 F
1 µF = 10-6 F
1 nF = 10-9 F
1 pF = 10-12 F
Kondensator płaski
Kondensator płaski składa się z dwóch okładek o polu powierzchni S, znajdujących się
w odległości d. Okładki mają na swych wewnętrznych powierzchniach ładunki o takich
samych wartościach q, ale o przeciwnych znakach. Pole elektryczne wytworzone
przez naładowane okładki jest jednorodne w środkowym obszarze między okładkami,
przy krawędziach jest niejednorodne.
Pojemność kondensatora płaskiego
Zakładamy, że powierzchnie okładzin są duże, a odległość między nimi niewielka.
Sprawia to, że pole elektryczne wytwarzane jest tylko pomiędzy okładkami i jest to
pole równomierne. Rozważając powierzchnię Gaussa zaznaczoną na rysunku
możemy napisać:
Φ = E⋅S =
1
ε0
⋅q
Z drugiej strony, ponieważ pole jest
równomierne, możemy napisać
U = E ⋅d
Uwzględniając obie zależności i dokonując
przekształceń otrzymujemy wzór na
pojemność kondensatora płaskiego
S
C = ε0 ⋅
d
Kondensator
Q
C=
U
dQ
dU
=C
dt
dt
Q = CU
dU
I =C
dt
1
dU = Idt
C
t
+Q
C
-Q
U
1
U = ∫ Idt + U 0
C0
1C
[C ]= 1F =
1V
• Pojemność kondensatora [farad
1F = 1 C/V]
q = CU
• Pojemność kondensatora płaskiego
C=
ε 0S
d
Połączenie równoległe
kondensatorów
Napięcie na każdym z kondensatorów
jest jednakowe.
Q=Q1+Q2+Q3
C*U=C1*U+C2*U+C3*U
Pojemność wypadkowa układu:
C=C1+C2+C3
C - pojemność wypadkowa układu;
C1,C2,C3 - pojemności poszczególnych
kondensatorów;
U - różnica potencjałów (napięcie);
Q1,Q2,Q3 - ładunek zgromadzony na
poszczególnych kondensatorach.
Trzy kondensatory połączone
równolegle do źródła napięcia.
Równoważny kondensator
zastępuje układ połączonych
kondensatorów.
Połączenie szeregowe kondensatorów
Ładunek na każdym z kondensatorów jest jednakowy.
U = U1 + U 2 + U 3
Q Q Q Q
=
+
+
C C1 C2 C3
Pojemność wypadkowa układu:
1
1
1
1
=
+
+
C C1 C2 C3
C - pojemność wypadkowa układu;
C1,C2,C3 - pojemności poszczególnych kondensatorów;
U - różnica potencjałów (napięcie);
U1,U2,U3 - różnice potencjałów na poszczególnych
kondensatorach;
Q - ładunek zgromadzony na każdym kondensatorze.
Trzy kondensatory połączone
szeregowo do źródła napięcia.
Równoważny kondensator
zastępuje układ połączonych
kondensatorów.
Energia kondensatora
Energia zmagazynowana w kondensatorze:
2
1
Q
2
E = CU =
2
2C
Oznaczenia
C - pojemność kondensatora;
U - różnica potencjałów (napięcie);
Q - ładunek zgromadzony na okładkach kondensatora;
E - energia;
Kondensatory z dielektrykiem
• Dielektryk, izolator elektryczny – materiał, w którym
bardzo słabo przewodzony jest prąd elektryczny.
εr
• W
obszarze
wypełnionym
całkowicie
materiałem
dielektrycznym w względnej przenikalności dielektrycznej εr
wszystkie
równania
elektrostatyki,
zawierające
przenikalność elektryczną próżni ε0 należy zmodyfikować,
zastępując ε0 przez εr ε0.
1
q
E=
4πε r ε 0 r
2
Cewka indukcyjna
I
L
L=
U
ψ
I
1
dI = Udt
L
H - henr
dI
U =L
dt
U
L=
dI
dt
1t
I = ∫ Udt + I L (0 )
L0
1V 1Vs
1H =
=
= 1Ωs
1A 1A
1s
Energia pola magnetycznego
Prąd przepływający przez cewkę
nie może zmieniać się skokowo.
Energia magnetyczna nagromadzona
w cewce z prądem:
1 2 Ψ
E m = LI =
2
2L
2
Amperomierz i woltomierz
Różnią się oporem wewnętrznym:
• woltomierz rzędu MΩ
Ω,
• amperomierz rzędu Ω.
Amperomierz i woltomierz
Pole magnetyczne w fizyce jest przestrzenią, w
której siły działają na poruszające się ładunki elektryczne, a także na
ciała mające moment magnetyczny niezależnie od ich ruchu. Pole
magnetyczne jest obok pola elektrycznego przejawem pola
elektromagnetycznego. W zależności od opisu (obserwatora), to
samo zjawisko może być opisywane jako objaw pola elektrycznego,
magnetycznego lub obu.
Pole magnetyczne jest polem wektorowym, wielkości fizyczne
używane do opisu pola magnetycznego to indukcja magnetyczna B
oraz natężenie pola magnetycznego H (te dwie wielkości są
powiązane ze sobą poprzez przenikalność magnetyczną).
Obrazowo pole magnetyczne przedstawia się jako linie pola
magnetycznego.
Stałe pole magnetyczne jest wywoływane przez ładunki elektryczne
znajdujące się w ruchu jednostajnym. Dlatego też, przepływ prądu (który
też jest ruchem ładunków elektrycznych) wytwarza pole magnetyczne.
Ładunki poruszające się ruchem zmiennym (np. hamowane) wytwarzają
zmienne pole magnetyczne, które rozchodzi się jako fala
elektromagnetyczna. Wytwarzanie pola przez prąd i ładunki w ruchu
opisuje Prawo Biota-Savarta, oraz prawo Ampera będące obecnie częścią
równań Maxwella. Niektóre materiały magnetyczne, jak np.
ferromagnetyki, wykazują istnienie stałego pola magnetycznego. Jego
istnienie spowodowane jest przez ruch ładunków elektrycznych głównie
elektronów w atomach takiego materiału. Zjawisko to jest dokładniej
wyjaśnione w opisie magnetyzmu. Pole magnetyczne jest też wytwarzane
przez zmienne pole elektryczne. Z kolei zmienne pole magnetyczne
wytwarza pole elektryczne. Takie wzajemnie indukowanie się pól
zachodzi w fali elektromagnetycznej. Stałe w czasie pole magnetyczne nie
wytwarza pola elektrycznego, co także matematycznie ujmują równania
Maxwella.
Wokół Ziemi, magnesów i przewodników, przez który płynie prąd
elektryczny, istnieje pole magnetyczne. Ułożenie biegunów pola
magnetycznego przewodnika (np. zwojnicy), przez który płynie prąd, zależy
od kierunku przepływu prądu. Zjawisko istnienia pola magnetycznego wokół
przewodnika, przez który płynie prąd, wykazał H. Ch. Oersted.
Linie sił pola w otoczeniu prostoliniowego przewodnika z prądem mają
kształt okręgów współśrodkowych, a ich zwrot ustala reguła prawej dłoni dla
przewodnika, która brzmi: Jeżeli prawą dłonią uchwycimy przewodnik tak,
aby odchylony kciuk wskazywał zwrot prądu w przewodniku, to zgięte 4
palce wskazują zwrot linii sił pola magnetycznego.
Pole magnetyczne kołowe
Pole magnetyczne kołowe jest to przestrzeń, której linie pola
magnetycznego układają się we współśrodkowe okręgi. Pole
takie jest wytwarzane przez prostoliniowy przewodnik. Indukcja
magnetyczna takiego pola jest większa bliżej źródła.
Natężenie pola magnetycznego
Natężenie pola magnetycznego „H” w otoczeniu prostego
przewodnika z prądem jest wprost proporcjonalna do natężenia
prądu „I”, a odwrotnie proporcjonalne do odległości „r ” od
przewodnika. Zależność taką określa się wzorem:
Elektromagnes, przyrząd wytwarzający zjawiska magnetyczne pod
wpływem prądu elektrycznego. Składa się z ferromagnetycznego rdzenia i
umieszczonej na nim cewki elektrycznej.
Ma zwykle postać cewki osadzonej (nawiniętej) na rdzeniu z materiału
silnie magnetycznie czynnego, np. ferromagnetyka, ferrytu (magnetyczna
budowa materii).
Przepływ prądu elektrycznego przez cewkę wytwarza pole magnetyczne,
które magnesuje rdzeń, ulegając tym samym znacznemu wzmocnieniu; gdy
prąd przestaje płynąć, pole cewki znika, rdzeń rozmagnesowuje się i
elektromagnes przestaje być źródłem pola magnetycznego. Wynalazek
elektromagnesu wiąże się ściśle z historycznym doświadczeniem Oersteda (1820), w którym odkryty został efekt magnetyczny prądu
elektrycznego.
Doświadczenie to powtórzył D.F. Arago.
Zjawisko magnesowania ciał magnetycznych przez pole przewodnika z
prądem wykorzystał
następnie W. Sturgeon, budując w 1825 pierwszy elektromagnes (na rdzeniu
z miękkiego żelaza, pokrytym - dla zapewnienia izolacji elektrycznej lakiem, był nawinięty nie izolowany drut).
Istotnie ulepszenia są zasługą J. Henry'ego, który zastosował drut izolowany
(owinięty nicią jedwabną, dzięki czemu mógł go znacznie więcej nawinąć
na rdzeń, uzyskując tym samym znacznie silniejszy elektromagnes.
Zwojnica, przez którą płynie prąd elektryczny wykazuje właściwości
magnetyczne. Jej działanie można wzmocnić przez umieszczenie wewnątrz
rdzenia wykonanego ze stali miękkiej. W ten sposób otrzymujemy
elektromagnes. Zwiększenie liczby zwojów zwojnicy lub zwiększenie
natężenia prądu również wzmacnia działanie elektromagnesu.
Zastosowanie elektromagnesu:
- huty (przenoszenie złomu żelaznego)
- stocznie (transport blach stalowych)
- hale (utrzymywanie ciężkich części stalowych)
- budowa słuchawek, dzwonków, automatycznych przedmiotów
- nauka
- medycyna
- dźwigi elektromagnetyczne
- cyklotrony
- instalacje alarmowe
- przekaźnik elektromagnetyczny
Zamiana jednego rodzaju energii na inny interesowała ludzi już od bardzo
dawna. Wraz z odkryciem elektryczności powstała myśl jak zamienić energię
prądu elektrycznego na energię mechaniczną. Stało się to możliwe dzięki
zaobserwowaniu istnienia siły elektromotorycznej, którą wykorzystano do
budowy silnika elektrycznego. Problem, w budowie silnika, polegał na tym aby
znaleźć sposób zamiany krótkotrwałego ruchu przewodnika "z prądem" w polu
magnetycznym na ciągły ruch obrotowy. Powstanie silnika elektrycznego
zapoczątkowały doświadczenia Michaela Faradaya
, któremu udało się skonstruować urządzenie zamieniające elektryczność w
ciągły ruch mechaniczny. Jego doświadczenie zwane: "obroty elektryczne"
polegało na zanurzeniu jednego końca drutu w rtęci wypełniającej naczynie.
Pośrodku naczynia umieścił magnes sztabkowy. Podłączając baterię do góry
przewodu i rtęci w naczyniu wprawił drut w ruch obrotowy wokół magnesu.
Zasada działania silnika elektrycznego jest następująca: wirnik
obraca się dzięki temu, że uzwojenia przewodzące prąd umieszczone
są w polu magnetycznym. Elektromagnes (stojan) wytwarza pole
magnetyczne. Prąd podawany jest na uzwojenia wirnika. Pola
magnetyczne uzwojenia i stojana oddziałują na siebie, powodując
nieznaczny obrót wirnika. Prąd podawany jest wówczas na następne
uzwojenie; cały proces przebiega bardzo szybko i silnik obraca się.
Pierwszy pracujący silnik elektryczny zbudowano w roku 1837 w
Stanach Zjednoczonych. Jego twórcą był Thomas Davenport, który
swoich konstrukcji używał do napędu wiertarki i tokarki do drewna.
Silnik był wyposażony w elektromagnes i osiągał prędkość 450
obrotów na minutę. Dwa lata później Davenport zbudował większy
silnik, napędzający rotacyjną prasę drukarską, na której zaczął druk
pierwszego w Stanach Zjednoczonych czasopisma poświęconego
elektryczności.
Pierwszy miniaturowy silnik zbudował Thomas Alva Edison [kliknij]
w 1880 roku, aby napędzać elektryczne pióro do sporządzania
kropkowanych matryc powielaczowych. Motor miał wymiary 2,5 cm na 4
cm i osiągał około 4 tysięcy obr/min., napędzając drgającą igłę w obsadce,
która robiła w matrycy otworki układające się w kontury liter. Całość
napędzała dwuogniskowa bateria. Elektryczne pióro Edisona (zbudowano
ich około 60 tysięcy sztuk), skutecznie powielało dokumenty, aż zostało
wyeliminowane przez wynalazek maszyny do pisania.
Oprócz silników prądu stałego wyróżniamy:
1. silniki elektryczne prądu zmiennego,
2. silniki uniwersalne.
W rozdziale tym rozpatrzymy niektóre zagadnienia, związane ze zmiennymi
w czasie polami elektrycznymi i magnetycznymi oraz zmiennymi prądami
elektrycznymi. Oersted wykazał doświadczalnie, ze wokół przewodnika,
przez który płynie prąd elektryczny, istnieje pole magnetyczne. Po odkryciu
Oersteda uczeni wielokrotnie podejmowali próby wytworzenia prądu w
przewodniku, umieszczonym w pole magnetycznym trwałego magnesu lub
innego przewodnika z prądem. W 1831 r. M. Faraday stwierdził, ze zmienne
w czasie pole magnetyczne istotnie powoduje przepływ prądu elektrycznego w
przewodniku. Zjawisko to nazywa się indukcja elektromagnetyczna a
powstający wówczas prąd — prądem indukowanym (indukcyjnym). Dwa z
doświadczeń Faraday’a pokazuje rysunek:
Kierunek prądu indukowanego w obwodzie można w ogólnym przypadku
ustalić na podstawie reguły Lenza . Zgodnie z nią prąd indukowany w obwodzie
ma zawsze taki kierunek, ze wytworzony przezeń
strumień magnetyczny przez powierzchnie obejmowana przez ten obwód
przeciwdziała zmianom strumienia magnetycznego, które wywołują pojawienie
się indukowanego prądu.
Prądy indukcyjne powstają nie tylko w obwodach złożonych z przewodników
o małym przekroju poprzecznym ale również w przewodnikach masywnych,
w formie płyt lub brył. Ponieważ linie przepływu indukowanego
prądu maja wówczas kształt wiru, prądy te nazywa się prądami wirowymi
lub prądami Foucault. Zjawisko prądów wirowych w przewodnikach można
zademonstrować na wiele sposobów. Drgania masywnego wahadła
przewodzącego, umieszczonego miedzy biegunami silnego magnesu, sa tłumione
w wyniku oddziaływania pola magnetycznego indukowanego prądu z polem
magnesu. Podobnie, wahania igły magnetycznej, pod która znajduje się płytka
przewodzącą, stosunkowo szybko zanikają. Natomiast przy obrocie płytki igła
magnetyczna zaczyna się obracać w tym samym kierunku.
Jedno z doświadczeń Faraday’a dotyczyło sytuacji, gdy pole magnetyczne,
wytworzone przez przepływ prądu o zmiennym natężeniu w pierwszym
obwodzie, indukowało przepływ prądu w drugim obwodzie, umieszczonym w
pobliżu pierwszego. Ponieważ indukcja B pola magnetycznego,
wytworzonego przez pierwszy obwód w danym punkcie przestrzeni jest zawsze
proporcjonalna do natężenia I prądu płynącego w tym obwodzie,
wiec i strumień pola magnetycznego przechodzący przez drugi obwód
będzie (przy ustalonych rozmiarach, kształcie i wzajemnym położeniu
obwodów) proporcjonalny do natężenia prądu w pierwszym obwodzie:
Prądnica prądu przemiennego
Prądnice prądu przemiennego (generatory prądu przemiennego) to maszyny
elektryczne przetwarzające energię mechaniczną, pobieraną z zewnętrznego
urządzenia napędzającego prądnicę, na energię elektryczną w postaci
przemiennego prądu. Do tego celu wykorzystuje się zjawisko indukcji
elektromagnetycznej, czyli indukowania siły elektromotorycznej pod
wpływem zmiennego strumienia magnetycznego. Prądnice prądu
przemiennego dzielą się (ze względu na różnice w konstrukcji) na prądnice
asynchroniczne i synchroniczne
Prądnice synchroniczne
Prądnice te składają się ze stojana, który stanowi zewnętrzną, statyczną
część maszyny. Na obwodzie stojana umieszczone są uzwojenia (cewki), w
których indukuje się napięcie przemienne, pod wpływem którego płynie prąd
przemienny. Wytwarzany prąd może być jedno- lub wielofazowy
(najczęściej trójfazowy) - zależy to od liczby uzwojeń.
Transformator (z łac. transformare - przekształcać) - maszyna elektryczna
służąca do przenoszenia energii elektrycznej prądu przemiennego drogą
indukcji z jednego obwodu elektrycznego do drugiego.
Oba obwody mogą być odseparowane galwanicznie - co oznacza, że nie ma
połączenia elektrycznego pomiędzy uzwojeniami, a energia przekazywana jest
przez pole magnetyczne.
Transformator zbudowany jest z dwóch lub więcej cewek (zwanych
uzwojeniami) nawiniętych na wspólny rdzeń magnetyczny wykonany
zazwyczaj z materiału ferromagnetycznego.
Transformator zbudowany jest z dwóch lub więcej cewek (zwanych
uzwojeniami) nawiniętych na wspólny rdzeń magnetyczny wykonany
zazwyczaj z materiału ferromagnetycznego.
Jedno z uzwojeń (zwane pierwotnym) podłączone jest do źródła prądu
przemiennego, powoduje to przepływ w nim prądu przemiennego.
Przemienny prąd wywołuje powstanie zmiennego pola magnetycznego, pole
to przenika przez pozostałe cewki (zwane wtórnymi) i w wyniku indukcji
elektromagnetycznej powstanie w nich zmiennej siły elektromotorycznej
(napięcia). Dla transformatora idealnego (pomijalny jest opór uzwojeń oraz
pojemności między zwojami uzwojeń, cały strumień magnetyczny
wytworzony w uzwojeniu pierwotnym przenika przez uzwojenie wtórne)
obowiązuje wzór:
gdzie:
U - napięcie elektryczne
I - prąd elektryczny
n - liczba zwojów
wej - strona pierwotna
wyj - strona wtórna
Poniższy stosunek:
nazywamy przekładnią transformatora.
Istnieją też transformatory, w których jedno uzwojenie jest częścią
drugiego (autotransformatory), o większej liczbie uzwojeń oraz o wielu
wyprowadzeniach z tego samego uzwojenia. Transformator
energetyczny średniego napięcia - przekrój
Uzwojeń może być kilka, często spotyka się transformatory o np.
dwóch dolnych napięciach lub trzech różnych.
W systemach prądu wielofazowego (np. trójfazowego) stosuje się
transformatory wielofazowe (trójfazowe). W transformatorach
takich rdzenie poszczególnych faz mogą mieć części wspólne.
Nie jest to jednak warunek konieczny, ponieważ np. w sieciach
wysokiego napięcia stosuje się transformatory jednofazowe (po
jednym na każdą fazę).
Na czym polega ruch drgający
• każdy układ ma położenie równowagi, w którym znajduje się, gdy
nie drga; drgając, przechodzi przez ten punkt wielokrotnie;
rozpędzone ciało nie zatrzymuje się w położeniu równowagi, lecz
porusza się dalej,
• prędkość w czasie ruchu na przemian rośnie i maleje: w położeniu
równowagi jest największa, podczas zbliżania się do położenia
równowagi rośnie, a podczas oddalania się od niego maleje,
• maksymalne wychylenie w jedną stronę jest równe maksymalnemu
wychyleniu w drugą stronę
• czas przebywania wahadła po jednej stronie położenia równowagi
jest równy czasowi przebywania po drugiej stronie.
Obrazowanie ruchu drgającego
56
x - wychylenie w danej chwili-odległość ciała
od położenia równowagi ,
A - amplituda drgań- największe wychylenie
z położenia równowagi ,
T - okres drgań - jedno pełne drganie
w czasie 1s ,
f - częstotliwość drgań- ilość drgań
w jednostce czasu ,
Zależność pomiędzy częstotliwością
a okresem:
f = 1/T
57
Ruch drgający można rozpatrywać jako rzut ruchu
po okręgu.
Z rysunku odczytujemy, że:
Przekształcając równanie otrzymujemy równanie ruchu
harmonicznego.
Ruch obrotowy a ruch drgający
y
Układ biegunowy
R
ϕ
x
 R = const

ϕ = 0;2π )
Układ kartezjański
 x = R cos(ϕ )

 y = R sin(ϕ )
Opis matematyczny
• Równanie dynamiki dla ruchu obrotowego
– Sprężynka i ciężarek
Opis matematyczny
kx
Xw
(+) x
mg
Opis matematyczny
ma = mg − kxw
Warunki równowagi – wykonujemy eksperyment bardzo powoli
mg = kx0
xw = x0 + x(t )
Opis matematyczny
d 2 xw
m 2 = mg − kxw
dt
d 2 ( x0 + x(t ))
m
= mg − k ( x0 + x(t ))
2
dt
d 2 x(t )
Warunek równowagi
m
=
mg
−
kx
−
kx
(
t
)
0
mg=kx0
dt 2
d 2 x(t )
m
+ kx(t ) = 0
2
dt
d 2 x(t ) k
+ x(t ) = 0
2
dt
m
Opis matematyczny
d 2 x(t ) k
+ x(t ) = 0
2
dt
m
x(t ) = A sin(ωt + ϕ )
sprawdzamy
d 2 x(t )
2
sin(ωt + ϕ )
=
−
A
ω
2
dt
k
2
− Aω sin(ωt + ϕ ) + A sin(ωt + ϕ ) = 0
m
k
⇒ω =
m
2
Opis matematyczny
Analogicznie dla wahadła matematycznego
Dla małych kątów prawdziwa jest relacja
sin α ≅ tgα ≅ α
L
α
Fn
Fx
mg
x
d 2x
m 2 = −mg ⋅ tgα
dt
d 2x
m 2 = −mg ⋅ sin α
dt
d 2x
x
m 2 = −mg
dt
l
d 2x g
+ x=0
2
dt
l
Opis matematyczny
Analogicznie dla wahadła fizycznego
Dla małych kątów prawdziwa jest relacja
sin α ≅ tgα ≅ α
d
α
F
mg
d 2α
I 2 = −M
dt
d 2α mgd
+
α =0
2
dt
I
Opis matematyczny
d 2x
2
ω
+
x=0
2
dt
x = A sin(ωt + ϕ )
Równanie dynamiki oscylatora harmonicznego
Równanie ruchu oscylatora harmonicznego
d 2x
dx
2
+ 2β
+ ω0 x = 0
2
dt
dt
x = Ae −βt sin(ωt + ϕ )
ω1 = ω 02 − β 2
Równanie dynamiki tłumionego oscylatora
harmonicznego
Opis matematyczny
F0
d 2x
dx
2
+ 2β
+ ω 0 x = sin ωt
2
dt
dt
m
F0
x=
m


βω
1
2
 ωt + arctg

sin
2 
2

(ω 02 − ω 2 ) 2 + (2 βω ) 2
ω
−
ω
0 

ω1 = ω 02 − 2 β 2
Oscylator harmoniczny tłumiony wymuszony
Opis matematyczny
2π
ω=
T
ω = 2πf
Energia ruchu drgającego
Ec = E k + E p
mv
Ek =
2
x2
2
E p = ∫ F ( x)dx
x1
xw
Dla sprężyny
Dodatkowo
2
x
E ps = ∫ kxdx = k
2
0
xw
0
2
w
x
=k
2
x = A sin(ωt + ϕ )

d 2x 
F = ma = m 2  ⇒ − kA sin(ωt + ϕ ) = −mω 2 A sin(ωt + ϕ )
424444444
3
dt  1444444
⇓
F = −kx

k = mω 2
Energia ruchu drgającego
Ec = E
max
ps
x = A sin(ωt + ϕ )
max
E ps
xw2 max
A2
=k
=k
2
2
=E
max
k
dx
= Aω cos(ωt + ϕ )
v=
dt
2
2 2
v
A
ω
max
max
Ek = m
=m
2
2
Dla charakterystycznych punktów ruchu
Energia ruchu drgającego
E c = E ps + E k
dx
x = A sin(ωt + ϕ )
v=
= Aω cos(ωt + ϕ )
dt
A2 sin 2 (ωt + ϕ )
A2ω 2 cos 2 (ωt + ϕ )
Ec = k
+m
2
2
2
kA
mω 2 = k ⇒ Ec =
(sin 2 (ωt + ϕ ) + cos 2 (ωt + ϕ ))
2
A2
Ec = k
Dla dowolnego położenia
2
72
Ciało drgające posiada energię kinetyczną i potencjalną
sprężystości. Wyprowadźmy wzory na obie energie.
Energia potencjalna sprężystości wyraża się ogólnym
wzorem:
Po podstawieniu do tego wzoru równanie ruchu drgającego
otrzymujemy wzór na energię potencjalną sprężystości w
ruchu drgającym:
73
WYKRES ENERGII W RUCHU
HARMONICZNYM
E = K + U = const
74
Energia kinetyczna wyraża się ogólnym
wzorem:
Wstawiamy do niego wzór na prędkość ruchu
harmonicznym i otrzymujemy wzór na energię kinetyczną w
ruchu drgającym:
A więc energia całkowita ciała drgającego wynosi:
Energia całkowita jest proporcjonalna do
kwadratu amplitudy.
75
Wahadło matematyczne to punkt materialny zawieszony
na nieważkiej i nierozciągliwej nici.
Na rysunku przedstawione są
działające siły, gdzie siły F i F' to siły
składowe. Siłę F' równoważy siła
naciągu nitki T, więc o ruchu wahadła
decyduje tylko siła F. Z rysunku
odczytujemy wartość funkcji sinus:
76
Porównujemy obie wartości:
Otrzymany wzór skłania ku wnioskowi, że siła jest wprost
proporcjonalna do wychylenia i przeciwnie zwrócona, więc
potwierdza to wcześniejsze stwierdzenie, że jest to ruch
harmoniczny.
Wyprowadźmy wzór na okres drgań wahadła
matematycznego. Porównujemy wzory na stałą k:
Otrzymujemy:
l
T = 2π
g
77
DRGANIA TŁUMIONE (Gasnące)
Z doświadczenia wiemy, że wahadło pobudzone
jednorazowo do drgań przez wychylenie go z położenia
równowagi waha się w miarę upływu czasu coraz słabiej,
aż wreszcie zatrzymuje się. Świadczy to o rozpraszaniu
energii. Drgania takie nazywamy drganiami tłumionymi
lub gasnącymi.
Ciało drgające musi wykonywać pracę przeciwko sile
oporu, zużywając na to swoją energię. Jeśli maleje energia
ciała, to maleje również amplituda drgań
78
DRGANIA WŁASNE I WYMUSZONE
Drgania, które wykonuje ciało wychylone ze stanu
równowagi i pozostawione samemu sobie, tj. nie
poddane działaniu dodatkowych sił zewnętrznych
określamy mianem drgań własnych ciała. Drgania
własne ciała mają zawsze tę samą charakterystyczną
dla niego częstotliwość, niezależnie od sposobu
wzbudzenia.
Wiemy, że zanikaniu wahań wahadła można
zapobiec przez okresowe pobudzanie go do ruchu.
79
DRGANIA WYMUSZONE –REZONANS
MECHANICZNY
Jeżeli energia dostarczana w
każdym impulsie pobudzającym
zrównoważy energię rozpraszaną,
to drgania wahadła staną się
niegasnące. Takie drgania
wzbudzone za pomocą
zmieniających się okresowo sił
zewnętrznych albo też
przenoszone
z innego ciała drgającego
nazywamy drganiami
wymuszonymi.
80
REZONANS MECHANICZNY
Przeprowadźmy doświadczenie:
Pobudzamy do drgań wahadło A,
obserwujemy, że jego drgania
stopniowo zanikają, coraz bardziej
zaczyna się wahać wahadło C.
Wahadło B pozostaje cały czas w
spoczynku.
Zaobserwowaliśmy zjawisko
rezonansu mechanicznego, czyli
zjawisko przekazywania drgań (energii
drgań) ciał o takiej samej
częstotliwości drgań własnych.
81
PRZYKŁADY REZONANSU MECHANICZNEGO
Ze zjawiskiem rezonansu czasami spotykamy się,
jadąc autobusem. Przy pewnej prędkości obrotów
silnika szyby i niektóre części karoserii zaczynają
silnie drgać. Ciężki dzwon można rozbujać, używając
niewielkiej siły pod warunkiem, że ciągniemy za sznur
(dostarczamy energii) z częstotliwością bliską
częstotliwości jego drgań własnych. W sytuacji, gdy
samochód ugrzęźnie w dołku, skuteczniejsze są
rytmiczne impulsy, np. do przodu, niż działanie stałej
siły. Na skutek tych impulsów amplituda drgań
samochodu wzrasta na tyle, aby pojazd mógł się
wydobyć z „pułapki".
82
NEGATYWNE SKUTKI REZONANSU
Zjawisko rezonansu może doprowadzić do
przykrych konsekwencji, gdy częstotliwość drgań
własnych fundamentów lub części budynku
powiązanych z maszyną jest porównywalna z
częstotliwością drgań własnych pracujących
maszyn, a szczególnie, gdy nie są one dobrze
zamocowane.
Powstają wówczas niebezpieczne rezonanse,
które mogą powodować duże przeciążenie
elementów konstrukcyjnych i w konsekwencji
doprowadzić do ich uszkodzenia.
83
PRZYKŁAD REZONANSU
Powtarzające się okresowo podmuchy wiatru
mogą znaleźć się w rezonansie z drganiami
własnymi budynków lub mostów i spowodować ich
zniszczenie w wyniku wzrostu amplitudy drgań.
Dla oscylatorów tłumionych przy pewnej
charakterystycznej częstotliwości
wymuszającej ω’’amplituda oscylacji osiąga
maksimum. Takie zjawisko nazywamy
rezonansem, a częstotliwość odpowiednio –
częstotliwością rezonansową.
Im mniejsze tłumienie tym częstotliwość
rezonansowa jest bliższa częstotliwości ω
układu nietłumionego.
Układ elektryczny
Jeżeli wstawimy ładunek, indukcyjność,
odwrotność pojemności i opór
X→q
M→L
k → 1/C
b→R
otrzymamy równanie obwodu RLC
d 2Q
dQ Q
ug = L 2 + R
+
dt
dt C
L
UL
Uc
Ug
UR
R
Ug = UL + Uc + UR
C