pola sprzężone i nieklasyczne ośrodki ciągłe

M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I STOSOWANA
1/ 2, 20 (1982)
POLA SPRZĘ Ż ON
E I NIEKLASYCZNE OŚ RODK
I CIĄ GŁE
DOMINIK R O G U L A
IPPT PAN
Warszawa
1. Wstę p
Inspiracją badań naukowych rozważ anych w niniejszej pracy był a refleksja nad podstawowymi problemami mechaniki ciał deformowalnych i jej zwią zkami z innymi zjawiskami fizycznymi. Podstawowe poję cia mechaniki oś rodków cią gł ych, w postaci odpowiedniej do opisu deformowalnych ciał stałych były prawie cał kowicie sformuł owane w pierwszej poł owie XIX wieku, a ś ciś j w latach le
1820 - 1840, w historycznych pracach N aviera,
Cauchy'ego i G reena. Poję cia te do dnia dzisiejszego stanowią podstawę mechaniki ciał
odkształ calnych i jej ogromnych osią gnię ć w pobudzaniu i kształ towaniu ludzkiej dział alnoś ci technologicznej. Idee te okazał y się tak ż ywotne, że przez pół tora wieku był y
i pozostają nadal bogatym ź ródł em inspiracji w stosowanych gałę ziach mechaniki.
Sytuacja taka jest dla naukowców niekwestionowanym powodem do satysfakcji.
Z wyją tkiem może elektrodynamiki Maxwella, trudno byłoby znaleźć teorię naukową
o porównywalnych osią gnię ciach praktycznych.
Z drugiej jednak strony sytuacja ta był a powodem do nie zawsze ł atwego do odparcia
zarzutu pewnej stagnacji w mechanice, przynajmniej jeś i l chodzi o jej gł ę bszy rozwój.
Bez wą tpienia moż na dowodzić, że mechanika klasyczna daje sobie radę w prawie wszystkich praktycznie interesują cych problemach mechanicznych, nie jest wię c usprawiedliwione
ani pogł ę bianie jej rozwoju, ani rewolucjonizowanie podstaw, jako że takie próby bę dą
przypominał y przysłowiowe szukanie dziury w cał ym. Obrona taka jednakże nie wytrzymał a próby historii. We wczesnych latach sześ ć dziesią tyc
h pojawił a się fala prac przedstawiają cych nowe idee w dziedzinie mechaniki oś rodków materialnych. Zrewolucjonizowały one podstawy mechaniki oś rodków cią głych i odsłoniły perspektywy dalszego
rozwoju i poszerzenia zakresu jej zastosowań. Idee te pojawiły się niezależ nie w wielu
oś rodkach naukowych całego ś wiata, w tym również i Polski. U dział polskiej nauki zwią zany jest w przeważ ają cej czę ś ci albo z profesorem Nowackim osobiś cie, albo z jego
uczniami, a wię kszość tych prac dotyczył a problemów sprzę ż onych pól mechanicznych,
termicznych i elektromagnetycznych i (lub) nieklasycznych modeli oś rodków materialnych
ze wzbogaconą strukturą kinematyczną lub dynamiczną . Czytelnikowi gł ę biej zaintereReferat wygł oszony na zebraniu Komitetu Mechaniki PAN z okazji 70- lecia profesora Witolda N owackiego.
2*
20 D . ROG ULA
sowanemu tą problematyką radzimy się gną ć do monografii Nowackiego [1 - 5] i podanej
w nich literatury.
2. Klasyczny oś rodek cią gły.
Wprawdzie interesujemy się tutaj nieklasyczną , uogólnioną teorią oś rodków cią głych,
przedstawimy jednak krótko podstawowe zał oż enia klasycznej mechaniki kontinuów.
Bę dziemy się dalej na nie powoł ywali. Zamierzeniem danego tu sformułowania zał oż ńe
jest przedstawienie id'ej' stanowią cych podstawową architekturę mechaniki oś rodków
cią gł ych, bez wdawania się w szczegóły czy formalizację .
1. Podstawowe zał oż enie kinematyczne: ciał o materialne jest cią głym zbiorem bezstrukturalnych obiektów zachowują cych się jak punkty materialne.
Kinematyka ciał a jest w peł ni okreś lona przez funkcję
• (2.1) x:BxT ^- E,
gdzie J3, T i E przedstawiają odpowiednio materialny oś rodek cią gły, czas fizyczny i przestrzeń fizyczną . Odwzorowanie to przedstawia konfigurację ciała w funkcji czasu.
2. Podstawowe zał oż enia dynamiczne: oddział ywania wewnę trzne w materii są w każdej chwili jednoznacznie okreś lone przez pole symetrycznego tensora naprę ż eń. Dokł adniej mówią c jest to czteropoziomowa hierarchia nastę pują cych stwierdzeń:
(i) istnieją tylko oddział ywania kontaktowe,
(ii) oddział ywania te są dane przez wektory sił ,
(iii) wektory sił są okreś lone przez tensor naprę ż eń,
(iv) tensor naprę ż eń jest symetryczny.
Mówią c bardziej szczegół owo znaczenie zał oż enia (i) polega na dopuszczeniu tylko
„dwuciał owych" lub „binarnych" wzajemnych oddział ywań pomię dzy nieskoń czeni
e
bliskimi czą stkami materialnymi. Przy tym zał oż eniu ma sens poję cie „oddział ywania
przez element powierzchni". O oddział ywaniu przez rozł ą czone obszary powierzchni
zakł ada się , że jest addytywne.
Zgodnie z zał oż eniem (iii) siły oddział ywania działają cego przez elementy powierzchni
mogą być wyprowadzone z wektora pt danego wzorem:
(2.2) Pk
= otknu.
gdzie tensor naprę ż eń alk nie zależy od elementu powierzchni. W szczególnoś ci oznacza to,
że wektor naprę ż eń p { zależy od wektora normalnego nk . Zał oż enie (iv) mówi, że od oddział ywań mię dzy czą stkami nie może pochodzić ż aden moment sił działają cy na czą stkę .
3. Podstawowe zał oż enie konstytutywne: tensor naprę ż ń
e w punkcie materialnym
X może być cał kowicie okreś lony na podstawie tensora deformacji w tym samym
punkcie.
Opierają c się na powyż szych zał oż eniach mechanika oś rodków cią głych osią gnę ł a
wiele sukcesów w rozwią zywaniu rozmaitych problemów. Jednak w wielu okolicznoś ciach
niektóre z tych zał oż eń są cał kowicie lub czę ś ciowo naruszone. Moż na tu przytoczyć
nastę pują ce przykł ady: Koncentracje naprę ż ń
e w pobliżu mikrodefektów, drgania o wysokiej czę stotliwoś ci i bardzo mał ej fali, efektywne wł asnoś ci kompozytów i innych ma-
POLA SPRZĘ Ż ONE 21
teriał ów posiadają cych mezostrukturę , materiał y m akrom olekularne, oddział ywanie z polem elektromagnetycznym poprzez silną polaryzację elektryczną lu b magnetyczną itd.
Efektem szeregu prób usunię cia tych braków teorii klasycznej był o powstanie wielu
uogólnionych, nieklasycznych modeli oś rodków materialnych.
Autorzy kierowali się róż nymi koncepcjami. Wiele z nich, jak n p . oddział ywania przez
momenty kontaktowe lub sił y nielokalne, czy też uogólniona kinem atyka z dodatkowym i
stopniami swobody może być wyprowadzone z klasycznych prac C auchy'ego, Voigta,
i D uhem a.
3. N icklasyczne oś rodki cią gle
D opuszczają c pewną swobodę wyraż eń, przez nieklasyczny oś rodek cią gł y bę dziemy
rozumieć matematyczny model ciał a materialnego, który narusza (lub przynajmniej nie
w peł ni honoruje) jedn o lub wię cej zał oż eń klasycznych, pozostawiają c jedn akże ideę
cią gł ego rozkł adu materii. Zależ nie od rodzaju i stopn ia naruszania tych zał oż eń powstają
róż ne nieklasyczne teorie materialnych oś rodków cią gł ych.
1. Zał oż enie kinematyczne moż na naruszyć przez obdarzenie oś rodka rodzajem struktury lokalnej definiowanej dla każ dej czą stki ciał a. Struktura taka, a priori niezależ na
od konfiguracji (2.1), do przedstawienia stanu kinematycznego ciał a wym aga pewnych
dodatkowych definiowanych nad nim pól. Z e wzglę du n a dodatkowe wynikają ce z takiej
struktury stopnie swobody pole wektora przemieszczeń nie wystarcza ju ż d o tego celu.
Przez specyfikację okreś lonych struktur lokalnych moż na otrzymać róż ne teorie nieklasyczne.
W znanej pracy COSSERATÓW [6] każ dy pun kt materialnego oś rodka cią gł ego został
wyposaż ony w sztywną prostoką tną triadę , której osie zależą od pun ktu m aterialn ego
i mogą zmieniać się w czasie, definiują c w ten sposób lokalną strukturę z dodatkowym i
stopniami swobody typu rotacyjnego.
We współ czesnej historii problemu niektórzy autorzy, kierowani ideam i fizycznymi,
wyprowadzili nieklasyczne oś rodki cią gł e takie jak ciecz wirują ca WAYSSENHOFFA i R.AABE'EGO [7] lub ciecz czą steczek dwuatom owych Ż ELAZN EGO [8].
Z fenomenologicznego pun ktu widzenia najprostsza fizycznie spójna struktura lokaln a
polega n a przyję ciu m i k r o r o t a c j i , niezależ nych od lokalnych rotacji pochodzą cych
od pola przemieszczeń. Idea ta prowadzi do tzw. teorii m i k r o p o l a r n e j , om ówion ej
szerzej w nastę pnym rozdziale.
N astę pnym krokiem w uogólnieniu kinematyki m aterialnego oś rodka cią gł ego jest
dopuszczenie deformowalnej mikrostruktury, w przeciwień stwie do sztywnej m ikrostruktury w teorii m ikropolarn ej. Tutaj najlepiej znane są : teoria m u l t i p o l a r n a
G reena i Rivlina [9] oraz Toupin a teoria kon tin uum obdarzonego dowoln ym ukł adem
wektorów k i e r u n k o w y c h [10].
D alsze uogólnienie polega n a traktowaniu czą stek materialnego oś rodka cią gł ego
jako oddzielnych m ikrokontinuów, niezależ nych kinematycznie od przemieszczeń w zwykł ym makro- poziomie kon tin uum . N a takiej idei oparta jest m i k r o m o r f i c z n a
teoria ERIN G EN A i SU H U BI'EG O [1]. Przy takim podejś ciu każ dy pun kt m aterialn ego kon -
22 D . ROGULA
tinuum posiada nieskoń czeni
e wiele lokalnych stopni swobody. Jednakże czę sto trzeba
ograniczyć mikrokontinuuni do skoń czone
j wartoś ci liczbę lokalnych stopni swobody,
co efektywnie redukuje ten przypadek do poprzedniego.
Ogólnie, stan wzbogaconej struktury kinematycznej materialnego kontinuum może
być przedstawiony przez funkcję o nastę pują cej postaci
(3.1) x- B- ^ ExY
gdzie Y oznacza odpowiednią przestrzeń struktury lokalnej. Chociaż w najprostszych
przypadkach 7 jest przestrzenią wektorową , w ogólnoś ci zał oż enie takie nie jest konieczne.
N awet wię cej: istnieje wiele fizycznie uzasadnionych przykł adów przestrzeni struktur
lokalnych które nie mogą być wyposaż one w sensowną strukturę wektorową , jak ś wiadczą
0 tym przykł ady skoń czonyc
h rotacji, nasyconego spinu czy przestrzeń sieci Bravaisa
rozważ ana w pracy [12].
2. N ajprostsza moż liw
a modyfikacja zał oż enia dynamicznego polega na odrzuceniu
stwierdzenia (iv) przy pozostawieniu trzech poprzednich (i - iii). Tym sposobem dopuszcza
się niesymetryczne tensory naprę ż eń. Podejś cie takie, na gruncie czysto mechanicznym
proponował BODASZEWSKI [66]. Bardziej konsekwentne wydaje się jednak wprowadzenie
asymetrycznego tensora naprę ż eń przez poł ą czenie tej modyfikacji z inną , kinematyczną
lub konstytutywną .
N astę pna modyfikacja mogł aby polegać na odrzuceniu stwierdzenia (iii), przy pozostawieniu (i - ii). W tym kierunku nie wykonywano jednak ż adnych badań. Idea ta
może prowadzić do zależ neg
o od krzywizny przenoszenia sił przez elementy powierzchni.
Jeś i l bowiem zał oży się , że przekazywanie sił nie zależy od zakrzywienia, wtedy przy
pomocy podrę cznikowych argumentów wnioskuje się , że zależ noś
ć przekazywanej sił y
od wektora normalnego do elementu powierzchni jest liniowa. W konsekwencji powinien
istnieć tensor naprę ż eń i zał oż enie (iii) był oby speł nione.
Przy modyfikacji stwierdzenia (ii) moż na stworzyć wiele nieklasycznych modeli oś rodków cią gł ych. N ajprostsza modyfikacja tego typu polega na pozostawieniu zał oż enia (i)
1 modyfikacji (ii) przez dopuszczenie, oprócz oddział ywania przez wektory sił , dodatkowych oddział ywań przez wektory momentów sił . Prowadzi to do tzw. teorii n a p r ę ż eń
m o m e n t o w y c h . Zgodnie z tą teorią oddział ywania kontaktowe pochodzą od ogólniejszego stanu naprę ż eń, który może być opisany przez dwa pola tensorów: zwykł y
tensor naprę ż eń sił owych <flk i dodatkowy tensor naprę ż eń momentowych juik .
Wektor naprę ż eń momentowych dany jest wzorem
(3.2) mt « iiklnk ,
a tensor jiu wchodzi do bilansu momentu pę du. Ani c ^ , ani jj,ik nie muszą być symetryczne.
Wprowadzone powyż ej dodatkowe oddział ywania mogą być zał oż one w sposób ogólniejszy. M oż na mianowicie wprowadzać h i p e r n a p r ę ż e n ia coraz wyż szyc
h rzę h rzę dów. Jako
dów, opisują cych nieklasyczne oddział ywania przez, multipole sił wyż szyc
przykł ad moż na wskazać teorię TOU PIN A [10], nieprostych materiał ów z hipernaprę ż eniami najniż szeg
o rzę du.
H ipernaprę ż enia w wę ż szy
m sensie definiują oddział ywania kontaktowe, które nie
wchodzą bezpoś rednio do bilansu sił i pę dów. Jednakże zawsze wchodzą one do bilansu
energii.
POLA SPRZĘ Ż ON
E 23
Również stwierdzenie (i) może być modyfikowane. Daje to pewien rodzaj nielokalnych
dynamicznie modeli typu cał kowego [14, 15].
3. Klasyczne zał oż enie konstytutywne również może być naruszane w sposób róż ny.
Moż na je modyfikować przez branie tensora naprę ż ń
e zależ neg
o nie tylko od tensora
h rzę dów. W tedeformacji, ale również od jego gradientu, lub nawet gradientów wyż szyc
oriach ze strukturą lokalną w odpowiednich zwią zkach konstytutywnych mogą również
pojawiać się odpowiednie dodatkowe stopnie swobody, jak np. w sprę ż ystośi cmikropolarnej. Moż na również zał oż yć, że tensor naprę ż ń
e zależy od temperatury i/ lub pola
elektromagnetycznego, co prowadzi do teorii pól, sprzę ż onych. N ie mniej waż na jest
moż liwoś
ć odrzucenia zasady lokalnoś ci zawartej w klasycznym zał oż eniu konstytutywnym, przez przyję cie, że tensor naprę ż ń
e w punkcie X zależy od sytuacji w punkcie Y poł oż ony
m w skoń czone
j odległ oś ci od X. W ten sposób otrzymano modele kontinuum
z nielokalnym zwią zkiem naprę ż eń z odkształ ceniami [16- 19].
4. Moż liwe, a czasem nawet konieczne są również odpowiednie kombinacje powyż szych
modyfikacji, z należ yty
m wszakże uwzglę dnieniem ich wzajemnych zależ noś . N
ci astę pne
rozdział y bę dą poś wię cone kilku przykł adom.
4. Oś rodk
i mikropolarne
Jak wspomnieliś my poprzednio pomysł oś rodka mikropolarnego był wynikiem dopuszczenia lokalnie sztywnej mikrostruktury z niezależ nymi mikro- rotacyjnymi stopniami
swobody. Oznacza to, że klasyczne zał oż enie kinematyczne zmodyfikowano przez wprowadzenie zamiast (2.1) nastę pują cej postaci funkcji
(4.1) xx&:BxT - > Ex$,
gdzie # przedstawia przestrzeń mikrorotacji. Element tej przestrzeni może być reprezentowany matematycznie jako t r i e d r e t r i r e c t a n g l e Cosseratów, sztywna triada
Toupina, czy macierz ortogonalna, lub inny równoważ ny sposób. W liniowej teorii mikropolarnej naturalne jest zastą pienie przestrzeni skoń czonyc
h mikrorotacji • & przez liniową ,
trójwymiarową przestrzeń wektorową , której elementy reprezentują infinitezymalne
mikrorotacje. W rozdziale tym ograniczymy się do przypadku liniowego. Wektor mikrorotacji bę dzie oznaczony przez cpi, a odpowiedni moment bezwł adnoś ci (dla uproszczenia
zał oż ono izotropowoś ć) przez / .
Aby istniał o oddział ywanie mię dzy mikrorotacjami w róż nych punktach konieczne
jest wprowadzenie pola przedstawiają cego przekazywanie odpowiednich sił uogólnionych.
Najprostszym rozwią zaniem są tutaj naprę ż enia momentowe. Podobnie, aby zapewnić
oddział ywanie mię dzy mikrorotacjami, a polem przemieszczenia, konieczna jest antysymetryczna czę ść tensora naprę ż eń. Aby otrzymać nietrywialną teorię trzeba wię c modyfikację (4.1) zał oż enia kinematycznego uzupeł nić przez odpowiednie modyfikacje zał oż enia dynamicznego.
Przy tych zał oż eniach bilanse pę du i momentu pę du przybierają postać
24 D - ROG ULA
gdzie fiji, yt, i (pt oznaczają odpowiednio tensor naprę żń momentowych, momenty mae
sowe i infinitezymalne mikrorotacje.
W przypadku liniowego izotropowego sprę ż ysteg
o oś rodka mikropolarnego gę stoś
ć
energii sprę ż ystośi może być wyraż
c
ona jako
(4.3) X B
U = wopyUj) + ay«j>y<!J> + ^ykk ynn + yxitJ)xiiJ) + £x<!J>xOj> + ?~
gdzie wprowadzono nastę pująe c skróty:
(4.4)
Yn = K
uu- ekJl<pk ,
n = <PI,J>
Wtedy
fit U ) = 2y %(M) + flxkk d u ,
i,, podstawieniu tych wyraż ń
e do (4.2), otrzymuje się nastę pująy c ukł ad równań dla pól
przemieszczeń i mikrorotacji
(4.6) (ł « + a)V2M + (A+ / ii—«)gra.ddrvu+2ocvot(p + X = Q'U,
U kł ad ten stanowi podstawę do formuł owania i rozwią zywania szczegół owych problemów teorii mikropolarnej. Wiele z nich został o już rozwią zanych lub w peł ni zbadanych,
, potencjał y
jak podstawowe zwią zki, twierdzenia wariacyjne, równania naprę ż eniowe
uogólnione, róż ne problemy statyczne i dynamiczne, powstawanie i rozchodzenie się fal,
warunki promieniowania, jednoznaczność rozwią zań i inne [3, 4, 20 - 38]. Badany był
również przypadek zwią zanych mikrorotacji [39]; skonstruowano uogólnienia wł ą czająec
efekty cieplne [40 - 46], pola elektromagnetyczne [47 - 53] i defekty [54 - 56].
5. Pola sprzę ż one
. Magneto- termo- sprę ż ystoś
ć
Rozwój dziedziny pól sprzę ż onyc
h w oś rodkach materialnych motywowany jest podstawowymi przesł ankami. Z jednej strony wzajemna zależ ność mię dzy zjawiskami w przyi mię dzy
rodzie jest zasadniczym problemem wiedzy ludzkiej, z drugiej strony zwią zk
zjawiskami cieplnymi i mechanicznymi, lub mechanicznymi i elektromagnetycznymi
stanowią fundament nowoczesnej technologii. Wiele szczególnych zjawisk z dziedziny
pól sprzę ż onyc
h jest znanych w przyrodzie i wykorzystywanych w technice. Moż na tu
wymienić magnetohydrodynamikę (pompa metalu ciekł ego, generator MH D ), zjawisko
piezoelektryczne, elektro- i magnetostrykcję, magnetoakustykę, zjawiska elektro- akustyczne, wzmacniacze elektromechaniczne, efekt ż yromagnetyczny i wiele innych.
Jako przykł ad rozważ my dziedzinę znaną jako magneto- termosprę ż ystoś
ć [57 - 62, 5],
w przypadku stał ego oś rodka o skoń czony
m przewodnictwie elektrycznym Ao w pierwotnym polu magnetycznym / / . Zlinearyzowane równania pola przybierają postać
POLA SPRZĘ Ż ON
E
rot£' =
0,
c
(5.1)
rot A =
25
divA = 0.
gdzie h oznacza zaburzenie pola magnetycznego (cał kowite natę ż eni
e pola magnetycznego
jest równe H+li). D la gę stośi cprą du elektrycznego otrzymuje się nastę pująe c wyraż enie
Równanie ruchu ma ogólną postać
gdzie tensor Tij przedstawia dodatkowe naprę ż eni
a pochodzenia elektromagnetycznego.
Może on być przedstawiony przez zlinearyzowane wyraż enie Maxwella
T (< 1\
Po
ru
Po wyeliminowaniu z powyż szeg
o równania pola elektrycznego i po wzię ciu pod uwagę
przewodzenia ciepł a dochodzi się do nastę pują ceg
o ukł adu równań
2
V / i- / 5A=
(5.4) 2
/J
,V u+(^.+^)gvadu- (>u+^rot(.hxH)+X= kV2&- ce0- r) ygrad<9,
div ii = - W,
gdzie współ czynniki przedstawiają stał e materiał owe. Ten ukł ad równań może być uogólniony dla oś rodka mikropolarnego przez wprowadzenie mikrorotacji. Podobnie dla
oś rodków polaryzowanych elektrycznie lub magnetycznie. Szczególnie ciekawa sytuacja
powstaje, gdy wektor polaryzacji lub magnetyzacji jest kinematycznie niezależ ny od pola
elektromagnetycznego lub makro- ruchu. Wtedy oś rodek jest obdarzony strukturą lokalną
bezpoś rednio czuł ą na pole magnetyczne. W przypadku polaryzacji magnetycznej podstawowe równania pól sprzę ż onych
, wł ą czająe c dynamikę spinów magnetycznych, są
wyprowadzone w pracy [63] przez wykorzystanie odpowiednio zmodyfikowanej techniki
nawiasów Poissona.
Dla ogólnie nieliniowych równań pól sprzę ż onyc
h przy wł ą czeniu dowolnej skoń czeni
e
wymiarowej struktury lokalnej pokazana jest w pracy [64] technika Lagrange'a. W szczególnoś ci technika ta jest odpowiednia do rozpatrywania dynamiki polaryzacji elektrycznej.
Oprócz wielu zjawisk wynikają cych z pojedynczych sprzę żń e takich jak wspomniane
na począ tku tego rozdział u, znane są zjawiska zwią zane z bardziej skomplikowanymi
ukł adami sprzę ż eń
. Jako przykł ad moż emy podać wzmocnienia ultradź wię kow
e w pół metalach [65], gdzie fala ultradź wię kow
a przenosi się w skrzyż owanych polach magnetycznym i elektrycznym Hi Ew kierunku ExH.
26 D . ROG ULA
Przy zał oż eniu, że noś niki prą du są sprzę ż one z falą dź wię kow
ą przez potencjał deformacji wynika wzmocnienie ultradź wię ku, pod warunkiem, że
(5.5) Ec > Hs
gdzie e i s oznaczają odpowiednio prę dkość ś wiatła i dź wię ku. Iloś ciowo efekt ten jest
dość silny: w sprzyjają cych warunkach może osią gną ć 300 db/ cm. Efekt znika gdy nie ma
pola elektrycznego lub magnetycznego, albo noś ników, albo sprzę ż enia mię dzy falą dź więkową i noś nikami, lub wreszcie gdy dryf noś ników w kierunku Ex H jest sł aby. Pouczają cy
jest fakt, że interesują ce zjawisko może wynikać z dość skomplikowanego ukł adu pól
i sprzę ż eń.
Literatura cytowana w tekś cie
1. W. N OWACKI, Thermoelasticity, Pergamon Press, Oxford 1962 American edition: Reading, Mass.
Addison, Wesley 1962.
2. W. N OWACKI, Dynamie problems of thermoelasticity, N ordhof Publ., Leyden 2975 Polish edition:
PWN , Warszawa 1966, Russian translation: Mir, Moscow 1970.
3. W. N OWACKI, Theory of asymmetric elasticity [in Polish], PWN , Warszawa 1970 [second edition:
1981].
4. W. NowACKr, Theory of micropolar elasticity, CISM, Courses and Lectures, 25, Springer, Wien 1970.
5. W. N OWACKI, Foundations of linear piezoelectricity, Magnetoelasticity, in : CISM Courses and Lectures,
257, Elektromagnetic Interactions, in Elastic Solids, Ed. H . Parkus, Springer, Wien—N ew York
1979.
6. E . COSSERAT, F . COSSERAT, Theorie des corps deformables, H ermann 1909.
7. J. W. WEYSSENHOF, A. RAABE, Relativistic dynamics of spin fluids and spin particles, Acta Phys. Polon.,
9, 1947.
8. R. Ż ELAZNY
, Derivation of hydrodynamic equations of quantum system of diatomic molecules, Phys.
Rev., 117, 1, 1960.
9. A. E. G REEN , R. S. RIVLIN , Multipolar continuum mechanics, ARM A, 17, 113, 1964.
10. R. A. TOU P IN , Theories of elasticity with couple- stress, ARM A, 17, 85, 1964.
11. A. C. ERIN G EN , E. C. SU H U BI, Nonlinear theory of simple mkroelastic solids, I . I I , IJES, 2, 189, 389,
1964.
12. D . ROQU LA, Large dzformations of crystals, homotopy and defects, in: Trends in Application of Pure
M athematics to Mechanics, Proc. Conf. Lecce 1975, Ed. G . Fichera, Pitman Publ., London 1976.
13. D . ROQU LA, Continuum models of structured media, in: Study N o 12, Continuous Models^of Discrete
Systems, Proc. Symp. M ont G abriel 1977; Ed. J. W. Provan, U niv. of Waterloo Press, 1978.
14. I . A. K U N I N , Model of simple elastic medium with spatial disperion [in Russian], Prikl. M ath., 30, 542
1966.
15. E. KRON ER, Elasticity theory of materials with long- range cohesive forces, IJSS, 3, 731, 1967.
16. E. KRON ER, B. K. D ATTA, Nichtlokale Elastostatik. Ableitung aus der G ittertheorie, Z .F . Physik,
196, 203, 1966.
17. D . G . B. ED ELEN , A. E . G REEN , N . LAWS, Nonlocal continuum mechanics, ARM A, 43, 36, 1971.
IS. A. C. ERIN G EN , D . G . B. EDELEN, On nonlocal elasticity, IJES, 10, 233, 1972.
19. A. C. ERIN G EN , Nonlocal polar elastic continua, IJES, 10, 1, 1972.
20. A. C. ERIN G EN , Foundations of micropolar elasticity, CISM Courses, 23, Springer Verlag 1970.
21. R . STOJANOYIĆ, Mechanics of polar continua, CISM Courses, Voline 1970.
22. J. STEFANIAK, Reflection of a plane longitudinal wave from a free plane in a Cosserat medium, Arch.
M ech., 21, 745, 1969.
23. J. IG N ACZAK, Radiation conditions in asymmetric elasticity, J. of Elasticity, 2, 307, 1972.
POLA SPRZĘ Ż ON
E 27
24. J. IONACZAK, Theorems of Boggio's type in asymmetric elastodynamics. Bull. Acad. Polon. Sci., Serie
Sci. techn., 25, 139, 1977.
25. W. N OWACKI, Plane problems in micropolar elasticity. Bull. Acad. Polon. Sci. Serie Sci. techn., 19,
525, 1971.
26. W. NOWACKI, Zweidimensionale Probleme der mikropolaren Elastostatik, Z . Angew. M ath. M ech.,
52, 268, 1972.
27. W. NOWACKI, Three- dimensional problem of micropolar elasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci.
Techn., 22, 363, 1974.
28. A. WACHECKA- SKOWRON, Uniqueness for plane crack problems in micropolar theory of elasticity, Bull.
Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 25, 825, 1977.
29. S. MATYSIAK, A. WACHECKA- SKOWRON, On the uniqueness of some two- dimensional boundary value
problems in micropolar theory of elasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 25, 845, 1977.
30. S. M. KH AN , R. S. DHALIVAL, Axisymmetric problem for a halfspace in the micropolar theory of elasticity,
J. Blast., 7, 13, 1977.
31. S. M. KH AN , R. S. DHALIVAL, Effects due to body- forces and body couples in the interior of micropolar
elastic halfspace, J. Elast., 7, 33, 1977.
32. J. DYSZLEWICZ, S. MATYSIAK, Singularity of stresses in a micropolar elastic semi- space due to discontinuous boundary load, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. Techn., 21, 975, 1973.
33. J. DYSZLEWICZ, S. MATYSIAK, Singularity of stresses in a micropolar elastic semi- space due to concentrated
load, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. techn., 21, 763, 1973.
34. D . IESAN, The plane micropolar strain of ortotropic elastic solids, Arch. Mech., 25, 547, 1973.
35. D . IESAN, On the existence and uniqueness of the solutions of the dynamic theory of the linear elasticity
microstruclure, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. techn., 22, 329, 1974.
36. D . IESAN, Almansi's problem in micropolar elasticity, IJES, 12, 361, 1974.
37. D . lE3*iN, Torsion of anisotropic micropolar elastic cylinders, Z . Angew. M ath. M ech., 54, 773, 1974
38. D . IESAN, Saint- Venants problem for inhomogeneous and anisotropic elastic solids with microstructure,
Arch. Mech., 419, 29, 1977.
39. M . SOKOLOWSKI, Theory of couple stresses in bodies with constrained relations, CISM Courses, 26,
U dine 1970.
40. W. NOWACKI, Couple- stresses in the theory of thermoelasiicity, Proc. IU TAM Symp. Vienna 1966,
Springer Verlag, Wien 1968.
41. A. C. ERING EN, Foundations of micropolar thermoetasticity, CISM Courses, 27, Springer Verlag 1970.
42. J. STEFANIAK, A generalization of Galerkiits functions for asymmetric thermoelasticity, Bull. Acad.
Polon. Sci., Serie Sci. techn., 16, 391, 1968.
43. W. NowACKr, Green functions for micropolar thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. techn.
16, 11- 12, 1968.
44. E. Rusu, Op- some theorems in a generalized theory of linear micropolar thermoelasticity, Bull. Inst.
Politechn. ł asi, A22, 87, 1976.
45. T . R. TAUCHERT, W. D . CLAUSS Jr., A. ARIMAN, The linear theory of micropolar thermoelasticity, IJES,
6, 37, 1968.
46. K. L. CHOWDHURY, P. G . GLOCKNER, On the matrix method in micropolar thermoelasticity, Bull.
Acad. Polon. Sci., Serie Sci. techn., 23, 511, 1975.
47. W. NOWACKI, Some problems of micropolar magneto- elasticity, Proc. Vibr. Probl., 12, 105, 1971.
48. S. KALISKI, Thermo- magneto- microelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. techn., 16, 7, 1968.
49. S. KALISKI, W. NOWACKI, Wave- type equations of thermo- magneto- microelasticity, Bull. Acad. Polon.
Sci., Serie Sci. techn., 18, 277, 1970.
50. C. E. POUGH, M. SIN G H , Couple stresses in elastic dielectrics, Indian J. Pure Appl. M ath,, 5, 530, 1974.
51. Cz. RYMARZ, W. NIEPORET, Micro- structural electrohydrodynamic model of a continuous medium,
J. Techn. Phys., 17, 195, 1976.
52. E. C. ERING EN, R. C. D IXON , A dynamical theory of polar elastic dielectrics, IJES, 3, 359, 1965.
53. R. D . MIN D LIN , A continuum theory of diatomic dielectrics, IJES, 8, 7, 1972.
2S D . ROG ULA
54. J. P. N OWACKI, The linear theory of dislocation in Cosserat elastic continuum, Bull. Acad. Polon. AcL,
Serie Sci. techn., 22, 611, 1974.
55. J. P. N OWACKI, Theory of disclinations in elastic Cosserat media, Arch. Mech., 29, 531, 1977.
56. S. MIN AG AWA, Elastic fields of dislocations and dislocations in a isotropic micropolar continuum, Lett.
Appl. Engng. Sci., 5, 85, 1977.
57. W. N OWACKI, Two- dimensional problem of magneto- thermoelasticity, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie
Sci. techn., 10, 2, 1962.
58. S. KALISKI, W. N OWACKI, Combined elastic and electromagnetic waves produced by thermal shock in
the case of medium of finite electric conductivity, Bull. Acad. Polon. Sci. Serie Sci. techn., 10, 5, 1962.
59. W. N OWACKI, Problem of linear couple magneto- thermoelasticity I. Energetic theorem and uniqueness
theorem of solution, II. Variation theorems, Bull. Acad. Polon. Sci., Serie Sci. techn., 13, 4, 6, 1965.
60. W. N OWACKI, Coupled fields in elasticity, in : Trends, in Applications of Pure M ath, to Mechanics,
Ed. G . F ischera, Pitman Publ., London 1976.
61. H . PARKU S, Variational principles in thermo- and magneto- elasticity, Courses and Lectures, 58, U dine
1970.
62. H . PARKU S, Magneto- thermoelasticity, Courses and Lectures, 118, Springer Verlag, U dine, 1972.
63. S. KALISKI, Z . PŁOCHOCKI, D . ROG ULA, Asymmetric stress tensor and the angular momentum comservation law in the equations of combined mechanical and electromagnetic field in a continuous medium,
P roc. Vibr. Probl., 3, 253, 1962.
64. D . ROG U LA, Noether theorem for a continuous medium interacting with external fields, Proc. Vibr. Probl.,
7, 337, 1966.
65. W. P. D U M KE, R. R. H EARIN G , Ultrasonic amplification in semimetals, Phys., Rev., 126, pp. 1974,
1962.
66. S. BODASZEWSKI, On non- symmetric state of stress and its application in mechanics of continuous media,
Arch. M ech. 5, 351, 1953.