Moc w obwodzie prądu zmiennego - Open AGH e

Moc w obwodzie prądu zmiennego
Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński
O mocy wydzielanej w obwodzie prądu stałego mówiliśmy w module Praca i moc prądu elektrycznego, straty cieplne. W obwodzie
prądu zmiennego moc dana jest takim samym wyrażeniem
P (t) = U(t)I(t)
(1)
ale wartość jej zmienia się bo zmienne jest napięcie i natężenie prądu. Dlatego też w przypadku prądu zmiennego do obliczenia
mocy posłużymy się wartościami średnimi.
Zgodnie z naszymi obliczeniami moc w obwodzie RLC w dowolnej chwili t wynosi
P (t) = U(t)I(t) = U0 I0 sin(ωt)sin(ωt − φ)
(2)
Korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów, otrzymujemy
P (t) = U0 I0 sinωt(sinωtcosφ − cosωtsinφ) = U0 I0 (sin2 ωtcosφ −
1
2
sin2ωtsinφ)
(3)
gdzie ponadto skorzystaliśmy z relacji sinωtcosωt = sin2ωt/2.
Moc średnia jest więc dana wyrażeniem
__________
P̄¯¯ = U0 I0 ( sin2 ωt cosφ −
1
2
__________
sin2ωt sinφ)
(4)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
¯¯¯¯¯¯¯
¯ = 1/2 (wykresy sinus i cosinus są takie same, jedynie przesunięte o π/2).
2 ωt
Ponieważ sin2 ωt + cos2 ωt = 1, to sin2 ωt = ¯
cos
¯¯¯¯¯¯¯¯ = 0, bo funkcja sinus jest na przemian dodatnia i ujemna, więc
Ponadto ¯
sin2ωt
P̄¯¯ =
U0 I0
2
cosφ
(5)
Jak widzimy, średnia moc zależy od przesunięcia fazowego pomiędzy napięciem i prądem.
Na podstawie wzoru Obwód szeregowy RLC-( 6 ) i korzystając ze związków między funkcjami trygonometrycznymi tego samego
kąta można pokazać, że cosφ = R/Z. Uwzględniając, ponadto że U0 = ZI0 możemy przekształcić wyrażenie na moc średnią do
postaci
P̄¯¯ =
U0 I0
2
cosφ =
(Z I0 )I0 R
2
Z
=
I02 R
2
(6)
Przypomnijmy, że dla prądu stałego P = I 2 R. Z porównania tych dwóch wyrażeń dochodzimy do wniosku, że moc średnia
wydzielana przy przepływie prądu zmiennego o amplitudzie I0 jest taka sama, jak prądu stałego o natężeniu.
DEFINICJA
Definicja 1: Wartość skuteczna natężenia prądu zmiennego
Isk =
I0
√2
Tę wielkość nazywamy wartością skuteczną natężenia prądu zmiennego. Analogicznie definiujemy skuteczną wartość
napięcia.
(7)
DEFINICJA
Definicja 2: Wartość skuteczna napięcia prądu zmiennego
Usk =
U0
√2
(8)
ZADANIE
Zadanie 1: Obliczanie maksymalnej wartośći skutecznej napięcia
Treść zadania:
Mierniki prądu zmiennego takie jak amperomierze i woltomierze odczytują właśnie wartości skuteczne. Wartość napięcia
220V w naszej sieci domowej to wartość skuteczna. Jaka jest wartość maksymalną tego napięcia?
U0 =
ROZWIĄZANIE:
Dane: Usk = 220V .
Wartość skuteczna napięcia jest dana wyrażeniem Usk =
U0
.
√2
Stąd wartość maksymalna napięcia U0 = Usk √2 = 311V .
Obliczyliśmy moc średnią wydzielaną w całym obwodzie. Porównajmy ją teraz ze średnią mocą traconą na oporze R
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
2 ¯
¯P¯¯¯ = ¯I¯¯¯¯¯
(t)R = I02 sin2 ωt R =
R
I02 R
2
(9)
Widzimy, że cała moc wydziela się na oporze R, a to oznacza, że na kondensatorze i cewce nie ma strat mocy.
Ten wniosek pozostaje w zgodności z naszymi wcześniejszymi obliczeniami. Gdy w obwodzie znajduje się tylko pojemność lub
indukcyjność (nie ma oporu omowego), to przesuniecie fazowe jest równe π/2, a ponieważ cos(π/2) = 0, to zgodnie z
równaniem ( 5 ) średnia moc jest równa zeru. Jednocześnie zauważmy, że moc chwilowa zmienia się z czasem; raz jest dodatnia
(energia jest gromadzona w polu elektrycznym kondensatora lub magnetycznym cewki), a raz ujemna (zgromadzona moc jest
oddawana do układu).
Omawiane obwody, w których elementy R, L, C stanowiły odrębne części nazywamy obwodami o elementach skupionych. W
praktyce jednak mamy do czynienia z elementami, które mają złożone własności. Przykładem może tu być cewka, która oprócz
indukcyjności L ma zawsze opór R oraz pojemność międzyzwojową C. Mamy wtedy do czynienia z obwodami o elementach
rozłożonych.
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne
prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko
na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Czas generacji dokumentu: 2015-06-17 15:41:53
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?
link=3a05cb85f9212d883080e9e977e5a756
Autor: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński