energia potencjalna
Transkrypt
energia potencjalna
Prof. dr hab. Adam Kiejna Fizyka fazy skondensowanej I Wykład 10 v16 Pasma energetyczne Pasma energetyczne Elektrony w kryształach rozmieszczone są w pasmach energetycznych oddzielonych przedziałami energii wzbronionej (przerwami energetycznymi) Pasma wzbronione powstają na skutek oddziaływania fal elektronów przewodnictwa z rdzeniami jonów sieci krystalicznej Schematyczne obsadzenie dozwolonych pasm energetycznych w różnych materiałach 4 Model prawie swobodnych elektronów Widmo energii słabo zaburzone przez periodyczny potencjał jonów Sens fizyczny pasm wzbronionych – Sieć liniowa 2gie pasmo dozwolone Pasmo wzbronione I pasmo dozwolone Elektrony swobodne Elektrony prawie swobodne w liniowej sieci krystalicznej o stałej sieci a Warunek Bragga (k + G)2 = k2 dla dyfrakcji fali o wektorze falowym k ( w jednym wymiarze): k = ± ½ G = ± n π /a n -- liczba całkowita |G| = |2π /a | n -- wektor sieci odwrotnej Pierwsze odbicie i pierwsza przerwa zachodzą dla k = ± ½ π /a 5 Elektrony prawie swobodne w liniowej sieci krystalicznej Obszar pomiędzy -π /a < k < π /a I strefa Brillouina W k = ± π /a fcje falowe nie są falami biegnącymi fale stojące => odbicie Bragga fala biegnąca w prawo ulega odbiciu i rozchodzi się w kierunku przeciwnym Dwa rodzaje fal stojących: ψ(+) = eiπx/a + eiπx/a = 2 cos (πx/a) ψ(–) = eiπx/a – eiπx/a = 2i sin (πx/a) zmienia (lub nie) znak przy zamianie x na -x 6 Pochodzenie przerwy energetycznej Fale te gromadzą elektrony w różnych rejonach => różne energie potencjalne U, energia potencjalna Gęstość prawdopodob. elektronu: ρ = ψ* ψ = |ψ|2 Rdzeń jonu Fala płaska: ρ = e-ikx eikx = 1 ρ, gęstość prawdopodob. Fala biegnąca (płaska) Fale stojące: ρ(+) = |ψ (+)|2 ~ cos2 (πx/a) gromadzi elektrony na dodatnich jonach => najmniejsza energia potencjalna ρ(-) = |ψ (-)|2 ~ sin2 (πx/a) koncentruje elektrony pomiędzy jonami => największa energia potencjalna 7 ρ, gęstość prawdopodob. Średnia energia potencjalna dla trzech rozkładów ładunku: ρ (+) < ρ (f.płaska) < ρ (–) Różnica energii potencjalnych rozkładów ρ (–) i ρ(+) => przerwa energetyczna o szerokości Eg Funkcja falowa w A (poniżej przerwy): ψ(+) = eiπx/a + eiπx/a = 2 cos (πx/a) Funkcja falowa w B (powyżej przerwy): ψ(–) = eiπx/a – eiπx/a = 2i sin (πx/a) 8 Szerokość przerwy energetycznej unormowane fale stojące współczynniki fourierowskie potencjału okresowego 11 Wektor sieci 12 stała 13 c.b.d.o. Model Kroniga-Penneya Jednowymiarowy potencjał okresowy – rozwiązanie analityczne Prostokątne studnie potencjału. Równanie Schrödingera: 14 Model Kroniga-Penneya Studnia (U = 0), 0<x<a, ψ = A eiKx + B eiKx , Bariera (U = U0), b < x < 0 , ψ = C eQx + D eQx , (*) (**) ε = ħ2K2/2m U0 ε = ħ2Q2/2m 15 Rozwiązanie na konwersatorium Model Kroniga-Penneya Widmo energii dla P = 3π / 2 Przerwy energetyczne (dla ka = π, 2π, 3π, …) 16 Równanie falowe dla potencjału ogólnej postaci U(x) – energia potencjalna elektronu w sieci liniowej o stałej a U(x) = U (x + a) => funkcja okresowa => szereg Fouriera Współcz. fourierowskie maleją szybko ze wzrostem wielkości G funkcja własna, orbital, funkcja Blocha k – rzeczywiste Nie wszystkie wektory falowe ze zbioru k = (2π /L ) n wchodzą do rozwinięcia fourierowskiego dowolnej funkcji Blocha ! Ale jeśli jeden szczególny wektor k jest zawarty w ψ , wtedy wszystkie inne wektory falowe występujące w rozwinięciu ψ będą miały postać k+G (G = wektor sieci odwrotnej) Oznaczenie: funkcja ψ zawierająca składową k => ψk , lub ψk+G Zbiór k + G przebiegający po wszystkich G => podzbiór k = (2π /L)n Górne punkty: wektory falowe wchodzące w rozwiązanie Fouriera funkcji ψ(x) Wartości k = (2π /L)n dozwolone przez periodyczne warunki brzegowe dla funkcji falowej na pierścieniu o obwodzie L, złożonym z 20 komórek Układ równań algebraicznych zastąpił układ równań różniczkowych! Rozwiązanie układu równań liniowych (*) Rozwiązanie układu równań liniowych (*) Możemy to sprawdzić przekształcając uk (x + T) Dowód twierdzenia Blocha =1 Alternatywny, dokładny dowód tw. Blocha (prawdziwy nawet wtedy, gdy ψk są zdegenerowane). Pęd elektronu w krysztale Taka sama jak dla elektronu swobodnego! Pęd elektronu w krysztale Znaczenie wektora k użytego do oznaczania funkcji Blocha? Gdy elektron o wektorze k zderza się z fononem o wektorze q to, gdy fonon został zaabsorbowany: k + q = k' + G Reguła wyboru Podsumowanie Rozwiązaniami równania falowego w sieci okresowej są funkcje Blocha ψk(r) = exp(ikr) uk(r), gdzie uk(r) jest niezmiennicza względem translacji sieci. W krysztale istnieją przedziały energii wzbronionej w których nie ma rozwiązań blochowskich równania falowego. W tych obszarach energii funkcje falowe są tłumione w przestrzeni.