Prawdopodobienstwo geometryczne

Transkrypt

Prawdopodobieństwo geometryczne
Krzysztof Jasiński
Wydział Matematyki i Informatyki
UMK, Toruń
Liceum Ogólnokształcące im. Władysława Jagiełły w Płocku
22 stycznia 2014 r.
Krzysztof Jasiński (WMiI UMK)
1/21
Doświadczenia losowe
Doświadczenie losowe – doświadczenie, którego wyniku nie da się
z góry przewidzieć, a jednocześnie dające się powtarzać w tych
samych warunkach.
Zbiór zdarzeń elementarnych – zbiór wszystkich możliwych
wyników doświadczenia, oznaczamy go zazwyczaj symbolem Ω.
Zdarzenia – podzbiory zbioru Ω.
Przykład 1.
Rzucamy jeden raz monetą.
zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {Orzeł,Reszka} = {O, R}.
przykłady zdarzeń:
zdarzenie A – „wypadł orzeł”, tzn. A = {O},
zdarzenie B – „wypadł orzeł lub wypadła reszka”, tzn.
B = {O, R}.
2/21
Doświadczenie losowe – doświadczenie, którego wyniku nie da się
z góry przewidzieć, a jednocześnie dające się powtarzać w tych
samych warunkach.
Zbiór zdarzeń elementarnych – zbiór wszystkich możliwych
wyników doświadczenia, oznaczamy go zazwyczaj symbolem Ω.
Zdarzenia – podzbiory zbioru Ω.
Przykład 1.
Rzucamy jeden raz monetą.
zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {Orzeł,Reszka} = {O, R}.
zdarzenie A – „wypadł orzeł”, tzn. A = {O},
zdarzenie B – „wypadł orzeł lub wypadła reszka”, tzn.
B = {O, R}.
2/21
Przykład 2.
Rzucamy jeden raz kostką do gry.
zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
zdarzenie A – „wypadła liczba parzysta”, tzn. A = {2, 4, 6},
zdarzenie B – „wypadła liczba mniejsza od trzech”, tzn.
B = {1, 2}.
3/21
Prawdopodobieństwo
Każdemu zdarzeniu A przyporządkowujemy liczbę P(A) ∈ [0, 1].
Liczba ta określa szansę, że to zdarzenie zajdzie i nazywamy ją
prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A.
Inaczej mówiąc określamy pewną funkcję, której dziedziną jest zbiór
zdarzeń, a zbiorem wartości przedział [0, 1].
Własności prawdopodobieństwa.
Niech A i B będą dowolnymi zdarzeniami
P(A) ∈ [0, 1],
P(Ω) = 1,
Jeżeli A ∩ B = ∅, to P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
4/21
Prawdopodobieństwo
Każdemu zdarzeniu A przyporządkowujemy liczbę P(A) ∈ [0, 1].
Liczba ta określa szansę, że to zdarzenie zajdzie i nazywamy ją
prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A.
Inaczej mówiąc określamy pewną funkcję, której dziedziną jest zbiór
zdarzeń, a zbiorem wartości przedział [0, 1].
Własności prawdopodobieństwa.
Niech A i B będą dowolnymi zdarzeniami
P(A) ∈ [0, 1],
P(Ω) = 1,
Jeżeli A ∩ B = ∅, to P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
4/21
Prawdopodobieństwo
Przykład 1.
Rzut monetą. Ω = {O, R}. Prawdopodobieństwa zdarzeń
elementarnych określamy zazwyczaj następująco
1
P({O}) = ,
2
1
P({R}) = .
2
5/21
Prawdopodobieństwo
Przykład 2.
Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Prawdopodobieństwa zdarzeń
elementarnych określamy zazwyczaj następująco
1
P({1}) = P({2}) = · · · = P({6}) = .
6
Korzystając z tego możemy obliczyć prawdopodobieństwa innych
zdarzeń, np.
P(„wypadnie liczba parzysta”) = P({2, 4, 6}) =
= P({2} ∪ {4} ∪ {6}) =
= P({2}) + P({4}) + P({6}) =
1 1 1
1
= + + = .
6 6 6
2
6/21
Klasyczny model prawdopodobieństwa
Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut
kostką) mają dwie wspólne cechy:
Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników)
Ω = {O, R}, |Ω| = 2,
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6,
Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są
równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego
jest jednakowo prawdopodobny.
P({O}) = P({R}) = 12 .
P({1}) = P({2}) = · · · = P({6}) = 16 .
Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to
prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z
wzoru
|A|
P(A) =
.
|Ω|
Jest to tzw. „klasyczna definicja prawdopodobieństwa”.
7/21
Ω = {O, R}, |Ω| = 2,
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6,
P({O}) = P({R}) = 12 .
P({1}) = P({2}) = · · · = P({6}) = 16 .
wzoru
|A|
P(A) =
.
|Ω|
7/21
Ω = {O, R}, |Ω| = 2,
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6,
P({O}) = P({R}) = 12 .
P({1}) = P({2}) = · · · = P({6}) = 16 .
wzoru
|A|
P(A) =
.
|Ω|
7/21
Ω = {O, R}, |Ω| = 2,
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6,
P({O}) = P({R}) = 12 .
P({1}) = P({2}) = · · · = P({6}) = 16 .
wzoru
|A|
P(A) =
.
|Ω|
7/21
Ω = {O, R}, |Ω| = 2,
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6,
P({O}) = P({R}) = 12 .
P({1}) = P({2}) = · · · = P({6}) = 16 .
wzoru
|A|
P(A) =
.
|Ω|
7/21
Ω = {O, R}, |Ω| = 2,
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6,
P({O}) = P({R}) = 12 .
P({1}) = P({2}) = · · · = P({6}) = 16 .
wzoru
|A|
P(A) =
.
|Ω|
7/21
Ω = {O, R}, |Ω| = 2,
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6,
P({O}) = P({R}) = 12 .
P({1}) = P({2}) = · · · = P({6}) = 16 .
wzoru
|A|
P(A) =
.
|Ω|
7/21
Ω = {O, R}, |Ω| = 2,
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6,
P({O}) = P({R}) = 12 .
P({1}) = P({2}) = · · · = P({6}) = 16 .
wzoru
|A|
P(A) =
.
|Ω|
7/21
Przykład 2.
Rzut kostką.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6,
A – wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, |A| = 3,
P(A) =
|A|
3
1
= = ,
|Ω|
6
2
B – wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, |B| = 2,
P(B) =
|B|
2
1
= = ,
|Ω|
6
3
8/21
Przykład 2.
Rzut kostką.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6,
P(A) =
|A|
3
1
= = ,
|Ω|
6
2
P(B) =
|B|
2
1
= = ,
|Ω|
6
3
8/21
Przykład 2.
Rzut kostką.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6,
P(A) =
|A|
3
1
= = ,
|Ω|
6
2
P(B) =
|B|
2
1
= = ,
|Ω|
6
3
8/21
Przykład 2.
Rzut kostką.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6,
P(A) =
|A|
3
1
= = ,
|Ω|
6
2
P(B) =
|B|
2
1
= = ,
|Ω|
6
3
8/21
Przykład 2.
Rzut kostką.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |Ω| = 6,
P(A) =
|A|
3
1
= = ,
|Ω|
6
2
P(B) =
|B|
2
1
= = ,
|Ω|
6
3
8/21
Problem
Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób
losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania
dowolnego punktu są równe.
Pytania:
Jak wygląda zbiór zdarzeń elementarnych?
Ile jest zdarzeń elementarnych?
Ile wynosi prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia
elementarnego?
Czy możemy stosować klasyczną definicję
prawdopodobieństwa?
Jak obliczać prawdopodobieństwa różnych zdarzeń, np.
P({x
P({x
P({ 12
P({x
6 12 }) =
> 14 }) =
6 x < 43 }) =
= 13 }) =
9/21
Problem
Odpowiedzi:
Ω = [0, 1]
Jest nieskończenie wiele zdarzeń elementarnych, |Ω| = +∞,
P({x}) = 0 dla dowolnego x ∈ [0, 1],
Nie możemy stosować klasycznej definicji prawdopodobieństwa.
Wynika z tego, że aby określić np. P({x 6 21 }) potrzebna jest inna
definicja prawdopodobieństwa.
10/21
Wiemy, że na podzbiorach Rn mamy określone pewne miary.
Na R1 jest to długość, na R2 pole, a na R3 objętość.
Załóżmy, że Ω jest podzbiorem Rn o skończonej mierze.
Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem
zbioru Ω). Wówczas
P(A) =
miara(A)
.
miara(Ω)
Jest to tzw. „geometryczna definicja prawdopodobieństwa”.
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary
(długości, pola, objętości) tego zbioru.
Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A,
to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do
zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że
trafi on do zbioru A.
11/21
P(A) =
miara(A)
.
miara(Ω)
11/21
P(A) =
miara(A)
.
miara(Ω)
11/21
P(A) =
miara(A)
.
miara(Ω)
11/21
P(A) =
miara(A)
.
miara(Ω)
11/21
P(A) =
miara(A)
.
miara(Ω)
11/21
Przykład
dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
x ∈ [0, 13 ]?
Rozwiązanie:
Ω = [0, 1],
A = [0, 13 ],
P(A) = P(x ∈ [0, 13 ]) =
1
1
długość(A)
= 3 = .
długość(Ω)
1
3
12/21
Przykład
x ∈ [0, 13 ]?
Rozwiązanie:
Ω = [0, 1],
A = [0, 13 ],
P(A) = P(x ∈ [0, 13 ]) =
1
1
długość(A)
= 3 = .
długość(Ω)
1
3
12/21
Przykład
x ∈ [0, 13 ]?
Rozwiązanie:
Ω = [0, 1],
A = [0, 13 ],
P(A) = P(x ∈ [0, 13 ]) =
1
1
długość(A)
= 3 = .
długość(Ω)
1
3
12/21
Przykład
x ∈ [0, 13 ]?
Rozwiązanie:
Ω = [0, 1],
A = [0, 13 ],
P(A) = P(x ∈ [0, 13 ]) =
1
1
długość(A)
= 3 = .
długość(Ω)
1
3
12/21
Zadanie 1
Wewnątrz koła o promieniu 5 wybrano losowo jeden punkt. Oblicz
prawdopodobieństwo, że znajduje się on w odległości mniejszej niż
2 od środka koła.
Rozwiązanie:
Ω = {(x, y ) : x 2 + y 2 6 25},
A = {(x, y ) : x 2 + y 2 < 4},
P(A) = P({(x, y ) : x 2 + y 2 < 2}) =
pole(A)
4π
4
=
= .
pole(Ω)
25π
25
13/21
Zadanie 1
2 od środka koła.
Rozwiązanie:
Ω = {(x, y ) : x 2 + y 2 6 25},
A = {(x, y ) : x 2 + y 2 < 4},
P(A) = P({(x, y ) : x 2 + y 2 < 2}) =
pole(A)
4π
4
=
= .
pole(Ω)
25π
25
13/21
Zadanie 1
2 od środka koła.
Rozwiązanie:
Ω = {(x, y ) : x 2 + y 2 6 25},
A = {(x, y ) : x 2 + y 2 < 4},
P(A) = P({(x, y ) : x 2 + y 2 < 2}) =
pole(A)
4π
4
=
= .
pole(Ω)
25π
25
13/21
Zadanie 1
2 od środka koła.
Rozwiązanie:
Ω = {(x, y ) : x 2 + y 2 6 25},
A = {(x, y ) : x 2 + y 2 < 4},
P(A) = P({(x, y ) : x 2 + y 2 < 2}) =
pole(A)
4π
4
=
= .
pole(Ω)
25π
25
13/21
Zadanie 2
W koło wpisany jest kwadrat. Oblicz prawdopodobieństwo, że
punkt rzucony losowo na koło znajdzie się wewnątrz kwadratu.
Rozwiązanie:
Ω = {(x, y ) : x 2 + y 2 6 r 2 },
A = {(x, y ) ∈ wnętrze kwadratu},
P(A) = P({(x, y ) ∈ wnętrze kwadratu}) =
pole(A)
2r 2
2
= 2 = .
pole(Ω)
πr
π
14/21
Zadanie 2
Rozwiązanie:
Ω = {(x, y ) : x 2 + y 2 6 r 2 },
pole(A)
2r 2
2
= 2 = .
pole(Ω)
πr
π
14/21
Zadanie 2
Rozwiązanie:
Ω = {(x, y ) : x 2 + y 2 6 r 2 },
pole(A)
2r 2
2
= 2 = .
pole(Ω)
πr
π
14/21
Zadanie 2
Rozwiązanie:
Ω = {(x, y ) : x 2 + y 2 6 r 2 },
pole(A)
2r 2
2
= 2 = .
pole(Ω)
πr
π
14/21
Zadanie 3
Dwie osoby umawiają się między godziną 10.00 a 11.00. Pierwsza
osoba, która przyjdzie czeka kwadrans, ale nie dłużej niż do 11.00,
i jeśli się nie doczeka, odchodzi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
te osoby się spotkają.
Rozwiązanie:
x − moment przyjścia I osoby,
y − moment przyjścia II osoby.
Ω = {(x, y ) : 0 6 x 6 60, 0 6 y 6 60}, (czas wyrażony w
minutach),
A = {(x, y ) ∈ [0, 60]2 : y 6 x 6 y + 15, x 6 y 6 x + 15} =
{(x, y ) ∈ [0, 60]2 : x − 15 6 y 6 x + 15},
15/21
Zadanie 3
Rozwiązanie:
minutach),
A = {(x, y ) ∈ [0, 60]2 : y 6 x 6 y + 15, x 6 y 6 x + 15} =
{(x, y ) ∈ [0, 60]2 : x − 15 6 y 6 x + 15},
15/21
Zadanie 3
Rozwiązanie:
minutach),
A = {(x, y ) ∈ [0, 60]2 : y 6 x 6 y + 15, x 6 y 6 x + 15} =
{(x, y ) ∈ [0, 60]2 : x − 15 6 y 6 x + 15},
15/21
Zadanie 3
Rozwiązanie:
minutach),
A = {(x, y ) ∈ [0, 60]2 : y 6 x 6 y + 15, x 6 y 6 x + 15} =
{(x, y ) ∈ [0, 60]2 : x − 15 6 y 6 x + 15},
15/21
Zadanie 3 cd.
Rozwiązanie:
0
0
P(A) = 1 − P(A ) = 1 −
452
pole(A )
= 1 − 2.
pole(Ω)
60
16/21
Zadanie 3 cd.
Rozwiązanie:
0
0
P(A) = 1 − P(A ) = 1 −
452
pole(A )
= 1 − 2.
pole(Ω)
60
16/21
Jak obliczyć pole nie znając rachunku całkowego?
Problem. Dana jest funkcja f : [a, b] → R+ . Jak obliczyć pole
figury ograniczonej osią OX prostymi x = a i x = b oraz krzywą
y = f (x)?
17/21
Obliczanie pól metodą Monte Carlo
Wybieramy losowo N punktów z prostokąta [a, b] × [0, Max]
(N – duże).
rN – liczba punktów, które znalazły się wewnątrz obszaru S,
tzn. pod wykresem funkcji f (na rysunku zostały oznaczone
kolorem czerwonym).
18/21
rN
N
– określa jaka część punktów trafiła w obszar S.
Ponieważ punkty są rozłożone równomiernie na całym
prostokącie, więc możemy rozsądnie przyjąć, że obszar S
stanowi rNN część obszaru całego prostokąta tzn.
Pole(S)
rN
≈ .
Pole([a, b] × [0, Max])
N
Stąd
Pole(S) ≈ Pole([a, b] × [0, Max]) ·
rN
rN
= Max · (b − a) ·
N
N
Im więcej punktów wylosowaliśmy tym przybliżenie to powinno
być dokładniejsze.
19/21
rN
N
Pole(S)
rN
≈ .
Pole([a, b] × [0, Max])
N
Stąd
rN
rN
= Max · (b − a) ·
N
N
19/21
rN
N
Pole(S)
rN
≈ .
Pole([a, b] × [0, Max])
N
Stąd
rN
rN
= Max · (b − a) ·
N
N
19/21
Metody Monte Carlo – historia
Metodami Monte Carlo nazywamy klasę metod, które do
numerycznego rozwiązywania złożonych zagadnień wykorzystują
komputerowe generowanie liczb pseudolosowych odpowiadających
możliwym parametrom wejściowym badanego układu (opisanego
modelem matematycznym).
Metody Monte-Carlo stosowane są w różnych dziedzinach np. przy
projektowaniu eksperymentów fizycznych (np. doświadczeń z
cząstkami elementarnymi), modelowaniu procesów fizycznych (np.
powstawania struktur we wszechświecie itp.), wyznaczania cen
różnych instrumentów finansowych.
20/21
Metody Monte Carlo – historia
Idee tej metody przedstawili w latach 40-tych XX wieku
naukowcy pracujący w laboratorium w Los Alamos przy
projekcie Manhattan – Stanisław Ulam, John von Neumann,
Enrico Fermi i Nicholas Metropolis.
Nazwa pochodzi od słynnego kasyna w Monte Carlo, w którym
podobno grywał często wujek Stanisława Ulama. Wielokrotne
powtarzanie tych samych eksperymentów losowych można
porównać do regularnego uczestnictwa w grach hazardowych.
Takie symulacje losowe przeprowadzane były już wcześniej, ale
służyły raczej do weryfikacji znanych rezultatów (uzyskanych
innymi metodami), a nie do właściwego rozwiązywania
problemów.
21/21

Prawdopodobienstwo geometryczne

Transkrypt

Podobne dokumenty

Regionalne Koło Informatyczne

Spotkania z Mistrzem DVD 1

Spotkania z Mistrzem DVD 2

OPRAWA MUZYCZNA MSZY ŚW. 03.03.2013. Anonim

Tematy projektów badawczych na Studia Doktoranckie w zakresie

Nagroda okolicznościowa dla zespołu konkursu

VIII SPOTKANIE HISTORYKÓW SZTUKI I KONSERWATORÓW

Regulamin konkursu

„Colours of the Soul - Dominik Jasiński”