O ciezkiej pracy geodety i lesnika, czyli rózne oblicza liczb Catalana

O CI E˛ŻKIEJ PRACY GEODETY I LE ŚNIKA ,
CZYLI RÓ ŻNE OBLICZA LICZB C ATALANA
Adam Doliwa
[email protected]
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Wydział Matematyki i Informatyki
S POTKANIA Z MATEMATYK A˛
Olsztyn, 27 marca 2012 r.
Adam Doliwa (UWM)
Liczby Catalana
27-III-2012
1 / 20
Plan
1
Podział na trójkaty
˛ i liczenie drzew
2
Wyznaczenie liczb Catalana - rekurencja
3
Wyznaczenie liczb Catalana - funkcja tworzaca
˛
Adam Doliwa (UWM)
Liczby Catalana
27-III-2012
2 / 20
O zliczaniu triangulacji wielokata
˛
Jaka jest liczba podziałów na trójkaty
˛ wielokata
˛ wypukłego o n + 2
bokach?
n=1 C1 =1
n=2 C2 =2
n=3 C3 =5
Adam Doliwa (UWM)
Liczby Catalana
27-III-2012
3 / 20
Liczba podziałów na trójkaty
˛ wielokata
˛ wypukłego o
n + 2 = 6 bokach
n=4 C4 =14
Adam Doliwa (UWM)
Liczby Catalana
27-III-2012
4 / 20
Liczby Catalana
Eugène Charles Catalan (30.V.1814 - 14.II.1894)
C0 = 1, C1 = 1, C2 = 2, C3 = 5, C4 = 14, C5 = 42, C6 = 132,
C7 = 429, C8 = 1 430, C9 = 4 862, C10 = 16 796, ...
Adam Doliwa (UWM)
Liczby Catalana
27-III-2012
5 / 20
Czym jest płaskie ukorzenione drzewo binarne
lewe pod−drzewo
’’
lisc
galaz’
,
wierzcholek wewnetrzny
,
pien’
korzen’
Ukorzenione płaskie drzewo binarne składa sie˛ z wyróżnionego
wierzchołka (korzenia) oraz pary ukorzenionych płaskich drzew
binarnych (lewego i prawego pod-drzewa). Z każdego wierzchołka, za
wyjatkiem
˛
korzenia z którego wychodzi tylko pień, wychodza˛ albo dwie
gałezie
˛
(lewa i prawa gałaź)
˛ albo nie wychodza˛ gałezie.
˛
W pierwszym
przypadku wierzchołek jest nazywany wewnetrznym,
˛
w drugim
przypadku jest nazywany zewnetrznym
˛
lub liściem.
Adam Doliwa (UWM)
Liczby Catalana
27-III-2012
6 / 20
Ile jest różnych drzew majacych
˛
n wierzchołków
wewnetrznych?
˛
n=1
n=0
n=2
n=3
Adam Doliwa (UWM)
Liczby Catalana
27-III-2012
7 / 20
Triangulacje wielokatów
˛
i drzewa binarne
n=1
n=0
n=2
n=3
Adam Doliwa (UWM)
Liczby Catalana
27-III-2012
8 / 20
Pierwsza rekurencja (wzór Segnera)
Rozdzielmy (planarne ukorzenione) drzewo binarne majace
˛ n+1
wierzchołków wewnetrznych
˛
na lewe i prawe pod-drzewo
Lewe pod−drzewo
’
k wierzcholkow
Prawe pod−drzewo
’
n−k wierzcholkow
pierwszy wewnetrzny wierzcholek
staje sie korzeniem obu pod−drzew
,
,
Musimy wysumować po wszystkich możliwościach: lewe pod-drzewo
ma k wierzchołków wewnetrznych
˛
i prawe pod-drzewo ma n − k
wierzchołków wewnetrznych
˛
Cn+1 = C0 Cn + C1 Cn−1 + C2 Cn−2 + · · · + Cn−1 C1 + Cn C0
Adam Doliwa (UWM)
Liczby Catalana
27-III-2012
9 / 20
Przed Catalanem
Leonhard Euler
15.IV.1707 – 18.IX.1783
Adam Doliwa (UWM)
János Segner
9.X.1704 – 5.X.1777
Liczby Catalana
27-III-2012
10 / 20
Druga rekurencja
Ak+1
A k+2
k+2
n−k+2
A
2
A1
An+2
An+1
dzielimy wielokat
˛ o n + 2 wierzchołkach przekatn
˛ a˛ A1 Ak +2 na dwa
wielokaty
˛ majace
˛ k + 2 wierzchołków i n − k + 2 wierzchołków;
k = 1, 2, . . . , n − 1
Adam Doliwa (UWM)
Liczby Catalana
27-III-2012
11 / 20
Druga rekurencja
dzielimy nastepnie
˛
oba nowe wielokaty
˛ na trójkaty
˛ otrzymujac
˛
C1 Cn−1 + C2 Cn−2 + . . . Cn−2 C2 + Cn−1 C1
triangulacji używajacych przekatne
˛
wychodzace
˛ z A1
ponieważ A1 może być dowolnym z n + 2 wierzchołków wielokata
˛
wiec
˛ do wszystkich triangulacji używamy
(n + 2) (C1 Cn−1 + C2 Cn−2 + . . . Cn−2 C2 + Cn−1 C1 )
wierzchołków diagonal
z drugiej strony, każda triangulacja używa n − 1 diagonal, a każdy
wierzchołek jest liczony dwukrotnie (jako poczatek
˛
i koniec
diagonali)
2(n − 1)Cn = (n + 2) (C1 Cn−1 + C2 Cn−2 + . . . Cn−2 C2 + Cn−1 C1 )
Adam Doliwa (UWM)
Liczby Catalana
27-III-2012
12 / 20
Trzecia rekurencja (wzór Eulera)
ze wzoru Segnera, pamietaj
˛ ac
˛ że C0 = 1, mamy
Cn+1 − 2Cn = C1 Cn−1 + C2 Cn−2 + . . . Cn−2 C2 + Cn−1 C1
w połaczeniu
˛
z druga˛ rekurencja˛ daje to równanie
Cn+1 − 2Cn =
2n − 2
Cn
n+2
rozwiazuj
˛ ac
˛ je otrzymujemy
Cn+1 =
Adam Doliwa (UWM)
4n + 2
Cn
n+2
Liczby Catalana
27-III-2012
13 / 20
Liczby Catalana i współczynniki dwumianowe
2(2n − 1)
22 (2n − 1)(2n − 3)
Cn−1 =
Cn−2 = . . .
n+1
(n + 1)n
2n (2n − 1)(2n − 3) . . . 3 · 1
=
C0 ,
C0 = 1
(n + 1)n . . . 3 · 2
Cn =
1
Cn =
n+1
n
k
=
2n
n
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
=
1 · 2 . . . (k − 1)k
n
X
n(n − 1) 2
(1 + x) = 1 + nx +
x + · · · + xn =
2
n
k =0
Adam Doliwa (UWM)
Liczby Catalana
n
k
xk
27-III-2012
14 / 20
Liczba możliwych rozmieszczeń nawiasów w iloczynie
n + 1 czynników
c
b
c
b
d
a
d
(a(b(cd)))
((a(bc))d)
((ab)(cd))
b
c
c
b
d
a
a
d
(a((bc)d))
(((ab)c)d)
Adam Doliwa (UWM)
a
d
a
c
b
Liczby Catalana
27-III-2012
15 / 20
Liczba dróg
rozpatrzymy drogi w kwadracie n × n z dolnego lewego wierzchołka do
górnego prawego, które nie przekraczaja˛ przekatnej
˛
łacz
˛ acej
˛ te
wierzchołki i sa˛ monotoniczne
Uwaga
Liczac
˛ od lewej strony liczba strzałek w prawa˛ strone˛ nigdy nie jest
mniejsza od liczby strzałek do góry
Adam Doliwa (UWM)
Liczby Catalana
27-III-2012
16 / 20
Funkcja tworzaca
˛ liczb Catalana
Zdefiniujmy funkcje˛
C(x) = C0 + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + · · · =
∞
X
Ck x k
k =0
Znamy już funkcje˛ tworzac
˛ a˛ współczynników dwumianowych
n X
n
(1 + x) =
xk
k
n
k =0
Twierdzenie
Funkcja tworzaca
˛ liczb Catalana spełnia równanie
x[C(x)]2 − C(x) + 1 = 0
Adam Doliwa (UWM)
Liczby Catalana
27-III-2012
17 / 20
Dowód Twierdzenia
[C(x)]2 =
= (C0 + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + . . . )(C0 + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + . . . ) =
= C02 + (C0 C1 + C1 C0 )x + (C0 C2 + C1 C1 + C2 C0 )x 2 + . . .
· · · + (C0 Cn + C1 Cn−1 + · · · + Cn C0 )x n + . . .
Korzystajac
˛ ze wzoru Segnera otrzymujemy równanie
[C(x)]2 =C1 + C2 x + C3 x 2 + · · · + Cn+1 x n + . . .
C(x) − C0
=
x
musimy jeszcze pamietać,
˛
że C0 = 1
Adam Doliwa (UWM)
Liczby Catalana
27-III-2012
18 / 20
Z równania kwadratowego możemy wyznaczyć funkcje˛ tworzac
˛ a˛
C(x) =
1 1 ± (1 − 4x)1/2
2x
Okazuje sie˛ (pierwszy rok studiów), że standardowy wzór
(1 + y )a = 1 +
a(a − 1) 2 a(a − 1)(a − 2) 3
a
y+
y +
y + ...
1
1·2
1·2·3
ma sens także dla wszystkich liczb rzeczywistych a, jeśli ograniczymy
sie˛ do zakresu zmiennej |y | < 1. W naszym przypadku mamy
1
1
1
1
3
1
−
−
−
2
2
2
y2 + 2
y 3+
(1 + y )1/2 = 1 + 2 y + 2
1
1
·
2
1
·
2
·
3
1
1
− 12 − 32 − 52 4
− 21 − 32 − 52 − 72 5
2
2
y +
y + ...
+
1·2·3·4
1·2·3·4·5
Adam Doliwa (UWM)
Liczby Catalana
27-III-2012
19 / 20
Ponowne wyznaczenie liczb Catalana
Podstawiajac
˛ y = −4x i wybierajac
˛ dolny znak w rozwiazaniu
˛
równania kwadratowego (żeby otrzymać C0 = 1) otrzymujemy wzór
3·1
5·3·1
1
(2x) +
(2x)2 +
(2x)3 + . . .
1·2
1·2·3
1·2·3·4
(2n − 1)(2n − 3) . . . 3 · 1
··· +
(2x)n + . . .
1 · 2 . . . n(n + 1)
C(x) = 1 +
w którym przy x n mamy dobrze nam znane wyrażenie na n-ta˛ liczbe˛
Catalana Cn
Adam Doliwa (UWM)
Liczby Catalana
27-III-2012
20 / 20