III. Układy równań różniczkowych zwyczajnych

III. Układy równań różniczkowych zwyczajnych
1. Uwagi wstępne
Niech I ⊂ R będzie dowolnym przedziałem i a, b ∈ I, przy czym a < b. Niech dane będzie
odwzorowanie Φ = (ϕ1 , . . . , ϕn ) : I → Rn . Załóżmy, że funkcje ϕ1 , . . . , ϕn są różniczkowalne w
przedziale I. Wówczas mówimy, że odwzorowanie Φ jest różniczkowalne w tym przedziale, a jego
pochodną nazywamy odwzorowanie Φ0 : I → Rn określone wzorem
Φ0 (x) = ϕ01 (x), . . . , ϕ0n (x)
x ∈ I.
dla
Załóżmy teraz, że funkcje ϕ1 , . . . , ϕn są całkowalne w sensie Riemanna w przedziale ha, bi. Wówczas mówimy, że odwzorowanie Φ jest całkowalne w tym przedziale, a całką odwzorowania Φ w przedziale ha, bi nazywamy punkt przestrzeni Rn dany wzorem
Z
b
Φ(t)dt =
a
Przestrzeń
Rn
Z
b
b
Z
ϕ1 (t)dt, . . . ,
a
ϕn (t)dt .
a
wyposażamy w normę określoną wzorem
n
|y| = max |yi | = max{|yi | : i = 1, 2, . . . , n},
y = (y1 , . . . , yn ).
i=1
Łatwo wykazać, że norma ta jest równoważna z normą euklidesową w przestrzeni Rn . Jedną z
korzyści wprowadzenia powyższej normy jest następujaca własność.
Własność 1. Dla każdego odwzorowania Φ = (ϕ1 , . . . , ϕn ) : ha, bi → Rn , całkowalnego na ha, bi,
zachodzi nierówność
Z b
Z b
Φ(t)dt
|Φ(t)|dt.
6
a
a
Dowód. Istotnie, dla każdego i = 1, 2 . . . , n zachodzą nierówności
Z b
Z b
Z b
ϕi (t)dt 6
|ϕi (t)|dt 6
|Φ(t)|dt.
a
Zatem
a
a
Z b
Z b
Z b
n Φ(t)dt
=
max
ϕ
(t)dt
|Φ(t)|dt.
6
i
a
To kończy dowód własności.
i=1
a
a
Układy równań różniczkowych zwyczajnych
2. Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności
Punkt przestrzeni Rn+1 postaci (x, y1 , . . . , yn ) oznaczać będziemy (x, y), gdzie y = (y1 , . . . , yn ).
Niech dany będzie obszar G ⊂ Rn+1 i odwzorowanie ciągłe F = (f1 , . . . , fn ) : G → Rn . Układem
normalnym równań różniczkowych pierwszego rzędu nazywamy układ



y 0 = f1 (x, y1 , . . . , yn ),

 1
.....................



 y 0 = fn (x, y1 , . . . , yn )
n
lub krócej
y 0 = F (x, y).
(1)
Rozwiązaniem układu (1) nazywamy każde odwzorowanie Φ = (ϕ1 , . . . , ϕn ) : I → Rn określone
i różniczkowalne na przedziale I ⊂ R i takie, że dla każdego x ∈ I punkt x, Φ(x) ∈ G i
Φ0 (x) = F x, Φ(x) .
Analogicznie jak dla równań różniczkowych wprowadzamy pojęcia: przedłużenie rozwiązania,
przedłużenie właściwe, rozwiązanie integralne.
Dla ustalonego punktu (ξ, η) ∈ G, gdzie η = (η1 , . . . , ηn ), warunki początkowe lub Cauchy’ego
polegają teraz na poszukowaniu rozwiązania Φ : I → Rn układu (1) takiego, że
Φ(ξ) = η,
czyli takiego, że ξ ∈ I oraz ϕ1 (ξ) = η1 , . . . , ϕn (ξ) = ηn .
Niech T będzie podzbiorem G. Mówimy, że odwzorowanie F spełnia na T warunek Lipschitza ze
wzgędu na y, gdy istnieje stała L > 0 taka, że nierówność
|F (x, y) − F (x, y ∗ )| 6 L|y − y ∗ |.
zachodzi dla wszystkich punktów (x, y), (x, y ∗ ) ∈ T .
Niech (ξ, η) ∈ G, a, b > 0 oraz
T = {(x, y) ∈ R × Rn : |x − ξ| 6 a, |y − η| 6 b}.
Podobnie jak w rozdziale II (korzystając z własności 1.) pokazujemy, że istnieje ciągłe rozwiązanie
układu równań całkowych postaci
Z x
y(x) = η +
F t, y(t) dt,
ξ
a zatem istnieje rozwiązanie układu równań różniczkowych (1), przy stosownych założeniach.
Dokładniej, definiując odpowiedni ciąg kolejnych przybliżeń:
Z
Φk (x) = η +
x
Φ0 (x) = η,
f t, Φk−1 (t) dt,
x ∈ I,
x ∈ I,
k = 1, 2, . . .
ξ
postępujemy jak w dowodzie twierdzenia Picarda z poprzedniego rozdziału. Prawdziwe jest zatem
następujące twierdzenie.
30
Układy równań różniczkowych zwyczajnych
Twierdzenie 1 (Picarda). Jeśli spełnione są poniższe założenia:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
F : G → Rn jest odwzorowaniem ciągłym,
T ⊂ G,
F spełnia na T warunek Lipschitza ze względu na y,
|F (x, y)| 6 M dla (x, y) ∈ T , gdzie M > 0,
I = hξ − δ, ξ + δi, gdzie δ = min{a, Mb },
to istnieje rozwiązanie Φ : I → Rn układu (1) spełniające warunek początkowy Φ(ξ) = η o wykresie
e : Ie → Rn jest
leżącym w T . Ponadto rozwiązanie to jest jednoznaczne w tym sensie, że jeśli Φ
e
rozwiązaniem układu (1), spełniającym warunek początkowy Φ(ξ)
= η, o wykresie przebiegającym w
e
e
T , to Φ(x) = Φ(x) dla x ∈ I ∩ I.
Mówimy, że odwzorowanie F = (f1 , . . . , fn ) : G → Rn spełnia lokalnie warunek Lipschitza ze
względu na y, gdy każdy punkt (ξ, η) ∈ G posiada otoczenie T ⊂ G, na którym F spełnia warunek
Lipschitza ze względu na y.
Własność 2. Jeśli wszystkie współrzędne f1 , . . . , fn odwzorowania F mają ograniczone pochodne
cząstkowe względem zmiennych y1 , . . . , yn , to F spełnia lokalnie warunek Lipschitza ze względu na y.
W szczególności każde odwzorowanie F = (f1 , . . . , fn ) klasy C 1 spełnia lokalnie warunek Lipschitza
ze względu na y.
Dowód. Ustalmy punkt (ξ, η) ∈ G. Z założenia istnieje stała M > 0 i prostokąt
T = {(x, y) ∈ Rn+1 : |x − ξ| 6 a, |y − η| 6 b},
dla których spełnione są nierówności:
(fi )0y (x, y) 6 M
k
(x, y) ∈ T, i, k = 1, . . . , n.
dla
Zauważmy, że dla dowolnych (x, y) ∈ T i (x, y ∗ ) ∈ T zachodzi tożsamość
fi (x, y) − fi (x, y ∗ ) = fi (x, y1 , y2 , . . . , yn ) − fi (x, y1∗ , y2 , . . . , yn ) +
+ fi (x, y1∗ , y2 , . . . , yn ) − fi (x, y1∗ , y2∗ , . . . , yn ) +
...
∗
∗
+ fi (x, y1∗ , . . . , yn−1
, yn ) − fi (x, y1∗ , . . . , yn−1
, yn∗ ) .
Stąd i z twierdzenia o wartości średniej, stosowanego do każdej zmiennej y1 , . . . , yn , dostajemy, że
|fi (x, y) − fi (x, y ∗ )| 6 nM |y − y ∗ |.
Zatem dla dowolnych (x, y) ∈ T i (x, y ∗ ) ∈ T ,
|F (x, y) − F (x, y ∗ )| 6 nM |y − y ∗ |.
Twierdzenie 2 (integralne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności). Jeżeli odwzorowanie ciągłe
F = (f1 , . . . , fn ) : G → Rn
spełnia lokalnie warunek Lipschitza ze względu na y, to przez każdy punkt (ξ, η) ∈ G przechodzi
dokładnie jedno rozwiązanie integralne układu (1). Rozwiązanie to jest określone w przedziale otwartym.
31
Układy równań różniczkowych zwyczajnych
Dowód tego twierdzenia poprzedzimy lematem.
Lemat 1. Przy założeniach powyższego twierdzenia, jeżeli Φ1 : I1 → Rn i Φ2 : I2 → Rn są dwoma
rozwiązaniami układu (1) przechodzącymi przez punkt (ξ, η), to
Φ1 (x) = Φ2 (x)
dla
x ∈ I1 ∩ I2 .
Dowód. Jeśli I1 ∩ I2 = {ξ}, to lemat zachodzi. W przeciwnym przypadku zbiór I = I1 ∩ I2 jest
przedziałem. Niech
Z = {x ∈ I : Φ1 (x) = Φ2 (x)}.
Oczywiście ξ ∈ Z. Ponieważ Φ1 i Φ2 są odwzorowaniami ciągłymi, zbiór Z jest zbiorem domkniętym.
Weźmy dowolny punkt ξ0 ∈ Z i niech η0 = Φ1 (ξ0 ) = Φ2 (ξ0 ). Oczywiście punkt (ξ0 , η0 ) ∈ G zatem
na mocy założenia istnieje zbiór
T0 = {(x, y) ∈ Rn+1 : |x − ξ0 | 6 a0 , |y − η0 | 6 b0 },
w którym można zastosować twierdzenie 1. Istnieje więc rozwiązanie Φ0 : I0 → Rn układu (1)
określone na przedziale otwartym1 I0 o środku w punkcie ξ0 , przechodzące przez punkt (ξ0 , η0 ). Na
mocy drugiej części twierdzenia 1. rozwiązanie to jest jednoznaczne, czyli
Φ1 (x) = Φ2 (x) = Φ0 (x)
dla
x ∈ I0 ∩ I.
Zatem I0 ∩ I ⊂ Z i w konsekwencji zbiór Z jest otwarty w I. Ponieważ I jest przedziałem (tzn.
zbiorem spójnym na prostej R), więc Z = I.
Dowód twierdzenia 2. Rozważmy rodzinę J wszystkich przedziałów I, dla których istnieją rozwiązania ΦI : I → Rn układu (1) przechodzące przez punkt (ξ, η). Z założenia na podstawie twierdzenia
Picarda rodzina J jest niepusta. Niech Ie oznacza sumę wszystkich przedziałów rodziny J , czyli
[
Ie =
I.
I∈J
Łatwo zauważyć, że Ie jest przedziałem. Dla każdego x ∈ Ie przyjmijmy
e
Φ(x)
= ΦI (x),
jeśli
x ∈ I, I ∈ J .
e jest jednoznacznym integralnym rozwązaniem układu (1)
Na podstawie lematu 1. odwzorowanie Φ
przechodzącym przez punkt (ξ, η).
Na zakończenie pokażemy, że Ie jest przedziałem otwartym. Przypuśćmy przeciwnie, że na przy
e
kład prawy koniec β przedziału Ie należy do tego przedziału. Wówczas punkt β, Φ(β)
∈ G, więc z
założenia istnieje zbiór
e
T = {(x, y) ∈ Rn+1 : |x − β| 6 a, |y − Φ(β)|
6 b},
w którym można zastosować twierdzenie 1. Istnieje więc rozwiązanie Φ0 : I0 → Rn układu (1)
e
określone na przedziale I0 o środku w punkcie β takie, że Φ0 (β) = Φ(β).
Z lematu 1 odwzorowanie

Φ (x) dla x ∈ I ,
0
0
Φ(x) =
Φ(x)
e
dla x ∈ Ie
1
Na podstawie twierdzenia 1 istnieje rozwiązanie określone na przedziale domkniętym hξ0 − δ, ξ0 + δi. Możemy
przyjąć I0 = (ξ0 − δ, ξ0 + δ).
32
Układy równań różniczkowych zwyczajnych
e co przeczy intejest rozwiązaniem układu (1). Jest ono właściwym przedłużeniem rozwiązania Φ,
e i kończy dowód.
gralności rozwiązania Φ
Podamy jeszcze jedno integralne twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności. Niech
G = {(x, y) ∈ R × Rn : x ∈ (p, q), y ∈ Rn }.
Twierdzenie 3. Jeśli F : G → Rn jest odwzorowaniem ciągłym i dla każdego domkniętego przedziału
I ⊂ (p, q) spełnia ono warunek Lipschitza na zbiorze I × Rn ze względu na y, to przez każdy punkt
(ξ, η) ∈ G przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie integralne układu (1). Jest ono określone w całym
przedziale (p, q).
Szkic dowodu. Podobnie jak w dowodzie twierdzenia Picarda poszukujemy ciągłego rozwiązania
układu równań całkowych:
Z x
y(x) = η +
F t, y(t) dt.
ξ
Ponieważ odwzorowanie F jest określone w zbiorze G = (p, q) × Rn , to można poprawnie zdefiniować
następujący ciąg kolejnych przybliżeń:
Z
Φk (x) = η +
x
Φ0 (x) = η,
x ∈ (p, q),
F t, Φk−1 (t) dt,
x ∈ (p, q),
k = 1, 2, . . .
ξ
Biorąc dowolny przedział domknięty I ⊂ (p, q) stwierdzamy, że istnieje stała M > 0 taka, że
|F (x, η)| 6 M
dla
x ∈ I.
Następnie analogicznie jak w dowodzie twierdzenia Picarda wykazujemy indukcyjnie nierówność
|Φk (x) − Φk−1 (x)| 6
M Lk−1
|x − ξ|k
k!
(x ∈ I, k = 1, 2, . . .),
z której wynika, że ciąg (Φk ) jest jednostajnie zbieżny na przedziale I. Z dowolności I wynika, że w
całym przedziale (p, q) ciąg (Φk ) jest zbieżny punktowo do odwzorowania ciągłego Φ.
Ponieważ F spełnia warunek Lipschitza na każdym zbiorze postaci I × Rn , to podobnie jak w
dowodzie twierdzenia Picarda wykazujemy, że
Z x
Φ(x) = η +
F t, Φ(t) dt
dla
x ∈ I,
ξ
a więc z dowolności przedziału I
Z
Φ(x) = η +
x
F t, Φ(t) dt
dla
x ∈ (p, q).
ξ
Jednoznaczność rozwiązania Φ otrzymujemy z twierdzenia 2, gdyż z przyjętych założeń wynika, że
odwzorowanie F spełnia lokalnie warunek Lipschitza ze względu na y.
To kończy dowód twierdzenia.
33