Ćwiczenie 3 a) b - Katedra Systemów Przetwarzania Sygnałów

Katedra Systemów Przetwarzania Sygnałów
Prawa autorskie zastrzeżone:
Katedra Systemów
Przetwarzania Sygnałów PWr
Ćwiczenie 3
Zmodyfikowano 05.12.2016
POMIAR PARAMETRÓW CZWÓRNIKÓW
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie podstawowych parametrów charakteryzujących liniowy,
bierny czwórnik symetryczny i niesymetryczny.
W ćwiczeniu należy:
 wyznaczyć elementy macierzy admitancyjnej i łańcuchowej czwórnika,
 wyznaczyć parametry robocze czwórnika.
A. WPROWADZENIE
1. Wstęp
Czwórnikiem N nazywa się dowolnie złożony (rys. 1a), czterozaciskowy układ elektryczny,
w którym:
a) zostały wyróżnione cztery zaciski 11’22’, zgrupowane w dwie pary (wrota): 11’ i 22’;
b) jest spełniony warunek regularności (zrównoważenia):
I 1'  I 1  I 2'  I 2 ,
(1)
zapewniający, że stan zaciskowy czwórnika można określić przez dwa napięcia U 1 , U 2
między zaciskami tworzącymi pary (napięcia wrót) oraz tylko dwa prądy I 1 , I 2 (prądy
wrót);
c) wielkości zaciskowe U 1 , U 2 , I 1 , I 2 są ze sobą związane dwoma równaniami, zwanymi
równaniami czwórnika i stanowiącymi jego opis.
a)
1
I2 2
I1
SLS
czwórnik N
U1
b)
SLS
dwójnik N1
U2
1' I 1'
I 2' 2'
I1
I2 2
1
SLS
czwórnik N
U1
1' I 1'
U2
SLS
dwójnik N2
I 2' 2'
c)
1
I1
U1 1' I 1'
SLS
czwórnik N
2' I 2'
U2
SLS
czwórnik N
2 I2
Rys. 1
Zaciski 11’ nazywamy umownie zaciskami pierwotnymi, zaś zaciski 22’ zaciskami
wtórnymi. Jeśli czwórnik jest włączony między dwa dwójniki (rys. 1b) to mówimy, że pracuje on w
sposób transmisyjny, wówczas na pewno spełniony jest warunek regularności. Między dwójnikiem
1
Katedra Systemów Przetwarzania Sygnałów
N1 i N2 nie mogą występować dodatkowe sprzężenia (np. magnetyczne). Czwórnik może także
współpracować z otoczeniem w sposób pokazany na rys. 1c, pod warunkiem, że spełniony jest
warunek (1).
Teoria czwórników zajmuje się badaniem własności transmisyjnych czwórników, tzn.
właściwości występujących podczas przepływu przez czwórnik sygnałów elektrycznych oraz
badaniem warunków współpracy czwórnika z zewnętrznymi obwodami dołączonymi do jego
zacisków. Stosowane w teorii czwórników parametry uogólnione pozwalają określić wpływ
rozpatrywanego czwórnika na przesyłane przez niego sygnały, bez wnikania w wewnętrzną
strukturę układu.
Rozważania poniższe dotyczą tylko czwórników SLS w stanie ustalonym w warunkach
pobudzenia sinusoidalnego. Własności czwórnika jako układu transmisyjnego są całkowicie
określone zależnościami między napięciami a prądami na wejściu i wyjściu układu. Wielkości U1,
U2, I1 i I2 spełniają równania liniowe, zwane równaniami czwórnika.
Współczynniki równań opisujących czwórnik są nazywane jego parametrami własnymi,
gdyż nie zależą one od układów współpracujących N1 i N2. Do grupy parametrów własnych zalicza
się również tzw. parametry charakterystyczne stosowane wówczas, gdy czwórnik pracuje w
warunkach dopasowania falowego.
Własności czwórnika występującego podczas współpracy ze źródłem i obciążeniem
charakteryzują tzw. parametry robocze.
2. Parametry własne czwórnika
Równania admitancyjne czwórnika mają następującą postać
 I 1  y11U 1  y12U 2

 I 2  y 21U 1  y 22 U 2
(2)
 I 1   y11
I    y
 2   21
(3)
lub równoważną postać macierzową
y12  U 1 
U 1 
   Y ,
y 22  U 2 
U 2 
gdzie Y – zwarciowa macierz admitancji czwórnika.
I1
1
U1
1'
SLS
N
I2
2
1
U2 = 0
I1
U1 = 0
2'
1'
SLS
N
I2
2
U2
2'
Rys. 2
Korzystając z równań admitancyjnych czwórnika można wyznaczyć prądy I1 oraz I2 dla
danych napięć U1 i U2. Współczynniki występujące w równaniach admitancyjnych mają charakter
transmitancji i mogą być wyznaczone przez pomiar odpowiednich napięć i prądów przy zwartych
zaciskach wejściowych lub wyjściowych czwórnika (rys. 2).
Prawdziwe są następujące zależności
2
Katedra Systemów Przetwarzania Sygnałów
y 11 
a)
I1
,
U1 U 2  0
y 12 
b)
I1
,
U 2 U1  0
(4)
y 21 
c)
I2
,
U1 U 2  0
y 22 
d)
I2
.
U 2 U1  0
Postać równań łańcuchowych czwórnika jest następująca
U 1  a11U 2  a12 I 2

 I 1  a 21U 2  a 22 I 2
(5)
U 1   a11 a12  U 2 
U 
 A 2 ,
 I   a



 1   21 a 22   I 2 
I 2 
(6)
lub
gdzie A jest macierzą łańcuchową.
Równania (5) i (6) dają odpowiedź na pytanie, jakie muszą być wielkości wejściowe U1 i I1,
aby otrzymać zadanie napięcie U2 i prąd I2 na wyjściu. Współczynniki równań łańcuchowych są
określone następująco (rys. 3)
U
U
a 11  1
a 12  1
a)
,
b)
,
U2 I2 0
I2 U2 0
(7)
c)
I1
1
U1
1'
a 21 
SLS
N
I1
,
U2 I2 0
a 22 
d)
I2 = 0 2
I1
1
U2
U1
2'
1'
I1
.
I2 U2 0
SLS
N
I2
2
U2 = 0
2'
Rys. 3
W pewnych przypadkach opis czwórnika upraszcza się. Dla czwórnika odwracalnego
opisanego macierzą Y (macierz ta istnieje), spełniającego zasadę wzajemności, tj.
I1
I
 2
,
U 2 U  0 U1 U  0
1
2
(8)
zwarciowa macierz admitancyjna Y jest macierzą symetryczną
YY
t
(9)
lub równoważnie
y12 = y21.
3
(10)
Katedra Systemów Przetwarzania Sygnałów
Warunek odwracalności czwórnika wyrażony dla macierzy łańcuchowej jest następujący
det  A   1.
(11)
Do opisu czwórnika odwracalnego wystarczy, zatem podanie trzech elementów macierzy.
Czwórnik symetryczny jest szczególnym przypadkiem czwórnika odwracalnego, dla
którego dodatkowo spełniona jest równość
lub
y11 = y22
(12)
a11 = a22.
(13)
Do opisu czwórnika symetrycznego wystarczy podać dwa elementy macierzy.
Czwórnik złożony z elementów RLCM jest odwracalny !
3. Parametry robocze czwórnika
Parametry robocze czwórnika wyznacza się uwzględniając wartości sem Eg i impedancji Zg
współpracującego z czwórnikiem źródła oraz wartość impedancji obciążenia Z0 (rys. 4).
Rys. 4
Poniżej podano definicje parametrów roboczych i określające je wzory, wyrażone przez
elementy macierzy Y i A.
impedancja
wejściowa
Z wej 
1  y 22 Z 0
U1
a Z a

 11 0 12 ,
I 1 y11  det  Y  Z 0 a 21 Z 0  a 22
impedancja
wyjściowa
Z wyj 
1  y11 Z g
a Z g  a12
U2

 22
,
I 2 y 22  det  Y  Z g a 21 Z g  a11
wzmocnienie
napięciowe
Ku 
 y 21 Z 0
U2
Z0


,
U 1 1  y 22 Z 0 a11 Z 0  a12
wzmocnienie
prądowe
skuteczne
wzmocnienie
napięciowe
Ki 
y 21
I2
1


,
I 1 y11  det  Y  Z 0 a 21 Z 0  a 22
K usk 
 y 21 Z 0
U2
Z0


,
E g 1  y11 Z g  y 22 Z 0  det  Y  Z 0 Z g a12  a11 Z 0  a 22 Z g  a 21 Z 0 Z g
4
Katedra Systemów Przetwarzania Sygnałów
skuteczne
wzmocnienie
mocy
K psk 
1 
P2
2
 4 K usk Re   Re Z g  ,
P1d
Z0 
gdzie P2 – moc czynna wydzielona w obciążeniu Z0,
P1d – moc dysponowana źródła.
5. Układ laboratoryjny
U1
R0
R0  1kΩ,
U
'
1
C  33 nF,
R  5,1kΩ
'
U2
R0
U2
Rys. 5
Układ laboratoryjny (rys. 5) umożliwia zbudowanie z elementów RC czwórników symetrycznych i
niesymetrycznych. Przykładowo, jeżeli przełączniki P6, P7 i P8 znajdują się w pozycjach
oznaczonych linią przerywaną, a pozostałe przełączniki w pozycjach oznaczonych linią ciągłą, to
otrzymuje się symetryczny czwórnik typu T (rys. 6).
33 nF
1 k
33 nF
5,1 k
5,1 k
5,1 k
1 k
33 nF
Rys. 6
'
Wyznaczając, np. element y11 należy zmierzyć napięcia U1 i U 1 przy zwartych zaciskach
wyjściowych (dla układu z rys. 5 przełączniki P10 i P11 w pozycjach oznaczonych linią przerywaną).
Układ pomiarowy przedstawiono na rys. 7. Element y11 określa się ze wzoru
5
Katedra Systemów Przetwarzania Sygnałów
'
U1 U1
I
R0
y11  1

U 1 u 0
U1
2
.
(27)
U 2 0
B
A
Rys. 7
'
'
Przy wyznaczaniu a22 należy zmierzyć napięcia U 1 , U 1 i U 2 w układzie jak na rys. 7 i
obliczyć
'
a 22 
I1
I 2
u 2 0
U 1 U 1
R0

'
U2
R0
.
(28)
U 2 0
B. CZĘŚĆ LABORATORYJNA
Wykaz przyrządów:
- generator,
- woltomierz,
- miernik fazy,
- miernik impedancji,
- dekada rezystorowa,
- dekada kondensatorowa.
W punktach 1.1 i 3.1 dla wybranej częstotliwości z przedziału 1-5 kHz należy zmierzyć
wartości modułów i przesunięć fazowych napięć i prądów zaciskowych czwórnika w stanie zwarcia
i rozwarcia. Wartości prądów I1 i I2 określa się przez pomiar odpowiednich napięć na rezystorze
R0 = 1 k, (patrz( 27) i (28)).
Pomiary przesunięć fazy są wykonywane za pomocą miernika fazy, przy założeniu, że faza
początkowa napięcia z generatora równa się zeru. W trakcie ćwiczenia należy korzystać z programu
komputerowego ‘Czwórniki’. Wyniki uzyskane z programu najlepiej w postaci: moduł, argument
przepisać do protokołu.
6
Katedra Systemów Przetwarzania Sygnałów
Uruchomić Dosshell znajdujący się na pulpicie ekranu komputera, następnie uruchomić
program Czwórniki. Można prowadzić protokół elektroniczny wykorzystując do tego program
IrfanView. Za pomocą tego programu można łączyć (Edit -> Past Special (add on side) -> to
Bottom) zrzuty okienek z programu Czwórniki (Alt + prt sc). Po każdym zrzucie należy składować
powstały obraz do katalogu #. Pięć zrzutów (1. Schemat połączeń, 2. Macierz Y,
3. Macierz A, 4. Parametry robocze na podstawie pomiarów. 5. Parametry robocze z macierzy Y.)
powinno być na jednej kartce, oddzielnie dla czwórnika symetrycznego i niesymetrycznego.
Uwaga ! Przed drukowaniem należy bezwzględnie odwrócić kolory (Image ->Negative (invert
image) -> All channel).
1. Wyznaczanie elementów macierzy admitancyjnej i łańcuchowej czwórnika symetrycznego
W sprawozdaniu należy narysować schematy czwórników bez kluczy i elementów
zbędnych!
1.1 Wyznaczyć elementy macierzy admitancyjnej i łańcuchowej czwórnika symetrycznego.
W sprawozdaniu zamieścić macierz A zmierzoną i obliczoną z macierzy Y oraz macierz
Y zmierzoną i obliczoną z macierzy A. Porównać wyniki.
2. Wyznaczanie parametrów roboczych
2.1 Dla czwórnika symetrycznego badanego w punkcie 1, przy wybranej częstotliwości, wyznaczyć
wzmocnienie napięciowe Ku oraz wzmocnienie prądowe Ki (wykorzystać program ‘Czwórniki’
– pkt. 5.1), uwzględniając wskazaną przez prowadzącego ćwiczenie admitancję obciążenia
(zalecana wartość Y0 ≈ y22 wyznaczona w pkt. 1.1). Dwójnik o admitancji Y 0 zrealizować
oczywiście w postaci równoległego połączenia rezystora o wartości R0 oraz kondensatora o
1
1
pojemności C0 , tzn. Y 0   jC0 . Wyznaczyć impedancję Z 0  . Impedancja ta potrzebna
R0
Y0
jest w pkt. 2.2.
2.2 Wyznaczyć wzmocnienie napięciowe i prądowe dla wyznaczonej w punkcie 1 macierzy Y
czwórnika (wykorzystać program ‘Czwórniki’ – pkt. 5.2 – wprowadzić obliczoną wcześniej
impedancję Z 0 ). Porównać wyniki.
3. Wyznaczanie elementów macierzy admitancyjnej i łańcuchowej czwórnika
niesymetrycznego
3.1 Wyznaczyć elementy macierzy admitancyjnej i łańcuchowej czwórnika niesymetrycznego.
W sprawozdaniu zamieścić macierz A zmierzoną i obliczoną z macierzy Y oraz macierz Y
zmierzoną i obliczoną z macierzy A. Porównać wyniki.
4. Wyznaczanie parametrów roboczych
4.1 Dla czwórnika niesymetrycznego badanego w punkcie 3, przy wybranej częstotliwości,
wyznaczyć wzmocnienie napięciowe Ku oraz wzmocnienie prądowe Ki (wykorzystać program
‘Czwórniki’ – pkt. 5.1), uwzględniając wskazaną przez prowadzącego ćwiczenia admitancję
obciążenia
7
Katedra Systemów Przetwarzania Sygnałów
(zalecana wartość Y 0 
Z0 
1
 j C0  y 22 wyznaczona w pkt. 3.1). Wyznaczyć impedancję
R0
1
. Impedancja ta potrzebna jest w pkt. 4.2 .
Y0
4.2 Wyznaczyć wzmocnienie napięciowe i prądowe dla wyznaczonej w punkcie 3 macierzy Y
czwórnika (wykorzystać program ‘Czwórniki’- pkt. 5.2 – wprowadzić obliczoną wcześniej
impedancję Z 0 ). Porównać wyniki.
Poniżej podano przykładowy schemat połączeń wykorzystywany w ćwiczeniu (rys. 8) przy
pomiarze parametrów roboczych.
Rys. 8
5. Weryfikacja pomiarów
5.1 Wyznaczyć w sprawozdaniu, korzystając z definicji (wykorzystując schemat czwórnika i
wartości elementów), jeden wybrany przez siebie element macierzy: admitancyjnej i
łańcuchowej
jednego
z
mierzonych
w
ćwiczeniu
czwórników
(schemat ogólny czwórników wraz z wartościami elementów jest przedstawiony na rys. 5).
Porównać obliczone wyniki z wynikami pomiarów.
Uwagi dla studentów:
1. Należy wybrać czwórnik RC o strukturze niesymetrycznej i symetrycznej, który
można zrealizować konfigurując czwórnik z panelu laboratoryjnego. Należy
narysować te czwórniki i zapisać te przyciski na płycie, które zostały wciśnięte.
2. W trakcie pomiarów należy korzystać z programu komputerowego opracowanego specjalnie
do tego ćwiczenia. Dane pomiarowe i wyniki obliczeń, jeśli nie korzystamy z programu
IrfanView, należy wpisać do protokołu (tylko moduł i argument) upraszczając nieco
przydługi zapis wyników na ekranie monitora.
3. Napięcie generatora podawane na jedno z wrót czwórnika powinno być mniejsze od 5V i
mierzone na zakresie ‘auto’ przyrządu.
4. Wejście A miernika fazy (dokładniej różnicy przesunięć fazowych) należy dołączyć
zawsze bezpośrednio do zacisków generatora.
8
Katedra Systemów Przetwarzania Sygnałów
5. Wejście B miernika fazy należy połączyć razem z wejściem woltomierza
(mierzyć jednocześnie fazę oraz wartość skuteczna napięcia).
6. Zwarcie na wejściu i wyjściu czwórnika realizuje się odpowiednio za pomocą klucza P1 i
P11 (rys.5).
7. Wyniki obliczeń komputerowych należy konfrontować z teorią czwórników, a w razie
większych niezgodności należy powtórzyć pomiar.
Pytania kontrolne
1. Zdefiniować pojęcia: układ czterozaciskowy, trójzaciskowy, czwórnik.
2. Podać definicje parametrów roboczych czwórnika.
3. W jaki sposób można za pomocą czwórnika dopasować odbiornik do rzeczywistego źródła.
4. Znane są elementy macierzy A czwórnika. Wyznaczyć na jej podstawie macierz
impedancyjną Z tego czwórnika.
5. Czwórnik opisany macierzą łańcuchową A współpracuje ze źródłem sygnału Eg Zg i obciążeniem Zo.
U
Wyprowadzić zależność na wzmocnienie napięciowe k u  2 .
U1
6. Czwórnik opisany macierzą impedancyjną Z współpracuje ze źródłem sygnału Eg Zg i obciążeniem
I
Zo. Wyprowadzić zależność na wzmocnienie prądowe k i  2 .
I1
Literatura
[1] WOLSKI W., Teoretyczne podstawy techniki analogowej, PWr., Wrocław 2007
[2] ATABIEKOW G., Teoria obwodów elektrycznych, WPTT, Warszawa 1967.
9