Zadanie 7.3

Rozwiązać podaną kratownicę.
30 kN
20 kN
10 kN
E
B
1
HA
4
1m
8
5
A
2m
7
3
RA
C
3
F
9
2
1
6
1m
D
2
2
3
RF
[m]
Kolorem niebieskim oznaczono numery prętów.
Ta kratownica ma: w=6 węzłów, T=9 prętów. Ilość reakcji podporowych: r=3
Sprawdzenie warunku koniecznego i niewystarczającego do tego aby konstrukcja była wewnętrznie
geometrycznie niezmienna: 2w-T-3=2·6-9-3=0
Sprawdzenie warunku koniecznego i wystarczającego do tego aby konstrukcja była wewnętrznie
geometrycznie niezmienna.
Pręty 1,2,3 tworzą układ trzech brył połączonych w węzłach A,B,C nie leżących na jednej prostej.
„Tarcza” 1,2,3 jest połączona z prętem 5 i 6 węzłami B,C,D nie leżących na jednej prostej.
„Tarcza” 1,2,3,5,6 jest połączona z prętem 4 i 7 węzłami B,D,E nie leżących na jednej prostej .
„Tarcza” 1,2,3,5,6,4,7 jest połączona z prętem 8 i 9 węzłami D,E,F nie leżących na jednej prostej.
Obliczenie reakcji:
ΣM(A)=0: 20·3+30·8+10·3-11 RF=0 => RF=30 kN
ΣY=0 => RA=20 kN
ΣX=0 => HA=10
Obliczenie sił w prętach kratownicy metodą równoważenia węzłów.
Można zacząć od węzła F, ponieważ mamy w nim dwie niewiadome siły: N8 i N9 . Niewiadome siły mają
zwrot taki jak siły rozciągające. Po obliczeniach znak będzie wskazywał czy pręt jest rozciągany czy
ściskany.
N8
30 kN
N9
4
N8+30=0 => N8= -37,5 kN (pręt ściskany)
5
3
3
3
ΣXwF=0: -N9 - N8 =0 => N9= - N8 = 37,5=22,5 (pręt rozciągany)
5
5
5
ΣYwF=0:
Kolejnym węzłem w którym sprawdzimy równowagę sił, może być węzeł E. Są tam niewiadome siły N4 i
N7 oraz znana już siła N8: ściskająca o wartości 37,5 kN – czyli działająca do węzła E . Są tam też
obciążenia 10 i 30 kN.
5
1
3
N4 N7 -37,5 +10=0
5
26
5
1
2
4
ΣYwE=0: N4 N7 +37,5 -30=0
5
26
5
Rozwiązując powyższy układ równań otrzymamy:
N4= -14,164 kN (ściskany)
N7= 3,106 kN (rozciągany)
ΣXwE=0: -
30 kN
10 kN
N4
E
37,5 kN
N7
Kolejnym węzłem w którym sprawdzimy równowagę sił, może być węzeł D. Są tam niewiadome siły N5
i N6 oraz znane już siły: N7: rozciągająca o wartości 3,106 kN – czyli działająca od węzła D i N9:
rozciągająca o wartości 22,5 kN – czyli działająca od węzła D .
1
2
N5+
3,106=0 => N5 = -3,928 kN (ściskany)
ΣYwD=0:
N5
3,106 kN
2
5
1
1
N5+
3,106+22,5=0 =>
ΣXwD=0: -N6 N6
2
5
22,5 kN
D
N6= 26,667 kN (rozciągany)
Kolejnym węzłem w którym sprawdzimy równowagę sił, może być węzeł C. Są tam niewiadome siły N3 i
N2 oraz znana już siła N6: rozciągająca o wartości 26,667 kN – czyli działająca od węzła C .
N3
3
1
1
4
ΣYwC=0:
N3+
N2=0 , ΣXwC=0: N3 N2+26,667=0
10
17
10
17
Rozwiązując powyższy układ równań otrzymamy:
N2
N2= 29,986 (rozciągany)
26,667 kN
N3= -7,666 (ściskany)
C
Ostatnim węzłem w którym sprawdzimy równowagę sił, będzie węzeł A. Jest tam niewiadoma siła N1
oraz znana już siła N2: rozciągająca o wartości 29,986 kN – czyli działająca od węzła A . Są tam też
znane reakcje 10 i 20 kN.
Aby znaleźć N1 wystarczy jedno równanie np.:
N1
3
4
ΣXwA=0: -10+
N1+
29,986=0 => N1= -22,944 (ściskany)
13
17
10 kN A
29,986 kN Równanie ΣYwA może posłużyć do sprawdzenia:
2
1
ΣYwA= 20+
N1 29,986=0
20 kN
13
17
W węźle B mamy wyznaczone już siły N1 , N3 , N5 , N4 . Można sprawdzić że ΣXwB , ΣYwB od tych sił i
od obciążenia 20 kN działającego w tym punkcie dają rezultat równy zero.
d
30 kN
c
20 kN
10 kN
b
10 kN
a
e
i
g
j
h
20 kN
f
30 kN
Metoda Cremony:
Kolejność tworzenia
prostych na grafie sił:
1.czarne (obciążenia i
reakcje)
2.niebieskie
3.zielone
4.pomarańczowe
5.czerwone
6.czarne-przerywane
b
a
g
j
f
h
c
i
d
e
Po wykonaniu pomiarów na grafie przedstawiającym siły w prętach i uwzględnieniu zwrotów, uzyskane
wyniki pokazano na poniższym rysunku.
30 kN
c
b
20 kN
d
14,164
10 kN
e
i
22,944
10 kN
g
3,928
7,666
j
h
a
20 kN
29,986
26,667
f
Zestawienie sił w prętach:
Nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Pręt
Punkty
AB
AC
BC
BE
BD
CD
DE
EF
DE
Pola
bg
gf
gh
ci
ih
hf
ij
ej
fj
Siła
[kN]
-22,944
29,986
-7,666
-14,164
-3,928
26,667
3,106
-37,500
22,500
37,5
3, 106
Ściskany
Rozciągany
Ściskany
Ściskany
Ściskany
Rozciągany
Rozciągany
Ściskany
Rozciągany
22,5
30 kN