zestaw1

DMAD - Z1. Indukcja matematyczna
Ćw. 26,29.09
1. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 0 zachodzi
a) 12 + 22 + 32 + . . . + n2 = n(n+1(2n+1)
,
6
∑n
k
n+1
b)
+2
k=1 k2 = (n − 1)2
c) 1 · 20 + 2 · 21 + 3 · 22 + · · · + n · 2n−1 = (n − 1) · 2n + 1
d) 13 + 33 + 53 + . . . + (2n − 1)3 = n2 (2n2 − 1) ,
e) 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + . . . + n · (n + 1) · (n + 2) =
n(n+1)(n+2)(n+3)
4
2. Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 2 zachodzi nierówność
1 1
1
1
1 + + + ··· + 2 < 2 −
4 9
n
n
3. Dla jakich liczb naturalnych n zachodzi nierówność:
a) n2 ≤ n!
b) 2n + 3 ≤ 2n
c) 2n > n4
d) n! > 4n ? Udowodnij swoją odpowiedź za pomocą zasady indukcji matematycznej.
4. Udowodnić, że dla każdego całkowitego n > 0 wyrażenie
a) 11n+2 + 122n+1 jest podzielne przez 133,
b) 4n+1 + 52n−1 jest podzielne przez 21.
5. Za pomocą zasady indukcji matematycznej udowodnij następujące uogólnienie prawa De Morgana
n
∩
Aj =
j=1
n
∪
Aj oraz
j=1
n
∪
Aj =
j=1
n
∩
Aj ,
j=1
gdzie A1 , A2 . . . . , An są podzbiorami pewnego zbioru U oraz n ≥ 2.
6. Udowodnić indukcyjnie, że liczba przecięć n prostych, z których żadne dwie nie są równoległe i żadne
trzy nie przecinają się w jednym punkcie, jest równa
n(n−1)
.
2
7. W bankomacie dostępne są tylko banknoty 20zł i 50zł. Jakie kwoty można wypłacić jednorazowo z
bankomatu zakładając, że ilość banknotów w bankomacie jest nieograniczona? Udowodnij odpowiedź
za pomocą indukcji matematycznej.
8. Udowodnić indukcyjnie, że liczba podzbiorów zbioru S złożonego z n elementów jest równa 2n .
9. Pokaż, że po rozegraniu turnieju n drużyn metodą „każdy z każdym” (po ang.: round-robin), zawsze
można tak uporządkować drużyny D1 , D2 , . . . , Dn , że dla każdego i = 1, 2, . . . , n − 1, drużyna Di
pokonała drużynę Di+1 .
10. Przyjmijmy, że tabliczka czekolady składa się z n kostek ułożonych w prostokąt. Tabliczkę oraz jej
mniejsze kawałki można łamać pionowo i poziomo wzdłuż linii oddzielających kostki. Zakładamy,
że w danej chwili możemy przełamać tylko jeden kawałek. Ile razy należy przełamać czekoladę, aby
otrzymać n pojedynczych kostek? Udowodnij swoją odpowiedź indukcyjnie.