18 Ruch w polu magnetycznym

18
18.1
Ruch w polu magnetycznym
Poziomy Landaua
Dotychczas omówiliśmy dość szczegółowo oddziaływanie cząstki naładowanej z zewnętrznym polem elektrycznym (atom wodoru). Aby opisać także ruch w polu magnetycznym,
musimy skwantować odpowiedni hamiltonian klasyczny
2
q~
1 p~ − A(~r, t) + qV (~r, t),
H=
(18.1)
2m
c
gdzie q jest ładunkiem cząstki, zaś c prędkością światła. Przypomnijmy, że pola elektryczne i magnetyczne wyrażają się przez potencjały w następujący sposób:
~
~
~ =∇
~ × A.
~
~ = − 1 ∂ A − ∇V,
B
(18.2)
E
c ∂t
O ile część elektryczna nie przedstawia problemów, to część zawierająca potencjał wekto~ nie daje się prosto skwantować, gdyż potencjał A
~ jest funkcją ~r, a ~r nie komutuje
rowy A
z operatorem pędu.
~ = (0, 0, B).
Jako przykład rozpatrzmy ruch elektronu w stałym polu magnetycznym B
Wygodnie przyjąć potencjał wektorowy w postaci:


−y
~ = B  0 .
A
(18.3)
0
Stąd
#
"
2
q ~ 2
1
qB
1 p~ − A =
p̂x +
y + p̂2y + p̂2z
Ĥ =
2me
c
2me
c
2
1 2
1 2
1 2 me qB
qB
=
y p̂x .
p̂x +
p̂z +
p̂y +
y2 +
2me
2me
2me
2 me c
me c
(18.4)
Tu separację zmiennych przeprowadzamy zakładając
ψ(x, y, z) = f (y)e−ipx x/h̄ e−ipz z/h̄ .
(18.5)
Podstawiając funkcję (??) do równania Schrödingera możemy zastąpić operatory p̂z i p̂x
przez wartości własne. Oznaczając
ω̃ =
qB
= 2ω
me c
(18.6)
otrzymujemy
1 2
p +
2me z
1 2
=
p +
2me z
Ĥ =
1 2
p̂ +
2me y
1 2
p̂ +
2me y
me 2 2
1 2
ω̃ y + ω̃ypx +
p
2
2me x
me 2 2
px
1 2
ω̃ y + 2
y + 2 2 px .
2
me ω̃
me ω̃
94
(18.7)
Zmieniając zmienne
η=y+
px
me ω̃
(18.8)
otrzymujemy
Ĥ =
1 2
1 2 me 2 2
pz +
p̂ +
ω̃ η .
2me
2me η
2
(18.9)
Jest to hamiltonian oscylatora o częstości ω̃ (plus ruch swobodny w kierunku z):
1
p2
EN,pz = h̄ω̃ N +
+ z
2
2me
p2
= h̄ω (2N + 1) + z .
(18.10)
2me
Zwróćmy uwagę, że poziomy te są nieskończenie razy zdegenerowane ze względu na px .
Inna metoda znalezienia energii poziomów Landaua opiera się na uzyciu innego cechowania:


−y
~ = 1B  x  .
A
(18.11)
2
0
Wówczas
Ĥ =
=
1
2me
"
1
h̄ω̃
2
"
p̂x +
qB
y
2c
2
p̂x + 21 me ω̃y
me h̄ω̃
+ p̂y −
2
qB
x
2c
2
#
+ p̂2z
2 #
p̂x − 12 me ω̃x
p̂2z
+
+
.
me h̄ω̃
2me
(18.12)
Definiując nowe operatory
π̂ x =
p̂y − 1 me ω̃x
p̂x + 21 me ω̃y
√
, π̂ y = √ 2
,
me h̄ω̃
me h̄ω̃
(18.13)
1 2
p̂2z
2
Ĥ = h̄ω̃ π̂ x + π̂ y +
.
2
2me
(18.14)
mamy
Zbadajmy komutator
1
[π̂ x , π̂ y ] =
me h̄ω̃
1
1
− me ω̃ [p̂x , x] + me ω̃ [y, p̂y ] = i.
2
2
(18.15)
Widzimy zatem, że relacja komutacji [π̂ x , π̂ y ] przypomina (z dokładnością do h̄) relację
komutacji między położeniem a pędem. Skonstruujmy nowe operatory
1
1
â = √ (π̂ x + iπ̂ y ) , ↠= √ (π̂ x − iπ̂ y ) ,
2
2
95
(18.16)
których relacja komutacji jest w rzeczywistości relacją komutacji operatorów kreacji i
anihilacji:
† i
â, â = {− [π̂ x , π̂ y ] + [π̂ y , π̂ x ]} = 1.
(18.17)
2
Z kolei
1 2
(18.18)
π̂ x + π̂ 2y + i [π̂ x , π̂ y ] = π̂ 2x + π̂ 2y − 1 ,
↠â =
2
czyli
1 2
1
π̂ x + π̂ 2y = ↠â + .
(18.19)
2
2
Zatem
p̂2
1
†
+ z .
(18.20)
Ĥ = h̄ω̃ â â +
2
2me
Dostajemy stąd, że energia poziomów Landaua
E = h̄
ω̃
p2
(2n + 1) + z
2
2me
(18.21)
w zgodzie z (??). Zgodnie z naszymi poprzednimi rozważaniami, poziomy Landaua są
nieskończenie zdegenerowane. Aby się przekonać, że w cechowaniu (??) mamy także
do czynienia z nieskończoną degeneracją, zapiszmy operator anihilacji â w reprezentacji
położeń:
1
1
1
p̂x + me ω̃y + i p̂y − me ω̃x
â = √
2
2
2me h̄ω̃
1
∂
1
∂
= √
+i
− i me ω̃ (x + iy) .
(18.22)
−ih̄
∂x
∂y
2
2me h̄ω̃
W reprezentacji położeń stan podstawowy spełnia równanie
â h~r | 0i = 0,
co jest równoważne równaniu różniczkowemu
∂
∂
me ω̃
+i
+
(x + iy) h~r | 0i = 0.
∂x
∂y
2h̄
(18.23)
(18.24)
Wielkość h̄/me ω ma wymiar kwadratu długości i ma sens kwadratu promienia klasycznej
~ Oznaczmy:
orbity elektronu w ruchu w polu magnetycznym B.
2
rB
=
h̄
.
me ω̃
Wprowadźmy nowe zmienne
u = x + iy, v = x − iy.
96
(18.25)
Wówczas
∂
1 ∂
∂
=
−i
,
∂u
2 ∂x
∂y
1 ∂
∂
∂
=
+i
∂v
2 ∂x
∂y
i równanie (??) przyjmuje postać
∂
1
+ 2 u h~r | 0i = 0.
∂v 4rB
(18.26)
(18.27)
Rozwiącanie tego równania jest bardzo proste
−
h~r | 0i = f (u)e
uv
4r 2
B
,
(18.28)
gdzie f (u) jest dowolną funkcją spełniającą warunek normalizacji. Zatem rzeczywiście
stan podstawowy jest nieskończnie zdegenerowany. Łatwo pokazać, że stany wzbudzone,
które otrzymujemy działając na stan podstawowy operatorem
1
rB
∂
†
− 2v
(18.29)
â = −i √
2 ∂u 4rB
nie znosi tej degeneracji.
97