T R Y G O N O M E T R I A

T R Y G O N O M E T R I A
Lekcja 28-29
Temat: Powtórzenie trójkąty prostokątne. Str. 156-157.
Teoria
Twierdzenie Pitagorasa i odwrotne
• Suma kątów w trójkącie
• Wysokość
• Obwód i pole
•
Zad. 1, 2, 3, 4, 5, 6 str. 156
Lekcja druga
Zad. 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 str. 157.
Lekcja 30-31
Temat: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego. Str. 158-160
W trójkącie prostokątnym można zdefiniować funkcje trygonometryczne
Sinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta
do przeciwprostokątnej
Cosinusem kąta ostrego
do przeciwprostokątnej
nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie
Tangensem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta
do przyprostokątnej leżącej przy kącie
Cotangensem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie
do przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta
Strona 1 z 7
Uwaga!
Wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy z tablic. Str. 260.
Natomiast dla kilku kątów każdy uczeń umie na pamięć.
∝ = 30o ∝ = 45o ∝ = 60o
1
2
3
sin ∝
2
2
2
1
3
2
cos ∝
2
2
2
3
3
tg ∝
Jeszcze lepiej.
∝ = 0o
sin ∝
0
cos ∝
1
tg ∝
0
ctg ∝
brak
1
∝ = 30o
1
2
3
2
3
3
3
3
∝ = 45o
2
2
2
2
∝ = 60o
3
2
1
2
∝ = 90o
1
0
1
3
brak
1
3
3
0
Cwiczenia 1, 2 str. 158-159
Lekcja druga
Zad. 2, 3 b)-c) str. 159
Zad. 4, 5, 6, 7 str. 160
Zad. domowe
Zad. 2, 3 a) str. 159
Lekcja 32-33
Temat: Funkcje trygonometryczne kąta wypukłego. 171-176
Układ współrzędnych
sinα =
y
x
y
x
; cosα = ; tgα = ; ctgα =
r
r
x
y
Strona 2 z 7
Kąt wypukły
Definicja funkcji trygonometrycznych jest niezależnie od wielkości kąta taka sama
x
y
x
y
sinα = ; cosα = ; tgα = ; ctgα =
y
r
r
x
Wnioski.
Z porównania wartości wynika, że jak 90 o < α < 180 o ,
to sin∝ jest dodatni, a pozostałe funkcje trygonometryczne ujemne.
Poza tym z rysunku możemy zdefiniować funkcje trygonometryczne
dla kątów w trójkącie zielonym.
y
-x
y
-x
sin(180 o - α) = ; cos(180 o - α) =
; tg(180 o - α) =
; ctg(180 o - α) =
r
r
-x
y
Wnioski.
Z porównania powyższych wzorów mamy:
sin(180 o - α) = sin α ;
cos(180 o - α) = − cos α ;
tg(180 o - α) = −tgα ;
ctg(180 o - α) = −ctgα
Ćwiczenia 1, 2, 3, 4, 4 str. 171-172
Zad. domowe
Oblicz, odczytaj z tablic wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów:
a) 120o
b) 150o
c) 135o
d) 100o
e) 130o
Lekcja druga
Ćwiczenia 1, 2, 3 str. 174-175
Zad. 1, 2, 3 str. 175
Zad. domowe
Oblicz:
a) sin260o + tg45o =
b) tg2150o -2 sin2120o =
c) cos120o – 3tg135o =
d) 3cos2135o -2tg2120o =
Strona 3 z 7
Lekcja 34-36
Kartkówka
Temat: Trygonometria – zastosowanie. Str. 161-164
Ćwiczenia 1, 2, 3, 4 str. 161-162
Zad. 1, 2, 3 b) –c) str. 108
Lekcja druga
Zad. 1,2,3,4 str. 163
Zad. domowe
Zad. 5 str. 163
Lekcja trzecia
Zad. 9,10,11,12 str. 164
Zad. domowe
Powtórzenie Zad. 1 str. 164
Lekcja 37-38
Temat: Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych. Str. 165-167
Ćwiczenia 1, 2, 3 str. 165-166
Zad. 1, 2 b)-c) str. 166
Zad. domowe
Zad. 1, 2 a) str. 166
Lekcja druga
Zad. 3, 4, 5, 6, 7 str. 167
Zad. domowe
Powtórzenie. Zad. 1, 2 str. 167
Lekcja 39-41
Kartkówka
Temat: Związki między funkcjami trygonometrycznymi. Str. 168-170
Teoria
Zachodzą następujące tożsamości, czyli dla każdego kąta ∝ zachodzi:
sin 2α + cos 2 α = 1 , tgα =
sin α
cosα
,
ctg α =
cosα
sin α
Pierwszy z nich nazywa się wzorem jedynkowym trygonometrii.
Ćwiczenia 1, 23, 4 str. 168-169
Strona 4 z 7
,
tgα =
1
ctg α
Lekcja druga
Zad. 1, 2, 3, 4 b)-d) str. 170
Zad. domowe
Zad. 1, 2, 3, 4 a) str. 170
Lekcja trzecia
Zad. 5, 6, 7 a)-C0 str. 170
Zad. domowe
Powtórzenie Zad. 1 str. 175
Lekcja 42
Temat: Obliczanie pola trójkąta. Str. 195-198
Teoria
Pole trójkąta:
c⋅h
P∆ =
Z trygonometrii mamy h = b*sin∝
2
Po podstawieniu otrzymujemy:
P∆ =
c ⋅ b ⋅ sinα
2
Zadania
1. Oblicz pole trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej mającej długość 12 cm i jednym kącie
ostrym wynoszącym 30o.
2. Trójkąt rozwartokątny ma kąty ostre 20o i 40o. Oblicz pole tego trójkąta, jeżeli wysokość
opuszczona z kąta rozwartego ma długość 8 m.
3. Oblicz pole trójkąta o bokach 9 i 15 oraz kącie między nimi 45o.
Lekcja 43-44
Kartkówka
Temat: Obliczanie pola trójkątów i czworokątów.. Str. 208-212
1. Ile materiału jest potrzebne na uszycie chustki w kształcie trójkąta równoramiennego o
ramionach długości
i kącie zawartym między mini równym
2.Pole rombu wynosi 24 3 , a jego wysokość 6. Ile wynosi kąt ostry rombu?
3.Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny ma długość 3 . Oblicz pole tego trójkąta.
4.Boki trójkąta ABC mają długości 3, 7 i 6. Obwód trójkąta EFG podobnego do trójkąta ABC wynosi 40.
Oblicz najdłuższy bok trójkąta EFG.
5.Trójkąt ABC jest równoramienny, AD – wysokość, AB = AC. Obwód trójkąta ADC wynosi 30, a
obwód trójkąta ABC wynosi 36. Oblicz długość odcinka AD.
6.Różnica miar dwóch kątów przyległych jest równa 100°. Oblicz miary tych kątów.
7.W trapezie prostokątnym krótsza podstawa ma długość 6, wysokość 4, a kąt ostry ma miarę 45°. Oblicz
obwód tego trapezu.
Strona 5 z 7
8.Przekątna prostokąta o długości 10cm tworzy z dłuższym bokiem prostokąta kąt o mierze 30°. Oblicz pole
tego prostokąta.
9.Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 10 i 12, a ramię długość 4. O ile centymetrów należy
przedłużyć każde z ramion, aby się przecięły?
10.W okrąg wpisano trójkąt ABC w ten sposób, że bok AC jest średnicą okręgu. Z wierzchołka kąta ABC
poprowadzono wysokość, która podzieliła bok AC na odcinki o długości 4cm i 9cm. Oblicz długość tej
wysokości.
11.Bok rombu ma długość 17, a jego dłuższa przekątna 30. Oblicz pole tego rombu.
12.Przekątna trapezu równoramiennego tworzy z dłuższa podstawą trapezu kąt 60° i jest prostopadła do boku
trapezu. Każde z ramion ma długość 4dm. Oblicz długość dłuższej podstawy trapezu.
13.Obwód trójkąta równoramiennego jest równy 32cm. Podstawa trójkąta jest o 1cm dłuższa od ramienia.
Oblicz pole trójkąta.
14.Wysokość trójkąta równobocznego wynosi 2 3 . Oblicz pole i obwód tego trójkąta.
15.Kąt między ramionami trójkąta równoramiennego ma miarę cztery razy mniejszą od miary kąta przy
podstawie. Oblicz miary kątów trójkąta.
16.Stosunek miar kątów trójkąta jest równy 2:3:4. Oblicz miary kątów trójkąta.
17.Dany jest prostokąt o bokach 4 i 8. Środki boków prostokąta są wierzchołkami rombu. Oblicz pole i
obwód rombu.
18.Suma miar katów środkowego i wpisanego opartych na tym samym łuku jest równa 126°. Oblicz miary
tych kątów.
19.Oblicz obwód trójkąta równobocznego, którego wysokość ma długość 9.
20.Oblicz pole równoległoboku o bokach długości 1dm i 4cm oraz kącie rozwartym 150°.
21.Stosunek długości przekątnych rombu, którego bok ma długość 8cm, jest równy 4:3. Oblicz pole rombu.
Lekcja 45-47
Temat: Powtórzenie wiadomości z trygonometrii. Str. 156-182.
Zestaw I, II str. 179-180
Lekcja druga
Test str. 181
Zad. 2, 3, 4 str. 182
Zad. domowe
Zad. 1 str. 182
Lekcja trzecia
Zad. 5, 6, 7, 8 str. 182
1.Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α , jeśli:
a) sin (90° − α ) = 12
b) cos(90° − α ) = 34
c) tg (90° − α ) =
13
2. α - kąt ostry i sin α = 34 . Oblicz 2 − cos 2 α .
3.Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta α
a)
b)
Strona 6 z 7
c)
7
24
d) ctg (90° − α ) =
3
4
4.Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 4 i 6, cosinus kąta ostrego trapezu jest równy 12 . Oblicz
obwód trapezu.
5.W trójkącie równoramiennym długość ramienia wynosi 13, długość podstawy 10. Oblicz cos α i tgα ,
gdzie α - kąt przy podstawie trójkąta.
6.Podaj w przybliżeniu kąt α , jeśli
a) cos α = 13
b) sin α = 47
c) tgα = 3
d) ctgα = 23
7.W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 4. Krawędź boczna tworzy z
płaszczyzną podstawy kąt 60°. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.
α + sin α
.
8. α - kąt ostry i tgα = 2 . Oblicz wartość wyrażenia coscos
α
9..Kąt ostry rombu ma miarę 30°, jego bok 4 cm. Oblicz pole rombu.
10. α - kąt ostry i sin α = cos 80° . Oblicz α .
11. Wysokość trapezu prostokątnego jest dwa razy dłuższa od różnicy długości jego podstaw. Oblicz tgα ,
gdzie α - kąt ostry trapezu.
12. sin α ⋅ cos α = 14 . Oblicz:
a) (sin α + cos α )
b) (sin α − cos α )
13. W trójkącie prostokątnym kąty ostre to α i β , tgα = 0,4 . Oblicz tgβ .
14. Dany jest trapez równoramienny. Oblicz obwód trapezu.
2
2
15. α - kąt ostry i tgα = 45 . Oblicz
3 sin α − 4 cos α
2 sin α
.
16. Pole rombu jest równe 3 cm2. Bok rombu ma długość
6 cm. Oblicz miarę kąta ostrego rombu.
Zad. domowe
1.Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego α , jeśli:
a) sin α = 89
b) tgα = 43
c) cos α = 34
d) ctgα = 2
e) sin α = 113
f) tgα = 125
2.W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 2 i 4, jeden z kątów ostrych ma miarę α .
Oblicz sin α ⋅ cos α .
3. α - kąt ostry i cos α =
8
17
. Oblicz
tg 2α + 1 .
Lekcja 48
Temat: Sprawdzian z trygonometrii. Str. 156-182
Lekcja 49
Temat: Omówienie sprawdzianu z trygonometrii. Str. 156-182
Strona 7 z 7