O spadaniu.

O spadaniu ciał bezwładnie
Paweł Paduch [email protected]
13-12-2011
Streszczenie
Poniższy mini artykuł będzie o spadaniu ciał, prędkości i energii. Nauczymy
się posługiwać kilkoma zależnościami fizycznymi by obliczyć różne wartości ich
wartości. Całość tekstu jast napisana w edytorze vim i skompilowana przy pomocy LATEX’a. Dokument ten powstał dzięki wiedzy zawartej w dokumentacji
LATEX’a [2] oraz wspaniałemu podręcznikowi do fizyki [1].
Spis treści
1 Wstęp
3
2 Jak szybko spadnie?
2.1 Uproszczenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Inne podejście . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
3 Przykłady
3.1 Prędkość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Czas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Ruch w 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
7
4 Podsumowanie
8
Bibliografia
8
1
Spis rysunków
3.1
Zrzut ciała z początkową poziomą prędkością . . . . . . . . . . .
7
4.1
Dzieci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2
Rozdział 1
Wstęp
„Co ma wisieć nie utonie, co przestanie wisieć spadnie :)” - spadek swobody
ciał na ziemię jest przykładem ruchu (prawie) jednostajnie przyspieszonego.
Przyspieszenie jakie uzyskują ciała spadające swobodnie1 wynosi w przybliżeniu
9, 81m/s2 i jest to wektor (oznaczany przez ~g ) skierowany do środka ziemi.
Wartość ta może się nieco wahać w zależności od położenia geograficznego.
Przyspieszenie to nic innego jak szybkość zmiany prędkości w danym przedziale
czasowym
d~v ~ dvx ~ dvy ~ dvz
~a =
=i
+j
+k
,
(1.1)
dt
dt
dt
dt
gdzie ~i, ~j oraz ~k są wektorami jednostkowymi o kierunku osi odpowiednio x, y i z.
1 Czyli
bez oporów powietrza i możliwie blisko powierzchni ziemi
3
Rozdział 2
Jak szybko spadnie?
To jak szybko ciało spadnie zależy od wysokości. Od niej zależy także prędkość końcowa1 . Im większa wysokość tym czas spadania jest dłuższy.
2.1
Uproszczenie
Jeżeli na ciało działa tylko siła grawitacji to wzór 1.1 można uprościć podając
tylko jedną składową y. Układ odniesienia oczywiście jest umowny.
vy = vy0 + ay t,
y = 12 (vy0 + vy )t,
y = vy0 t + 21 ay t2 ,
2
+ 2ay y,
vy2 = vy0
(2.1)
.
Zamiast ay wstawić należy −g, gdzie g to wartość przyspieszenia grawitacyjnego. Początek układu to początkowe położenie ciała czyli dla t = 0 mamy
y0 = 0. Dzięki równaniom 2.1 można wyznaczyć między innymi:
ˆ po jakim czasie ciało spadnie z danej wysokości,
ˆ na jaką wysokość wzniesie się ciało przy nadanej wartości początkowej vyo ,
ˆ z jakiej wysokości spadło ciało skoro leciało w dół określoną ilość czasu.
2.2
Inne podejście
Stosując równanie zachowania energii kinetycznej i potencjalnej można także
wyznaczyć interesujące nas zależności.
1 Pomijamy tu opory ruchu i zakładamy na tyle małą wysokość, że pole grawitacyjne jest
stałe
4
2.2. INNE PODEJŚCIE
ROZDZIAŁ 2. JAK SZYBKO SPADNIE?
2
mgh = mv
2 2+
2
v
gh = v2 + 20 ,
2
2gh = v + v02 .
mv02
2 ,
m można skrócić
mnożymy przez 2
(2.2)
Jeżeli zauważymy, że h to różnica wysokości, która we wzorach 2.1 oznaczona
jest przez y, to zobaczymy, że oba wzory są podobne.
5
Rozdział 3
Przykłady
3.1
Prędkość
Obliczyć jaką prędkość będzie miało ciało spadające swobodnie po 1, 2 i 3 sekundach. Predkość początkowa v0 = 0.
Skoro v = gt to:
Sekundy
1
2
3
Wzór
9, 81 ∗ 1
9, 81 ∗ 2
9, 81 ∗ 3
Wynik
9,81
19,62
29,43
Jednostka
m
s
Tabela 3.1: Tabelka z wynikami
3.2
Czas
Oblicz ile czasu będzie spadać ciało puszczone swobodnie z wysokości 30m.
Do obliczenia tego zadania posłużymy się wzorem y = vy0 t+ 12 ay t2 , przyczym
vy0 = 0. P.p.p (Po prostych przekształceniach).
s
2h
t=
,
g
dlatego
r
t=
2 ∗ 30
≈ 2, 47s.
9, 81
6
3.3. RUCH W 2D
3.3
ROZDZIAŁ 3. PRZYKŁADY
Ruch w 2D
Jeżeli do zadania z punktu 3.2 dodamy założenie, że ciało ma początkową
prędkość vx0 = 5 m
s , to na jaką odległość s poleci? Patrz rys. 3.1.
v
x0
-
h
s
-
Rysunek 3.1: Zrzut ciała z początkową poziomą prędkością
Znając czas spadania z wysokości h = 30m oraz prędkość poziomą, która
jest stała, odległość s można wyznaczyć ze wzoru
s = vx0 t,
czyli
s = 5 ∗ 2, 47 = 12, 35m
7
Rozdział 4
Podsumowanie
W tym mini tutorialu nauczyliśmy się rozwiązywać podstawowe zadania
z problematyki swobodnego spadania ciał. Jak widać zadanie to jest dziecinnie
proste. Tak proste jak narysowanie rysunku 4.1. Oczywiście przykładowy
dokument nie jest materiałem do nauki fizyki ale do nauki LATEXa.
Rysunek 4.1: Dziecinnie prosty rysunek.
8
Bibliografia
[1] D. Halliday, R. Resnick, T. Kaniowska, W. Ratyński. Fizyka. Number t. 1-2
serii Fizyka. Wydaw. Naukowe PWN, 2002. i
[2] H. Partl i inni T. Oetiker. Nie za krótkie wprowadzenie do systemu LATEX.
http://rab.ict.pwr.wroc.pl/∼abogdzie/pub/doc/latex/lshort2e.pdf. i
9