MODELOWANIE KSZTAŁTU POWIERZCHNI I JEJ RZUTOWANIE

94
Cучасні досягнення геодезичної науки та виробництва, випуск І(27), 2014
УДК 528.721.287:537.533.35
MODELOWANIE KSZTAŁTU POWIERZCHNI I JEJ RZUTOWANIE
NA PŁASZCZYZNĘ: TRIANGULACJA DELAUNAY’A I JEJ ZASTOSOWANIA
O. Iwanczuk, A. Prykarpatskyj*
Nacionalny Uniwersytet “Lwiwska politechnika” (Lwiw, Ukraina),
*Akademija Gurniczo-Chutnicza (Kraków, Polska)
Podstawowe pojęcia i własności
Rozważmy gładką powierzchnię S2 zanurzoną w
przestrzeń Euklidesową 3 = (ℝ3;< .,. >) i płaszczyznę
rzutowania α, stycznej do tej powierzchni. Na
powierzchni S2 ⊂ 3 są zadane punkty "tyczenia" oraz jej
rzutowania na płaszczyznę α; t.j. są zadane punkty (xi , yi)
∈ α, i = 1, N, oraz wartości funkcji kształtu f : α → ℝ w
tych punktach, fi := f (xi , yi) ∈ℝ, 1, N.
Podstawowy problem, to - jak skonstruować przybliźenie
dla funkcji kształtu f : α → R, które by w najlepszy sposób
uwzględniało szczegóły kształtu powierzchni S2⊂ 3 i byłoby
efektywnym przy obliczeniach praktycznych.
Ponieważ powierzchnia S2 jest w ogólnym przypadku
dość nieregularna, to najprostsza metoda interpolacyjna
Lagrange’a w tym przypadku jest nieskuteczna.
Lepszym rozwiązaniem jest interpolacyjny wzór Gaussa:
∑
/
̅ ,
, 1.1
∑ 1/
gdzie (x, y) ∈ α. To znaczy, że wartość funkcji w dowolnym
punkcie (x, y) ∈ α jest wartością srednią od wartości funkcji w
punktach "tyczenia", przy czym - waga, z ktorą każdy punkt
pomiarów wchodzi w sumę (1.1), jest odwrotnie proporcjonalna kwadratu odległości do tego punktu na płaszczyznie
α. Wzór (1.1) posiada taką graniczną własność:
lim
,
̅
,
→
,
,
(1.2)
dla wszystkich punktów (xi, yi) ∈ α; i = 1, N. Interpolacja
Gaussa (1.1) jest, oczywiscie, klasy C∞; tj. gładka, a jej
wartości spełniają takie ważne nierówności:
min
sup
,
,
∈
̅
,
max
,
(1.3)
oraz
sup
,
∈
|∆ |̅
max
,
|∆ |,(1.4)
co jest skutkiem liniowości odwzorowania (1.1). Tym nie
mniej, interpolacja (1.1) posiada niedobrą cechę, żę w
każdym punkcie "tyczenia" pochodne ∂f(xi, yi)/∂x = 0 =
= ∂f(xі , yі)/∂y, i = 1, N. To znaczy, że punkty "tyczenia"
są lokalne ekstrema funkcji f : α → ℝ, i ich wpływ w
tych punktach jest ważny w obszarze o szerokości 1/N.
W tym przypadku funkcja f : α → ℝ przypomina
powierzchnię o kształcie jeża. Oprócz tego, złozonozć
obliczeniowa jest kwadratowo zależna od objętości
danych. A także, bez dodatkowych założeń na faktyczną
funkcję f : α → ℝ wyrażenie Gaussa (1.1) nie posiada
rozsądnej granicy gdy N → ∞. Przy tym trzeba zauważyć,
że ważną własnością dobrej metody interpolacyjnej jest
tak zwana "lokalność", to znaczy,·że gdyby my uzupełniły
nasze pomiary dodatkowym punktem "tyczenia" (xN+1 ,
yN+1) ∈ α; to wynik interpolacyjny będzie mało odrózniać
się od poprzedniego poza nowym punktem. Oprócz tego,
ponieważ metoda Gaussa jest liniowa, ona praktycznie
zupełnie nie uwzględnia taką własność powierzchni
S2⊂ 3 jak jej krzywizna.
Zeby uwzględnić fakt krzywizny potrzebne są inne
metody aproksymacji powierzchni, które by uwzględniały
krzywiznę w sposób jawny. Jak jest dobrze wiadomo
jeszcze z czasów Euler’a, który pierwszy badał takie
zagadnienie i wymyslił tak zwane "splajny sześcienne" dla
modelowania krzywizny zgiętej belki czy pręta. Niestety, ta
metoda, dzisiaj dobrze rozwinięta, jest mało użyteczna,
ponieważ powstaje poważny problem lokalnej zgodności
splajn-aproksymacji dla róznych sąsiadujących obszarów
na płaszczyznie, który jest problemem zgodności już nie na
zbiorach punktów, a na liniach brzegowych tych obszarów.
Dla ulżenia trudności tej metody często stosują metodę
"wygładzania" splajn-interpolacji za pomocą minimizacji
takiego funcjonału:
≔∑
̅
,
̅
̅
2 ̅
,(1.5)
gdzie 0 < λ << 1 i calka we wzorze (1.5) jest interpretowana jako energia "deformacji" powierzchni S2⊂ 3.
Jak pokazują obliczenia praktyczne, splajn-metoda (1.5)
zachowuje się dobrze tylko dla wystarczająco jednorodnych
powierzchni. Przy tym złożoność oblizceniowa staje się
czwartego stopnia, - a to znaczy, że gdy zmniejszacie krok
siatki na płaszczyznie α dwukrotnie, ilość obliczeń wzrasta w
szesnaście raz! Oprócz tego, rozwiązanie jest bardzo nie
stabilne. Naprzykład, przy siatce 100 x 100 algorytm jest już
nie użyteczny.
Inną geodezyjnie praktyczną metodą jest podejście
Snellius’a od 1615 roku, który po raz pierwszy w Holandii
przy układaniu kanałów zastosował "triangulacje" – to
znaczy konstruowanie trojkątnych siatek na płaszczyznie α i
wyprowadzenie odpowiedniej funkcji interpolacyjnej.
Są różne podejścia do triangulacji płaszczyzny na
podstawie pomiarowych punktów "tyczenia". Najbardziej
efektywną metodą triangulacji płaszczyzny α jest metoda
Delaunay’a za pomocą, tak zwanych, obszarów
Woronogo, ktory był na początku zeszłego wieku
profesorem matematyki na Uniwersytecie Warszawskim.
Dla konstruowania obszarów Woronogo potrzebujemy
wprowadzić taką definicję.
Definicja 1. Niech punkt (xi , yi) ∈α , i = 1, N; wtedy
obszar Vi ⊂ α będziemy nazywać obszarem Woronogo,
gdy on jest przecięciem wszystkich pół-płaszczyzn,
zawierających ten punkt, i ograniczonych srednicowymi
normalami do odcinków, łączących ten punkt ze
wszystkimi innymi punktami "tyczenia".
Фот
Ф огр
рам
мметтріяя, геоі
г інф
форм
мац
ційн
ні сис
с тем
ми та
т кар
к ртогграф
фіяя
Jeest oczzyw
wisttym
m, że
ż kazd
k dy obszaar Wor
W ron
nogo
o będz
b zie
tzw
w. poli
p igonem
m, t.j.
t wieelok
kąteem wy
ypuk
kły
ym. Wttedy
y moż
m żna
zd
defin
niow
waćć nnow
wy wie
w rzcchołłek w(A
(A,B
B,C
C) ∈ α,
α kttóry
y jeest
przzeciięńcciem
m śrred
dnico
owy
ych
h noorm
mali odccink
ków
w AB
B i BC
C ⊂ α,
(N
N.B.. Pu
unk
kty A
A,B
B,C
C α - too sąą pu
unk
kty "tyyczeeniaa") to on
bęędziee teeż nale
n eżaćć śreedn
nico
owejj no
orm
mali do oddcin
nka AC
AC ⊂ α.
Po
onieewaaż pun
p nkt w(A
w A,B
B,C)) ∈ VA∩V
VB∩V
∩ C, too mozn
m na lekk
l ko
zau
uważy
yć, że obszaary Wo
oroonog
go two
orzaa kkratęę na
n α , w
kaażdy
ym wiierzzcho
ołku
u któr
k ej ssą dok
d kład
dniee trrzy kraawęędzzi i
trzzy odp
o ow
wieddniee ob
bszaary Wooron
nog
go.
W dy, gddy połą
Wted
p ączy
yć pom
mięędzy
y sobą
s ą ppunk
kty ob
bszaary
Woro
W onog
go, któóre sąssiad
dująą zee so
obą,, to
o ottrzyymaamy
y właśn
w nie
triaang
gulaację Deelau
unay
y’a, a wieerzcchołłki obsszarrów
w Woro
W ono
ogo
będą cent
c ntram
mi oopissany
ych okrregóów dlaa otrrzym
mannych
h tró
ójkąątów
w.
995
W nym
Ważn
m też
t
jeest proobleem reekon
nstrrukccji triaang
gulaacji
Deelau
unay
y’a przzy wył
w łączzeniiu pew
p wny
ych punnktó
ów triaang
gulaacji
ze zb
biorru w prz
p zypaadku
u, gdy
y one
o zaawieerają niew
n właściw
wą
infform
maccję. Ok
kazu
uje sięę, żee teen prob
p blem
m jeest barrdzo
o leekkoo i
pro
osto
o rozw
r wiąązyw
waln
ny – dla tego
t o wys
w starrczy
y wył
w ączzyć
nieepottrzeebnyy punk
p kt z trrianngullacji, a prrzepprow
wad
dzićć zw
wykkłą
triaang
gulaacje Deelau
unay
y’a pun
p nktó
ów tylk
t ko jej ssąsiadu
ująccych
h.
Ryys. 33. Elim
E minacja punnktu
u triiang
gula
acji Dellaun
nay’a
I naastęppnaa waż
w żna zaaletaa trian
t ngu
ulacj
cji Deelaun
unay
y’a –
mo
ożliw
wość bbarrdzo
o prrosttegoo po
ołącczen
nia różżny
ych triaangu
ulaccji,
któ
óre po
osiaadajją nieepusste przzecięciie, przzep
prow
wadzzająąc w
zw
wykłły spo
s osób
b trriang
gulaacjee Dela
D aunaay’aa w
wspó
ólneego ob
bszaaru
przzeciięciia.
1.1. Trrian
ngullacjja Dela
D aun
nay’’a i pro
obleem interp
pola
acji
W cająąc teraaz do prrobllem
Wrac
mu inte
i erpoolaccji fun
nkccji na
po
odsttawie triaang
gulaacji D
Delaaunaay’a, nasstęp
pnee pode
p ejśccie
ok
kazu
uje się obliczzeniiow
wo bbard
dzo
o efe
fekty
ywnne.
Ryys. 1.
1 Obsz
O zaryy Woron
Wo nog
go oraz
o z pun
nktyy triiang
gulaacji Dellaun
nay’a
Trrian
ngu
ulacj
cja Deelau
unay
y’a po
osiaadaa barddzo cieekaawąą i
ko
orzy
ystn
ną wła
w sno
ość:: Dowo
olnna trian
t ngu
ulaccja pła
aszcczyzznyy α
bęędzie tria
t nguulaccją Deelau
unaay’a
a, gdy
g y wewn
w nąttrz każżdeg
go
okkręg
gu, op
pisaaneg
go do
ooko
oła trrójkkąta
a, nie
n zn
najd
dujee się
s
wiięcej
ej ża
adn
nychh wierz
w rzch
holkków
w tejj triiang
gullacjji.
Teen waarunnek jest kon
k niecczny
ym
m i wy
ystarrczając
ącym
m dla
d
triang
gulaacjii Deelau
unaay’aa.
Defin
nicjja 2. Weż
W żmyy dow
d woln
ny puunktt i = 1,
1 N
triiang
gula
acjii Dela
D aun
nay’a dla
a zad
z daneej ppła
aszcczyzzny α i
zdeefin
niujjmyy punkkty są
ąsiadujjącyych z tym
m pun
p nkteem jako
zbior pu
unkktów
w Ni(1) piierw
wszego
o pozi
p iom
mu. Od
dpow
wieedniio,
zbiór pu
unkktów
w drug
d gieg
go poziomu Ni(2) – to są
ą punkkty
wiierzzcho
ołkoow trójjkątów
w, kktóre po
osia
ada
ają wsp
póln
ną kra
awęędż
ze trój
ójką
ątam
mi o wsspó
ólnyym w
wieerzcchołłku i = 1, N.
Rys
R s.4. Zbiioryy pun
nktó
ów Ni(1) i Ni(2))
Ryys. 2. Dob
D baw
wien
nie now
weggo pun
p nktu
u.do
owoolneego
U ga 1. C
Uwa
Ciek
kaw
wosttka: dlaa pu
unkktów
w, leeżąccych
h na
a okkręg
gu,
do
owollna tria
anggulacja będ
dziee triiang
gula
acją
ą Deelauunayy’a!
Uwa
U
aga 22. Me
Metod
da doodaw
wan
nia now
n wych
h pun
p nktó
ów
triiang
gula
acjii jjestt "rob
" basstnaa", tj.. odp
o pornna na
a błęędy
ob
bliczzeniow
we. Opró
O óczz tego
t o, zło
ożo
onośść ob
blicczen
niow
wa
ko
onsttruo
owa
aniaa trrian
ngullacjji D
Dela
aun
nay.a jest lin
niow
wa co
c do
d
ilo
ościi pu
unkttów
w, co
o teeż jeest zale
z etą..
Z pu
unkttu w
wid
dzen
nia oblliczzeniia kom
k mpu
uterooweego
o jest też
t
waażny prob
p blem
m iden
i ntyffikaacji teg
go trójjkąt
ąta D
Dellaun
nay
y’a, w
któ
órym po
ojaw
wiłssie no
owy
y ppun
nkt triiang
gulaacjii, i któr
k ry,
ok
kazu
uje się, teżż jeest rozw
r wiąązyw
wan
ny algory
ytmiczn
nie.
Ogóllna ilo
ość pun
nktó
ów zb
biorów Ni(1) i Ni(2) jesst rów
wna
b więk
w kszaa od
d 6,, tj.
lub
carrd Ni(1)) + carrd Ni(22) ≥ 6
(1..6)
dlaa dow
wolnnego
o wier
w rzch
hołkku i = 1, N.
N W ty
ym przzyp
padkku
jesst dość
d ć pprossta mo
ożliw
wość sko
onsttruo
owaaniaa dla
d każżdeggo
wiierzzcho
ołkaa i = 1,, N ttrian
ngu
ulaccji Deelau
unay
y’a fu
unkccji
intterp
polaacyjjnejj wielo
w omiianooweej w postaaci
f i ( x, y ) :
2

k  j 0
f kj(i ) (x  xi ) j ( y  yi ) k
(1..7)
dlaa pew
p wnycch parram
metrów
w fkjj(i) ∈ ℝ,
ℝ k+j
+j = 0,, 2;; w taaki
spo
osó
ób, żeby
y waartośści funk
f kcjii (1.7
( 7) by
yły rów
wne
96
Cучасні досягнення геодезичної науки та виробництва, випуск І(27), 2014
wartosciom popmiarów we wszystkich punktach ze zbioru
Ni(1) ∪ Ni(2). Można też zminimalizować sumę kwadratów
odchyleń od wartości funkcji w punktach "tyczenia":
̅
min
∈ :
∑
∈
,
̅
∪
,
(1.8)
gdzie wagi uj := 1 / |∆fj|2; j ∈ Ni(1) ∪ Ni(2), są błędy
pomiarów funkcji f : α → ℝ w punktach "tyczenia".
1.2. Tensor metryczny oraz tensor za-nurzenia
kształtu powierzchni w przestrzeń Euklidesową
Rozwazmy dwuwymiarową powierzchnię S2 ⊂ 3,
zanurzoną w przestrzeń Euklidesową 3. Niech odwzorowanie zanurzenia będzie
r : S2 →
3
,
(1.9)
a jej lokalne wzajemnie jednoznaczne rzutowanie na
płaszczyznę α ⊂ 3, styczną do powierzcni S2, zapiszmy
w otoczeniu punktu A ∈ S2 w postaci rzutowej
r = (x, y, z = f(x; y)T) ∈
T
3
,
(1.10)
2
2
gdzie (x, y) := α ∈ ; a odwzorowanie f : ℝ → ℝ jest
funkcją lokalnego kształtu powierzchni S2 spełnia
warunek f(0, 0) = 0.
Zdefiniujmy teraz dwie formy różniczkowe kwadratowe:
M(α) :=< dr, dr >:=< dα , g(α)dα >
(1.11)
2
tak zwaną formę metryczna, oraz
Q(α) :=< d2r, n >:=< dα , g(α)dα >
2
(1.12)
tak zwaną forme Gaussa kształtu powierchni, gdzie n ∈ 3 jest
wektorem, normalnym do powierchni S2 w punkcie A ∈ S2; to
jest n ⊥ S2 oraz ||n|| :=< n, n >½ = 1. Wtedy krzywizna
powierzchni S2 w tym punkcie w kierunku jednostkowanego
wektora, stycznego do powierzchni S2 w punkcie A ∈ S2 :
ξ := dr / dt 2 TA(S2),
(1.13)
który spełnia takie ogranizcenia
< ξ , n >t=0 = 0, || ξ || = 1,
(1.14)
2
będzie krzywizną krzywej linii γ(ξ, n) ⊂ S przecięcia
płaszczyzny β(ξ , n), przechodzącej przez punkt A ∈ S2 oraz
prostopadłe do siebie wektory ξ, n ∈ 3; z powierzchnią S2, to
jest γ(ξ , n) := β(ξ , n) ∩ S2; i będzie równa takiemu wzoru:
,
≔
,
,
,
|
|
,
,
|
1.15
równe dokladnie przyśpieszeniu wektora prędkości (1.13)
w punkcie A ∈ S2 na płaszczyznie, przechodzącej przez
wektor prędkości (1.13) i normal n ∈ 3 do powierzchni
S2 w punkcie A ∈ S2. Zachodzą następne dwa dość
elementarne twierdzenia.
Twierdzenie 1. ´Slad tr(qg-1) oraz wyznacznik
det(qg-1) są niezmiennikami krzywizny (1.15) w
punkcie A ∈ S2.
Twierdzenie 2. Macierz qg-1 ∈ End
diagonalną
0
,
0
2
posiada postac
(1.16)
gdzie k- ≤ k+ są tak zwane glówne krzywizny powierchni w
punkcie A ∈ S2.
O ile wector (1.13) może być wybierany dowolnie, to
przy jego pomocy można dotrzec do każdego punktu
specjalnie dobranego otoczenia punktu A ∈ S2. Tak więc,
wybierając wektor (1.13) jako wektor potoku geodezyjnego,
który dociera z punktu A ∈ S2 do punktu A(x, y) ∈ S2
najkrótszym szlakiem, można wykorzystać jego współrzędne
jako najbardziej optymalne przy wyliczaniu rzutowania
(1.10) w zmiennych prędkości ξ ∈ 2; na kierunek której
niema prawie żadnych ograniczeń, oprócz (1.14).
Niech teraz płaszczyzna β(ξ, m) ⊂ 3 też przechodzi
przez punkt A(x, y) ∈ S2 i zawiera wektor prędkości ξ ∈
3
oraz prostopadły do niego jednostkowy wektor m ∈ 3,
to jest < ξ, m >t=0 = 0, ||m||= 1. Wtedy jest dość lekko
zobaczyć, że krzywizna krzywej γ(ξ , m) ⊂ S2 przecięcia
β(ξ , m) ∩ S2 będzie równa wzoru
k(ξ, m) = k(ξ, n) < n, m >:= k(ξ, n) cos(n,^m). (1.17)
Zależność krzywizny (1.17) od współrzędnych punktu
A(x, y) ∈ S2 daje mozliwość jej stosowania do
konstruowania metod filtrowania informacji od szumu
przy różnych pomiarach ważnych charakterystyk,
zależnych od kształtu powierzchni.
Tak więc, jeśli badany objekt o powierzchni S2 ⊂ 3
jest opisywany pewną funkcją intensywności
I : S2 → ℝ+; to proces filtrowania danych może być
opisany ewolucyjnym równaniem dyfuzji
∂I/∂t + div(D∇I) = 0,
(1.18)
gdzie współczynnik dyfuzji jest wybierany albo w postaci
D := exp(-||∇I||2/σ2), albo w postaci D := σ2/(||∇I||2+ σ2),
σ ∈ ℝ+ jest ustalonym parametrem, a ∇I jest gradientem,
uwzględniającym kształt naszej powierzchni S2. Wtedy
równanie (1.18) prowadzi do zależności intensywności
I = I(k) od krzywizny, ktora już może być wykorzystana
dla innych badań.
W innych przypadkach, gdy pomiary funkcji
intensywności I : S2 → ℝ+ zawieraja ostre zmiany
amplitudy, zamiast podejścia dyfuzyjnego (1.18) jest
wykorzystywana metoda filtrowania zawartej informacji
od szumu przy pomocy anizotropowych jąder Gaussa:
,
,
≔
≔
1
2
1
2
exp
exp
,
2
2
1.19
,
gdzie X 2 End( 2) jest macierzą piksel-współrzędnych
siatki pomiarów powierzchni S2 ⊂ 3; a σX oraz σI ∈ ℝ+
są ustalone parametry.
Фотограмметрія, геоінформаційні системи та картографія
Wnioski
1. Krótko przeprowadzona analiza metod modelowania
kształtu dwuwymiarowej powierzchni przez jej rzutowanie
na plaszczyzne daje dość podstaw twierdzić, że podejście,
bazowane na triangulacji Delaunay’a, jest wystarczająco
efektywnym, oblicze-niowo stabilnym i odpornym na losowe
błędy pomia-rowe.
2. Będąc metodą geometryczną jest ważnym wnioskiem
możliwość uogolnienia tego podejścia w celu jawnego
uwzględniania lokalnych krzywizn powierzchni przez
skojarzony tensor metryczny powierzchni i tensor zanurzenia
ksztaltu powierzchni w przestrzeń Euklidesową.
3. Przytoczone są argumenty efektywnego zastosowania
metody geometrycznej do zagadnień filtrowania pomiarów
odpowiednich funkcji intensywnosci, zależnej od kształtu
objektu.
4. Dana metoda może być zastosowana do cyfrowego
modelowanja mikropowierzchni twardych cial przy
opracowaniu ich zdjęć, otrzymanych z pomocą
skaningowego elektronowego mikroskopu.
Referencje
1. Milnor J. A Problem in Cartography. The American
Mathematical Monthly, Vol. 76, No. 10.(Dec., 1969). –
P. 1101–1112.
2. Volker John, Adela Kindl. Numerical studies of finite
element variational multiscale methods for turbulent of
simulations. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.
199 (2010) 841-852.
3. Liu Zhi, Tan Jie-qing, Chen Xiao-yan Zhang Li. Cubic
Bezier Triangular Patch with Shape Parameters.
Journal of Computational and Applied Mathematics,
2011, Preprint.
97
Моделювання форми поверхні та її проекція
на площину: тріангуляція Делоне
і її застосування
О. Іванчук, А. Прикарпатський
Подано аналіз апроксимаційно-інтерполяційних
методів стосовно застосування їх для моделювання
форми поверхні та її проекції на площину. Запропонований аналітичний підхід до проектування поверхні на
площину на основі тріангуляції Делоне.
Modelowanie kształtu powierzchni i jej rzutowanie
na płaszczyznę: triangulacja Delaunay’a
i jej zastosowania
O. Iwanczuk, A. Prykarpatskyj
Dana analiza metod aproksymacujno-interpolacyjnych w zastosowaniu do modelowania kształtu
powierzchni i jej rzutowania na płaszczyznę.
Zaproponowane analityhczne podejście do zagadnienia rzutowania na płaszczyznę na podstawie
triangulacji Delaunay’a.
Modeling the shape of the surface and its projection
on a plane: Delaunay triangulation
and its application
O. Ivanchuk, A. Prykarpatski
The analysis approximation-interpolation methods
applied to modeling the shape of the surface and
its projection on the plane. An analytical proposed
approach to projection onto a plane based on Delaunay
triangulation.