1 Geometria analityczna w przestrzeni

1
Geometria analityczna w przestrzeni
1. Niech dane bȩda̧ punkty A = (−2, 3, −1) , B = (1, −2, 3) , C = (0, 1, 2) , wyznaczyć:
a) wektory ū = AB, v̄ = CB, w̄ = 2ū − v̄, b) iloczyny skalarne ū ◦ v̄, w̄ ◦ (ū + v̄) ,
v̄ × (w̄ × ū) , d) środki odcinkow AB i BC.
c) iloczyny wektorowe: ū × v̄,
2. Niech dane bȩda̧ punkty A = (1, −2, −3) , B = (0, 1, 2) , C = (2, 1, −2) , D = (2, 3, 0), wyznaczyć wektory ū = AB,
v̄ = AC, w̄ = CD, nastepnie wykonać działania:
a) ū − 2v̄ + 3w̄, b) 2ū − 3 (w̄ − v) , c) ū ◦ v̄, d) (2ū − v̄) ◦ (ū + w̄) , e) ū × v̄,
f) (v̄ + w̄) × (v̄ − w̄) , g) |w̄| · v̄;
3. Spośród danych wektorów znaleźć pary wektorów równoległych i prostopadłych:
a) ū = [2, 3, −1] , v̄ = [4, −1, 5] , w = [1, −2, 3] , ū − v̄
b) ū1 = [−1, 3, 2] , ū2 = [1, 1, −1] , ū3 = [−2, −2, 2] , ū4 = [2, 6, 4] , ū5 = [1, 2, 3] , ū6 = [−2, 6, 4] , ū7 = [1, −1, 1] ,
4. Dla trójka̧ta ∆ABC,gdzie A = (−1, −2, 1) , B = (2, −3, −1) , C = (3, 5, 0) wyznacz:
a) pole ∆ABC; b) wysokość spuszczona̧ z wierzchołka A;
c) punkt bȩda̧cy środkiem ciȩżkości ∆ABC (punkt przeciȩcia środkowych);
d) pole trójka̧ta ∆A′ B ′ C ′ , gdzie punky A′ jest środkiem odcinka BC, B ′ jest środkiem odcinka AB, C ′ jet środkiem
odcinka AB.
5. Wyznacz objȩtość równoległościanu wyznaczonego przez wektory:
a) ū = [2, −1, 3] , v̄ = [4, 0, −5] , w̄ = [1, −2, 4] ; b) ū = [2, −1, 1] , v̄ = [1, −3, 6] , w̄ = [5, −1, 0] ;
6. Wyznacz objȩtość czworościanu ABCD, jeżeli:
a) A = (0, 0, 0) , B = (4, 1, 0) , C = (4, 1, 0) , D = (1, 1, 4) ; b) A = (1, 1, 1) , B = (3, 0, 0) , C = (0, 4, 0) , D = (0, 0, 2) ;
7. Wyznaczyć równanie prostej:
a) o wektorze kierunkowym k̄ = [−2, 1, −3] przechodza̧cej przez punkt A = (1, −2, 1) ,
b) przechodza̧cej przez dwa punkty A = (2, 0, −1) , B = (−2, 1, 3) ,
x−2
y
z
c) równoległej do prostej
= = i przechodza̧cej przez punkt A = (0, 2, 1) .
−1
1
3
8. Podaj postać kierunkowa̧ i parametryczna̧ prostej
a) przechodza̧cej przez punkty A = (2, −1, 3) , B = (−1, −2, −3) ,
b) równoległej do wektora k = [2, −1, 3] i przechodza̧cej przez śreodek odcinka AB (j.w.),
x−2
y+1
c) równoległej do prostej
=
= z przechodza̧cej przez punkt (0, 0, 0) ,
3
3
x−2
x
y+1
y+1
z
d) równoodległej od dwóch prostych równoległych: l1 =
=
= z, l2 : =
=
.
−1
3
2
−6
−2
9. Wyznaczyć równanie płaszczyzny
a) o wektorze normalnym n̄ = [2, 0, −1] przechodza̧cej przez punkt (0, 0, 0) ,
b) o wektorze normalnym n̄ = [2, 1, −3] przechodza̧cej przez punkt A = (1, −2, 1) ,
c) równoległej do płaszczyzny x − 2y + z − 2 = 0 i przechodza̧cej przez punkt (1, −2, 3)
d) równoległej do płaszczyzny 2x − 3y + z − 6 = 0 i przechodza̧cej przez punkt A = (2, −5, 1) ,
e) przechodza̧cej przez trzy punkty A = (2, −3, −1) , B = (2, −1, 2) , C = (0, 1, 2) .
f) przechodza̧cej przez trzy punkty A = (−1, −2, 1) , B = (2, −3, −1) , C = (3, 5, 0) ,
g) przecinaja̧cej osie układu współrzȩdnych w punktach: x = x0 , y = y0 , z = z0 ,
h) równoległej i równoodległej do płaszczyzn: Q1 : x − 2y + z − 3 = 0, Q2 : 2x − 4y + 2z + 1 = 0.
10. Zbadać wzajemne położenie prostej l i płaszczyzny Q, wyznaczyć ewentualne punkty współne płaszcyzny i prostej
y+1
z+1
x
y+1
z
x
a) l : =
=
, Q : 2x + y − z + 1 = 0; b) l :
=
= , Q : x − 2y − 3z + 1 = 0;
2
0
2
−1
2
3
x
y+1
z
x
y
z+1
c) l : =
= , Q : 2x − 2y + z + 1 = 0; d) l :
= =
, Q : x − y + z + 1 = 0.
2
3
2
−2
1
−2
11. Zbadajwzajemne położenie prostych l, k


x=t+2
 x = 2t − 3

 x=t−3
x−1
y−1
z−4
y = −t + 1 , t ∈ R, k :
y=1
y = 2t − 5 , t ∈ R,
a)∗ l :
=
=
; b)∗ l :
, t ∈ R, k :



4
−2
6
z = 3t − 2
z = −2t + 1
z = 2t − 1
x−4
y+2
z+1
x+1
y+1
z−2
x
y
z
x+1
y+1
z−2
∗
∗
c) l :
=
=
;k:
=
=
, d) l : =
= ;k:
=
=
.
3
1
−2
2
−1
2
2
−1
3
−2
2
2
12. Zbadaj
 wzajemne położenie płaszczyzn:


 2x + y − z − 6 = 0
 2x + y − z − 3 − 0
 2x + y − z − 3 − 0
a)
x + 3z − 2 = 0
, b)
x − y + 3z − 2 = 0 , c)
x − y + 3z − 2 = 0 ,



3x + 2y − 4z − 1 = 0
x + 2y − 4z − 1 = 0
4x + 2y − 2z − 1 = 0
1
13. Wyznaczyć równanie:
a) prostej prostopadłej do płaszczyzny 2x − y + 5z − 2 = 0 przechodza̧cej przez punkt A = (1, 2, 1) ,
b) płaszczyny prostopadłej do prostej 2 − x = y = z przechodza̧cej przez punkt A = (1, 2, 1) .
14. Wyznaczyć punkt wspólny prostej l i płaszczyzny Q
x+1
y−1
z−3
=
=
, Q : 2x − y − z + 4 = 0;
a) k :
1
2
−2
b) k :
x+1
y+3
z−3
=
=
, Q : x + 2y − z = 3.
3
−2
1
15. Wyznaczyć rzut prostoka̧tny
a)∗ punktu A = (1, 2, −1) na płaszczyznȩ Q : 2x − y + z − 3 = 0;
b)∗ punktu A = (1, 2, −1) na płaszczyznȩ Q : x + 2y + 3z − 2 = 0;
x−1
c)∗ punktu A = (1, −2, 2) na prosta̧ l :
= y − 6 = z;
2
x+3
y+1
d)∗ punktu A = (1, 0, −4) na prosta̧ l :
=
= −z.
−2
4
16. Wyznaczyć punkt symetryczny
a) do punktu A = (2, −1, −2) wzglȩdem punktu S = (3, −1, 0) ;
b) do punktu A = (1, 3, 4) wzglȩdem punktu S = (1, −2, −4) ;
x−3
y+1
z−1
c)∗ do punktu A = (0, 0, 0) wzglȩdem prostej
=
=
;
1
−2
1
x+1
y−1
z−3
=
=
;
d)∗ do punktu A = (2, −1, −2) wzglȩdem prostej
1
2
−2
∗
e) do punktu A = (0, 0, 0) wzglȩdem płaszczyzny x + 2y − 3z + 14 = 0;
f)∗ do punktu A = (2, −1, −2) wzglȩdem płaszczyzny x + y + z = 0.
______
Odp. Geometria analityczna w przestrzeni
1. a) ū = [3, −5, 4] , v̄ = [1, −3, 1] , w̄ = [5, −7, 7] ; b) ū ◦ v̄ = 22, w̄ ◦ (ū + v̄) = 111;
c) ū × v̄ = [7, 1, 4] , v̄ × (w̄ × ū) = [11,
11, 12] ;
d) środki odcinkow: S1 = − 12 , 12 , 1 , S2 = 12 , − 12 , 52 .
2. ū = [−1, 3, 5] , v̄ = √
[1, 3, 1] , w̄ = [0, 2, 2, ] ; a) [16, −20, 23] ; b) [−6, 2, −10] ; c) 22; d) 201; e) [7, 1, 4] ;
f) [28, 4, −16] ; g) 123 [5, −7, 7] .
3. a) ū ⊥ v̄, (ū
ū3 , ū1 ū6 , ū1 ⊥ ū2 , ū2 ⊥ ū5 , ū4 ⊥ ū7 .
√ − v̄) w̄; b)5 ū√2 √
4. a) P∆ = 52 35; b) h = 66
35 66; c) S = () , d) P∆′ =
5. a) V = 23; b) V = 4,
6. a) V = 5/6, b) V = 1/3.
y+2
y
y−2
z−1
x−2
z+1
x
z−1
7. x−1
−2 = 1 = −3 ; b) −4 = 1 = 4 ; c) −1 = 1 = 3 ;
y+1
z−3
8. a) x−2
2 = −1 = 3 , {x = 2t + 2, y = −t − 1, z = 3t + 3, t ∈ R} ;
y
y+1
x
z
b) 3 = 3 = z, {x = 3t, y = 3t, z = t, t ∈ R} ; c) x−1
−1 = 3 = 1 , {x = −t + 1, y = 3t − 1, z = t, t ∈ R} .
9. a) 2x − z = 0; b) 2x + y − 3z + 3 = 0; c) x − 2y + z − 4 = 0 d) 2x − 3y + z − 26 = 0; e) 3x + 3y − 2z + 1 = 0; f)
3x − y + 5z − 4 = 0; g) xy0 z0 + yx0 z0 + zx0 y0 − x0 y0 z0 = 0 lub równoważnie: xx0 + yy0 + zz0 = 1; 4x − 8y + 4z − 5 = 0.
3
9
10. a) l ∩ Q = {(−1, −1, −2)} ; b) l ⊥ Q, l ∩ Q = − 14
, − 47 , 14
; c) l Q, d) l ∩ Q = {(0, 0, −1)} .
11. a) proste pokrywaja̧ce siȩ; b) proste przecinaja̧ce siȩ; c) prsote skośne; d) prste skośne prostopadłe.
12. a) Płaszczyzny przecinaja̧ siȩ w punkcie (29, −61,
−9) ;
b) Płaszczyzny przecinaja̧ce siȩ wzdłuż prostej x = 53 − 23 t, y = 73 t − 13 , z = t, t ∈ R ;
c) Płaszczyzny rozła̧czne, w tym dwie równoległe.
13. a) {x = 2t + 1, y = −t + 2, z = 5t
+ 1, t ∈ R} ; b) x + y + z − 4 = 0.
41
7
14. a) S
=
(0,
3,
1)
;
b)
−
,
10,
−
.
2
2
15. a) 73 , 43 , − 13 ; b) (1, 2, −1) ; c) (−1, 5, −1) ; d) (−3, −1, 0) .
2