Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne PWT2004

www.pwt.et.put.poznan.pl
Wojciech Kabaciński
Marek Michalski
Instytut Elektroniki i Telekomunikacji
Politechniki Poznańskiej
(Wojciech.Kabaciński,
Marek.Michalski)@et.put.poznan.pl
2004
Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne
Poznań 9 - 10 grudnia 2004
WARUNKI KONIECZNE NIEBLOKOWALNOŚCI W SZEROKIM
SENSIE PÓL KOMUTACYJNYCH MULTI-LOG2N
Streszczenie: Warunki nieblokowalności w wąskim sensie
dla
połączeń
punkt-punkt,
a
także
warunki
nieblokowalności w wąskim sensie dla połączeń
multicastowych były rozważane w różnych publikacjach.
W tym artykule zostaną wskazane i udowodnione
warunki konieczne dla nieblokowalności pól w szerokim
sensie przy zastosowaniu różnych algorytmów sterowania
polem multi-log2N dla połączeń punkt-punkt.
1 . WPROWADZENIE
Pola nieblokowalne w szerokim sensie (Wide
Sense Nonblocking – WSNB) po raz pierwszy zostały
opisane przez Benesa w jego książce opublikowanej w
1965 roku [1]. Różnią się one od pól nieblokowalnych
w wąskim sensie (Strict Sense Nonblocking – SSNB)
tym, że zawsze można w nich wskazać drogę
połączenia wolnego wejścia i wolnego wyjścia stosując
odpowiedni sposób wyboru dróg dla zestawianych
wcześniej połączeń.
W polach nieblokowalnych
w wąskim sensie drogę połączenia wolnego wejścia
z wolnym wyjściem można wskazać zawsze bez
względu na stan pola i sposób określania drogi dla
wcześniej zestawianych połączeń. Trzecią klasę pól
nieblokolwalnych stanowią pola przestrajalne. Są to
pola, w których również zawsze możliwe jest
określenie drogi dla połączenia wolnego wejścia
z wolnym wyjściem, jednak może się okazać konieczna
rekonfiguracja istniejących połączeń. Również pola,
w których w celu uniknięcia stanu blokady, po
zakończeniu połączenia są realizowane przestrojenia
były rozważane w literaturze [2,3]. Pola takie noszą
nazwę pól przepakowywanych.
Istnieje silna zależność pomiędzy złożonością
sprzętową pola komutacyjnego a jego sterowaniem.
W polach nieblokowalnych w wąskim sensie
algorytmy sterujące mogą być bardzo proste, jednak
pole takie zbudowane jest z dużej liczby punktów
komutacyjnych. Pole nieblokowalne w szerokim sensie
może składać się z mniejszej liczby elementów
komutacyjnych, jednak sterowanie takim polem jest
bardziej złożone. Pola przestrajalne i przepakowywalne
można zbudować z jeszcze mniejszej liczby elementów
PWT 2004, Poznań 9 - 10 grudnia 2004
komutacyjnych, lecz algorytm wyboru drogi połączeń
jest bardzo skomplikowany.
Wiadomo, że trzysekcjne pole Closa C(m,n,r)
zbudowane z m komutatorów w sekcji środkowej oraz
r komutatorów sekcji pierwszej i trzeciej
z n wejściami (wyjściami) w sekcjach zewnętrznych
jest polem nienblokowalnym w wąskim sensie wtedy
i tylko jeżeli m>2n-1. Benes wykazał, że pole
C(m, ⎣3n/2⎦ , 2) jest polem nieblokowalnym w szerokim
sensie, lecz fakt ten nie ma praktycznego znaczenia,
ponieważ pole takie zbudowane jest z większej liczby
elementów komutacyjnych niż komutator kwadratowy
o tej samej pojemności. W 1979 Melas i Milewski
wykazali, że kolejnościowe zestawianie połączeń przez
najbardziej obciążony komutator nie pozwoli
zredukować zasobów dla pól o praktycznych
rozmiarach [4]. Rezultaty ich badań zostały
rozszerzone przez Hwanga [5] oraz Yang i Wanga [6]
na pola o innych parametrach (liczba wejść i wyjść na
komutator oraz liczba komutatorów w sekcjach).
W
literaturze
dokładniej
są
analizowane
nieblokowalne w szerokim sensie trzysekcyjne pola
Closa dla połączeń multicastowych [7-11] oraz dla
połączeń multirate [5, 12-17].
Kolejnym
rodzajem
pól
komutacyjnych
rozważanych w literaturze są pola multi-log2N [18-20].
Są one zbudowane z p kopii pola log2N (mianowicie
baseline, banyan lub omega [19, 21]) zwanymi
płaszczyznami. C.-T. Lea określił liczbę płaszczyzn
potrzebną do nieblokowalności pola multi-log2N
w wąskim sensie i pól przestrajalnych [18, 20, 22, 23]
dla permutacji połączeń punkt-punkt. Nieblokowalność
w szerokim sensie dla połączeń multicastowyowych
i multirate była rozważana w literaturze [24-29].
Nie są znane publikacje opisujące warunki
nieblokowalności w szerokim sensie dla pól multilog2N. W niniejszym artykule przedstawimy
i udowodnimy twierdzenia na warunki konieczne
nieblokowalności
w
szerokim
sensie
przy
wykorzystaniu różnych algorytmów. W sekcji
2 zostanie przedstawiona architektura pól multi-log2N
oraz
omówiona
terminologia
używana
w artykule. W sekcji 3 zostaną przedstawione
algorytmy sterowania polem multi-log2N, a w sekcji
4 udowodnione warunki konieczne dla uzyskania
1
www.pwt.et.put.poznan.pl
nieblokowalności w szerokim sensie. W sekcji
5 zostaną podsumowane przedstawione twierdzenia.
2. PODSTAWOWE DEFINICJE
Pole multi-log2N jest zbudowane z wielu kopii
jednej płaszczyzny. Każda taka płaszczyzna składa się
z elementów komutacyjnych 2 × 2 i ma dokładnie
określoną strukturę. Pole ma N wejść, N wyjść n=log2N
sekcji składających się z N/2 komutatorów każda.
Tylko elementy sąsiednich sekcji są ze sobą połączone.
Istnieje kilka konfiguracji podstawowej płaszczyzny
pola, które wydają się różnić, jednak topologicznie są
takie same [21]. Na rysunku 1 przedstawione są różne
konfiguracje płaszczyzny log2N. Takie pole jest
samosterujące, tzn. informacja o numerze wejścia
i wyjścia pola jest wystarczająca do określenia drogi
dla takiego połączenia. Nie jest konieczna znajomość
stanu pola i tras innych połączeń. Co więcej, dla każdej
pary wejście-wyjście istnieje dokładnie jedna droga
połączeniowa w każdej płaszczyźnie. Niektóre
połączenia mogą wykorzystywać ten sam fragment
pola. Wówczas takie połączenia nawzajem się blokują
i w danej płaszczyźnie może być zrealizowane tylko
jedno takie połączenie. Do analizy stanu jednej
płaszczyzny można wykorzystać graf dwudzielny pola.
W takiej reprezentacji każdemu wejściu i łączu pola
odpowiada węzeł grafu, natomiast krawędzie grafu
reprezentują możliwe połączenia. Gdy więcej niż jedno
połączenie wykorzystuje ten sam wierzchołek,
wówczas występuje stan blokady. Algorytm sterujący
polem musi tak wybierać płaszczyzny do zestawienia
połączenia, aby nie dopuścić do wystąpienia stanu
blokady.
Rys. 1. Różne konfiguracje płaszczyzny log2N – baselinie, banyan, omega.
3. ALGORYTMY
W polach multi-log2N
zadaniem algorytmu
sterującego jest określenie płaszczyzny do zestawienia
połączenia. W każdej płaszczyźnie istnieje tylko jedna
droga, którą można poprowadzić rozważane
połączenie. Można zaproponować różne algorytmy,
jednak większość z nich wywodzi się z algorytmów
sterowania
trzysekcyjnymi
polami
Closa.
W niniejszym artykule będą rozważane algorytmy:
Algorytm przypadkowy - Random Ruting
(RAND) – losowo wybiera kolejność sprawdzania
płaszczyzn i zestawia połączenie w pierwszej dostępnej
płaszczyźnie;
Algorytm Sekwencyjny (SEQ) – kolejno
sprawdza płaszczyzny począwszy od płaszczyzny
i i zestawia połączenie w pierwszej dostępnej
płaszczyźnie;
Algorytm Minimum Index (MINX) – tak samo
jak algorytm sekwencyjny, z tym, że sprawdzanie
rozpoczyna od płaszczyzny o numerze i=1;
Algorytm Quasi przypadkowy (QRAND-CD) –
tak samo jak algorytm sekwencyjny, z tym,
że sprawdzanie rozpoczyna od płaszczyzny o numerze
i = P + 1, gdzie P to numer płaszczyzny, w której
PWT 2004, Poznań 9 - 10 grudnia 2004
zestawiono ostatnio rozważane połączenie. Algorytm
ten bywa również nazywany Cyclic Dynamic lub
Round-Robin;
Algorytm Cyclic Static (QRAND-CS) – działa
podobnie jak algorytm QRAND-CD, z tym, że
sprawdzanie płaszczyzn rozpoczyna od płaszczyzny
o numerze i = P, gdzie P jest numerem płaszczyzny,
w której ostatnio zestawiono połączenie;
Algorytm „oszczędzaj nieużywane” – Save the
Unused (STU) - wolnych płaszczyzn używa dopiero
wówczas, gdy we wszystkich pozostałych zestawiane
połączenie jest zablokowane;
Algorytm używający najbardziej obciążonej
płaszczyzny (PACK) – do zestawienia połączenia
wybiera najbardziej obciążoną z dostępnych
płaszczyzn.
Pierwsze pięć algorytmów jest jasno określone.
W przypadku algorytmu STU pojawia się wątpliwość
jak wybierać płaszczyzny spośród już zajętych,
a jeszcze dostępnych dla rozważanego połączenia.
Można np. wybrać płaszczyznę najbardziej obciążoną –
wówczas widać, że algorytm PACK jest algorytmem
STU – lub płaszczyznę o najniższym numerze.
Podobny problem to jest w przypadku stosowania
algorytmu PACK – jak wybrać płaszczyznę spośród
2
www.pwt.et.put.poznan.pl
równo obciążonych dostępnych płaszczyzn. Dlatego
ten algorytm pojawia się w dwóch odmianach:
PACK + minimum index – spośród równo
obciążonych płaszczyzn wybiera tę o najniższym
numerze,
PACK + last used – spośród równo obciążonych
płaszczyzn wybiera tę, które była ostatnio używana.
4. WARUNKI KONIECZNE DLA RÓŻNYCH
ALGORYTMÓW
W pracy [18] pokazano, że aby pole multi-log2N
było nieblokowalne w wąskim sensie, musi się składać
przynajmniej z p płaszczyzn, gdzie
⎧ 3 n2
⎪⎪ 2 − 1 dla n parzystych
p = ⎨2
⎪ n2+1
⎪⎩2 − 1 dla n nieparzystych.
(1)
Takie pole jest nieblokowalne w wąskim sensie,
czyli każda możliwa kombinacja połączeń może zostać
zrealizowana bez względu na sposób wyboru
płaszczyzny do zestawienia połączenia i aktualny stan
pola. Możliwe jest otrzymanie pola nieblokowalnego
przez użycie specjalnego algorytmy wyboru
płaszczyzny do zestawienia połączenia. Takie pole
będzie wówczas nieblokowalne w szerokim sensie.
Przykłady poniżej pokazują, że algorytmy opisane
w poprzedniej sekcji mają warunki konieczne
nieblokowalności w szerokim sensie takie same jak
nieblokowalność w wąskim sensie.
4.1 Ruting przypadkowy i quasiprzypadkowy.
W tej sekcji będą rozważane algorytmy RAND, QRAND-CD oraz Q-RAND-CS. Można udowodnić
poniższe twierdzenie:
Twierdzenie 1: W polu multi-log2N nieblokowalność w szerokim sensie można uzyskać przy
sterowaniu wg algorytmów RAND, Q-RAND-CD oraz
Q-RAND-CS wtedy i tylko wtedy jeśli składa się ono
przynajmniej z p płaszczyzn, gdzie wartość p określa
równanie 1.
Dowód 1: Wystarczy udowodnić warunek
konieczny, warunek wystarczający jest taki sam jak
w twierdzeniu na nieblokowalność w wąskim sensie.
Będą rozważane algorytmy Q-RAND-CD oraz
Q-RAND-CS. Algorytm RAND może wskazać tę samą
płaszczyznę co jeden z nich. Najpierw rozważymy
algorytm Q-RAND-CD. Zakładamy, że w polu nie ma
żadnych połączeń, pierwsza zostanie sprawdzona
płaszczyzna 1. Poniższy zbiór zdarzeń (pojedyncze
zdarzenie to zestawienie lub rozłączenie połączenia)
prowadzi do zajęcia wszystkich p płaszczyzn
określonych przez równanie 1 gdy n jest nieparzyste.
PWT 2004, Poznań 9 - 10 grudnia 2004
for i := 1 to n/2 do
for j := 2i-1 to 2i − 1 do
begin
set up connection <j, 2n−i−1 + j − i>
set up connection <2n−i−1 + j − i, j>
end;
Po wykonaniu tej procedury 2(n-1)/2–2 płaszczyzn
będzie zajętych i połączenie <0,0> będzie zablokowane
w każdej z nich. Do zestawienia tego połączenia będzie
potrzeba kolejna płaszczyzna, płaszczyzna o numerze
2(n-1)/2 –1. Jeśli n jest parzyste można skonstruować
następujący zbiór zdarzeń:
for i := 1 to n/2 do
for j := 2i-1 to 2i − 1 do
begin
set up connection <j, 2n−i−1 + j − i>
set up connection <2n−i−1 + j − i, j>
end;
for j := 2n/2−1 to 2n/2 − 1 do
set up connection <j, j>.
W tym momencie w polu będą zajęte 3/2 * 2 n/2 –2
płaszczyzny, a połączenie <0,0> będzie w każdej
z nich zablokowane. Realizacja takiego połączenia
będzie wymagała kolejnej płaszczyzny, płaszczyzny
o numerze 3/2 * 2 n/2 –1.
Algorytm Q-RAND-CS można udowodnić na
podstawie podobnie wygenerowanego zbioru zdarzeń,
z tym, że po każdej operacji wyboru płaszczyzny wg
algorytmu Q-RAND-CD należy zestawić połączenie
<2n-1, 2n-1> oraz <2n-2, 2n-2> i je rozłączyć. Pierwsze
z nich zostanie umieszczone w ostatnio użytej
płaszczyźnie, a drugie w kolejnej. Ich rozłączenie
sprawi, że ostatnio użytą płaszczyzną będzie
płaszczyzna o numerze o 1 większym niż płaszczyzna
użyta przez algorytm QRAND-CD.
4.2 Algorytm PACK i STU
Algorytm PACK używa najbardziej obciążonej
spośród dostępnych płaszczyzn do zestawienia
połączenia. Wolna płaszczyzna będzie użyta dopiero
wówczas, jeśli pozostałe będą niedostępne dla
rozważanego połączenia, tzn. algorytm PACK jest
jednocześnie algorytmem STU. Liczba płaszczyzn
wymagana przez algorytm PACK do osiągnięcia
nieblokowalności będzie również liczbą płaszczyzn
potrzebnych do zapewnienia nieblokowalności
algorytmu STU. Zakładamy, że spośród równo
obciążonych płaszczyzn jest wybierana płaszczyzna
o najniższym numerze, jeśli połączenie musi użyć
wolnej płaszczyzny, wybierana jest ta o najniższym
numerze.
Twierdzenie 2: W polu multi-log2N nieblokowalność w szerokim sensie można uzyskać przy
sterowaniu wg algorytmów PACK i STU wtedy i tylko
wtedy jeśli składa się ono przynajmniej z p płaszczyzn,
gdzie wartość p określa równanie 1.
3
www.pwt.et.put.poznan.pl
Dowód 2: Podobnie jak w przypadku dowodu 1
wystarczy wykazać warunek konieczny, gdyż warunek
wystarczający jest taki sam jak w przypadku
nieblokowalności w wąskim sensie.
Dla n nieparzystego wygenerujmy ciąg zdarzeń:
n nieparzystego zajmie kolejne 2n/2-1 płaszczyzn
i realizacja połączenia <0,0> wymaga następnej
płaszczyzny – płaszczyzny o numerze 3/2*2n/2 –1.
for i := 0 to 2(n-1)/2+1 − 2 step 2 do
for j := 1 to 2(n-1)/2 − 1 do
connect <2(n-1)/2*i + j, 2(n-1)/2 * (i + 1) + j − 1>
k := 0
for i := 2(n-1)/2+1 − 2, downto 2 step 2 do
k := k + 1
for j := 0 to i step 2 do
connect <2(n-1)/2*j, 2(n-1)/2 *j>
for j := 1 to 2(n-1)/2 − 1 do
disconnect <2(n-1)/2 *i+j, 2(n-1)/2 * (i+1) + j−1>
for m := 2 to k do
disconnect <2(n-1)/2*(i+1)+m−2, 2(n-1)/2 *i+m−1>
connect <2n − 1, 2n − 1>
for j := 0 to i − 2 step 2 do
disconnect <2(n-1)/2 *j; 2(n-1)/2 *j>
connect <2(n-1)/2*(i + 1)+m − 1, 2(n-1)/2 *i + m>
disconnect <2(n-1)/2 * i, 2(n-1)/2 * i>
disconnect < 2n − 1, 2n − 1>.
Twierdzenie 3: Pole multi-log2N zbudowane
z nieparzystej liczby sekcji sterowane wg algorytmu
Minimum Index jest nieblokowalne w szerokim sensie
wtedy i tylko wtedy, gdy zbudowane jest przynjmniej
z p płaszczyzn, gdzie wartość p określa równanie 1.
Pierwsza pętla doprowadzi do zajęcia płaszczyzn
od 1 do 2(n-1)/2 –1, a w każdej z nich będzie
zrealizowane 2(n-1)/2 połączeń. Każde wykonanie drugiej
pętli doprowadzi do zajęcia kolejnej płaszczyzny przez
połączenie <2(n-1)/2*j, 2(n-1)/2 *j>. Następnie rozłączenia
doprowadzą do tego, że ta właśnie płaszczyzna będzie
najbardziej obciążoną płaszczyzną i to w niej będą
realizowane kolejne połączenia. Ta pętla wykona się
2(n-1)/2 –1 razy, więc kolejne 2(n-1)/2 –1 płaszczyzn
o numerach od 2(n-1)/2 do 2(n-1)/2+1-2 będzie zajętych
i niedostępnych dla połączenia <0,0>.
Dla n parzystego sekwencja zdarzeń jest
otrzymywana analogicznie. Różnica polega na tym, że
pierwsza pętla zajmuje płaszczyzny od 1 do 2n/2-1 –1
oraz od 2n/2-1 do 2n/2.
for i := 0 to 2n/2 − 4 step 2 do
for j := 1 to 2n/2-1 − 1 do
connect <2n/2*i + j, 2n/2 * (i + 1) + j − 1>
for j := 1 to 2n/2 − 1 do
connect <2n − j, 2n − j>
connect <2n − 2 n/2 − j, 2n − 2 n/2 − j>
for j := 1 to 2 n/2-1 − 1 do
disconnect <2n − j, 2n − j>
disconnect <2n − 2n/2 − j, 2n − 2 n/2 − j>
for j := 2 n/2 -1 to 2 n/2 − 1 do
connect <2 n/2 * i + j, 2 n/2 * i + j>
for j := 2 n/2-1 to 2 n/2 − 1 do
disconnect <2 n − j, 2 n/ − j>
disconnect <2 n − 2 n/2 − j, 2 n − 2 n/2 − j>
for i := 2 n/2 − 2 do
for j := 1 to 2n/2 − 1 do
connect <2n/2*i + j, 2n/2 *i>.
Po takich zdarzeniach mamy 2n/2–1 połączeń
w płaszczyznach od 1 do 2n/2–1 i jedno połączenie
w płaszczyźnie 2n/2. Kolejna pętla podobna do pętli dla
PWT 2004, Poznań 9 - 10 grudnia 2004
4.3 Algorytm Minimum Index
Dowód 3: Kierując się algorytmem Minimum
Index w polu nieblokowlanym w wąskim sensie
zbudowanym z nieparzystej liczby sekcji można zająć
wszystkie p płaszczyzn. W polu o 3 płaszczyznach
i trzech sekcjach wszystkie płaszczyzny będą użyte
podczas realizacji poniższych zdarzeń. Połączenie
wejścia x z wyjściem y w płaszczyźnie p będzie
określane jako (x, y, p), natomiast rozłączenie
połączenia z wejścia x realizowanego w płaszczyźnie
p jako (x, p). Rozważana sekwencja zawiera zdarzenia:
(0,3,1), (1,2,2)*, (2,1,1)*, (0,1), (0,0,3)*. Połączenia
oznaczone (*) tworzą stan końcowy, stan pola
wymagający wszystkich p=3 płaszczyzn. Podobną
sytuację można osiągnąć dla pola o n=5 sekcjach i p=7
płaszczyznach. Rozważmy ciąg zdarzeń (2,14,1),
(3,15,2), (4,12,3), (5,13,4), (2,1), (3,2), (2,8,1), (3,9,2),
(0,14,5), (1,15,6)*, (4,3), (5,4), (2,1), (3,2), (0,5),
(10,0,1) (11,1,2), (12,2,3), (13,3,4), (10,1), (11,2),
(10,4,1), (11,5,2), (8,1,5)*, (10,1) (11,2), (12,3), (13,4),
(10,6,1) (11,7,2), (2,4,3)*, (3,5,4)*, (10,1), (11,2),
(4,2,1)*, (5,3,2)*, (0,0,7)*. Analizując przebieg
zestawiania i rozłączania połączeń można zauważyć
trzy etapy, w których połączenia zajmujące
płaszczyzny o najwyższych numerach tworzą stan
końcowy pola. Przez pozostawianie tych połączeń
wymuszamy w kolejnych etapach użycie płaszczyzn
o wyższych numerach, co w ostatnim etapie prowadzi
do użycia ostatniej dostępnej płaszczyzny, czyli
wykorzystując algorytm minimum indeks w polu
multi-log2N o nieparzystej liczbie sekcji nie uzyskamy
niebloko-walności przy liczbie płaszczyzn mniejszej
niż p.
5. WNIOSKI
W artykule przedstawiono warunki konieczne dla
uzyskania nieblokowalności w szerokim sensie dla
kilku podstawowych algorytmów sterowania polem
multi-log2N. Dla omawianych algorytmów są one takie
same jak dla nieblokowalności w wąskim sensie.
Wykazano, że stosując te algorytmy nie można uzyskać
nieblokowalności w szerokim sensie w polu
zbudowanym z mniejszej liczby płaszczyzn niż liczba
wymagana do konstrukcji pola nieblokowalnego
w wąskim sensie. Trwają prace nad algorytmem
pozwalającym osiągnąć nieblokowalność w szerokim
sensie w polu log2N zbudowanym z mniejszej liczby
płaszczyzn niż pole nieblokowalne w wąskim sensie.
4
www.pwt.et.put.poznan.pl
6. LIETERATURA
[1] V. E. Beneš, Mathematical Theory of Connecting
Networks and Telephone Traffic, Academic
Press, 1965.
[2] A. Jajszczyk, Nonblocking, repackable, and
rearrangeable Clos networks: Fifty years of the t
heory evolution, IEEE Communications Magazine
41 (10) (2003) 28–33.
[3] A. Jajszczyk, G. Jekel, A new concept - repackable
networks, IEEE Transactions on Communications
41 (8) (1993) 589–591.
[4] C. M. Melas, A. Milewski, The effect of call
routing rules in non-blocking threestage switching
networks, IEEE Transactions on Communications
COM-27 (1) (1979) 150–152.
[5] F. K. Hwang, The Mathematical Theory of
Nonblocking Switching Networks, World
Scientific, Singapore, 1998.
[6] Y. Yang, J. Wang, Wide-sense nonblocking Clos
networks under packing strategy, IEEE
Transactions on Computers 48 (3) (1999) 265–
284.
[7] Y. Yang, M. Masson, Non-blocking broadcast
switching networks, IEEE Transactions on
Computers 40 (9) (1991) 1005–1015.
[8] F. K. Hwang, S. C. Liaw, On nonblocking
multicast 3-stage Clos networks (1998).
[9] F. K. Hwang, Three-stage multicaonnection
networks which are nonblocking in the wide sense,
Bell System Technical Journal 58 (1979) 2183–
2187.
[10] F. K. Hwang, A survey of nonblocking multicast
three-stage Clos networks, IEEE Transactions on
Communications 41 (10) (2003) 34–37.
[11] F. K. Hwang, A. Jajszczyk, On nonblocking
multiconnection networks, IEEE Transactions on
Communications COM-34 (10) (1986) 1038–
1041.
[12] S.-P. Chung, K. Ross, On nonblocking multirate
interconnection networks, SIAM Journal on
Computing 20 (4) (1991) 726–736.
[13] W. Kabaciński, F. K. Liotopoulos, Multirate nonblocking generalized 3-stage Clos switching
networks, IEEE Transactions on Communications
50 (9) (2002) 1486–1494.
[14] R. Melen, J. S. Turner, Multirate Clos networks,
IEEE Communications Magazine 41 (10) (2003)
38–44.
[15] R. Melen, J. S. Turner, Nonblocking multirate
networks, SIAM Journal on Computing 18 (2)
(1989) 301–313.
[16] R. Melen, J. S. Turner, Nonblocking multirate
networks, in: Proc. INFOCOM, 1989.
[17] G. Niestegge, Nonblocking multirate switching
networks, in: Proc. the 5th ITC Seminar, Lake
Como, Italy, 1987.
[18] C.-T. Lea, Multi-log2N networks and their
applications in high-speed electronic and photonic
switching systems, IEEE Transactions on
Communications 38 (10) (1990) 1749–1740.
PWT 2004, Poznań 9 - 10 grudnia 2004
[19] C.-T. Lea, Bipartite graph design principle for
photonic switching network, IEEE Transactions on
Communications 38 (4) (1990) 529–538.
[20] C.-T. Lea, D.-J. Shyy, Tradeoff of horizontal
decompostion versus vertical stacking in
rearrangeable nonblocking networks, IEEE
Transactions on Communications 39 (6) (1991)
899–904.
[21] T.-Y. F. C.-L. Wu, On a class of multistage
interconnection networks, IEEE Transactions on
Communications C-29 (1980) 694–702.
[22] D.-J. Shyy, Log2(N, m, p) strictly nonblocking
networks, IEEE Transactions on Communications
39 (10) (1991) 1502–1510.
[23] D.-J. Shyy, C.-T. Lea, Rearrangeable nonblocking
logd(N, m, p) networks, IEEE Transactions on
Communications 52 (5) (1994) 1502–1510.
[24] C.-T. Lea, Multirate log2(N, e, p) networks, in:
IEEE Globecom, 1994, pp. 319–323.
[25] C.-T. Lea, Buffered or unbuffered: A case study
networks,
IEEE
based
on
logd(n, e, p)
Transactions on Communications 44 (1) (1996)
105–113.
[26] W. Kabaciński, M. Żal, Non-blocking operation of
multi-log2N switching networks, System Science
25 (4) (1999) 83–97.
[27] G. Danilewicz, W. Kabaciński, Wide-sens and
strict-sense non-blocking operation of multicast
switching
networks,
IEEE
multi-log2N
Transactions on Communications 50 (6) (2002)
1025–1036.
[28] Y. Tscha, K. H. Lee, Non-blocking conditions for
multi-log2N multiconnection networks, in: IEEE
GLOBECOM, 1992, pp. 1600–1604.
[29] Y. Tscha, K. Lee, Yet another result on multilog2N networks, IEEE Transactions on
Communications 47 (9) (1999) 1425–1431.
5