Przykłady do listy 11.
Transkrypt
Przykłady do listy 11.
Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 11 Szeregi liczbowe Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz 1 Przykłady do zadania 11.1: Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność podanych szeregów (a) ∞ X 1 n=1 3n + 1 1 1 , n0 = 1, więc f (x) = ,x1 3n + 1 3x + 1 3 0 • f (x) 0 i nierosnąca (f (x) = − ¬ 0) dla x 1 (3x + 1)2 • an = • Z∞ 1 i f (x)dx = Z∞ 1 Z∞ 1 dx f (x) 1 rozbieżna do ∞ z kryterium ilorazowego, bo x→∞ lim 1 = = k > 0 3x + 1 3 x dx jest rozbieżna do ∞ (p = 1) x • Z kryterium całkowego badany szereg jest rozbieżny do ∞ (b) ∞ X n n2 n=1 e n −x2 ,x1 2 , n0 = 1, więc f (x) = xe n e 0 2 • f (x) 0 i nierosnąca (f (x) = −(2x2 − 1)e−x ¬ 0) dla x 1 • an = • Z∞ f (x)dx = 1 Z∞ −x2 xe dx = lim 1 ZT T →∞ 2 −x2 xe dx = lim T →∞ 1 e−1 e−T + − 2 2 ! = e−1 - całka zbieżna 2 • Z kryterium całkowego badany szereg jest zbieżny Przykłady do zadania 11.2: Korzystając z kryterium porównawczego lub ilorazowego zbadać zbieżność podanych szeregów (a) ∞ X n+1 2 n=2 n − n • an = n+1 , n0 = 2 n2 − n • hipoteza: szereg rozbieżny do ∞, bo an jest bliskie 1 n 1 n n+1 = 2 ¬ 2 = an dla n 2 n n n −n ∞ ∞ X X 1 • szereg bn = jest rozbieżny do ∞ (p = 1) n=2 n=2 n • 0 ¬ bn = • Wniosek: Z kryterium porównawczego badany szereg jest także rozbieżny do ∞. 2 (b) ∞ X 3n − 2n n n n=1 4 − 3 3n − 2n , n0 = 1 4n − 3n • an 0 dla n 1 • an = an = n→∞ lim • n→∞ lim bn • szereg ∞ X bn = n=1 n 3 4 1−(2/3)n 1−(3/4)n n 3 4 ∞ n X 3 n=1 4 =1=k>0 jest zbieżny (szereg geometryczny z ilorazem x = 34 , |x| < 1) • Wniosek: Z kryterium ilorazowego badany szereg jest także zbieżny. Przykłady do zadania 11.3: Korzystając z kryterium d’Alemberta lub Cauchy’ego zbadać zbieżność podanych szeregów (a) ∞ X 2n n=1 n2 • an = 2n , n0 = 1 n2 2n+1 an+1 2 2 · 2n · n2 2 2 = (n+1) • = = −→ =2=q 2n 2 an 2n (n + 1)2 (1 + 0)2 n2 1 + n1 • q = 2 > 1, zatem z kryterium d’Alemberta badany szereg jest rozbieżny (wiemy, że rozbieżny do ∞, bo an > 0) (b) ∞ X (n!)3 n=1 (2n)! • an = • (n!)3 , n0 = 1 (2n)! an+1 an = ((n+1)!)3 (2(n+1))! (n!)3 (2n)! 3 = 2 2 1 n + n1 n 1+ (n!(n + 1)) · (2n)! (n + 1) = = 3 (2n)!(2n + 1)(2n + 2)(n!) 2(2n + 1) 2 2 −→ ∞ · (1 + 0)2 =∞=q 2(2 + 0) • q = ∞ > 1, zatem z kryterium d’Alemberta badany szereg jest rozbieżny (wiemy, że rozbieżny do ∞, bo an > 0) −→ (c) ∞ X ln n n n=2 π ln n , n0 = 2 πn ln(n + 1) 1 1 1 ln n 1 + ln n + ln 1 + ln 1 + an+1 1 n+1 n n n = π −→ • = = = 1 + an ln n π ln n π ln n π ln n πn 1 0 1 −→ 1+ = =q π ∞ π 1 • q = < 1, zatem z kryterium d’Alemberta badany szereg jest zbieżny π • an = 3 (d) ∞ X n n 3 5 n=1 • an = n • q n 3 5 , n0 = 1 s 3 n n n |an | = • q= (e) n 5 2 n+3 n=1 n+2 • an = n+3 • q n |an | = n2 • q= n=2 n ln , n0 = 1 v u 2 u n + 2 n n t n+3 −→ e−1 · 1−3 = (f) 3 √ 3 3 · n n −→ · 1 = = q 5 5 5 3 < 1, zatem z kryterium Cauchy’ego badany szereg jest zbieżny 5 ∞ X n+2 n ∞ X = = n+2 n+3 n = 1− 1 n+3 n+3 · 1− 1 n+3 −3 −→ 1 =q e 1 < 1, zatem z kryterium Cauchy’ego badany szereg jest zbieżny e 1 10 + n 1 , n0 = 2 n s q n 1 1 n n = ln 10 + • |an | = ln 10 + −→ ln 10 = q n n • q = ln 10 > 1, zatem z kryterium Cauchy’ego badany szereg jest rozbieżny (wiemy, że rozbieżny do ∞, bo an > 0) • an = lnn 10 + 4 Przykłady do zadania 11.4: Korzystając z kryterium Leibniza uzasadnić zbieżność podanych szeregów (a) ∞ X (−1)n n=1 1 - jest to tzw. szereg anharmoniczny n • jest to szereg naprzemienny postaci ∞ X (−1)n bn , gdzie bn = n=1 1 , n0 = 1 n • bn to ciąg malejący • n→∞ lim bn = 0 • Zatem z kryterium Leibniza badany szereg jest zbieżny (b) ∞ X (−1)n n=1 n+2 n2 + 3 • jest to szereg naprzemienny postaci ∞ X (−1)n bn , gdzie bn = n=1 n+2 , n0 = 1 n2 + 3 • bn to ciąg malejący, bo: n+3 n+2 (n + 3)(n2 + 3) − (n + 2)(n2 + 2n + 4) bn+1 − bn = − = = (n + 1)2 + 3 n2 + 3 (n2 + 3)((n + 1)2 + 3) −n2 − 5n + 1 (n3 + 3n2 + 3n + 9) − (n3 + 4n2 + 8n + 8) = <0 = (n2 + 3)((n + 1)2 + 3) (n2 + 3)((n + 1)2 + 3) (licznik jest mniejszy od −1 − 5 + 1 < 0, a mianownik zawsze dodatni) 1 + n22 n+2 0+0 n = lim =0 = 3 n→∞ n2 + 3 n→∞ 1 + 1+0 n2 • lim bn = lim n→∞ • Zatem z kryterium Leibniza badany szereg jest zbieżny (c) ∞ X (−1)n+1 n=3 ln n n • jest to szereg naprzemienny postaci ∞ X (−1)n+1 bn , gdzie bn = n=3 ln n , n0 = 3 n • bn to ciąg malejący, bo: ln x bn = f (n) dla f (x) = , x 1 − ln x 0 a dla takiej funkcji f (x) = < 0 dla x > e, x2 więc f (x) jest malejąca na półprostej [3, ∞), zawierające wszystkie n 3; • lim bn = 0, bo: n→∞ 1 ln x ∞ H x lim f (x) = lim = = lim =0 x→∞ x→∞ x x→∞ 1 ∞ • Zatem z kryterium Leibniza badany szereg jest zbieżny 5