Przykład 1 – sprowadzenie macierzy do macierzy górnotrójkątnej

Wyznaczniki
GaussMatrix@2011
Przykład 1 – sprowadzenie macierzy do macierzy górnotrójkątnej
Rozważmy teraz taki przykład:
Sprowadzimy tę macierz do macierzy górnotrójkątnej. W pierwszej
kolumnie chcielibyśmy mieć trzy zera pod pierwszym elementem.
Aby pozbywać się liczb leżących poniżej, bardzo „wygodnie” jest
mieć jedynkę w lewym górnym rogu. Oczywiście moglibyśmy
podzielić pierwszy wiersz przez dwa, ale wykorzystamy tu operację
wyciągania stałej z wiersza przed wyznacznik. Z bliżej nieznanych
powodów studenci rzadko używają tej operacji, więc lepiej ją
zawczasu przećwiczyć!
Gdy już mamy jedynkę w lewym górnym rogu, można bardzo łatwo
pozbyć się liczb stojących pod nią.
Do wiersza drugiego i czwartego dodamy wiersz pierwszy, zaś od
wiersza trzeciego odejmiemy dwa wiersze pierwsze.
Ponieważ dążymy do otrzymania macierzy górnotrójkątnej, chcemy
wszystkie zera „spychać” w dół.
Dlatego zamienimy teraz ze sobą wiersz drugi i czwarty, pamiętając
o zmianie znaku wyznacznika przy tej okazji.
W drugiej kolumnie chcielibyśmy mieć same zera pod drugim
elementem, usuniemy więc liczbę -4 przy pomocy wiersza drugiego.
Teraz chcielibyśmy, aby zero widoczne w żółtym kwadracie znalazło
się w czwartym wierszu w trzeciej kolumnie. Możemy to osiągnąć
dwiema kolejnymi operacjami:
1. zamianą trzeciego i czwartego wiersza (przy okazji zmienimy
znak wyznacznika na przeciwny) ...
Wyznaczniki
GaussMatrix@2011
2. … oraz zamianą kolumny trzeciej i czwartej, ponownie zmieniając
znak wyznacznika.
Otrzymaliśmy wyznacznik macierzy górnotrójkątnej, wynikiem jest
iloczyn liczby stojącej przed macierzą oraz liczb stojących na
przekątnej, czyli:
W = -2×1×2×2×4=-32
Ten sam przykład w programie GaussMatrix
Krok 1. W programie GaussMatrix wybierz aplikację Wyliczanie
2 22 2
wyznacznika, w aplikacji tej wybierz opcję podania własnego przykładu i na
-1 -1 1 1
następnym ekranie wybierz rozmiar macierzy 4x4. Następnie wprowadź dane
2 -2 2 -2
swojej macierzy i naciśnij przycisk Dalej.
-1 1 1 1
Krok 2. Na ekranie pojawiło się następujące okno. Przyciski po prawej stronie (dotyczące kolumn) powodują
analogiczne działanie, jak przyciski dla wierszy opisane w „chmurkach”.
Dodawanie wiersza
pomnożonego przez
stałą niezerową
Dodawanie wiersza
podzielonego przez
stałą niezerową
Mnożenie wiersza przez
stałą niezerową
Dzielenie wiersza przez
stałą niezerową
Zamiana dwóch wierszy
Wyciągnięcie stałej
niezerowej z wiersza
Możesz cofnąć się o kilka kroków
jeżeli się pomylisz lub stwierdzisz,
że należałoby obrać inną strategię.
Po cofnięciu się, możesz zmienić
zdanie i powrócić do swojego
ostatniego kroku.
Możesz w dowolnej chwili
zacząć ten sam przykład
od nowa.
Wyznaczniki
GaussMatrix@2011
Krok 3. Naciśnij przycisk służący do wyciągnięcia stałej z wiersza przed wyznacznik i wyciągnij stałą 2 z
pierwszego wiersza.
Krok 4. Teraz należy pozbyć się liczb w pierwszej
kolumnie, położonych pod górną jedynką. Naciśni guzik,
który zmienia dany wiersz w ten sposób, że dodaje do
niego inny wiersz pomnożony przez liczbę niezerową. W
małym okienku podaj takie parametry, które będą
oznaczać, że chcesz zmienić trzeci wiersz odejmując od
niego dwa wiersze pierwsze.
Analogicznie zmień wiersze drugi i czwarty: do każdego
z nich dodaj jeden wiersz pierwszy.
Po tych operacjach lewa górna część aplikacji powinna
wyglądać następująco:
Krok 5. Naciśnij przycisk służący do zamiany wierszy i
zamień wiersz drugi z czwartym.
Krok 6. Podobnie jak w kroku 4, zmień wiersz trzeci –
dodaj do niego dwa wiersze drugie.
Po tym kroku ostatnia macierz powinna wyglądać
następująco:
Krok 7. Teraz zamień wiersz trzeci z czwartym oraz
kolumnę trzecią z czwartą – operacje te wykonać
możesz w dowolnej kolejności.
Krok 8. Wyznacznik jest już obliczony – stworzyliśmy
macierz schodkową, możemy więc obliczyć iloczyn liczby
stojącej przed macierzą oraz liczb znajdujących się na
przekątnej: