Analiza układu II rzędu - Matlab

Transkrypt

Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Analiza układu II rzędu
Matlab
Mirosław Tomera
1. WPROWADZENIE
Ocena jakości sterowania polega na ocenie dwóch stanów układu regulacji:
stanu przejściowego
stanu ustalonego
W pierwszym przypadku mówimy o dokładności dynamicznej, w drugim o dokładności statycznej.
Dokładność dynamiczna określa zdolność układu do wiernego i szybkiego śledzenia zmian wartości
zadanej, a dokładność statyczna zdolność układu regulacji do utrzymywania wartości regulowanej jak
najbliżej wartości zadanej w stanie ustalonym, a więc po zakończeniu stanu przejściowego. O ile
uchyb ustalony łatwo zdefiniować i wyznaczyć jego wartość o tyle dokładność dynamiczną można
scharakteryzować różnymi parametrami, a w rezultacie oceniać na podstawie różnych kryteriów.
Kryteria oceny jakości sterowania można podzielić na cztery grupy:
1)
2)
3)
4)
Kryteria bezpośrednie (ocena odbywa się na podstawie odpowiedzi skokowej).
Kryteria całkowe.
Kryteria częstotliwościowe.
Kryteria rozkładu pierwiastków (ocena na podstawie rozkładu pierwiastków równania
charakterystycznego).
Chociaż w praktyce układy regulacji drugiego rzędu występują bardzo rzadko to ich analiza daje
podstawy zrozumienia i analizy układów wyższych rzędów, które również mogą być aproksymowane
przez układy drugiego rzędu.
Rozważony zostanie układ regulacji drugiego rzędu z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym
reprezentowany przez układ pokazany na rysunku 1. Transmitancja układu z rozwartą pętlą sprzężenia
Go ( s)
gdzie
oraz
n
Y (s)
E (s)
2
n
s(s
2
(1)
n)
są stałymi parametrami. Transmitancja układu zamkniętego
T (s)
Y (s)
R( s)
Go ( s )
= 2
1 Go ( s )
s
2
n
2
ns
2
n
(2)
Układ z rysunku 1 o transmitancjach opisanych wzorami (1) oraz (2) określany jest jako prototypowy
układ drugiego rzędu.
R(s)
wn2
s(s + 2zwn)
Rys. 1. Prototypowy układ regulacji II rzędu
Ostatnia aktualizacja: 2014-05-06
M. Tomera
Y(s)
Teoria sterowania
Matlab
2. WSKAŹNIKI JAKOŚCI OKREŚLANE NA PODSTAWIE ODPOWIEDZI
SKOKOWEJ UKŁADU
Charakter przebiegów przejściowych w liniowych układach sterowania bardzo często jest badany po
podaniu funkcji skokowej (jednostkowej) 1(t) na wejście układu. Wówczas odpowiedź układu
sterowania nazywana jest odpowiedzią skokową. Na rysunku 2 przedstawiona została typowa
odpowiedź skokowa liniowego układu II rzędu.
1.4
Mp
1.2
D =± 1%
1.0
90%
y(t)
0.8
0.6
50%
0.4
0.2
10%
tp
to
0
tn
tR
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
t [s]
Rys. 2. Typowa odpowiedź skokowa układu sterowania
Na podstawie tej odpowiedzi definiowane są następujące wskaźniki jakości charakteryzujące liniowe
układy sterowania w dziedzinie czasu:
1. Maksymalne przeregulowanie M
Mp = ymax
p
yu
(3)
gdzie:
y(t) odpowiedź skokowa układu,
ymax maksymalna wartość y(t),
yu wartość y(t) w stanie ustalonym (yu ymax).
Maksymalne przeregulowanie często określane jest jako procentowy udział końcowej wartości
odpowiedzi skokowej
M p%
Mp
yu
(4)
100%
Maksymalne przeregulowanie bardzo często wykorzystywane jest do pomiaru stabilności
względnej układu sterowania. Układ z bardzo dużym przeregulowanie jest zazwyczaj
niepożądany. Na etapie projektowania układu zazwyczaj określa się wartość tego
przeregulowania. Odpowiedź skokowa układu z rysunku 2 pokazuje, że maksymalne
przeregulowanie pojawia się przy pierwszym przeregulowaniu. W pewnych układach
maksymalne przeregulowanie może pojawiać się w jednym z następnych pików i jest tak
wówczas gdy transmitancja układu posiada nieparzystą liczbę zer w prawej półpłaszczyźnie
M. Tomera
2
Teoria sterowania
Matlab
i mogą się wówczas pojawiać pierwsze przeregulowanie przy wartościach ujemnych.
2. Czas opóźnienia to definiowany jako czas po którym odpowiedź skokowa osiąga 50% swojej
wartości końcowej. Pokazane jest to na rysunku 2.
3. Czas narastania tn definiowany jest jako czas potrzebny do wzrostu odpowiedzi skokowej
układu od 10% do 90% wartości ustalonej.
4. Czas ustalania (regulacji) tR definiowany jako czas potrzebny do tego aby przejściowa
odpowiedź skokowa znalazła się i pozostała w pewnej określonej strefie dokładności ( 1% ,
2% , itd., patrz tabela 1) od wartości ustalonej. Najczęściej jest to 5% wartości ustalonej.
Te cztery powyższe wskaźniki umożliwiają bezpośredni pomiar charakterystyk przejściowych układu
sterowania na podstawie odpowiedzi skokowej. Wskaźniki te są łatwe do określenia na pomierzonej
charakterystyce odpowiedzi skokowej, natomiast trudno jest je wyprowadzić analitycznie za
wyjątkiem układów, których rząd jest mniejszy od trzeciego.
2.1. WZORY APROKSYMUJĄCE CZASOWE WSKAŹNIKI JAKOŚCI
Jednostkowa odpowiedź skokowa wyznaczona z odwrotnej transformaty Laplace'a transmitancji (2)
opisana jest wzorem
e nt
2
dla t 0
(5)
sin n 1
t arc cos
y (t ) = 1
2
1
Na podstawie odpowiednich przekształceń wzoru analitycznego (5) opisującego odpowiedź skokową
układu II rzędu możliwe jest określenie wzorów pozwalających na zaprojektowanie układu II rzędu
spełniającego odpowiednie wymagania. Poniżej znajdują się wzory aproksymujące czasowe wskaźniki
jakości układu II rzędu:
amplituda maksymalnego przeregulowania wyrażona procentowo
2
1
M p% = e
dla
100%
0<
<1
(6)
czyli
ln( M p )
2
(7)
ln 2 ( M p )
chwila czasu t p w której pojawia się maksymalne przeregulowanie
tp
n
dla
2
1
0<
<1
(8)
czas opóźnienia t o
1 0.7
to
dla
0<
<1
(9)
n
czas narastania t n
tn
1.8
dla
0<
<1
(10)
n
czas ustalania t R (regulacji) według tabeli 1
M. Tomera
3
Teoria sterowania
Matlab
Tabela 1. Typowe wartości czasu ustalania (regulacji)
tR
1%
2%
5%
10%
4 .6
4
3
2.3
3. CZĘSTOTLIWOŚCIOWE WSKAŹNIKI JAKOŚCI
W projektowaniu liniowych układów sterowania z użyciem metod w dziedzinie częstotliwości,
konieczne jest zdefiniowanie zbioru nowych wskaźników jakości układu. Określenia takie jak
maksymalne przeregulowanie, czas narastania, itd., używane w dziedzinie czasu nie mogą być
zastosowane w sposób bezpośredni w dziedzinie częstotliwości. Poniższe wskaźniki jakości pokazane
są również na rysunku 3 i są najczęściej używane w dziedzinie częstotliwości.
1. Moduł rezonansowy M rdB wyrażony w decybelach (dB) jest maksymalną wartością
charakterystyki amplitudowej 20 log M ( j ) . Amplituda M rdB pozwala na określenie
stabilności względnej stabilnego układu zamkniętego. Zazwyczaj duże wartości M rdB
odpowiadają dużym wartościom maksymalnego przeregulowania odpowiedzi skokowej.
M rdB
2. Częstotliwość rezonansowa
20 log M r
(11)
jest częstotliwością przy której występuje moduł rezonansowy.
r
3. Szerokość pasma BW jest zakresem częstotliwości od zera do częstotliwości przy której
charakterystyka amplitudowa 20 log M ( j ) o 3 dB od jego amplitudy przy zerowej
częstotliwości.
20 log M j
M rdB
3dB
BW
log
r
j
log
Rys. 3. Przykładowe logarytmiczne charakterystyki amplitudy i fazy prototypowego układu II rzędu
(wyznaczane w układzie zamkniętym).
M. Tomera
4
Teoria sterowania
Matlab
3.1. WZORY APROKSYMUJĄCE CZĘSTOTLIWOŚCIOWE WSKAŹNIKI JAKOŚCI
Dla prototypowego układu drugiego rzędu (rys.1), moduł rezonansowy Mr , częstotliwość
rezonansowa r i szerokość pasma BW odnoszą się w sposób unikalny do współczynnika tłumienia
i częstotliwość drgań własnych n . W sinusoidalnym stanie ustalonym, s = j i wówczas równanie
(2) ma postać
G( j )
2
n
Y( j )
R( j )
(j )
2
2
1
n( j
2
n
)
1
Można uprościć równanie (12) przez podstawienie u
1
G( j )
1
j 2u
u
2
j 2(
n
n)
(
n)
2
(12)
. Wówczas równanie (12) staje się
M ( j )e j
( )
(13)
Amplituda i faza G( j ) są następujące
M( j )
1
G( j )
(1 u 2 ) 2
(14)
(2 u ) 2
oraz
(j )
arctan
G( j )
2 u
(15)
1 u2
Na podstawie zależności (14) i (15) wyprowadza się wzory pozwalające na wyznaczenie wartości
częstotliwościowych wskaźników jakości dla układu II rzędu, które są następujące:
Moduł rezonansowy M r wyrażony w jednostkach bezwzględnych
1
Mr
2
2
1
,
dla
0
0.707
(16)
Zależność między modułem rezonansowym wyrażonym w jednostkach bezwzględnych
wyliczanym w oparciu o moduł rezonansowy wyrażony w decybelach jest następująca
MrdB
10 20
Mr
Częstotliwość rezonansowa
r
n
(17)
r
1 2
2
,
dla
0
4
4
0.707
(18)
Szerokość pasma BW
BW
Zapas fazy PM
n
1 2
2
4
2
2
(19)
wyznaczany w układzie otwartym z rysunku 1.
PM
arctan
2
1 4
(20)
4
2
2
Przykład 1 ilustruje związki pomiędzy czasowymi i częstotliwościowymi wskaźnikami jakości dla
układu II rzędu.
M. Tomera
5
Teoria sterowania
Matlab
Przykład 1
Amplitudowa charakterystyka częstotliwościowa M ( j ) prototypowego układu II rzędu
pokazana jest na rysunku 3.1. Wyznacz czasowe wskaźniki jakości odpowiadające tej
charakterystyce.
Bode Diagram
10
0
Peak gain (dB): 3.09
At frequency (rad/sec): 3.03
Magnitude (dB)
-10
-20
-30
-40
-50
-60 -1
10
10
0
1
10
10
2
Frequency (rad/sec)
Rys. 1.1. Amplitudowa charakterystyka częstotliwościowa logarytmiczna.
Rozwiązanie. Odczytane z rysunku 1.1 wartości modułu rezonansowego Mr i częstotliwości
rezonansowej r
(1.1)
M rdB = 3.09 [dB]
r
= 3.03 [rad/s]
(1.2)
Wzór określający moduł rezonansowy (14) dla układu II rzędu wyrażony jest w wartościach
bezwzględnych, natomiast odczytany z wykresu w decybelach, dlatego też w pierwszej
kolejności należy go przeliczyć na wartości bezwzględne. Zależność pomiędzy wartością
modułu rezonansowego wyrażonego w decybelach M rdB , a wartością bezwzględną modułu
rezonansowego Mr
M rdB 20 log M r
(1.3)
Po przekształceniu wzoru (1.3) wyznaczona została wartość modułu rezonansowego Mr
wyrażona w wartościach bezwzględnych
Mr
3.09
MrdB
20
= 10 20
10
= 1.4272
(1.4)
Po podstawieniu uzyskanej wartości modułu rezonansowego Mr do wzoru (15) uzyskuje się
zależność, która pozwala na wyznaczenie wartości współczynnika tłumienia
dla układu
II rzędu, która najpierw została przekształcona do postaci równania (1.5)
M. Tomera
6
Teoria sterowania
4
1
4 M r2
2
0
(1.5)
Rozwiązaniami równania (1.5) są następujące wartości współczynnika
1
= 0.9256,
= 0.9256,
2
= 0.3785,
3
4
:
= 0.3785
Ponieważ wzór (15) jest poprawny dla współczynnika
poprawnym rozwiązaniem ze zbioru rozwiązań (1.6) jest
(1.6)
z przedziału 0
Na podstawie równania (15) wyznaczona została częstotliwość drgań własnych
3.03
r
n
2
1 2
0.707 ,
(1.7)
0.3785
3
Matlab
3.5871 [rad/s]
1 2 0.3785 2
n
(1.8)
Mając wyznaczone wartości współczynnika tłumienia
oraz częstotliwości drgań własnych
n należy w pierwszej kolejności dokonać sprawdzenia uzyskanych wyników podstawiając je
do równań (14) i (15)
M rdB
1
20 log
r
2
1
2
1 2
2
n
20 log
1
2 0.3785 1 0.3785 2
3.5871 1 2 0.3785 2
3.09 [dB]
3.03 [rad/s]
(1.9)
(1.10)
Wyniki uzyskane w równaniach (1.9) i (1.10) dowodzą, że wyznaczone wartości współczynnika
tłumienia
oraz częstotliwości drgań własnych n są poprawne. Wartości pozostałych
częstotliwościowych i czasowych wskaźników jakości są następujące
Szerokość pasma częstotliwości BW (16)
BW
n
(1 2
2
4
)
4
2
2 = 4.966 [rad/s]
(1.11)
Amplituda maksymalnego przeregulowania (6)
2
1
Mp% = e
100% = 27.676 [%]
(1.12)
Chwila czasu t p w której pojawia się to maksymalne przeregulowanie
tp
n
2
1
= 0.946 [s]
(1.13)
Czas opóźnienia t o
1 0.7
to
= 0.353 [s]
(1.14)
n
Czas narastania t n
tn
1.8
= 0.502 [s]
(1.15)
n
Czas ustalania t R (regulacji), dokładność
tR
4.6
4.6
= 1 [%].
= 3.388 [s]
(1.16)
M. Tomera
7
n
Teoria sterowania
Matlab
Wyniki uzyskane zostały przy wykorzystaniu następującego kodu programu Matlaba
clear
% Wartości zadane
MrdB = 3.09
wr = 3.03
% Wyznaczenie wn i zeta
Mr = 10^(MrdB/20)
r_zeta = roots([4 0 -4 0 (1/Mr^2)])
zeta = r_zeta(3)
wn = wr/sqrt(1-2*zeta^2)
% Sprawdzenie poprawności uzyskanych wyników dla wn i zeta
% i porównanie ich z wartościami zadanymi
MrdB1 = 20*log10(1/(2*zeta*sqrt(1-zeta^2)))
wr1 = wn*sqrt(1-2*zeta^2)
% Brakujący częstotliwościowy wskaźnik jakości
BW = wn*sqrt(1-2*zeta^2+sqrt(zeta^4-4*zeta^2+2))
% Czasowe wskaźniki jakości
Mp = exp(-pi*zeta/sqrt(1-zeta^2))*100
tp = pi/(wn*sqrt(1-zeta^2))
to = (1+0.7*zeta)/wn
tn = 1.8/wn
tr = 4.6/(zeta*wn)
% Graficzna prezentacja uzyskanych wyników
ltiview( tf( wn^2, [1 2*zeta*wn wn^2]))
Kolejny przykład ilustruje zastosowanie wzorów (6), (7), (8), (9), (16), (18), (19) do projektowania
odpowiedzi skokowej układu II rzędu.
Przykład 2
Dla układu pokazanego na rysunku 2.1, wyznacz takie wartości parametrów K1 i K2 aby
spełnione były następujące wymagania dotyczące wybranych częstotliwościowych i czasowych
wskaźników jakości:
szerokość pasma częstotliwości BW = 4.58 [rad/s],
czas narastania tn = 0.5 [s].
Mając wyznaczone wartości parametrów K1 oraz K2, oblicz jakie będzie w tym układzie
maksymalne przeregulowanie Mp i czas ustalania tR (dokładność 2%) jednostkowej odpowiedzi
skokowej.
R(s)
K1
1
s+1
1
s
Y(s)
K2
Rys. 2.1. Schemat blokowy układu z poszukiwanymi wartościami parametrów K1 i K2
M. Tomera
8
Teoria sterowania
Matlab
Rozwiązanie: Transmitancja zastępcza całego układu z rysunku 2.1
K1
Y ( s)
G(s)
2
R( s) s
(1 K 2 ) s K1
(2.1)
Porównując równanie (2.1) z równaniem (2), uzyskuje się zależności pozwalające na
wyznaczenie poszukiwanych wartości parametrów K1 oraz K2 i są one następujące:
2
n
K1
1 K2
2
(2.2)
(2.3)
n
Z zależności (2.2) oraz (2.3) wynika, że do wyznaczenia wartości parametrów K1 oraz K2
potrzebna jest znajomość wartości współczynnika tłumienia
oraz częstotliwości drgań
własnych n , które to wartości uzyskane zostaną z wymagań jakie nałożone zostały na
projektowany układ z rysunku 2.1. Szerokość pasma częstotliwości BW opisana jest przez
równanie (16)
BW
n
2
(1 2
4
)
4
2
2 = 4.58 [rad/s]
(2.4)
natomiast czas narastania tn przez równanie (9)
1.8
tn
= 0.5 [s]
(2.5)
n
Z układu tych dwóch równań (2.4) i (2.5) z dwoma niewiadomymi wyznaczona zostanie
w pierwszej kolejności poszukiwana wartość częstotliwości drgań własnych n z równania
(2.5)
1.8 1.8
= 3.6 [s]
(2.6)
n
t n 0.5
i następnie po podstawieniu do równania (2.4) wyznaczonej wartości
przekształceń uzyskuje się następujący wielomian
3
4
4
2
BW
BW
2
n
4
2
BW
n
j1.544
3
i dokonaniu kilku
2
(2.7)
1 0
n
Rozwiązaniami równania (2.7) są następujące wartości współczynnika
1, 2
n
= 0.4755,
4
:
= 0.4755
(2.8)
Poprawnym rozwiązaniem ze zbioru rozwiązań (2.8) jest
(2.9)
0.4755
3
gdyż jest wartością rzeczywistą dodatnią. W celu sprawdzenia uzyskanego rozwiązania należy
jeszcze raz wyznaczyć zadaną wartość szerokości pasma, według wzoru (2.4) i uzyskane wyniki
porównać z zadanymi wymaganiami.
Mając wyznaczone wartości współczynnika tłumienia
i częstotliwości drgań własnych
poszukiwane wartości parametrów K1 oraz K2 z zależności (2.2) i (2.3) są następujące:
K2
2
n
2
K1
12.960
n
1 2 0.4755 3.6 1 = 2.424
n
,
(2.10)
(2.11)
Amplituda maksymalnego przeregulowania (6)
Mp% = e
1
2
100% = 18.3 [%]
(2.12)
Czas ustalania tR dla dokładności ( = 2%)
M. Tomera
9
Teoria sterowania
4
= 2.337 [s]
0.4755 3.6
n
Wyniki uzyskane zostały przy użyciu następujących linii kodu programu
tR
4
4
Matlab
(2.13)
% Wymagania nałożone na układ
BW = 4.58;
tn = 0.5;
% Wyznaczenie wn i zeta
wn = 1.8/tn
a = (BW/wn)^2
r_zeta = roots([3 0 4*a 0 (a^2-2*a-1)])
zeta = r_zeta(3)
% Sprawdzenie poprawności wyznaczonych parametrów wn i zeta
BWs = wn*sqrt(1-2*zeta^2+sqrt(zeta^4-4*zeta^2+2))
% Poszukiwane wartości wzmocnień
K1 = wn^2
K2 = 2*zeta*wn-1
% Wybrane czasowe wskaźniki jakości
Mp = exp(-pi*zeta/sqrt(1-zeta^2))*100
tr = 4/(zeta*wn)
% Graficzna prezentacja uzyskanych wyników
ltiview( tf( K1, [1 (1+K2) K1]))
4. PRZEKSZTAŁCANIE WYMAGAŃ PROJEKTOWYCH NA PŁASZCZYZNĘ S
Przekształcanie wymagań projektowych na płaszczyznę s związane jest z czwartym kryterium oceny
jakości regulacji związanych z oceną jakości na podstawie położeń biegunów transmitancji.
Odpowiedź skokowa układu II rzędu może być kształtowana przez ustalenie odpowiednich
położeń pierwiastków równania charakterystycznego transmitancji II rzędu (2). Pierwiastki te mogą
być wyrażone jako
s 1, s 2 =
j
n
gdzie
,
n
n
2
1
=
=
charakterystycznego oraz ,
n
=
j
(21)
(22)
n
2
1
(23)
oraz . Dla pierwiastków zespolonych sprzężonych:
Im s
pierwiastek
płaszczyzna s
n
Re s
n
pierwiastek
M. Tomera
10
Teoria sterowania
Matlab
Rys.4. Zależność pomiędzy pierwiastkami równania charakterystycznego prototypowego układu II rzędu oraz ,
,
n
n
, , gdzie
n
1
2
jest kątową odległością pierwiastka od początku układu (częstotliwością drgań
własnych).
jest częścią rzeczywistą pierwiastków.
jest częścią urojoną pierwiastków (częstotliwością drgań tłumionych).
(współczynnik tłumienia) jest cosinusem kąta pomiędzy linią kątową pierwiastków
i półosią rzeczywistą ujemną (gdy pierwiastki leżą w lewej półpłaszczyźnie)
(24)
cos
Na etapie projektowania układu nakłada się pewne wymagania dotyczące czasu narastania t n ,
maksymalnego przeregulowania M p i czasu ustalania (regulacji) t R i zadaje się pytanie: gdzie
powinny znajdować się bieguny, aby uzyskać odpowiedź w której te wielkości będą mniejsze lub
równe zadanym wymaganiom. Dla zadanych wartości t n , M p oraz t R forma syntezowa tych równań:
1.8
tn
n
(25)
ln( M p )
2
(26)
2
ln ( M p )
4 .6
tR
(27)
Zależności te w formie graficznej przedstawione są na rysunku 5 i 6.
Im s
Im s
Im s
n
arccosz
Re s
(a)
Re s
Re s
(b)
(c)
Rys. 5. Wymagania projektowe dotyczące układu II rzędu pokazane w formie graficznej (a) czas narastania,
(b) maksymalne przeregulowanie, (c) czas ustalania.
M. Tomera
11
Teoria sterowania
Matlab
Im s
Re s
Rys.6. Wymagania projektowe z rysunku 5 zebrane na jednym wykresie.
Przykład 3
Znajdź obszary położeń biegunów transmitancji układu na płaszczyźnie s, jeśli wymagania
nałożone na odpowiedź skokową są następujące: t n 0.6 [s], M p 10 [%] oraz t R 3 [s],
( = 1 [%]).
Rozwiązanie: Bez wiedzy, czy układ II rzędu posiada zera czy też nie, nie jest możliwe
znalezienie dokładnych obszarów. Można natomiast uzyskać pierwszą aproksymację z użyciem
zależności dla układu II rzędu.
Równanie (21) oznacza, że
1.8
= 3 [rad/s]
(3.1)
n
tn
Z równanie (22) wynika
ln( M p )
2
ln( 0.1)
ln 2 ( M p )
2
ln 2 (0.1)
= 0.5912
(3.2)
czyli kąt
arccos( 0.5912 ) 53.76 o
(3.3)
oraz w oparciu o równanie (23) uzyskuje się
4.6
= 1.5333 [s]
3
(3.4)
Wymagania definiowane dla odpowiedzi skokowej przekładają się na następujące obszary
możliwych położeń spełniających te wymagania.
3
0.5912
(3.5)
n
1 czyli 0
1.5333
53.76 o ,
(3.6)
(3.7)
Obszar możliwych położeń biegunów na płaszczyźnie s spełniających wymagania z tego
przykładu znajduje się na rysunku 3.1. Zauważ, że pewne wymagania dotyczące
oraz n
automatycznie spełniają wymaganiu dotyczącemu .
M. Tomera
12
Teoria sterowania
Matlab
Rys.3.1. Fragment obszaru możliwych położeń biegunów na płaszczyźnie s spełniających wymagania z
przykładu 3.
W Matlabie do wykreślania na płaszczyźnie zmiennej zespolonej s linii stałych wartości oraz
n służy funkcja sgrid. Wyniki w tym przykładzie uzyskane zostały przy użyciu
następujących linii kodu programu.
clear
close
clc
% Wymagania nałożone na układ
tn_gr = 0.6;
% Wartość graniczna czasu narastania
Mp_gr = 10;
% Wartość graniczna maksymalnego przeregulowania
tr_gr = 3;
% Wartość graniczna czasu regulacji
% wyznaczenie granicznych wartości parametrów transmitancji
wn_gr = 1.8/tn_gr
zeta_gr = -log(Mp_gr/100)/sqrt(pi^2+log(Mp_gr/100)^2)
theta_gr = acos( zeta_gr)*180/pi
sigma_gr = 4.6/tr_gr
% graficzna prezentacja uzyskanych wyników
sgrid( zeta_gr, wn_gr, 'new')
axis auto
axis equal
line([-sigma_gr -sigma_gr], [-3 3])
ĆWICZENIA W MATLABIE
M1. Dla układu z rysunku M1 dobierz takie wartości parametrów K1 i K2 aby spełnione były
następujące wymagania:
czas narastania t n = 1.8 [s]
moduł rezonansowy M r = 2.7 [dB]
R(s)
10
s(s + 2)
K1
Y(s)
K2s
Rys. M1. Schemat blokowy układu zamkniętego
M. Tomera
13
Teoria sterowania
Matlab
M2. Dla układu z rysunku M2, dobierz takie wartości parametrów K1 i K2 aby spełnione były
czas (chwila) wystąpienia pierwszego przeregulowania tp = 1 [s],
częstotliwość rezonansowa r = 2 [rad/s]
K2
R(s)
1
s
1
s
K1
Y(s)
2
moduł rezonansowy Mr = 1.5 [dB]
R(s)
1
s
K1
1
s
Y(s)
K2
M4. Dla układu z rysunku M4, dobierz takie wartości parametrów K1 i
aby spełnione były
czas ustalania (regulacji) tR = 4 [s], ( = 2 %)
R(s)
K
1
s+
1
s
Y(s)
M. Tomera
14
Teoria sterowania
R(s)
1
s(s+
Matlab
Y(s)
K
0.5s
M6. Dla układu z rysunku M6, dobierz takie wartości parametrów K oraz
następujące wymagania dotyczące przejściowej odpowiedzi skokowej:
czas narastania Mp = 14 [%]
szerokość pasma BW = 4 [rad/s]
R(s)
K
Y(s)
1
s(s+ )
s
Rys.M6. Schemat blokowy układu zamkniętego
czas narastania Mp = 14 [%]
czas opóźnienia to = 0.6 [s]
R(s)
1
s+
K
Y(s)
1
s
moduł rezonansowy Mr = 1.2 [dB]
R(s)
K1
1
s+1
1
s
Y(s)
K2
czas opóźnienia to = 1 [s],
moduł rezonansowy Mr = 2 [dB]
M. Tomera
15
Teoria sterowania
R(s)
1
s
1
s
K1
Matlab
Y(s)
K2
moduł rezonansowy Mr = 3 [dB]
R(s)
1
s
K1
1
s
Y(s)
K2
R(s)
1
s+1
K1
1
s
Y(s)
K2
R(s)
K1
1
s
1
s
Y(s)
K2
M. Tomera
16
Teoria sterowania
Matlab
M13. Naszkicuj obszar na płaszczyźnie s w którym powinny znaleźć się bieguny układu II rzędu,
które spełniają poniższe wymagania.
a)
czas narastania tn 0.5 [s]
procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie Mp
czas regulacji tR 2 [s], ( = 1 [%])
16.7 [%]
b)
czas narastania 0.3 tn 0.6 [s],
maksymalne przeregulowanie 15
10
czas regulacji
7
Mp
30 [%],
10
[s], ( = 2 [%])
3
tR
c)
czas narastania tn 2 [s]
procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie 10
czas regulacji tR 6 [s], ( = 2%)
Mp
25 [%]
d)
czas narastania tn 0.6 [s],
maksymalne przeregulowanie Mp 20 [%],
czas regulacji 1 tR 2 [s], ( = 2%)
e)
czas regulacji tR 3.6 [s], ( = 2%)
f)
czas narastania 0.6 tn 1.8 [s],
g)
maksymalne przeregulowanie 15 Mp
czas regulacji tR 8 [s], = 1 [%]
50 [%],
h)
maksymalne przeregulowanie 5
czas regulacji 1
tR
Mp
25 [%],
10
[s], ( = 1 [%])
7
i)
procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie Mp
czas regulacji tR 4 [s], ( = 1 [%])
14 [%]
j)
procentowe przeregulowanie powinno być w zakresie 12
czas regulacji tR 8 [s], ( = 2%)
Mp
18 [%]
k)
czas narastania tn
0.3 [s],
M. Tomera
17
Teoria sterowania
Matlab
maksymalne przeregulowanie Mp 10.2 [%],
l)
maksymalne przeregulowanie 12 Mp
czas regulacji tR 7.2 [s], ( = 1 [%])
24 [%],
ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ
M1.
0.1 , K 2
K1
0.12
M2.
K1
G ( s)
s
2
,
(2 K1
K 2 )s
K1
,
= 0.6107,
K1
n
= 3.9673 [rad/s], K 1 = 15.7392, K 2 = 26.6330
M3.
G( s)
s
2
= 0.4794,
K 2 s K1
n
= 2.7206 [rad/s], K 1 = 7.4016, K 2 = 2.6083
M4.
K 3,
1
M5.
K
G ( s)
s
2
(
,
0.5) s
= 0.5907,
K
n
= 3.8935 [rad/s], K = 15.1596,
= 4.1000
M6.
K 11.319 ,
2.569
M7.
K
5.224 ,
1.425
M8.
K1
5.941 , K 2
1.458
M9.
G(s)
K1
s2
,
( K1 K 2
1) s
= 0.4430,
K1
n
= 1.3101 [rad/s], K 1 = 1.7164, K 2 = 1.2589
M10.
K1
G( s)
s
2
,
= 0.3832,
K 2 s K1
n
= 3.6238 [rad/s], K 1 = 13.1316, K 2 = 2.7775
M11.
K1
G ( s)
s
2
(K 2
,
1) s
K1
= 0.5907,
n
= 3.8935 [rad/s], K 1 = 15.1596, K 2 = 3.6
M12.
M. Tomera
18
Teoria sterowania
K1
G(s)
s
2
( K1 K 2
,
K1 ) s
= 0.6020,
n
K1
Matlab
= 5.7183 [rad/s], K 1 = 32.6992, K 2 = 1.2105
M13.
a) 3.6
b) 3
6 ; 0.358
n
c) 0.9
, 0.456
n
e) 0
2.25
n
3
n
g) 1.2
4
j) 1.125
k) 0
l) 1.5
n
n
0.591
0.403
n
n
0.404
0.215
n
h) 6
i) 0
; 0.404
n
d) 3
f) 1
; 0.495
n
0.5305
0.479
6 , 0.5878
n
, 0.413
1 ; 0o
60.3o , 2.3
0.517 ; 58.9 o
69.0 o , 1.2
0.591; 53.8 o
1; 0
o
1; 0
1; 0
o
o
62.9 , 2
o
66.2 , 0
1.111
o
53.8 , 0
0.690 ; 46.4 o
o
2.212
77.5 o , 0.575
66.2 o , 3.22
4.6
o
58 , 1.15
0.559 ; 56.0 o
1 , 0o
0.667
4
o
0.517 ; 58.9 o
1; 0
66.2 o , 0
2.8
61.4 o , 0.5
53.9 o , 0
0.559 , 56.0
o
5
o
65.6 , 0.639
LITERATURA
1. Kuo B.C. Automatic Control System, John Wiley & Sons, Inc, 1995.
M. Tomera
19

Analiza układu II rzędu - Matlab

Transkrypt

Podobne dokumenty

ZETA - Fotelik Stabilizujący Dla Dzieci

Kliknij aby pobrać dokument w formacie PDF

Podstawy Automatyki µ

Zadanie Obejrzyj rysunek i odpowiedz na pytania: (1) Jaki to jest

załącznik 10

Zobacz ogłoszenie! - Spaw-Mar

Wersja do druku - Gknieruchomosci.pl

Studnia dla Południa

Referat_A. Próchniak_Charakteryzacja nanocząstek z pomocą

Pobierz plik - Centrum Studiów Zaawansowanych