LISTA 9

METODYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ MATEMATYCZNYCH 4
POZIOM ROZSZERZONY – LISTA 9 – Rachunek różniczkowy
Zad.1 Oblicz granice (o ile istnieją):
sin 2x
,
(a) limπ
x→ 2 cos x
(c) lim
x→0
3
,
x
(b) lim
x→0
(d)
lim
x→−2
√
x+1−
x
√
x+4
,
x3 + 4x2 + 5x + 2
.
x4 + 5x3 + 6x2 − 4x − 8
Zad.2 Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w podanym przedziale:
D
√ √ E
(a) f (x) = 4x − 31 x3 , x ∈ −2 3; 2 3 ,
(b) f (x) = 8x2 − 8x4 , x ∈ h−1; 3i.
Zad.3 Funkcja f jest określona wzorem f (x) = x3 − 2x2 + 1 dla każdej liczby rzeczywistej x.
Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f , które są równoległe do prostej o równaniu
y = 4x.
Zad.4 Wyznacz przedziały monotoniczności oraz ekstrema funkcji f (x) = x4 − 2x3 + x2 − 3x + 1.
Zad.5 Wysokość stożka ma długość 4, a jego średnica jest równa 6. W stożek ten wpisujemy graniastosłup prawidłowy czworokątny, tak aby dolna podstawa graniastosłupa zawierała się w podstawie
stożka, a wierzchołki górnej podstawy należały do powierzchni bocznej stożka. Oblicz, jaką największą objętość może mieć ten graniastosłup.
Zad.6 Parabola o równianiu y = 2 − 12 x2 przecina oś OX układu współrzędnych w punktach
A = (−2; 0) i B = (2; 0). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD, których dłuższą
podstawą jest odcinek AB, a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli. Wyznacz pole trapezu
ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C. Oblicz współrzędne wierzchołka C
tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Zad.7 Dana jest funkcja f określona wzorem
f (x) =
x−8
x2 + 6
dla każdej liczby rzeczywistej x. Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie x = 21 .
Zad.8 Funkcja
f (x) =
x2 + ax + b
, x ∈ R \ {1},
x−1
ma dla x = 3 minimum równe 7. Oblicz a i b oraz pozostałe ekstrema tej funkcji.
Zad.9 Dana jest parabola o równaniu y = x2 + 1 i leżący na niej punkt A o współrzędnej x
równej 3. Wyznacz równanie stycznej do tej paraboli w punkcie A.
Zad.10 Dla jakich wartości parametrów a i b funkcja f (x) =
pochodną na całym zbiorze liczb rzeczywistych?
(
x2 + 3x − 4 dla x 6 1
ma
ax + b
dla x > 1