Twierdzenia redukcyjne

Twierdzenia redukcyjne
Wyznaczanie przemieszczeń w układach
statycznie niewyznaczalnych
Niezależnie czy układ jest statycznie wyznaczalny czy też nie
przemieszczenia wyznacza się ze wzoru Maxwella-Mohra:
1 ⋅δ +
∑
Rj ⋅ ∆j −
j
∑
j
Rj ⋅ Rj
kj
=
∫
l
MM
NN
TT
dx +
dx + κ
dx +
JE
AE
AG
l
l
∫
+∫
l
Belka z rzeczywistym
obciążeniem
P
δ
Mα t (t d − t g )
h
∫
dx + ∫ Nα t to dx
l
Belka z jednostkowym wirtualnym obciążeniem w
punkcie, w którym wyznaczamy przemieszczenie
q
P =1
Wyznaczanie przemieszczeń w układach
statycznie niewyznaczalnych
Wzór Maxwella-Mohra:
∑R ⋅∆ −∑
Mα (t − t )
1 ⋅δ +
j
j
j
+∫
l
t
Rj ⋅ Rj
kj
j
d
h
g
MM
NN
TT
=
dx +
dx + κ
dx +
JE
AE
AG
l
l
l
∫
∫
∫
dx + ∫ Nα t to dx
l
N – siła normalna, T – siła tnąca, M – moment zginający , R – reakcje, A – pole
przekroju, J – moment bezwładności przekroju względem osi prostopadłej do
płaszczyzny zginania, E – moduł Younga (odkształcenia podłużnego), G – moduł
Kirchoffa (odkształcenia postaciowego), αt – współczynnik rozszerzalności cieplnej, h –
wysokość przekroju, ∆ – obciążenia geometryczne, to – temperatura w osi, td i tg –
temperatura górna i dolna
Wielkości z nadkreśleniem są wywołane jednostkowym obciążeniem wirtualnym
Twierdzenia redukcyjneinformacje ogólne
Twierdzenia redukcyjne są wykorzystywane do liczenia przemieszczeń w
układach statycznie niewyznaczalnych, tzn. ułatwiają liczenie.
I twierdzenie redukcyjne pozwala na wykorzystanie we wzorze Maxwella-Mohra
wartości (reakcje, siły wewnętrzne) od obciążenia wirtualnego, wyznaczone w
układzie statycznie wyznaczalnym, otrzymanym poprzez usunięcie nadliczbowych
więzów w układzie statycznie niewyznaczalnym.
Belka z rzeczywistym
obciążeniem
q
P
P =1
Rozwiązujemy zadanie statycznie niewyznaczalne
P
Belka z jednostkowym wirtualnym obciążeniem w
punkcie, w którym wyznaczamy przemieszczenie
q
Zastępujemy układem statycznie wyznaczalnym
P =1
Twierdzenia redukcyjneinformacje ogólne
Twierdzenia redukcyjne są wykorzystywane do liczenia przemieszczeń w
układach statycznie niewyznaczalnych, tzn. ułatwiają liczenie.
II twierdzenie redukcyjne pozwala na wykorzystanie we wzorze Maxwella-Mohra
wartości (reakcje, siły wewnętrzne) od obciążenia rzeczywistego ,wyznaczone w
układzie statycznie wyznaczalnym, otrzymanym poprzez usunięcie nadliczbowych
więzów w układzie statycznie niewyznaczalnym.
Belka z rzeczywistym
obciążeniem
q
P
P =1
Zastępujemy układem statycznie wyznaczalnym
P
Belka z jednostkowym wirtualnym obciążeniem w
punkcie, w którym wyznaczamy przemieszczenie
q
Rozwiązujemy zadanie statycznie niewyznaczalne
P =1
Wyznaczanie przemieszczeń
Wzór Maxwella-Mohra dla układów ramowych bez
wprowadzania ułatwień na jakie pozwalają twierdzenia
redukcyjne:
δi =
∫
M *M
EJ
S
*
*
∫
*
ds + N toα tds +
S
∫
S
(
)
M td − t g α t
h
m
ds −
∑
*
R ju j
j =1
Wartości z gwiazdkami są wartościami ostatecznymi
z rozwiązania statycznie niewyznaczalnego
Belka z rzeczywistym
obciążeniem
P
δ
q
Belka z jednostkowym wirtualnym obciążeniem w
punkcie, w którym wyznaczamy przemieszczenie
P =1
Opis wyrażeń we wzorze
Maxwella-Mohra
Wzór Maxwella-Mohra :
δ=
∫
S
*
M M
EJ
*
*
∫
*
ds + N toα tds +
S
∫
(
)
M td − t g α t
S
h
m
ds −
∑
*
R ju j
j =1
Moment ostateczny od obciążenia rzeczywistego otrzymany w
wyniku rozwiązania statycznie niewyznaczalnego:
n
M * = M p + x1M 1 + x2 M 2 + ... = M p +
∑x M
j
j =1
Belka z rzeczywistym
obciążeniem
P
q
j
Opis wyrażeń we wzorze
Maxwella-Mohra
Wzór Maxwella-Mohra :
δ=
∫
S
*
M M
EJ
*
*
∫
*
ds + N toα tds +
S
∫
S
(
)
M td − t g α t
h
m
ds −
∑
*
R ju j
j =1
Wyniki rozwiązania zadania statycznie niewyznaczalnego z
obciążeniem jednostkowym (wirtualnym):
- moment zginający
n
*
*
N = N p + x1N1 + x 2 N 2 + ... = N p
- siła normalna
∑x M
+∑x N
M = M p + x1M1 + x 2 M 2 + ... = M p +
k
k
kn=1
k
k
k =1
n
- reakcje w podporach
R = R p + x 1 R1 + x 2 R2 + ... = R p + ∑ x k Rk
k =1
z obciążeniem geometrycznym
*
p
P =1
Belka z jednostkowym wirtualnym obciążeniem w
punkcie, w którym wyznaczamy przemieszczenie
Rozwiązanie zadań metodą sił
Zadania statycznie niewyznaczalne:
Belka z rzeczywistym
obciążeniem
P
q
Belka z jednostkowym wirtualnym obciążeniem w
punkcie, w którym wyznaczamy przemieszczenie
P =1
Układ podstawowy metody sił
Dla obu zadań UPMS jest taki sam czyli wykresy sił wewnętrznych
od stanów jednostkowych będą takie same.
Rozwiązanie zadań metodą sił
Belka statycznie niewyznaczalne z rzeczywistym obciążeniem:
Stan P
P
q
Układ równań metody sił (ogólnie)
δ11 x1 + δ12 x2 + .... + δ1n xn + δ1 p = 0
Stan x1
δ 21 x1 + δ 22 x2 + .... + δ 2 n xn + δ 2 p = 0
q
Układ równań metody sił dla belki
δ11 x1 + δ1 p = 0
………………………………..
δ n1 x1 + δ n 2 x2 + .... + δ nn xn + δ np = 0
Rozwiązanie zadań metodą sił
Układ równań metody sił dla obciążenia statycznego
n
rzeczywistego:
δ1 j x j + δ1 p = 0
δ11 x1 + δ12 x2 + .... + δ1n xn + δ1 p = 0
j =1
∑
δ 21 x1 + δ 22 x2 + .... + δ 2 n xn + δ 2 p = 0
………………………………..
δ n1 x1 + δ n 2 x2 + .... + δ nn xn + δ np = 0
gdzie:
δ kp =
∫
s
δ kj =
∫
s
M pM k
EJ
MkM j
EJ
lub
ds
ds
n
∑δ
2jxj
+ δ2 p = 0
j =1
……………………..
n
∑δ
j =1
kj x j
+ δ kp = 0
Rozwiązanie zadań metodą sił
Belka statycznie niewyznaczalne z wirtualnym obciążeniem:
Stan P
Układ równań metody sił (ogólnie)
P =1
δ11 x1 + δ12 x2 + .... + δ1n xn + δ1 p = 0
Stan x1
q
Układ równań metody sił dla belki
δ11 x1 + δ1 p = 0
δ 21 x1 + δ 22 x2 + .... + δ 2 n xn + δ2 p = 0
………………………………..
δ n1 x1 + δ n 2 x2 + .... + δ nn xn + δnp = 0
Rozwiązanie zadań metodą sił
Belka statycznie niewyznaczalne z wirtualnym obciążeniem:
n
δ11 x1 + δ12 x2 + .... + δ1n xn + δ1 p = 0
δ 21 x1 + δ 22 x2 + .... + δ 2 n xn + δ2 p = 0
………………………………..
δ n1 x1 + δ n 2 x2 + .... + δ nn xn + δnp = 0
∑δ
1j x j
+ δ1 p = 0
j =1
n
∑δ
2jxj
+ δ2 p = 0
j =1
……………………..
n
gdzie:
δkp =
∫
s
δ kj =
∫
s
M pM k
EJ
MkM j
EJ
lub
ds
ds
∑δ
j =1
kj x j
+ δkp = 0
Wyznaczanie wyrażeń we
wzorze Maxwella-Mohra
Twierdzenie I
Wpływ obciążenia statycznego
∫
S
M *M
EJ
*
n
n



M +


x jM j M p +
x k M k ds =
 p


j =1
k =1


s

n
n

 n





M p Mp +
xjM j +
xk M k M p +
x j M j ds =




j =1
j =1
s

 k =1


n
n
n





1




 ds =
=
M p Mp +
x jM j +
x
x
M
kMk M p +
j
j




 
EJ
j
=
1
k
=
1
j
=
1
s





n
n

 n  

1




 ds
=
M p Mp +
x jM j +
x
x
M
M
k MkM p +
j
k
j
 


 
EJ
j
=
1
k
=
1
j
=
1
s



 
1
ds =
EJ
1
=
EJ
∫
∑
∑
∑
∫
∑
∑
∫
∑
∑
∑
∫
∑
∑
∑
n
Moment zginający ostateczny
od obciążenia rzeczywistego
M = M p + x1M 1 + x2 M 2 + ... = M p +
Moment zginający ostateczny
od obciążenia wirtualnego
M = M p + x1M 1 + x 2 M 2 + ... = M p +
*
*
∑x M
j
j =1
n
∑x M
k
k =1
k
j
Twierdzenie I
Wyznaczanie wyrażeń we
wzorze Maxwella-Mohra
Wpływ obciążenia statycznego
∫
S
M *M
EJ
*
ds = 1
EJ
Ponieważ
δ kp =
∫
s
M pMk
ds
EJ

M pM p +

s

∫
δ kj =

x jM j  +

j =1

n
∑
∫
s
MkM j
EJ
 
x M M +
 k  k p
k =1 

n
∑
ds
n
M j M k 
xj
ds =δ kp +
x j δ kj = 0

EJ
j =1
j =1

*
n


M *p M
1

M p Mp +
x j M j ds
ds =


EJ
EJ
j
=1
s


S
∫
∫
n
∑
∫
∑
∑
∑
Układ równań metody sił
n
∑δ
1j x j
to
 M pM k

+
 EJ
s

x j M k M j  ds

j =1

n
+ δ1 p = 0
j =1
n
∑δ
2jxj
+ δ2 p = 0
j =1
…………….
n
∑δ
j =1
kj x j
+ δ kp = 0
Wyznaczanie wyrażeń we
wzorze Maxwella-Mohra
Twierdzenie I
Wpływ obciążenia statycznego
∫
M *M
EJ
S
*
1
ds =
EJ

M pM p +

s

∫

x j M j ds

j =1

n
∑
Ponieważ
n
M = M p + x1M 1 + x2 M 2 + ... = M p +
*
∑x M
j
j
j =1
to
∫
S
M *M
EJ
*
1
ds =
EJ

M pM p +

s

∫

x j M j ds =

j =1

n
∑
∫
s
M pM *
ds
EJ
gdzie:
M
p
- moment zginający ze stanu P od obciążenia wirtualnego
M * - ostateczny moment zginający od obciążenia rzeczywistego
Twierdzenie I
Przemieszczenia od pozostałych wpływów
w układach statycznie niewyznaczalnych
Wpływ obciążenia temperaturą w osi
∫ N t α ds =
*
o t
S
∫
n
n


x k N k t oα t ds = ∫ N ptoα t ds + ∫ ∑ x k N k toα t ds =
∫s  N p + ∑
k =1

s
s k =1
= N ptoα t ds +
s
n
n
∑ x ∫ N t α ds = ∫ N t α ds + ∑ x δ
k
k =1
po t
k o t
s
s
k kto
k =1
Ostateczna siła normalna od obciążenia wirtualnego
n
*
N = N p + x1N1 + x 2 N 2 + ... = N p +
∑x N
k
k
k =1
Przemieszczenia (wpływy w układzie równań metody sił) od temperatury w osi
to
∫
δ kto = N k toα t ds
s
Twierdzenie I
Przemieszczenia od pozostałych wpływów
w układach statycznie niewyznaczalnych
Wpływ obciążenia różnicy temperatur
n


M +

p ∑ x k M k (td − t g )α t
*


M (td − t g )α t
k
=
1


ds
∫
h
S
∫
=
∫
h
S
(
)
M p td − t g α t
h
S
n
ds +
∑x ∫
k
k =1
ds =
S
(
)
M k td − t g α t
h
(
)
(
ds =
∫
∫
)
M p td − t g α t
h
S
) ∑ xk M k
M p td − t g α t + td − t g α t
k =1
ds =
h
S
(
n
n
ds +
∑x δ ∆
k k t
k =1
Moment zginający ostateczny od obciążenia wirtualnego
n
*
M = M p + x1M1 + x 2 M 2 + ... = M p +
∑x M
k
k
k =1
Przemieszczenia (wpływy w układzie równań metody sił) od różnicy temperatury
tg
td
δ k∆t =
∫
S
(
)
M k td − t g α t
h
ds
Twierdzenie I
Przemieszczenia od pozostałych wpływów
w układach statycznie niewyznaczalnych
Wpływ obciążenia geometrycznego
m
−
∑
*
R ju j
j =1
 
 
=−
 u j  R jp +
j =1  
m
∑
m
=−
n
m


x k R jk   = −
u j R jp −

k =1
j =1

n
∑
∑
m
m
n


u
x k R jk  =
j


j =1 
k =1

m
∑ ∑
n
∑u R − ∑ x ∑ (u R ) = − ∑u R + ∑ x δ ∆
j
j =1
jp
k
k =1
j
j =1
jk
j
jp
j =1
k k
k =1
Reakcja ostateczna od obciążenia wirtualnego
*
Rj
n
= R jp + x1R j1 + x 2 R j 2 + ... = R jp +
∑x R
k
jk
k =1
Przemieszczenia (wpływy w układzie równań metody sił) od obciążenia geometrycznego
m
∆
δ k∆ = −
∑ (u R )
j
j =1
jk
Twierdzenie I
Wyznaczenie przemieszczenia w układzie statycznie
niewyznaczalnym ze wszystkimi wpływami
Wzór Maxwella-Mohra :
δ=
∫
M *M
EJ
S
∫
M *M
*
EJ
S


M pM p +

s

1
ds =
EJ
∫
∫
∫
S
s
*
∫
S
m
−
(
)
M td − t g α t
∑
j =1
h
ds + N toα tds +
S


x j M j  ds +

j =1

n
∑
∫
 
 
 x k  δ kp +

k =1  
∑
)
h
S
n
(
m
ds −
∑
*
R ju j
j =1


x jδ kj  

j =1

n
∑
obciążenie statyczne
obciążenie temperaturą w osi
k kto
k =1
=
ds
∫
m
=−
∫
*
∑x δ
(
)
M p td − t g α t
h
S
*
R ju j
*
M td − t g α t
n
N toα tds = N ptoα t ds +
*
*
ds +
∑x δ ∆
k k t
obciążenie różnicą temperatur
k =1
n
∑u R + ∑ x δ ∆
j
j =1
n
jp
k k
k =1
obciążenie geometryczne
Twierdzenie I
Wyznaczenie przemieszczenia w układzie statycznie
niewyznaczalnym ze wszystkimi wpływami
Przemieszczenie:

1

=
M pM p +
EJ

s

∫
δ
+
∫
(
)
M p td − t g α t
h
S


x j M j  ds +

j =1

n
∑
∑
m
n
ds +
 
 
 x k  δ kp +

k =1  
n


x jδ kj   + N ptoα t ds +
 s
j =1

n
n
∑ x δ ∆ − ∑u R + ∑ x δ ∆
j
k k t
j =1
k =1
jp
k k
k =1
(
)
n


M p td − t g α t


ds −
M pM p +
x j M j ds + N ptoα t ds +
h


j =1
S
s
s


n  
n
n

n
n
 

+
x jδ kj   +
x k δ kto +
x k δ k∆t +
x k δ k∆
 x k  δ kp +



k =1  
j =1
k =1
k =1
  k =1
∫
∑
∫
∑
∑
∑
1
=
EJ
∫
∑
∫
∑
∑
m
∑u R
j
j =1
jp
+
n
∑x δ
k kto
k =1
Twierdzenie I
Wyznaczenie przemieszczenia w układzie statycznie
niewyznaczalnym ze wszystkimi wpływami
Przemieszczenie:
δ
∫
∑
∫
∑
∑
∑
n




M pM p +
x j M j ds + N ptoα t ds +


j =1
s
s


n 
 n

 

+
x
x
δ
+
δ
+
δ
+
δ
+
δ
k
j kj
 
kp
kto
k∆t
k∆  



k =1 
 j =1

1
=
EJ
∑
∫
∑
(
)
n


M p td − t g α t


N
t
α
ds
+
ds −
M pM p +
x j M j ds +
po t
h


j =1
S
s
s


n
n  
n

n
n
 

+
x jδ kj   +
x k δ kto +
x k δ k∆t +
x k δ k∆ =
 x k  δ kp +




k =1 
j =1
k =1
k =1

  k =1
1
=
EJ
∫
∫
∑
∫
∑
0
∑u R
j
j =1
∑
(
)
M p td − t g α t
S
m
h
m
ds −
∑u R
j
j =1
jp
+
jp
+
Twierdzenie I
Wyznaczenie przemieszczenia w układzie statycznie
niewyznaczalnym ze wszystkimi wpływami
Przemieszczenie:
1
=
δ
EJ


M pM p +

s

∫
 
 
+
 xk 

k =1  
n
∑


x j M j ds +

j =1

n
∑
n
∑x δ
j kj
+ δ kp + δ kto
j =1
∫N
p toα t ds +
s
∫
(
)
M p td − t g α t
h
S


+ δ k∆t + δ k∆  


m
ds −
∑u R
j
jp
+
j =1
Układ równań metody sił dla obciążenia
statycznego rzeczywistego:
n
∑δ
1jxj
+ δ1 p + δ1to + δ1∆t + δ1∆ = 0
2 jxj
+ δ 2 p + δ 2to + δ 2∆t + δ 2 ∆ = 0
j =1
n
∑δ
Zadanie statycznie niewyznaczalne z
rzeczywistym obciążeniem
tg
td
P
j =1
q
………………….…..
n
∆
∑δ
j =1
kj x j
+ δ kp + δ kto + δ k∆t + δ k∆ = 0
Twierdzenie I
Wyznaczenie przemieszczenia w układzie statycznie
niewyznaczalnym ze wszystkimi wpływami
Przemieszczenie:
δ
=
1
=
EJ
1
EJ
∫


M pM p +

s

∫
M p M *ds +
∫
s
s
∑
gdzie:
M
p
(
)

M p td − t g α t

ds −
x j M j ds + N ptoα t ds +
h

j =1
S
s

m
M p td − t g α t
N ptoα t ds +
ds −
u j R jp
h
n
∫
∫
(
∫
)
m
∑u R
j
jp
=
j =1
∑
j =1
S
- moment zginający ze stanu P od obciążenia wirtualnego
Np
- siła normalna ze stanu P od obciążenia wirtualnego
Rp
- reakcje ze stanu P od obciążenia wirtualnego
M*
- ostateczny moment zginający od obciążenia rzeczywistego
Stan P zadania z obciążeniem jednostkowym
Zadanie statycznie niewyznaczalne z
rzeczywistym obciążeniem
tg
td
P
Pi = 1
q
∆
Twierdzenie I
Twierdzenie redukcyjne I
Przemieszczenie:
δ =
1
EJ
∫
M p M *ds + N p toα t ds +
∫
∫
s
s
S
(
)
M p td − t g α t
h
m
m
ds −
∑u R
j
j =1
jp
+
∑
j =1
R jp R*j
k
Twierdzenie redukcyjne I – przemieszczenie w układzie
statycznie niewyznaczalnym można policzyć korzystając z
wyników obliczeń ostatecznych od obciążenia rzeczywistego i
ze stanu P metody sił dla układu od obciążenia wirtualnego.
Stan P zadania z obciążeniem jednostkowym
Zadanie statycznie niewyznaczalne z
rzeczywistym obciążeniem
tg
td
P
P =1
q
∆
Wyznaczanie wyrażeń we
wzorze Maxwella-Mohra
Twierdzenie II
Wpływ obciążenia statycznego
∫
S
M *M
EJ
*
ds =
1 
Mp +
EJ 
s
∫
n




x jM j M p +
x k M k ds =


j =1
k =1



n
n
n
n
∑
∑



x jM j M p +
x k M k ds =


j =1
k =1


n
n

 n 


1





=
Mp M p +
xk M k +
x jM j M p +
x k M k  ds =





EJ


k =1
k =1

 j =1 


s
1
=
EJ
1
=
EJ

M pM p +


s

xk M k  +

k =1

∑
∑
∫
∑
∑

M pM p +


s

xk M k  +

k =1

∫
∫
Moment zginający ostateczny
od obciążenia rzeczywistego
Moment zginający ostateczny
od obciążenia wirtualnego
n
∑
∑
∑
 
 
 x j  M p M j +
j =1  
n
∑


x k M k M j  ds =

k =1

n
∑
n
M = M p + x1M 1 + x2 M 2 + ... = M p +
*
∑x M
j
j
j =1
*
M = M p + x1M1 + x 2 M 2 + ... = M p +
n
∑x M
k
k =1
k
Twierdzenie II
Wyznaczanie wyrażeń we
wzorze Maxwella-Mohra
Wpływ obciążenia statycznego
∫
M *M
S
*
EJ
1
ds =
EJ
Ponieważ
δ kp =
∫
M pMk
s
EJ
ds

M p M p +


s

xk M k  +

k =1

n
∑
∫
δ kj =
MkM j
∫
EJ
s
ds
M M
 p j +
 EJ
s
∫
S
∑


x k M k M j  ds

k =1

n
∑
Układ równań metody sił
dla stanu jednostkowego
n
∑δ
1k xk
+ δ1 p = 0
∑δ
2 k xk
+ δ2 p = 0
k =1
n
to
∫
 
 
 x j  M p M j +
j =1  
n
M *p M
EJ
*
M j M k 
xk
ds =δ jp +
EJ 
k =1

n
∑
1
ds =
EJ

M p M p +


s
∫
n
∑x δ
k jk
=0
k =1

x k M k ds

k =1

n
∑
k =1
……………
n
∑δ
k =1
kj xk
+ δ jp = 0
Twierdzenie II
Wyznaczanie wyrażeń we
wzorze Maxwella-Mohra
Wpływ obciążenia statycznego
∫
M *M
EJ
S
*
1
ds =
EJ
Ponieważ

M p M p +


s
∫

x k M k ds

k =1

n
∑
n
*
M = M p + x1M1 + x 2 M 2 + ... = M p +
∑x M
k
k
k =1
to
∫
S
M *M
1
ds =
EJ
EJ

M p M p +


s
∫

x k M k ds =

k =1

n
∑
∫
s
M pM *
EJ
ds
gdzie:
M
*
Mp
- ostateczny moment zginający od obciążenia wirtualnego
- moment zginający ze stanu P od obciążenia rzeczywistego
Twierdzenie II
Wyznaczenie przemieszczenia w układzie statycznie
niewyznaczalnym ze wszystkimi wpływami
Przemieszczenie:
*
δ=
∫
S
M *M
*
∫
*
ds + N toα tds +
EJ
S
∫
EJ
S
1
=
EJ
*
ds =

M pM p +


s
∫
1
=
EJ

x k M k ds +

k =1

∑

M pM p +


s
∫
n
 
 
 x j  δ jp +
j =1  
∑
n
∑

x k M k ds =

k =1

n
m
ds −
∑
*
R ju j
j =1
obciążenie różnicą temperatur
obciążenie geometryczne
obciążenie temperaturą w osi
∫
)
h
S
obciążenie statyczne
M *M
(
M td − t g α t
∫
s
M pM *
EJ
Układ równań metody sił
dla stanu jednostkowego wirtualnego, nie ma
w tym układzie innych rodzajów obciążeń


x kδ jk  ds =

k =1

n
∑
ds
P =1
n
∑δ
1k xk
+ δ1 p = 0
∑δ
2 k xk
+ δ2 p = 0
k =1
n
k =1
……………
n
∑δ
k =1
kj xk
+ δ jp = 0
Twierdzenie II
Wyznaczenie przemieszczenia w układzie statycznie
niewyznaczalnym ze wszystkimi wpływami
Przemieszczenie:
δ=
∫
S
M pM
*
EJ
*
ds +
∫
*
N i toα tds
S
+
∫
S
(
)
M i td − t g α t
h
m
ds −
∑
*
R ju j
j =1
gdzie:
M
N
*
*
- ostateczny moment zginający od obciążenia wirtualnego
- ostateczna siła normalna od obciążenia wirtualnego
* - reakcje ostateczne od obciążenia wirtualnego
R
M p - moment zginający stanu P od obciążenia rzeczywistego
Stan P zadania statycznie niewyznaczalnego
z rzeczywistym obciążeniem
P
q
Zadanie statycznie niewyznaczalne z wirtualnym
obciążeniem jednostkowym
P =1
Twierdzenie II
Twierdzenie redukcyjne II
Przemieszczenie:
δ=
∫
S
M pM
*
EJ
*
ds +
∫
*
N i toα tds
S
+
∫
S
(
)
M i td − t g α t
h
m
ds −
∑
*
R ju j
j =1
m
+
∑
j =1
*
R j R jp
k
Twierdzenie redukcyjne II – przemieszczenie w układzie
statycznie niewyznaczalnym można policzyć korzystając z
wyników obliczeń ostatecznych od obciążenia wirtualnego i ze
stanu P metody sił dla układu od obciążenia rzeczywistego.
Stan P zadania statycznie niewyznaczalnego
z rzeczywistym obciążeniem
q
P
k
Zadanie statycznie niewyznaczalne z wirtualnym
obciążeniem jednostkowym
P =1
k
Wykorzystanie twierdzeń
redukcyjnych
Twierdzenie redukcyjne II jest wykorzystywane do liczenia przemieszczeń w
układach statycznie niewyznaczalnych.
Twierdzenie redukcyjne II – przemieszczenie w układzie statycznie niewyznaczalnym można
policzyć korzystając z wyników obliczeń ostatecznych od obciążenia wirtualnego i ze stanu P
metody sił dla układu od obciążenia rzeczywistego.
δ=
∫
S
M pM
EJ
*
*
∫
*
ds + N i toα tds +
S
∫
(
)
M i td − t g α t
h
S
Stan P zadania statycznie niewyznaczalnego
z rzeczywistym obciążeniem
q
P
k
m
ds −
∑
j =1
*
m
R ju j +
∑
*
R j R jp
j =1
k
Zadanie statycznie niewyznaczalne z wirtualnym
obciążeniem jednostkowym
P =1
k
Wykorzystanie twierdzeń
redukcyjnych
Twierdzenie redukcyjne I jest sprawdzania poprawności rozwiązania zadania,
polegającego na wyznaczaniu reakcji i sił wewnętrznych w układach statycznie
niewyznaczalnych .
Twierdzenie redukcyjne I – przemieszczenie w układzie statycznie niewyznaczalnym można
policzyć korzystając z wyników obliczeń ostatecznych od obciążenia rzeczywistego i ze stanu P
metody sił dla układu od obciążenia wirtualnego.
1
δ =
EJ
∫
M p M *ds + N p toα t ds +
∫
∫
s
s
S
(
h
tg
td
m
m
ds −
∑u R
j
j =1
jp
+
∑
j =1
R jp R*j
k
Stan P zadania z obciążeniem jednostkowym
Zadanie statycznie niewyznaczalne z
rzeczywistym obciążeniem
P
)
M p td − t g α t
M =1
q
∆
Koniec