zastosowanie grafów i liczb strukturalnych do wyznaczania

M E C H AN I KA
TEORETYCZNA
I STOSOWANA
4, 13 (1975)
ZASTOSOWAN IE GRAFÓW I LICZB STRUKTURALNYCH D O WYZNACZANIA
RÓWNANIA CHARAKTERYSTYCZNEG O I WIDMA CZĘ STOŚ C
I
JÓZEF W O J N A R O W S K I , ANDRZEJ B U C H A C Z (GLIWICE)
1. Wstę p
Jednym z gł ównych celów analizy ukł adów mechanicznych jest okreś lenie równania
charakterystycznego i widma czę stoś ci. Znane klasyczne metody dotyczą ce tego problemu
[7, 13, 14, 21, 60] oparte są na ustaleniu równań róż niczkowych ruchu ukł adu i przez to
wymagają szeregu przekształ ceń. Wykorzystanie grafów biegunowych i liczb strukturalnych umoż liwia pominię cie tego etapu, a wię c znacznie upraszcza samą analizę . W takim przypadku ukł ad opisujemy funkcjonalnym modelem i grafem biegunowym [20, 24,
52, 53]. Wprowadzają c poję cie wę zł a i krawę dzi jako reprezentację zmiennej i zależ nośi c
funkcyjnej, MASON zapoczą tkował teorię grafów przepł ywu sygnał ów [28]. Od tego
czasu szereg autorów zajmował o się rozwijaniem twierdzeń i reguł metody grafów [46, 47,
34, 41, 6, 19, 61]. Zastosowania grafów do opisu ukł adów elektrycznych i elektromechanicznych zawarte są w pracach [43, 27, 42, 24, 20]. Zwią zek mię dzy grafem przepł ywu
sygnał ów i grafem biegunowym moż na znaleźć w [29]. Warto podkreś lić, że ostatnio pojawiają się też prace, w których omawiane są nowe zastosowania grafów [15, 40, 49, 18,
51, 58, 57], a także wprowadzane są inne typy grafów, jak n p. graf sprzę ż eń (bond graph,
zpa$ cemeti) [22, 26].
Zauważ my, że szczególne miejsce w teorii grafów zajmuje poję cie drzewa i zbioru
drzew [6, 19]. Jeś i l bowiem przypomnimy, że zbiór drzew zawiera peł ną informację o wyznaczniku grafu, to modelowanie liniowych ukł adów fizycznych grafami determinuje
poszukiwanie metod i algorytmów generowania drzew.
n
1
Już w pracach KIRCH H OFFA [23] i CAYLEYA [8] ' sformuł owano metody wyznaczania
drzew sieci elektrycznej. Rozwijane w ostatnim dwudziestoleciu zastosowania grafów
w analizie i syntezie ukł adów fizycznych, a gł ównie w sieciach elektrycznych i elektronicznych, wpł ynę ł y n a opracowywanie róż norodnych algorytmów wyznaczania zbioru
drzew [2, 5, 10, 11, 12, 16, 17, 25, 30, 31, 32, 35, 37, 39, 48].
W ostatnich ł atach zaczę to również algebraizować metody dotyczą ce przekształ ceń
grafów poprzez zastosowanie liczb strukturalnych [3, 59]. W szczególnoś ci należy wyróż nić
pracę BELLERTA i WOŹ N IACKIEGO [4], w której podan o podstawy algebry liczb strukturalnych w zastosowaniu do analizy i syntezy ukł adów elektrycznych.
Rozwinię cie m etod liczb strukturalnych i wykorzystanie maszyn cyfrowych do ich.
generowania podan o w pracach [44, 45, 33, 38, 55]. W pracy [1] zastosowano liczby strukturalne do wyznaczania reakcji ukł adu mechanicznego n a wymuszenie kinematyczne.
" Cytujemy za [18].
546
J . WOJN AROWSKI, A. BU CH ACZ
Algorytm analizy w sensie wyznaczania widma czę stoś ci oraz zastosowanie liczb strukturalnych do syntezy ukł adów mechanicznych z elementami VOIG TA moż na znaleźć w pracach [50, 54, 55]. Zastosowanie liczb strukturalnych do modyfikacji wł asnoś ci dynamicznych liniowych ukł adów mechanicznych podano w pracach [56, 57].
W niniejszej pracy przedstawiono zastosowania grafów i liczb strukturalnych do wyznaczania równania charakterystycznego. U podstaw metod topologicznych leży zwią zek
mię dzy zbiorem drzew grafu a jego wyznacznikiem [36, 43, 9]. W tym sensie zastosowano
niektóre elementy przekształ ceń grafów i generowania drzew. Prezentowane metody zilustrowano na przykł adach dyskretnych liniowych ukł adów mechanicznych.
2. Wprowadzenie
Rozważ my dyskretny ukł ad mechaniczny o 5 stopniach swobody (rys. 1).
N apisanie równań róż niczkowych ruchu rozważ anego ukł adu a nastę pnie otrzymanie
równania charakterystycznego jest dość pracochł onne. N atomiast graf biegunowy (rys. 2),
ZASTOSOWANIE GRAFÓW I LICZB STRUKTURALNYCH 547
który moż na otrzymać wprost z ukł adu mechanicznego upraszcza ten proces i stanowi
punkt wyjś cia do analizy postawionego problemu [20, 24, 52, 53]. P onadto w sposób wyraź ny uwidacznia relacje pomię dzy poszczególnymi czł onami. N ależy podkreś lić, że przy
konstruowaniu grafu biegunowego wykorzystujemy sformalizowane poję cie czł onu, które
jednoznacznie prowadzi do matematycznego modelu ukł adu dynamicznego jako pewnego
operatora przekształ cają cego dane wejś ciowe w wyjś ciowe.
3. Wyznaczenie równania charakterystycznego metodą grafów i liczb strukturalnych
Zgodnie z zasadą MAXWELLA [43] równanie charakterystyczne przyjmuje postać
A(s2) = AG - -
(1) mit
gdzie A(s2) = AG oznacza wyznacznik grafu, Z k = []zki — impedancję drzewa grafu,
(- 1
mk — liczbę krawę dzi / c- tego drzewa, zki — impedancję przyporzą dkowaną j- tej krawę dzi
drzewa k,t — liczbę wszystkich drzew grafu, s — argument przekształ cenia Laplace'a.
Ponieważ impedancję, czyli ilorazy zmiennych symetrycznych, są stał e w dowolnej chwili
czasowej, więc równanie charakterystyczne (1) jako suma iloczynów tych stał ych wielkoś ci jest niezmiennikiem dla analizowanego ukł adu dynamicznego.
W rozumieniu równania (1) zagadnienie wyznaczania równania charakterystycznego
sprowadza się do obliczenia wyznacznika grafu, który moż na otrzymać:
— metodą redukcji grafu wedł ug drzewa napinają cego,
— metodą rozwinię cia wedł ug elementarnych ł ań cuchów
,
— metodą przecięć grafu,
— metodą liczb strukturalnych.
3.1. Otrzymanie równania charakterystycznego metodą redukcji grafu wedł ug drzewa napinają cego.
Algorytm redukcji grafu przy wykorzystaniu rozwinię cia wedł ug drzewa Do napinają cego
graf [41, 43, 52] prowadzi do równania charakterystycznego o nastę pują ce
j postaci:
(2) A (s2) = A G(DQ) + £ zM A G{D0, Si) +
]? zkJzk ,AG{D0,si,sj)+ ... +
gdzie AG(D0) oznacza wyznacznik podgrafu z usunię tym drzewem DQ, zki, zkJ, ..., zkl.—
impedancję krawę dzi st, Sj... drzewa Do, r = n—l —liczbę wierzchoł ków bez ogólnego
bieguna Z o , AG(D0, s^ —wyzn aczn ik podgrafu z usunię tym drzewem D o i krawę dzią st
po koincydencji wierzchoł ka, który ta krawę dź ł ą czyła z biegunem Z o , AG(D0, sit Sj) —
wyznacznik podgrafu z usunię tym drzewem Do i krawę dziami st> Sj po koincydencji wierzchoł ków, które te krawę dzie ł ą czył y z biegunem Z o itd., AG(D0, st... sr) — 1 — wyznacznik podgrafu zredukowanego do pun ktu.
548
J . WOJN AROWSKI, A . BU CH ACZ
Zastosowanie tej metody zilustrujemy n a przykł adzie ukł adu drgają cego o 4 stopniach
swobody (rys. 3a). W tablicy 1 przedstawiono algorytm redukcji grafu [równanie (2)] dla
przykł adu pokazanego na rys. 3.
1
kn
\
J \
k34
\
J?
\
\
J \
jj) Graf biegunowy G ukł adu
<P1 z Wy**
\
J
t
<p 4
V Drzew DQ napinają ce graf
92
Zgodnie z tablicą 1 równanie charakterystyczne bę dą ce wprost równaniem czę stoś ci
jest nastę pują ce:
(3) JiJ2Ą J^ 8- o}6[J2
+ J1J2J4.(k23+ k34)+ J1J2J3k34]+ a> *[J3J4.(k1k12+ k12k23+ k23kl) +
+ J2Mki+ k12)(k23+ k34)+ J2J3(k1+ k12)k34.+
+ JiJĄ (k12k23+ k23k34r+ k34,k12)+ J1Ą (k12+ k23)k34.+
+ J3(k1k12+ k12k23+ k23k1)k34+ J2(k1+ k12)k23k34.+
1
2k23k :iĄ . = 0.
Warto zauważ yć, że przedstawiony algorytm pozwala uzyskać równanie charakterystyczne wprost wedł ug rosną cych potę g czę stoś ci.
Tablica 1
Iloczyn impedancji gał ę zi
drzewa
Do • Hi
1
N umery koincydentnych
wierzchoł ków
Podgraf po usunię ciu drzewa Do
i krawę dzi Si, ...,sr
Wyznacznik pod­
grafu
AGt(D0,sh 2
3
tLJlL —
—
JiS 2
<Pi,Z 0
P hi ...,sr)
4
<Ps k 3t <H
i3 (Os, SI)
3 ku — — 2
J2s
< ?4
—Q
<Pz, Z o
ifi, Za
"Z V*
<P3,Z 0
Ąt fo C>4, Zo
X
[549]
W* k?3 WS
ssar
c.d. tablicy 1
2
1
w
9^1, ^ 3 , 2
(*12+ *23)*34
0
<p2 w
4
3
P i , <Pi, Z o
k 23 f3
\Ł
, 2^ 23, 34,
AG(Oo,s,,s3)
If! /
2
V*
rp2, <p}, Z o
/ 3^
ft.*.*
\\*K *»/ I
(/Cl + & i 2X^23+ ^34)
<P2i fit ?Q
9^ 3 , C>4, - Z'o
k\ hn
iS(D0,S,,Sl,S3)
6
Ą JiĄ s
2- 0
hi
(pf, (pz, Cp3, ZQ
J1Ą J4S
6
[550]
&34
551
ZASTOSOWANIE GRAFÓW I LICZB STRUKTURALNYCH
c.d. tablicy 1
1
3
2
4
AG(00.s,,s3,S4)
A
<Pl,<P3,<Po,
Ł
i
/
3.2. Otrzymanie równania charakterystycznego metodą rozwinię cia według elementarnych łań cuchów
.
Rozwijają c graf na elementarne ł ań cuchy [43] wyznacznik grafu przyjmie postać • •
AG =
(4)
gdzie Zi oznacza impedancję / - tego elementarnego ł ań cucha ł ą czą cego dwa dowolnie
2)
wybrane wierzchoł ki <pr,<ps , dG(Zi) — wyznacznik podgrafu otrzymanego przez koincydencję wszystkich wierzchoł ków / - tego elementarnego ł ań cucha, v — wszystkie elementarne ł ań cuchy grafu.
W tablicy 2 pokazan o zastosowanie metody rozwinię cia na elementarne ł ań cuchy dla
ukł adu mechanicznego przedstawionego n a rys. 3. Wykonują c sumowanie zgodnie ze
wzorem (4) uzyskujemy równanie czę stoś ci (3).
3.3. Wyznaczenie równania charakterystycznego metodą przecię ć grafu. W przypadku bardziej
zł oż onych ukł adów efektywną staje się metoda przecię ć grafu [17, 53]. Skoń czony zbiór
impedancji Z wszystkich t drzew grafu mk — argumentowych impedancji /c- tego drzewa
okreś a l zależ ność
(5)
gdzie Z ' x Z " oznacza iloczyn kartezjań ski zbiorów impedancji gał ę zi drzew podgrafów
G' i G", z'rs \ jz'r's — zbiór impedancji podgrafu, otrzymanego jako suma zbiorów impedancji
2)
Najlepiej tak wybierać wierzchoł ki cpr,ę s, aby w zbiorze elementarnych łań cuchów było jak najwię cej
drzew grafu G.
Tablica 2
Elementarny ł ań cuch (tpr, q>s) rozpię ty na wierzchoł kach q>i i <p4
Impedancja
elementarnego ł ańcucha
Podgraf otrzymany po koincydencji wierzchoł ków /- tego
ł ań cucha
Wyznacznik
podgrafu
1
f>2
2
(k l2+J2s )k 23 I?*
2
x(J2s +k 12)
tp,,tp3,tp4,Zc
k lJ3s2k 3A.
[552]
+
553
ZASTOSOWANIE GRAFÓW I LICZB STRUKTURALNYCH
c.d. tablicy 2
2
1
<Pi Vi 3
i
W k34 • <i>4
ft? hs P3 ^34 4
<P4
1
ft Vi hi V3 kst t>4
1
^
\
krawę dzi ł ań cuchów z'rs i z« pomię dzy rozcię tymi wierzchoł kami, j — liczbę wierzchoł ków,
poprzez które dokon an o rozcię cia grafu G.
W celu zilustrowania podanych wyż je rozważ ań wyznaczymy równanie charakterystycz:
ne omawianego już ukł adu. '".• •" .- . . . R y s . 4
"* i 9 Rozcinamy graf G (rys. 3b) na dwa podgrafy (rys. 4). •
3
' 2 ° Znajdujemy bezpoś redn io' zbiory impedancji gał ę zi drzew w podgrafach G' i G'
:. • Z' = {{zi2,z30}, Z {zi2, z20}, {Ź 20,z30}},.
= \ \Z23 , Z34., Z50} , {Z14., Z4.0, Z23j , \ZĄ Q, Zs0>
3° D la tak rozcię tego grafu G wyznaczamy zbiory impedancji z'rs, z'r's pomię dzy rozcię tymi wierzchoł kami. W rozważ anym przypadku mamy
3)
G dy podgrafy G' i G " są bardziej złoż one wówczas rozcinamy je dalej na G\ i G'l itd.,- a zbiory impedancji drzew dla nich wyznaczamy ze wzoru (5). . . . . . . .
3 Mechanika Teoretyczna
554 J . WOJNAROWSKI, A. BUCHACZ
wobec czego
Z ' 1 2 U Z',2 = {Z 3 O , Z23,
gdzie u jest sumą zbiorów. Ponieważ j = 2, to
' x Z ")
0{ Z30, Z 2 3 , Z 4 0 }
Biorą c pod uwagę , że
dZ* dZ* dZ* dZ*
- z- ,—r = - = — ® " a — © • • © " ^ —>
' d {zrsj uZri ozr2 ozrp
gdzie {zrs} = {zn,zr2, ...,zrp}, r — numer ł ań cucha, Z * — zbiór impedancji gałę zi
drzew Z ' lub Z " dla rozcię tego grafu G, © — symbol sumy pierś cieniowej zbiorów4',
wtedy
8(Z'xZ") ^8(Z'xZ") : d z 3 0 fcb> ^ 3 z 2 3 fccl 8(Z'xZ")
5 ^ 4 0
•
Róż niczkowanie iloczynu kartezjań skieg
o zbiorów wzglę dem impedancji z y rozumiemy
jako
dZ'
xZ'
ć >(Z'xZ"
)
C x Z ' gdyz^eZ".
N atomiast operację róż niczkowania zbioru okreś lamy nastę pują co:
_ 5 Z * [ Z * © z y 'fcij (o - gd yz ysZ *
gd yz o ^ Z *.
Wobec tego
z30 dz23
{
r\ 7"
© [{{z- 34, z 5 0 }, {z 3 4 , zAQ), {z 4 0 , z 5 0 } j © {{z 3 4 , z 2 3 }, {z5o, 2- 23}}] X
Z
X
{{^12, ^3o}. {^12) Z2o}> {^20. ^3o}} = { { 12 » ^23 > ^34, Z S 0 } ,
l Z 1 2 ) ^34> Z 4 0 ) ^ S J ) ( Z 'l2 ) 240J Z 5 0 ) Z 23/ > \ ^2 0 j ^23 > ^34> ^50J J
{ Z 2 o , Z
^34> Z 405 Z23/ > \ Z 2 0 > Z 4 0 j ^5 0 , Z 2 3 ) , \ Z 1 2 , Z30, ^ 4 , Z5 0 ),
Z
\ 12) • 20> 2 3 4, Z 4 0 }, {Z 1 2 , Z 3 0 , Z 4 0 , Z 5 0 }, {Z 1 2 , Z 3 0 , Z 3 4 , Z23/ »
4)
D la dwóch niepustych zbiorów A = {Alt A2, ..., At, ...Ap} (At - {an,ai2, ...,aim})\ B =
= {Bi,B2, ...,Bj,..., Br}(Bj = {bn,bij, ...,bjm}), A@B = AuB- Ar,B, gd zie , , - " oznacza róż nicę
zbiorów, zaś n — przekrój zbiorów.
555
ZASTOSOWAN IE G RAF ÓW I LI C Z B STRU KTU RALN YCH
Z
^
\ \ Z J
2
i • 'SO^
Z
; 2 4 0 !
Z
Z
; • '34> ^50 "}> \ \ 2 J
Z
) 34> ^23/ s 30>
>
z
{ '2
Z
30J
\ 12i
J Z 4 O }J Z
{^20)
Z
23/ J \ 2 0 J ^3
W ten sposób, korzystają c ze wzoru (1), wyznaczamy równanie charakterystyczne (3)
zastę pują c oznaczenia impedancji ztJ przez odpowiadają ce im wartoś ci momentów bezwł adnoś ci i sztywnoś ci, a nastę pnie s przez jco.
3.4. Wyznaczenie równania charakterystycznego przy uż yci
u liczb strukturalnych. Wykorzystują c
zwią zki liczb strukturalnych z grafami i twierdzenia o wyznaczaniu liczb strukturalnych
na podstawie grafów moż na zauważ yć, że funkcja wyznacznikowa liczby strukturalnej
det A[4, 1, 54] jest identyczna z wyznacznikiem grafu AG. A wię c równanie charakteryz
styczne otrzymujemy po przyrównaniu jej do zera
det A =
(6)
/ c=l
gdzie zaik e Z oznacza zbiór impedancji krawę dzi grafu G.
Praktyczne zastosowanie tej metody pokaż emy n a omawianym przykł adzie i w tym
celu krawę dziom grafu (rys. 3b) przyporzą dkujemy liczby zbioru a eN (rys. 5).
Zgodnie z twierdzeniem o obrazie geometrycznym wyznaczamy liczbę strukturalną A,
której czynniki pierwsze wynoszą odpowiednio
P, = [1, 2, 6], P2 = [6, 3, 7], P3 = [7, 4, 8], P 4 = [8, 5].
Liczba strukturalna równa iloczynowi czynników pierwszych jest nastę pują ca:
A=P1P2P3P4 m
1111111111111222222222222
6666633333777666663333377
7744877448448774487744844
8 5 8 5 5 8 5 8 5 5 8 5 5 8 5 8 5 5 8 5 8 5 5 8 5
2 6 6 6 6 "6 6 6 6
733333777
877448448
585855855
3*
556
J . WOJN AROWSKI, A . BUCHACZ
Zastę pują c oznaczenia elementów liczby strukturalnej aik odpowiadają cymi im impedancjami zaik otrzymujemy funkcję wyznacznikową , która przyrównywana do zera daje równanie charakterystyczne (3). D la pokazania prostoty metody liczb strukturalnych skorzystajmy jeszcze raz z przykł adu pokazanego na wstę pie artykuł u.
D okonują c redukcji grafu (rys. 2) uzyskujemy graf uproszczony (rys. 6). N a rys. 6
w nawiasach podano elementy zbioru a e N, które przyporzą dkowano krawę dziom grafu,
natomiast poszczególne impedancje wynoszą
.s2, z20 = = b2Os+m2s2,
k 30+m3s2,
zso =
zl2 =
ziĄ - k 14.+b14.s,
z15 =
Liczba strukturalna grafu (rys. 6) wynosi
A=P1P2P3PiP5,
gdzie
? ! = [1, 6, 10, 11], P2 . [6, 2, 7], / >4 = [8, 4, 9, 10], P5 - [9, 5, 11].
P3 = [7, 3, 8],
Tworzą c funkcję wyznacznikową otrzymanej liczby strukturalnej i przyrównują c ją do
zera moż emy już ł atwo otrzymać równanie charakterystyczne.
M etoda ta staje się efektywniejsza, gdy wykorzystamy algorytm iloczynu liczb strukturalnych [38], wzglę dnie generowanie drzew grafu metodą liczb strukturalnych binarnych
[44, 45, 33].
ZASTOSOWANIE GRAFÓW I LICZB STRUKTURALNYCH ' 557
W przypadku wyznaczania równania charakterystycznego metodą liczb strukturalnych w postaci naturalnej, ustalamy n a podstawie grafu ukł adu mechanicznego jej czynniki Pi(i = 1, . . . , «- 1 ) i wczytujemy do program u G E N E R OWAN I E D R Z E W [55].
U zyskana w ten sposób liczba strukturalna, a tym samym jej funkcja wyznacznikowa, rozwią zuje problem wyznaczania równania charakterystycznego.
4. Wniosek
Przedstawione metody wyznaczania widma czę stoś ci drgań wł asnych pozwalają n a
peł ną algebraizację , a przez to umoż liwiaj
ą stosowanie elektronicznej techniki obliczeniowej.
Literatura cytowana w tekś cie
1. K. ARCZEWSK/ , Topologiczna analiza mechanicznych drgają cych ukł adów liniowych metodą liczb strukturalnych, Arch. Bud. Masz., 4, 19 (1972) 589 - 605.
2. S. D . BEDROSIAN, Trees of a Full Graph as an Occupancy Problem, IEEE, Trans, on Cite. Theory,
CT- 11 (1964) 290- 291.
3. S. BELLERT, Topological analysis and synthesis of linear systems, J. Franklin Inst., December (1962)
425 - 443.
4. S. BELLERT, H . WOŹ NIACKI, Analiza i synteza ukł adów elektrycznych metodą liczb strukturalnych, WN T,
Warszawa 1968.
5. I. BERGER, A. NATHAN, The algebra of sets of trees, k — trees and other configurations, IEEE Trans.
Circ. Theory, CT- 15 (1968) 221 - 228.
6. K. EEP>K, Teopun spacfioe u ee npujuenenuH, H3fl. HHOCTP. JIH T., MocKBa 1962 (tł um. ksią ż ki Claude BERGE, Thiorie des graphes et ses applications, D unod, Paris 1958).
7. R. H . CANNON Jr., Dynamika ukł adów fizycznych, WN T, Warszawa 1973 (przekl. ksią ż ki — Dynamics of Physical Systems, McG raw- Hill, Inc. 1967).
8. A. CAYLEY, A theorem on trees, Quart. J. Math., 23 (1889) 376- 378.
9. I. CEDERBAUM, On network determinant, Proc. JRE, 44 (1956) 258 - 259.
10. S. G . CHAN , W. T. CHAN G , Efficient tree — listing algorithm, Elektr. Letters, 9 (1970) 271 - 272.
11. J. P. CHAR, Generation of trees, 2- trees and storage of master forestes, IEEE Trans. CT., CT- 15 (1968)
228 - 238.
12. L. E. CLARKE, On Cayley's formula for countign trees, J. London Math. Soc, 33 (1958) 471 - 473.
13. <t>. C. H3E, H . E. M OP3E, P . T . XHHKJIJ MexammecKue Kojiedanun, I- tofl. MauiHHOcrpoeHHe, M oCKBa 1966 (przekl. ksią ż ki Francis S. TSE, Ivan E. MORSE, Rolland T. HIN KLE, Mechanical vibrations,
Allyn and Bacon, Inc. Boston 1963).
14. D EN HARTOG J. P., Drgania mechaniczne, PWN , Warszawa 1971, (tł um. ksią ż ki — Mechanical vibrations, McG raw- Hill Inc., N ew York 1956).
15. A. C . fpHTAHOB., A. B . C H H E BJ npoepaMMUpoeamie sadau duuaMwm meeMamuuecKux jtaiuunydapuoio
deiicineuH djin anajiozosux 3/ ieKmponHoebiHucjiume/ ibHUx MOIUUH MemodaMU meopuu epatfjoe, C6opHHK —
HenHHeftHŁie Kojie6aHHJi u ITepexoflHbie npcmeccH B ManiiiHax, H3fl. «HayKa», MocKBa 1972,
242 - 252.
16. S. L. HAKIMI, On trees of a graph and their generation, J. Franklin Inst., 270, (1961) 347 - 359.
17. S. L. HAKIMI, D . G . G REEN , Generation and realisation of trees andk- tree, IEEE Trans, on Circ. Theory,
CT- 11, (1964) 247 - 255.
18. F . HARARY, New direction in the theory of graphs, Academic Press, New York and London, 1973.
558 j WOJN AROWSKI, A. BU CH ACZ
19. <t>. XAPAPH , Teopun zpacpos, H 3fl. «M n p », MocKBa 1973 (przekł . ksią ż ki F ran k H ARARY, Graph
theory, Reading, M assachusetts 1969).
20. H . <t>. HJIHHCKHŚ J I B. K . UAITEHKHH, npu/ iooicetiue meopuu epacfios K 3adauaM 3/ ieianpoMexaHUKus
3H eprH fl, MocKBa 1968.
21. S. KALISKI i in., Drgania i fale w ciał ach stał ych, P WN , Warszawa 1966.
22. D . C. KARN OPP, Power — conserving transformations, Physical Journ al of the F ranklin Institute, 288,
3 (1969) 175- 201.
23. G . KIRCH H OFF, Ober die Auflosung der Gleichungen, auf welche man bei der Untersuchung der linearen
Verteilung galvanischer strome gefuhrt wird, An n . F hys. Chem., 72 (1847) 497- 508.
24. H . E . KOEN IG , Elektromechanical system theory, M cG raw- H ill I n c., N ew York 1961.
25. K. KON KOL, Generacja drzew kompletnych, Arch. Elektrot., 4 (1973) 843 - 860.
26. fl. Kspn on , P . Po3EiiBEPr, TIpuMenenue spafioe censeii e MexauuKe, MocKBa 1974 (tł um. z ję z. an g.:
Bond graph modeling for engineering systems, E d. by D . KARN OPP and R . ROSENBERG , N ew York,
U SA, 1972).
27. J. LAGASSE, Metoda wykresu przepł ywu sygnał ów w zastosowaniu do analizy obwodów elektrycznych,
Z N . P oi. Ś L
, Automatyka, 3 (1963).
28. S. J. MASON , Feedback theory: Some properties ofsignalflow graphs, P roc. IRE., 41 (1953) 1144 - 1156.
29. C. M E 3OH 3 F . UHMMEPMAH, 9jieKinpOHHue ą enus amianu u cucrneMU, M3flaTejiŁCTB0 H H Ocip. JlirrepaTypti, 1963 (tł um. ksią ż ki S. MASON , H . ZIMMERMAN: Electronic circuits, signals and systems, N ew
York 1960).
30. W. MAYEDA, S. L. H AH IM I, W. K. CH EN , N - D E O, Generation of complete trees, I E E E Tran s. CT.,
CT- 15 (1968) 101 - 105.
31. W. MAYEDA, S. SESHU, Generation of trees without duplication, I EEE Trans. CT, CT- 12 (1965) 181 - 185.
32. G . J. M IN TY, A simple algorithm for listing all the trees of a graph, I EEE Tran s. C T, CT- 12 (1965) 120.
33. J. N ADRATOWSKI, W yznaczanie drzew grafów niezorientowanych w oparciu o algebrę liczb strukturalnych,
Arch. Elektrot., 2 (1970) 325 - 341.
34. O. ORE, W stę p do teorii grafów, P WN , Warszawa 1966 (tł um. ksią ż ki — Graphs and their uses, N ew
York, R an don H ouse 1963).
35. A. J. PAU L, Generation of directed trees and2- trees without duplication, I E E E Trans. CT, CT- 14 (1967)
354 - 356.
36. W. S. PERCIVAL, Solution of passive electrical networks by means of mathematical trees, J. I E E E , P art I I I ,
100 (1953) 143- 150.
37. 38. 39. 40. 41. M . PIEKARSKI, Listing of all possible trees of linear graph, I E E E Trans. C T, CT- 12 (1965) 124 - 125.
M . PsTROKOŃ SKi
, Iloczyn liczb strukturalnych, Rozprawy Elektrot., 1 (1968) 3 - 8 .
V. V. B. R AO, V. G . K. M U R TI , Enumeration of trees a graph, Elektr. Letters, 4 (1970) 103 - 104.
R. C. READ , Graph theory and computing, Academic Press, N ew York an d London 1972.
L. ROBICHAUD, M . BOISVERT, J. ROBERT, Grafy przepł ywu sygnał ów, PWN, Warszawa 1968 (przekł ad
ksią ż k
i — Graphes de fluence, Applications a l'elektrotechnique et a l'elektronique. Calculateurs analogiques et digitaux Eyrolles, Paris 1961).
42. S. SESHU, M . B. REED , Linear graphs and electrical networks, Addison — Wesley Reading, M assachusetts 1961.
43. C. CEiny, H . BAJIABAHHH, Auajim nuueuHUx ueneii, H 3fl. F oe. 3 H e p r o MocKBa 1963 (przekł .
ksią ż k
i S. SESHU, N . BALABANTAN, Linear network analysis, N ew York 1959).
44. Cz. SYC, W yznaczanie drzew i wieł odrzew grafów opisanych metodą liczb strukturalnych binarnych za
pomocą maszyn cyfrowych, Biul. WAT, 10 (1968) 73 - 98.
45. Cz. SYC, Generowanie drzew i multidrzew multigrafów metodą liczb strukturalnych binarnych za pomocą
maszyn cyfrowych, R ozpr. Elektrot., 3 (1969) 495 - 513.
46. H . TREN T, Isomorphisms between oriented linear graphs and lumped phisical system, J. Acoust. Soc.
Araer., 27, (1955), 500 - 527.
47. J. G . TRU XAL, Control systems synthesis, M cG raw- H ill, N ew York 1955.
48. O. WI N G , Enumeration of trees, I EEE Trans. C T., CT- 10 (1963) 127 - 128.
ZASTOSOWAN IE G RAFÓW I LICZB STRUKTURALNYCH 559
49. J. WOJN AROWSKI, Metoda «graf» wyznaczania obcią ż enia w zał oż onych przekł adniach zę batych, Z N
Instytutu M echaniki i P odstaw Konstrukcji Maszyn, P oi. Ś , l. 17/ 51, G liwice 1973.
50. J. WOJN AROWSKI, A. BU CH ACZ, Zastosowanie grafów i liczb strukturalnych do wyznaczania widma
czę stoś ci drgań wł asnych, VI Sympozjum — D rgania w ukł adach fizycznych. Z biór streszczeń, Poznań
1974, 45 - 46.
51. J. WOJN AROWSKI, A. LI D WI N , The application of signal flow graphs for the kinematic analysis of planetary gear trains, J. M ech. and M ach. Theory, 10 (1975) 17 - 31.
52. J. WOJN AROWSKI, Analiza dyskretnych liniowych ukł adów mechanicznych o skoń czonej
liczbie stopni
swobody metodą grafów, P roc. Polish- Czechoslovak Conf. on Machine D ynamics, 2, (1971) 567 - 58ll
53. J. WOJN AROWSKI, Graf jako ję zyk struktury ukł adu, Z N P oi. Ś . l M echanika, 52 (1973) 3 - 21.
54. J. WOJN AROWSKI, A. BU CH ACZ, O moż liwoś cioptymalizacji ukł adów mechanicznych przy uż yciu liczb
strukturalnych, Sympozjon — Optymalizacja w Mechanice, Z biór referatów, PTM TiS Oddział
G liwice (1974), 303 - 315.
55. J. WOJN AROWSKI, A. BU CH ACZ, Analiza i synteza liniowych ukł adów mechanicznych metodą liczb strukturalnych, M ateriał y Konferencji Instytutu M echaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, 21/ 55, 2 (1974)
63 - 89.
56. J. WOJN AROWSKI, A. BU CH ACZ, O sposobie modyfikacji wł asnoś ci dynamicznych metodą liczb strukturalnych, Sympozjon — Optymalizacja w Mechanice, Zbiór referatów, PTMTiS Oddział G liwice,
1975, s. 253 - 260.
57. J. WOJN AROWSKI, A. BU CH ACZ, Grafy i liczby strukturalne wyż szej kategorii jako efektywny sposób
modyfikacji wł asnoś ci dynamicznych ukł adów liniowych, Z N P oi. Ś L
, M echanika, 53 (1975) 8- 13.
58. J . WOJN AR OWSKI , I7po uoeuu juemod onpede/ teHun uatpy3Ku e CJIOOICHUX ayBnamux nepedauax, P roc.
IX Conference on D ynamics of Machines, Smolenice 1974, 231 - 241.
59. H . WOŹ N IACKI, Analiza blokowych ukł adów elektrycznych metodą liczb strukturalnych, Arch. E lektrot,
2(1966) 347- 365; 3 (1966) 619- 631.
60. S. ZIEMBA, Analiza drgań ,P WN , Warszawa 1959.
61. A. A. 3WKOBJ Teopun KOHSHHUX spacfioe, T . I H 3fl. «H ayKa», HOBOCH6HPCK 1969.
P e 3 IO m e
n P H M E H E H H E TPAcPOB H C TP YKTyP H BIX ^H C E JI J\ JW OITPEZtEJIEIfflS
XAPAKTEPH CTH ^IECKOrO YPABH EH H H H CIIEKTPA *IACTOT
B paSoTe paccMaTpi- reaioTCH neKOTopwe TonojioriraecKH e MeTOfltr onpeflejreHHH xapai<TepHCTireecKoro ypaBseHHH H cneicrpa MacTOT AH H AHCKpembix jiHHeftHbix MexamraecKHx cncieM . I lp n onncaEHH
BH6pan,HH cHCTeMM c noM omwo dpymanłOHaJiŁHOfi MOfleJin H nojnocH oro rpacpa npHBOflHTca MeTOflbi
nocTpoeHHfl 3Toro yp aBn en n a. C BH 3Ł Mewfly rpacpoM H onpeflejfflTeJiMioH (J>yHKqHeS CTpyKTypHoro
HcnonB3yeTCH ryra Toro ^ T O 6 M noKa3aTB, ^ITO MOHCHO 3Ha^rnTenBHO n pon ie nony^HTE xapaKTepnypaBHeHHe 6e3 cocTaBJieHHH f lH (Ł4)epeH iJ,H aJibH bix ypaBHeHHii nBuweHHH CHcreMŁi. IIpaKnpHMeHeH.ne onncbiBaeMbix MexoflOB fleMOH CTpapyeTCH H a npH Mepax.
Summary
TH E APPLICATION OF G RAPH S AN D STRU CTU RAL N U MBERS F OR D ETERMIN IN G
TH E EQU ATION OF STATE AN D TH E SPECTRU M OF FREQU EN CY
In the paper the authors discussed t'opological methods of determining the etjuation of state and the
spectrum of frequency for linear discrete mechanical systems. Describing a vibrating system by a functional
model and a therminal graph, the methods of creation of such equation were shown.
560 J . WOJN AROWSKI, A. BUCHACZ
Utilizing the relation between a graph and a determinant function of a structural number, the authors
proved that the characteristic equation and the frequency spectrum can be found by a simpler procedure,
without setting the differential equations of motion.
Practical applications of methods described were demonstrated on examples.
IN STYTU T M ECH AN IKI I POD STAW KON STRU KCJI M ASZYN
POLITECH N IKA Ś LĄ SK
A
Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 9 sierpnia 1974 r.; w wersji ostatecznej
dnia 12 lutego 1975 r.