m. rolle, b. bolzano, a. cauchy

Niniejszy tom jest zbiorem prac o matematyce polskiej przełomu XIX i XX wieku.
Są w nim też prace omawiające historię matematyki europejskiej.
Przedstawiona została historia twierdzenia o wartości średniej w rachunku różniczkowym.
Giuseppe Peano wniósł ogromny wkład do współczesnej matematyki. Została przypomniana jego postać i dorobek.
Paul Erdös był jednym z najpłodniejszych matematyków w historii, obok Leonharda
Eulera i Wacława Sierpińskiego. Omówiona została jego twórczość z teorii liczb, jak też
twórczość z tej dziedziny Arnolda Walfisza, zmuszonego do emigracji przez tzw. Ustawę
Jędrzejewicza z roku 1933.
W oparciu o unikalne archiwalia udało się opisać wszystkie doktoraty z matematyki na
Uniwersytecie Lwowskim w latach 1877–1917, a także doktoraty z matematyki i logiki na
Uniwersytecie Warszawskim w okresie 1915–1939. Publikacje te prostują wiele dotychczasowych nieścisłości w biogramach matematyków polskich.
Przedstawiona została wnikliwie przeanalizowana twórczość naukowa Władysława
Kretkowskiego, Juliusza Rudnickiego i Stanisława Ruziewicza na tle barwnego życia tych
uczonych.
Aspekty filozoficzne matematyki prezentuje jubileuszowy artykuł z okazji stulecia urodzin Andrzeja Mostowskiego.
Ważną rolę w rozwoju matematyki odgrywa jej nauczanie. W tomie przedstawiono
szczegółowo historię nauczania trygonometrii na ziemiach polskich, a także programy nauczania matematyki w okresie dwudziestolecia międzywojennego.
Fenomenem w nauce polskiej II połowy XIX wieku było Towarzystwa Nauk Ścisłych
w Paryżu, utworzone z inicjatywy Jana hr. Działyńskiego i przez niego finansowane. Nowe
światło na historię Towarzystwa rzuca korespondencja Działyńskiego z jego członkami,
a także z Grakchem Henrykiem Niewęgłowskim, wykładowcą w Szkole Polskiej w Paryżu. Pełna lista publikacji Towarzystwa pokazuje, ile może zdziałać nieliczne grono entuzjastów nauki.
Samuel Dickstein jako pierwszy na ziemiach polskich upowszechniał algebrę ogólną,
badając zbiory z działaniami.
Wydawałoby się, że matematyka XX wiedziała już wszystko o pojęciu pochodnej.
Tymczasem, jak pokazują prace Zygmunta Zahorskiego, jest to dalekie od prawdy.
ISBN 978–83–910055–8–3
INSTYTUT MATEMATYCZNY UNIWERSYTETU WROCŁAWSKIEGO
DZIEJE
MATEMATYKI
POLSKIEJ II
Praca zbiorowa pod redakcją Witolda Więsława
Wrocław 2013
Druk i skład sfinansowane ze środków
Instytutu Matematycznego Uniwersytetu Wrocławskiego
ISBN 978–83–910055–8–3
Wydawca:
Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego
Plac Grunwaldzki 2/4
50–384 Wrocław
Druk i oprawa:
Sowa – druk na życzenie® www.sowadruk.pl tel. 22 431 81 40
Copyright 2013 © by Witold Więsław
Wrocław 2013
SPIS TREŚCI
Przedmowa ............................................................................................................... 5
Danuta Ciesielska Sprawa doktoratu Władysława Kretkowskiego ........................ 7
Szymon Dolecki i Gabriele H. Greco Niezrozumiała niepamięć
o dziedzictwie Peany .............................................................................................. 39
Bogumiła Klemp-Dyczek Juliusz Rudnicki (1881–1948) ...................................... 53
Roman Murawski Andrzeja Mostowskiego filozofia matematyki i logiki ............. 85
Walerian Piotrowski Doktoraty z matematyki i logiki
na Uniwersytecie Warszawskim w latach 1915–1939 ............................................ 97
Jarosław Prytuła Doktoraty z matematyki na Uniwersytecie Lwowskim
w latach 1877–1917 .............................................................................................. 133
Andrzej Schinzel Teoria liczb w pracach Pála Erdösa.......................................... 151
Andrzej Schinzel Teoria liczb w pracach Arnolda Walfisza ................................ 157
Galina Iwanowna Sinkiewicz Historia dwóch twierdzeń
analizy matematycznej: M. Rolle, B. Bolzano, A. Cauchy .................................. 165
Witold Więsław Towarzystwo Nauk Ścisłych W Paryżu. II. Dokumenty .......... 183
Witold Więsław Publikacje Towarzystwa Nauk Ścisłych w Paryżu ................... 215
Witold Więsław Pierwsze polskie prace z algebry ogólnej ................................. 231
Władysław Wilczyński Twórczość Stanisława Ruziewicza ............................... 239
Władysław Wilczyński Prace Zygmunta Zahorskiego o pierwszej pochodnej..... 247
Krystyna Wuczyńska Programy nauczania matematyki
w szkołach średnich w okresie międzywojennym ................................................ 253
Krystyna Wuczyńska Nauczanie trygonometrii
w polskich szkołach średnich. Rys historyczny . .................................................. 273
Galina Iwanowna Sinkiewicz (Sankt-Petersburg)
HISTORIA DWÓCH TWIERDZEŃ
ANALIZY MATEMATYCZNEJ:
M. ROLLE, B. BOLZANO, A. CAUCHY
Rozpatrzymy historię znanego twierdzenia Rolle’a: Jeżeli funkcja jest ciągła na
[a, b], różniczkowalna w (a, b) i f(a) = f(b), to w (a, b) istnieje chociaż jeden punkt
c taki, że f‘(c) = 0, a także historię związanego z nim twierdzenia o pierwiastkach
funkcji ciągłej: Jeżeli funkcja f jest ciągła na [a, b] i ma różne znaki na końcach prze�
działu, to w (a, b) znajdzie się chociaż jeden punkt c taki, że f(c) = 0. Twierdzenie to
w XX wieku zostało nazwane twierdzeniem Bolzano-Cauchy'ego.
Rok 1690. Rolle i jego metoda kaskadowa
Michel Rolle (1652–1719) urodził się we Francji w małym miasteczku Ambert
w prowincji Auvergne w rodzinie szewca. W wieku 23 lat przyjechał do Paryża,
gdzie pracował jako skryba. W procesie samokształcenia się w dziedzinie matema­
tyki zrobił tak znaczne postępy, że w roku 1682 rozwiązał trudne zadanie Jacquesa
Ozanama (1640–1717):
Znaleźć cztery liczby takie, że różnica dwóch dowolnych jest kwadratem i suma
dwóch dowolnych z trzech pierwszych liczb również jest liczbą kwadratową.
Sam Ozanam sądził, że każda z liczb składa się co najmniej z 50 cyfr, ale Rolle
znalazł takie liczby, każda z których składa się nie więcej niż z 7 cyfr. Rozwiązanie
to przyniosło mu wysoką reputację matematyka, został on zaproszony do udzielania
lekcji synowi ministra wojny, otrzymał stanowisko w ministerstwie wojny, emery­
turę od Ludwika XIV, a w roku 1685 został członkiem Królewskiej Akademii Nauk,
natomiast od roku 1699 przeszedł na emeryturę.
Rolle zajmował się zagadnieniami teorii liczb i algebry – analizą diofantyczną i
rozwiązywaniem równań algebraicznych. Znacznie przyczynił się on do populary­
zacji symboliki algebraicznej Roberta Recorde’a; wprowadził oznaczenie n x .
Rolle znany był z zaciekłej krytyki rachunku różniczkowego i metody Descartesa
z powodu ich niewystarczającego uzasadnienia. Francuscy matematycy P. Varignon,
i J. Saurin obalili większość argumentów Rolle’a, a w roku 1705 Akademia uznała,
że nie miał on racji, z czym później się zgodził. Jednak dyskusja ta zmusiła Leibniza
do przedstawiania rachunku różniczkowego z większą ścisłością.
166
Rys. 1. Michel Rolle
Historia twierdzenia Rolle’a zaczyna się od metody rozwiązania równań algebra­
icznych, którą Rolle nazwał metodą kaskadową.
W roku 1690 Rolle opublikował Traktat algebraiczny [1] o rozwiązywaniu rów­
nań diofantycznych i algebraicznych dowolnego stopnia.
Rys. 2. Strona tytułowa traktatu Rolle’a
W Traktacie było wiele nowych idei, postępowych w stosunku do analogicznej
metody Kartezjusza; jedną z przytoczonych była metoda kaskadowa ([1], s. 124–152),
u podstaw której leży idea, że pierwiastki równania wyjściowego f(x) = 0 są oddzielane
przez pierwiastki pomocniczego równania pochodnego, tzn. pomiędzy dwoma kolej­
nymi pierwiastkami f leży pierwiastek równania pochodnego. Można ten proces itero­
wać. Tworząc kaskady, obniżamy stopień wielomianu, schodząc do równania liniowe­
go. Rolle opublikował rok później uzasadnienie swojej metody w niewielkiej pracy [2].
Odnotujmy, że praca Rolle’a wzbudziła zarzuty współczesnych i późniejszych
badaczy. We współczesnej literaturze matematyczno-historycznej przytoczone są
proste rekonstrukcje jego metody, na przykład w [3].
167
Przytoczymy tu rozwiązanie samego Rolle’a dla równania czwartego stopnia z
jego traktatu ([1], 124–126). Rolle rozważa równanie:
v4 – 24 v3 + 198vv – 648v + 473 ∞ 0,
gdzie znak ∞ oznacza równość1.
W celu wydzielenia przedziału pierwiastkowego wprowadził on wielką hipo­
tezę (Grande Hypothèse), małą hipotezę (Petite Hypothèse) oraz hipotezę skrajną
(Hypothèse extrême). Wielka hipoteza – to wielkość, po której nie ma żadnego
, gdzie
pierwiastka wielomianu i która obliczana jest w następujący sposób:
a to wielkość bezwzględna największego współczynnika ujemnego. Tu a = 648;
c – współczynnik przy najwyższej potędze, c = 1, a więc wielka hipoteza dla naszego
równania jest równa 649. Rolle twierdził, że jest tak dla wszystkich wielomianów.
Mała hipoteza – to liczba mniejsza od wszystkich pierwiastków. Ponieważ rozpatry­
wane były tylko pierwiastki dodatnie, jako małą hipotezę wybrano zero. Hipoteza
skrajna, lub krańcowa – to granica wewnętrzna, oddzielająca pierwiastki równań
pomocniczych, zwanych kaskadami. Wszystkie skrajne hipotezy Rolle nazywa hi­
potezami średnimi (Hypothèses moyennes).
Tak więc, v4 – 24 v3 + 198vv – 648v + 473 = 0, wszystkie pierwiastki dodatnie znaj­
dują się w przedziale (0, 649). Problem, który Rolle ma do rozwiązania, jest na­
stępujący: rozbić ten przedział na kilka mniejszych przedziałów, każdy z których
zawiera tylko jeden pierwiastek równania wyjściowego, tj. wyodrębnić przedział
pierwiastkowy.
Pierwszy składnik ma potęgę niewiadomej, równą 4. Rolle mnoży go przez 4;
drugi składnik ma potęgę 3, on mnoży go przez 3. Trzeci składnik ma potęgę 2, mno­
ży go przez 2; czwarty składnik ma potęgę 0, mnoży go przez 0. Następnie otrzy­
muje: 4v4 – 72 v3 + 396v2 – 648v = 0 i dzieli wszystkie składniki równania przez nie­
wiadomą ν. Uzyskuje 4v3 – 72 v2 + 396v – 648 = 0. Ponownie mnoży każdy składnik
równania przez wykładnik potęgi: 12v3 – 144 v2 + 396v = 0 i dzieli przez niewiadomą,
co daje 12v2 – 144 v + 396 = 0. I jeszcze raz: 24v2 – 144 v = 0, 24v – 144= 0, 4v – 24 = 0.
Ułóżmy kaskady w sposób następujący:
Pierwsza kaskada: 4v – 24 = 0.
Druga kaskada: 6v2 – 72 v + 198= 0.
Trzecia kaskada: 4v3 – 72 v2 + 396v – 648 = 0.
Czwarta kaskada: 4v4 – 24 v3 + 198v2 – 648v + 473 = 0.
Pierwiastki każdej kaskady oddzielone są przez pierwiastki poprzedniej, i wszyst­
kie pierwiastki dodatnie leżą w (0, 649). Ponieważ 6 – to pierwiastek pierwszej ka­
skady, więc pierwiastki drugiej kaskady leżą w (0,6) i (6, 13), przy czym w każdym
przedziale leży tylko jeden pierwiastek, a liczba
1
to wielka hipoteza
Symbol ten pochodzi od Kartezjusza. Autor używa go w książce Géométrie z 1637 roku. (Red.)
168
dla danego równania (oznaczenia współczesne). Będziemy szukać tylko skrajne­
go lewego pierwiastka, pozostałe są obliczane analogicznie. Wartości wielomianu
6v2 – 72 v + 198= 0 na krańcach przedziału (0,6) mają różne znaki. Weźmiemy jaką­
kolwiek wartość średnią z przedziału, nie koniecznie środek, i sprawdzimy znaki:
f2(5) = –12 < 0, f2(4) = 6 > 0.
Tak więc, pierwiastek drugiej kaskady leży w (4, 5). Kontynuując iteracje lub
. Drugi pierwiastek to
.
stosując znany wzór Viète'y, otrzymamy wartość
A więc, granice, w których znajdują się pierwiastki trzeciej kaskady, będą nastę­
przy tym w każdym z przedziałów leży
pujące:
tylko jeden pierwiastek. Tu liczba
to wielka hipoteza dla trzeciej
kaskady. Będziemy szukać tylko skrajnego lewego pierwiastka trzeciej kaskady.
Sprawdzimy znaki trzeciej kaskady na końcach tego przedziału: są one różne. Weź­
my jakąkolwiek wartość średnią z przedziału
i obliczymy wartość f3(v) = 4
3
2
v – 72 v + 396v – 648 = 0. f3(0) = –648 < 0, f3(5) = 32 > 0, f3(4) = 40 > 0, f3(3) = 0.
Tak więc, lewy pierwiastek trzeciej kaskady jest równy 3, co oznacza, że lewy (do­
datni) pierwiastek czwartej kaskady (to jest pierwiastek równania wyjściowego) leży
w (0, 3). Obliczymy wartości f4(v) = v4 – 24 v3 + 198v2 – 648v + 473 na końcach prze­
działu i w niektórych punktach pośrednich: f4(0) = 473 > 0, f4(3) = –256 < 0, f4(1) = 0.
W ten sposób, znaleźliśmy pierwiastek równania v = 1. Analogicznie obliczane
są pozostałe pierwiastki. W przypadku przybliżonych obliczeń, procedura pozwala
znaleźć pierwiastek z dokładnością do dowolnego miejsca dziesiętnego. Dla dłuż­
szych przedziałów Rolle używa równania pomocniczego, dokonując podstawienia
, gdzie
– to wielka hipoteza.
Oprócz tej metody rozwiązywania równań algebraicznych, Rolle proponuje jesz­
cze cztery inne metody, a także metody rozwiązywania równań nieoznaczonych i
sposób znalezienia wspólnego dzielnika wielomianów.
Jak widzimy, Rolle przy pomocy współczynników wyznacza granice, w których
leżą pierwiastki. W metodzie kaskadowej, chociaż jeszcze bez terminologii rachun­
ku różniczkowego, stosował on zasadę oddzielania pierwiastków wielomianu przez
pierwiastki jego pochodnej, a istnienie pierwiastków sprawdzano obliczając różni­
cę znaków wielomianu na końcach przedziału. W 1691 roku w pracy poświęconej
uzasadnieniu metody kaskadowej, Rolle udowadniał, że wartości pochodnej (to jest
wielomianu pochodnego) dla dwóch pierwiastków sąsiednich (jednorazowych) całe­
go wielomianu mają różne znaki ([3], s. 47). Prawdopodobnie Rolle był pierwszym,
kto sformułował pojęcie przedziału pierwiastkowego, opierając się na porównaniu
znaków równania.
169
Rok 1707. Rolle i Newton
Przed Rollem przybliżone rozwiązania równań algebraicznych przeprowadzano me­
todami graficznymi, tj. poprzez przecięcie krzywych i przy pomocy prostych iteracji.
Metodę rozwiązywania równania algebraicznego przy pomocy równania pomocni­
czego niższego stopnia w roku 1658 zastosował matematyk holenderski I. Hudde
(1628–1704)2.
Sam obraz geometryczny zadania nie odpowiadał szukaniu przecięcia krzywej
z osią, a był prowadzony poprzez wyszukanie punktów przecięcia dwóch krzywych.
Dlatego obraz wykresu, mającego na końcach odcinka rzędne różnych znaków,
w terminach algebry nie mógł powstać. Na przykład Isaac Newton przedstawiał
zmienne jako zmieniające się w czasie, a nie w zależności jednej od drugiej [5]. Po­
jęcie o linii jako o miejscu geometrycznym punktów pojawiło się w pracy l’Hospi­
tala o przekrojach stożkowych i zostało rozwinięte przez Eulera, a podejście ogólne
sformułowane było dopiero w XIX wieku.
Newton opisał swoją metodę stycznych w pracy De analysi per aequationes nu�
mero terminorum infinitas z roku 1669, opublikowanej w 1711 roku i w pracy De
methodis fluxionum et serierum infinitarum z roku 1671, opublikowanej w 1736 roku
przez Johna Colsona, już po śmierci Newtona, jako The Method of Fluxions. Metoda
Newtona była przedstawiona także w książce J. Wallisa z 1685 roku A Treatise of
Algebra both Historical and Practical. W 1690 w Anglii został opublikowany traktat
J. Raphsona [7], przedstawiający metodę Newtonа–Raphsona, czyli metodę stycz­
nych. W 1707 roku Newton opublikował dzieło Arithmetica Universalis, zawierają­
ce metody numeryczne rozwiązywania równań algebraicznych [8].
Do pojawienia się Traktatu Rolle’a, Newton stosując metodę stycznych, nie
sprawdzał znaków funkcji na końcach przedziału, co można zauważyć, np. w jego
The Method of Fluxions. Do określenia punktu wyjściowego procedury obliczenia
pierwiastka Newton stosował tak zwany równoległobok Newtonа – tablicę współ­
czynników równania.
Paryska Akademia Nauk i Londyńskie Towarzystwo Królewskie prowadziły wza­
jemną wymianę literatury akademickiej. Bez wątpienia, Newton otrzymał Traktat Rol­
le’a, co więcej, włączył on streszczenie jego metody do swojego wydania Arytmetyki
uniwersalnej ([8], 267–270), co prawda, bez wskazania autorstwa Rolle’a. Zauważmy,
że Rolle przy zlokalizowaniu pierwiastka, chyba po raz pierwszy sprawdza znaki wie­
lomianu na końcach przedziału. Newton po raz pierwszy zaczyna przeprowadzać taki
test w Arytmetyce uniwersalnej. Sposób zawężenia przedziału, zawierającego pier­
wiastek, za pomocą sprawdzenia znaku lewej części równania (wielomianu) w pew­
nym punkcie wewnętrznym (niekoniecznie środkowym) po raz pierwszy występuje
u Rolle’a. Bolzano sformalizował go 117 lat później jako metodę równego podziału.
2
Rekonstrukcję metody Huddego przytoczył Juszkiewicz w swoich komentarzach do tłumaczenia de l’Hospitala
Analiza nieskończenie małych ([4], s. 400).
170
Dodajmy, że Newton wszystkie rozpatrywane funkcje uważał za ciągłe, a Rolle rozpa­
trywał tylko wielomiany, które oczywiście są funkcjami ciągłymi.
Metoda Newtona i zastosowanie rozwinięcia w szereg Maclaurina cieszyły się
dużą popularnością wśród kontynentalnych matematyków. W roku 1740 T. Simpson
przedstawił uogólniony opis metody Newtonа w dziele [9].
Rok 1696. de l’Hôspital (1661-1704)
W 1696 roku w Paryżu ukazał się pierwszy podręcznik analizy matematycznej Ana�
liza nieskończenie małych dla badania krzywych ([4] – tłumaczenie rosyjskie z 1935
r.; [10] – wydanie francuskie z 1716 roku) markiza G. F. de l’Hôspitala, zawierający
notatki wykładów Jacoba Bernoulliego. W nim po raz pierwszy przedstawiona jest
usystematyzowana teoria rachunku różniczkowego, wykorzystane są pojęcia odciętej,
rzędnej, współrzędnych, miejsca geometrycznego punktów. Prawdę mówiąc, łatwość
i przystępność przedstawienia l’Hôspital osiągnął kosztem zlekceważenia uzasadnień:
Jestem pewny, że w zagadnieniach matematycznych pożyteczne są tylko wnioski,
i że dzieła, przedstawiające tylko szczegóły lub odosobnione wnioski, zmuszają do
tracenia czasu tych, kto je pisze, i tych, kto to czyta. ([4], s. 57).
Jednak podaje on sens geometryczny pochodnej, związek wzrastania i zmniejszania
się funkcji ze znakiem pierwszej pochodnej, warunek konieczny ekstremum. Przy­
toczono tu również takie rozważanie:
Wszelka wielkość ciągle rosnąca lub malejąca3 nie może zamienić się z dodatniej w
ujemną, nie przechodząc przez nieskończoność lub przez zero, a mianowicie: poprzez
zero – gdy najpierw ona maleje, i poprzez nieskończoność – gdy najpierw ona wzra­
sta. Stąd wynika, że różniczka największej lub najmniejszej wielkości powinna być
równa zeru lub nieskończoności. Łatwo można zrozumieć, że wielkość ciągle maleją­
ca nie może zmienić się z dodatniej na ujemną, nie przechodząc przez zero, ale nie jest
tak oczywiste, że w przypadku wzrastania powinna ona przejść przez nieskończoność
([4], 130–132).
Dzieło to otwiera początkowy okres rozwoju analizy matematycznej, w której
wszystkie funkcje były ciągłe, dlatego że były całkowitymi algebraicznymi. Same
reguły rachunku różniczkowego w ciągu XVII–XVIII wieku zostały określone tyl­
ko dla funkcji algebraicznych, wzory pochodnych funkcji przestępnych pojawią się
później w pracach Eulera i Cauchy’ego.
Rok 1708. Metoda Rolle’a w traktacie Reynaud’a
Prace Huddego, Descartesa, Rolle’a, Newtonа, Leibniza, Jacoba Bernoulliego oraz
l’Hopitala dobrze znał francuski kaznodzieja i profesor filozofii C. R. Reynaud
(1656–1728). Wiedząc o zarzutach o niewystarczalności uzasadnienia i systema­
tycznego przedstawienia, wyznaczył on swoim celem stworzenie pełnego kursu ana­
3
l’Hospital ma na myśli podstyczną.
171
lizy, algebry i geometrii, i ich wzajemnego związku, z dowodami. W 1708 roku w
Paryżu zostało wydrukowane jego dzieło Analiza dowodowa [11] ze streszczeniem
wyników wymienionych powyżej matematyków, w dwóch tomach.
Tom pierwszy poświęcony jest zagadnieniom algebraicznym, drugi - rachunko­
wi różniczkowemu i całkowemu, przy tym większość twierdzeń autor uzasadnia,
przytacza dużą ilość przykładów, nie tylko matematycznych, ale również z dziedzi­
ny mechaniki i astronomii. Przypisy do drugiego wydania w 1736 roku napisał Va­
rignon. W pierwszym tomie zostały rozpatrzone metody rozwiązania liczbowych i
literowych równań algebraicznych, począwszy od równań liniowych i do niektórych
równań szóstego stopnia zarówno w znakach pierwiastka, jak również w przybliże­
niu (iteracjami), przytoczone jest zasadnicze twierdzenie algebry.
Reynaud podchodzi do rozwiązania zadań algebraicznych metodycznie, najpierw
rozpatrując równania liniowe, tworząc równania wyższych stopni poprzez mnożenie
dwumianów, przytacza zasadnicze twierdzenie algebry, twierdzenie o wartości reszty
dzielenia wielomianu przez dwumian4 ([11], t. I, 270–271). Jego dowody stanowią
rozważania wraz z przytoczeniem przypadków szczególnych i przykładów5. W rów­
naniach algebraicznych Reynaud rozróżnia przypadki pierwiastków pojedynczych,
wielokrotnych, dodatnich, ujemnych, wymiernych, niewymiernych oraz urojonych.
Duży rozdział Reynaud poświęca ([11], t. I, 269–375) metodzie Rolle’a:
W szóstej księdze została wyjaśniona i udowodniona metoda znajdowania wielkości,
które są granicami niewiadomych w równaniu potęgowym (Pan Rolle jest autorem
tej metody), i przytoczonych jest kilka sposobów rozwiązań za pomocą tych gra­
nic, przy czym pierwiastki mogą być obliczone z dowolną wymaganą dokładnością
([11], t. I, s. XII).
Reynaud korzysta ze swojej terminologii, różniącej się od terminologii Rolle’a.
Każde równanie pomocnicze, pierwiastkami którego są granice pierwiastków po­
przedniego równania, nazywa on równaniem granic (l’équation des limites), a granice
przedziału pierwiastkowego nazywa granicami pierwiastków. Reynaud określa prze­
dział pierwiastkowy, zawierający pierwiastek rzeczywisty, na podstawie różnicy zna­
ków w lewej części równania na granicach pierwiastków, opisuje procedurę rosnącą
i obniżającą wg Rolle’a. Drugi tom poświęcony jest rachunkowi różniczkowemu i
całkowemu, i wśród innych twierdzeń znajduje się to, że styczna do krzywej w pew­
nym punkcie jest równoległa do średnicy (dla przekrojów stożkowych, t. 2, s. 176),
oraz to, że w przypadku, gdy szereg wielkości pewnej zmiennej, np, podstycznej6,
najpierw jest dodatni, a potem staje się ujemny, to przechodzi on przez pewien punkt,
w którym wartość jest równa zeru lub nieskończoności ([11], t. 2, s. 177).
4
5
6
Twierdzenie to nosi imię E. Bezout (1730-1783). To samo twierdzenie spotyka się również u J. Raphsona (16481715).
Twierdzenie to znał już Kartezjusz. W jego Geometrii znajdujemy twierdzenie, że a jest pierwiastkiem wielo­
mianu f, wtedy i tylko wtedy, gdy x – a dzieli f(x) . Dla Kartezjusza była to definicja. (Red.)
Podstyczną nazywany jest rzut odcinka stycznej między punktami przecięcia z osią OX i punktem styczności na
osi OX.
172
Lata 1727-1729. Twierdzenie Rolle’a u Campbella i MacLaurina
Analiza dowodowa Reynaud’a była znana w Anglii. Cytuje go G. Campbell7 w roku
1727 w pracy [12]. Campbell przekładał francuskie dzieła matematyczne na język
angielski i sam zajmował się rozwiązaniem równań algebraicznych. We wspomnia­
nej pracy on powtarza procedurę Rolle’a, przytacza metodę maksimów i minimów
Fermata oraz rozpatruje przypadek końcowego równania kwadratowego z wyróż­
nikiem ujemnym. Wówczas na podstawie zmiany znaków współczynników rów­
nania wyjściowego można podać ilość pierwiastków urojonych, a ściślej mówiąc,
ich najmniejszą ilość. Na temat ścisłości dowodów polemizuje z nim C. Maclaurin
(1698–1746) w swoim liście [13] do tego samego czasopisma. Sformułował on na­
stępujące twierdzenie:
Pierwiastki równania xn – Axn-1 + Bxn-2 – Cxn-3 & c. = 0 są granicami pierwiastków rów­
nania nxn-1 – (n – 1)Axn-2 + (n – 2)Bxn-3 & c. = 0 ([13], s. 88).
Zmiana znaków przed współczynnikami zapewnia n pierwiastków dodatnich.
Stwierdzenie to posiada już status twierdzenia. Maclaurin rozpatruje także bardziej
ogólną postać równania pomocniczego, zastosowaną przez Hudde w 1658 roku.
Rok 1746. Clairaut
W roku 1746 pojawiło się dzieło A. C. Clairaut (1713–1765) Podstawy algebry [14],
w którym mowa jest o metodach rozwiązania równań algebraicznych. Dużo uwagi
poświęcono metodzie Newtonа i Maclaurinа, ale nie ma ani jednego słowa o Rolle’u
i jego metodzie.
Rok 1755. Twierdzenie Rolle’a u Eulera
W roku 1755 Peterburska Akademia Nauk opublikowała dzieło L. Eulera (1707–
1783) Nauka rachunku różniczkowego [15] (Institutiones calculi differentialis). Ten­
dencja zbliżenia algebry i analizy, którą zauważyliśmy w Traktacie Reynauda, do­
prowadziła do rozszerzenia pojęcia funkcji i jednocześnie do nowego pojęcia ciągło­
ści. Euler jest dumny z tego, że przy przedstawieniu analizy nie musi nawiązywać do
interpretacji stosowanej. W rozdziale IX pisze on: Pojęcie równania można sprowa�
dzić do pojęcia funkcji ([15], s. 367). Euler powtarza twierdzenie Maclaurinа, przy­
toczone powyżej, o pierwiastkach równania, xn – Axn-1 + Bxn-2 – Cxn-3 + dxn-4 – itd = 0,
które są oddzielone przez pierwiastki równania pochodnego, tj. ekstrema. Zauważ­
my, iż zarówno Maclaurin, jak i Euler rozpatrywali równanie, mające n pierwiast­
ków rzeczywistych. Zagadnienie określenia ilości pierwiastków urojonych, wysu­
nięte przez Campbella, zostało rozpatrzone przez Eulera w rozdziale XIII. Euler
uogólnia swoje rozumowanie:
Z powiedzianego zresztą jasne jest, że jeśli w proponowanym równaniu nie wszystkie
7
O tym szkockim matematyku wiadomo tylko to, że polemizował on z C. Maclaurin’em i zmarł w roku 1766.
173
pierwiastki są rzeczywiste, to mimo wszystko między jakimikolwiek dwoma pier­
wiastkami istnieje maksimum lub minimum. Natomiast twierdzenie wsteczne w ogó­
le jest niesłuszne, tj. między jakimikolwiek dwoma maksymami lub minimami może
nie istnieć pierwiastek rzeczywisty. Jednak wniosek taki można wysunąć, jeżeli był
dodany warunek, że jedna z wielkości z będzie dodatnia, zaś inna – ujemna […]. Mię­
dzy dwoma pierwiastkami rzeczywistymi równania istnieje jedna wartość, dla której
funkcja przyjmuje maksimum lub minimum» ([15], s. 435–436).
Uzasadnienie Eulerа oparte jest na pojęciu o ruchu ciągłym, on przenosił na funkcje
wszystkie właściwości wyrażeń algebraicznych.
Rok 1797. Twierdzenie o przedziale pierwiastkowym w Podstawach algebry
S. F. Lacroix
W roku 1797 w Paryżu pojawiło się pierwsze wydanie Podstaw algebry [16] S. F. La­
croix (1765–1843), autora wielokrotnie wydanych podręczników matematyki wyż­
szej, znanych w Rosji w XIX wieku8.
W Podstawach przytacza on następujące twierdzenie o przedziale pierwiastkowym:
Jeżeli istnieją dwie wielkości, które, po podstawieniu do równania zamiast niewia­
domej, dadzą dwa wyniki z przeciwstawnymi znakami, to możemy wnioskować, że
pierwiastki danego równania są położone między tymi wartościami, i są one pier­
wiastkami rzeczywistymi ([16], s. 298).
W roku 1811 w Moguncji był opublikowany autoryzowany niemiecki przekład
Podstaw algebry [17] Lacroix, dokonany przez M. Metternicha (1747–1825), pro­
fesora matematyki i fizyki uniwersytetu w Moguncji. W książce tej przedstawione
jest również twierdzenie o przedziale pierwiastkowym. Książka ta była wielokrotnie
wznawiana w języku niemieckim.
Rok 1768. Abraham Kaestner o wydzieleniu przedziału pierwiastkowego
Abraham Gotthelf Kästner, profesor matematyki i fizyki w Getyndze, znany meto­
dyk w dziedzinie analizy. Zauważmy, że jeszcze przed Cauchy’im rozpatrywał on
liczby niewymierne jako granice ciągów liczb wymiernych9. Kaestner utrzymywał
korespondencję z Eulerem.
W latach 1768-69 Kaestner napisał podręcznik Podstawy matematyki [18] w
czterech tomach, doskonały metodycznie, z dobrym przeglądem historycznym me­
tod, wielokrotnie wznawiany. W wykładzie wyraźnie widoczny jest wpływ Eulerа.
Podręcznik Kaestnerа został wydany w języku rosyjskim w latach 1792–1803. Me­
tody Rolle’a u Kaestnerа brak, ale jest twierdzenie o przedziale pierwiastkowym
8
9
W XIX wieku ukazało się również wiele wydań podręczników Lacroix po polsku (por. W. Więsław, Matematy�
ka polska epoki Oświecenia. Fraszka Edukacyjna. Warszawa 2007). (Red.)
Ten fakt znał już Michael Stifel (1486–1567). W dziele Arithmetica Integra (1544) odnotowuje, że dowolnie
blisko dowolnej liczby leży liczba wymierna. W dziele tym dowodzi też, że w przedziale (3, 4) jest przeliczalnie
wiele liczb wymiernych, numerując je. Uzasadnia też, że w tym przedziale liczb niewymiernych (numerus
surdus – liczba głucha, tzn. niewymierna) też jest nieskończenie wiele. (Red.)
174
wielomianu z uzasadnieniem opartym na z analogii geometrycznej. Przytoczymy go
według niemieckiego wydania z roku 1794:
Twierdzenie. Jeżeli y jest dodatnie dla x = a i ujemne dla x = c, to między a i c znajdzie
się chociażby jedna wartość x = b, dla której y = 0 ([18], s. 198).
Rok 1798. Lagrange o metodzie Rolle’a
W roku 1798 J. L. Lagrange (1736–1813) przedstawił swoją metodę wyznaczania
pierwiastków.
W dziele [19] czytamy:
W ten sposób, reguły te pozwalają nie tylko określać liczbę pierwiastków rzeczywi­
stych równania, ale również granice, w których są one położone, a jeżeli chcecie ogra­
niczyć pierwiastki między wielkością, większą, niż α1 i mniejszą, niż ν1, potrzebne
jest dodatkowe wyszukanie, według metody, przedstawionej w Rozdziale IV (№ 12),
o granicach dodatnich pierwiastków danego równania.
Zauważmy, że o regułach, pozwalających znaleźć te granice i przedstawionych przez
nas według Newtona i MacLaurina, wiedział jeszcze Rolle, co wynika z rozdziałów
V i VI jego Algebry ([19], s. 199).
Rok 1817. Bolzano i twierdzenie o przedziale pierwiastkowym
Bernard Bolzano wielce przyczynił się do rozwoju pojęcia ciągłości i nieskończono­
ści. W swoim rękopisie [20] z 1817 roku Czysto analityczny dowód twierdzenia, że
między dowolnymi dwoma wartościami, dającymi wyniki ze znakiem przeciwstaw�
nym, znajduje się co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty równania krytykuje on
dowody Kaestnerа, Clairauta, Lacroix, Metternicha, Röslinga i innych matematy­
ków za posługiwanie się obrazami geometrycznymi i fizycznymi (czasu i ruchu) i za
brak rozważania analitycznego, tj. zrozumienia ciągłości jako pojęcia matematycz­
nego. Wprawdzie, jak mogliśmy upewnić się, ani Clairaut we wspomnianej pracy z
roku 1746, ani doktor Uniwersytetu Erlangen Ch. L. Rösling (1774–1836) w swoim
dziele z roku 1805 Podstawy teorii o formach, różniczkach, pochodnych i całkach
funkcji [21] nie powołują się na metodę Rolle’a i jego twierdzenia o przedziale pier­
wiastkowym. Przytoczone przez Bolzano powołanie się na nich nie odpowiadają
ogłoszonemu tematowi ([20], s. 171).
Zasadę ciągłości Bolzano formułuje w taki sposób:
Funkcja f(x) zmienia się zgodnie z zasadą ciągłości10 dla wszystkich wartości x, które
znajdują się wewnątrz lub na zewnątrz znanych granic, tylko to, że jeśli x jakakolwiek
z tych wartości, wtedy różnica f(x + ω) – f(x) może być zrobiona mniejszą, niż dowolna
zadana wielkość, jeżeli można przyjąć ω na tyle małym, na ile chcemy ([20], 174–175).
Bolzano nadaje duże znaczenie twierdzeniu o przedziale pierwiastkowym, kła­
dąc je U podstaw twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki oraz twierdzenia
Lagrange’а o średniej wartości Lagrange’а. Dowodzi on to twierdzenie za pomocą
Termin ten pochodzi do Leibniza.
10
175
założenia o istnieniu górnej granicy obszaru, przy czym w twierdzeniu pomocni­
czym stosuje metodę równego podziału przedziału. Bolzano dowodzi jeszcze jedno
twierdzenie pomocnicze:
Jeżeli dwie funkcje x, f(x) i φ(x), albo dla wszystkich wartości x, albo dla wszystkich,
które znajdują się między α a β, zmieniają się według zasady ciągłości, jeżeli na­
stępnie f(α) < φ(α) i f(β) > φ(β), to za każdym razem istnieje wartość x, znajdująca się
między α a β, dla której będzie f(x) = φ(x) ([20], s. 198).
Następnie Bolzano dowodzi twierdzenie o przedziale pierwiastkowym. Tu rów­
nież Bolzano formułuje jeszcze jedno twierdzenie: przechodząc od jednej swojej
wartości do drugiej, funkcja chociaż raz przyjmuje jako wartość każdą liczbę po�
średnią11. Bolzano podkreślał, że wskazana własność jest następstwem ciągłości, ale
nie można jego przyjmować za podstawę określenia ciągłości.
Rok 1821. Cauchy; twierdzenie o przedziale pierwiastkowym w Wykładzie analizy
W roku 1821 A. L. Cauchy wydał Wykłady analizy [22], wygłaszane w Szkole Po­
litechnicznej.
Cauchy wprowadził następujące określenie funkcji ciągłej:
Funkcja f(x), dana między dwoma znanymi granicami zmiennej x, jest funkcją ciągłą
tej zmiennej, jeżeli dla wszystkich wartości zmiennej x, wziętej między tymi grani­
cami, wartość liczbowa różnicy f(x + α) – f(x) nieskończenie zmniejsza się razem z α.
Inaczej mówiąc, funkcja f(x) pozostaje ciągłą dla x między dwoma danymi granicami,
jeżeli między tymi granicami nieskończenie mały przyrost zmiennej zawsze pociąga
nieskończenie mały przyrost samej funkcji. Dodamy też, że funkcja f(x), ciągła dla x,
będzie ciągłą również dla sąsiednich wartości zmiennej x, znajdujących się między tymi
samymi granicami, niezależnie jak blisko od tych granic znajdowałby się x. ([22], s. 43).
Cauchy nie wspomina nazwiska Rolle’a, chociaż bierze pod uwagę rozwiąza­
nie przybliżone równań algebraicznych. W rozdziale o rozwiązaniu równań ([22],
s. 378) przytacza on następujące twierdzenie:
Niech funkcja f(x) zmiennej rzeczywistej x będzie ciągła między granicami x = x0,
x = X. Jeżeli f(x0) i f(X) mają przeciwstawne znaki, to równanie f(x) = 0 może spełniać
przynajmniej jedna lub kilka (ilość nieparzysta) wartości rzeczywistych x, położo­
nych między x0 a X.
Cauchy dowodzi tego twierdzenia, stosując dzielenie odcinka na połowę, ale w od­
różnieniu od Bolzano, nie stosuje pojęcia granicy górnej, lecz opiera się na cią­
gach zbieżnych. Bardzo ważne dla analizy jest to, że Cauchy formułuje twierdzenie
o wartości średniej: jako własność funkcji ciągłej:
Twierdzenie o funkcji ciągłej. Jeżeli f(x) – funkcja ciągła zmiennej x w przedziale x =
x0, x =X i b jest znajduje się między f(x0) i f(X), to równanie f(x) = b zawsze ma roz­
wiązanie, znajdujące się między x0 a X. ([20], s. 50).
Cauchy przytacza kilka metod rozwiązywania równań algebraicznych, wśród nich
Jest to continuum.
11
176
metodę Descartesa, porównuje metody Newtonа i Lagrange’а na przykładzie jedne­
go równania (sześciennego), ale nic nie mówi o oddzielaniu pierwiastków równania
przez pierwiastki pochodnej.
Rok 1834. Twierdzenie Rolle’a u Drobischa
W roku 1834 profesor uniwersytetu w Lipsku, M. W. Drobisch (1802–1896) wydał
Podstawy nauki o równaniach wyższych stopni [23], gdzie w ([23], §107, s. 161)
wykłada metodę kaskadową Rolle’a. Narzeka on na skomplikowane ujęcie Rolle’a,
ale nazywa jego metodę godną szacunku, uzasadnia i przedstawia ją w taki sposób:
Te twierdzenia [zasady] uzyskane w postaci niewykończonej w przedstawionym
przez Rolle’a projekcie, przy czym w najwyższym stopniu niedogodnej do zrozu­
mienia, metodzie kaskadowej. Ma ona istotne ziarno, że do rozwiązania równania
wyjściowego jedno po drugim formułowane są równania pochodne, co jest podobne
do budowy domu taką metodą. W ten sposób konsekwentnie otrzymujemy pierwiast­
ki równań niższego rzędu, które dają nam wiarygodne granice pierwiastków równań
wyższego rzędu, i które obliczamy w przybliżeniu, o czym będzie mowa później, aż
do pierwiastków równania wyjściowego. Metoda ta oparta jest na założeniu, że rów­
nanie wyjściowe w ogóle ma pierwiastki. Warunkuje to jego ograniczoność i nieprak­
tyczną masywność, zamiast poszukiwania prostszej drogi. ([23], 186–188).
Drobisch cytuje twierdzenie o przedziale pierwiastkowym z kursu Cauchy'ego
oraz jego twierdzenie o wartości średniej ([23], s. 161) w rozdziale siódmym Alterna�
tywna metoda rozpoznawania pierwiastków rzeczywistych i urojonych ([23], s. 176).
Drobisch opowiada o metodzie kaskadowej Rolle’a. Rozpatruje on równanie wyj­
ściowe rodzaju f(x) = 0, pierwsze równanie pochodne f'(x) = 0 i przytacza twierdzenie:
Dwa sąsiednie pierwiastki rzeczywiste są oddzielone przez pierwiastek pochodnej
równania, pierwiastki której, z kolei, oddzielone są przez pierwiastki następnej po­
chodnej ([23], s. 176).
Twierdzenie 1. Między dwoma najbliższymi pierwiastkami rzeczywistymi równania
wyjściowego znajduje się co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty pochodnej; jed­
nak między nimi także może znajdować się trzy, pięć, itd. ogólnie dowolna nieparzy­
sta ilość pierwiastków.
Twierdzenie 2. Między dwoma najbliższymi pierwiastkami rzeczywistymi równania
pochodnego znajduje się nie więcej niż jeden pierwiastek równania pierwotnego, jed­
nak także może być tak, że między nimi wcale nie ma pierwiastków.
Twierdzenie 3. Nie mniej niż jeden pierwiastek rzeczywisty równania wyjściowego
może być większy, niż największy pierwiastek rzeczywisty równania pochodnego;
nie więcej niż jeden pierwiastek rzeczywisty równania pierwotnego jest mniejszy niż
najmniejszy pierwiastek równania pochodnego; jednak może być tak, że nie ma żad­
nego pierwiastka rzeczywistego, większego od większego pierwiastka i mniejszego od
mniejszego pierwiastka równania pochodnego. W tym ostatnim wniosku połączyliśmy
dwie połowy 2-go następstwa, to jest największy pierwiastek równania wyjściowego
może znajdować się między pierwszym a drugim, albo między drugim a trzecim, trze­
cim a czwartym, itd. pierwiastkiem równania pochodnego.12 ([23], 178–179).
Przedstawiono zgodnie z Lagrange’a Résolution de l’équat. Numér. Not. VIII, być może, pierwszego odkrywcy
12
177
Bellavitis i metoda Rolle’a
W roku 1846 włoski matematyk G. Bellavitis (1803–1880) opisuje metodę Rolle’a
w swojej książce Prosty sposób znajdowania pierwiastków rzeczywistych równań
algebraicznych i nowa metoda określenia pierwiastków urojonych [24].
Rok 1861. Twierdzenie Rolle’a u Weierstrassa
Pojęcie funkcji ciągłej gwałtownie zmieniło się w połowie XIX wieku, wraz z poja­
wieniem się nowych obiektów matematycznych, koniecznością klasyfikacji punktów
nieciągłości i oceny zakresu tego pojęcia oraz możliwości pominięcia ich przy rozwi­
nięciu funkcji w szereg Fouriera. Nowe określenie ciągłości funkcji w języku "ε – δ"
wprowadził Karl Weierstrass (1815–1897) w roku 1861 [25]. Rozwój pojęcia ciągło­
ści znalazł swoją kontynuację w pracach E. Heinego (1821–1881), J.W.R. Dedekinda
(1831–1916) oraz G. Cantora (1845–1918) w latach siedemdziesiątych XIX wieku.
Karl Weierstrass wykładał rachunek różniczkowy w Królewskim Uniwersytecie
Handlowym w Berlinie w semestrze letnim 1861 roku. Hermann Schwarz sporządził
konspekt tych wykładów [26]. Opublikował go Pierre Dugac [27].
Weierstrass definiuje funkcje ciągłe, a następnie wyprowadza ich własności.
Jeżeli f (x) jest funkcją x i x – wartością określoną, to przy przejściu x do x+h funkcja
zmieni się i będzie f (x+h); różnica f (x+h) – f (x) nazywana jest zmianą, którą uzy­
skuje funkcja ze względu na to, że argument przechodzi od x do x + h. Jeżeli dla h
możliwe jest określenie takiej granic δ, że dla wszystkich wartości h, według wartości
bezwzględnej jeszcze mniejszych, niż δ, f(x+h) – f(x) stanowi się jeszcze mniejsza,
niż jakakolwiek na ile to możliwe mała wielkość ε, to można powiedzieć, że nieskoń­
czenie małym zmianom argumentu odpowiadają nieskończenie małe zmiany funkcji.
Można bowiem powiedzieć, że pewna wielkość może stać się nieskończenie małą,
jeżeli jej wartość bezwzględna może stać się mniejsza od jakiejkolwiek dowolnie
wybranej małej wielkości. Jeżeli pewna funkcja jest taka, że nieskończenie małym
zmianom argumentu odpowiadają nieskończenie małe zmiany funkcji, to można po­
wiedzieć, że jest ona – funkcją ciągłą argumentu lub, że ona w sposób ciągły zmienia
się wraz ze swoim argumentem ([28], s. 189).
W rozdziale Badanie przebiegu funkcji znajduje się następujące twierdzenie:
Jeżeli dla dwóch określonych wartości x1 i x2 argumentu f(x1) = f(x2), to między x1 a
x2 obowiązkowo istnieje co najmniej jedna wartość x0, dla której pierwsza pochodna
f'(x) jest równa zeru.
Jak sądzi Juszkiewicz ([28], s. 192), jest to pierwsze lub jedno z pierwszych sfor�
mułowań tak zwanego twierdzenia Rolle’a. Później, w roku 1886, Weierstrass, ana­
lizując rozszerzenie pojęcia funkcji, napisał że najpierw były rozpatrywane tylko
funkcje, przedstawione przez wymierne wyrażenie liczbowe, na przykład, ciąg ze
współczynnikami wymiernymi.
Zmieniały się one zgodnie z zasadą ciągłości i w ten sposób było ograniczone całe
tej i innej z powyższych tez, opierających się na godnej szacunku zasadzie Rolle’a. – Przypis В. Drobischа.
178
nasze pojęcie o funkcji. Jednak odkrycie szeregów Fouriera pokazało, że jest inaczej,
istnieją funkcje ciągłe, które nie mogą być uzyskane poprzez dawny sposób zadania.
Dla ściśle określonej funkcji ciągłej zawsze można znaleźć wyrażenie matematyczne.
Dzięki temu można wyprowadzić własności dowolnej funkcji z podstawowych pojęć
ciągłości, ponieważ w każdym badaniu naukowym ważne jest wyciąganie z pojęć
podstawowych dalsze następne. ([29], s. 21).
Twierdzenie o przedziale pierwiastkowym, twierdzenie o wartości średniej, twier­
dzenie o pierwiastku pochodnej dotyczyły funkcji ciągłych. Jeżeli za czasów Cau­
chy’ego takich własności było około czterech, to u Diniego jest ich już jedenaście.
Rok 1878. Twierdzenie Rolle’a u Diniego
W roku 1878 ukazały się Podstawy teorii funkcji zmiennej rzeczywistej [30] Diniego
(1845–1918), profesora uniwersytetu w Pizie. W wykładzie tym po raz pierwszy
podana jest definicja funkcji ciągłej poprzez granice jednostronne. Twierdzenie Rol­
le’a, bez podania jego imienia, zostało sformułowane w sposób następujący:
Jeżeli w przedziale (α, β) funkcja f(x) jest skończona i ciągła i we wszystkich punktach,
oprócz końców przedziału, ma skończoną i określoną, lub nieskończoną i określoną po­
chodną, a oprócz tego w punktach skrajnych a i b przyjmuje jednakowe wartości, to w
przedziale (a, b) istnieje co najmniej jeden punkt x', dla którego f'(x') = 0 ([30], 76–77).
Rok 1879. Twierdzenie Rolle’a u Cantora
W okresie od roku 1874 do 1884 Cantor napisał swoje najważniejsze prace z teorii
mnogości [31]. W roku 1872 zbudował teorię liczb niewymiernych13, w 1874 udo­
wadnił przeliczalność zbioru liczb algebraicznych, w 1878 zdefiniował pojęcie mocy
i rozpatrywał zagadnienie kongruencji względem mocy ciągłych rozmaitości dowol­
nego wymiaru. Doszedł do paradoksalnego wniosku, że one wszystkie mają jednako­
wą moc i są równoliczne z odcinkiem jednostkowym. Widzę, ale nie wierzę, - pisał
Cantor do Dedekinda. Cantor doszedł do wniosku, że pojęcie wymiaru powinno opie­
rać się na wzajemnym ciągłym odwzorowaniu rozmaitości jednej na drugiej.
W roku 1879 Cantor chciał udowodnić twierdzenie o tym, że dwie ciągłe rozma­
itości Mμ i Mν różnych wymiarów μ i ν, gdzie μ < ν, nie mogą być odwzorowane jedna
na drugą homeomorficznie. Do dowodu Cantor wykorzystał twierdzenie Rolle’a o
przedziale pierwiastkowym. Zasługuje na uwagę to, że Cantor powoływał się na
Wykłady analizy Cauchy’ego z 1821 roku, ale schemat jego rozważania był bliski
interpretacji Bolzany z roku 1817. Próbę dowodu przedstawił Cantora w artykule O
jednym twierdzeniu z teorii rozmaitości ciągłych (Über einen Satz aus der Theorie
der stetigen Mannigfaltigkeiten, tłumaczenie F.A. Miedwiediewa) ([31], 36–39).
Cantor rozkłada punkty rozmaitości ciągłej Mμ na dwie klasy: punkty wewnętrz­
ne i punkty graniczne.
13
Niezależnie od Cantora, konstrukcję liczb rzeczywistych jako uzupełnienia przestrzeni metrycznej liczb wy­
miernych ze zwykłą topologią, podali Ch. Méray (1869) i E. Heine (1872). (Red.)
179
Punkt p z Mμ nazywa się wewnętrznym, jeżeli dookoła p jak ze środka można opisać
powierzchnię kuli Kμ-1 o tak małym r, że wszystkie punkty, położone wewnątrz i na
Kμ-1, należą do obszaru Mμ ; każdy punkt p z Mμ, dla którego taka konstrukcja jest
niemożliwa, będzie należeć do granicy Mμ. Pełną granicą obszaru ciągłego Mμ jest
obszar niższego rzędu, który albo stanowi jeden ciągle spojony kawałek, lub składa
się z kilku oddzielnych kawałków.
Z twierdzenia Rolle’a o przedziale pierwiastkowym Cantor otrzymuje następujące
twierdzenie:
Jeżeli Kμ-1 jest powierzchnią kuli (μ – 1)–go wymiaru, położoną w Mμ, a – punktem
wewnątrz Kμ-1, b – punktem poza Kμ-1 i N – jakimkolwiek obszarem (dowolnego rzędu)
wewnątrz Mμ, zawierającym oba punkty a i b, to istnieje co najmniej jeden punkt c,
jednocześnie należący do obszarów Kμ-1 i N.
Z pomocą tego twierdzenia Cantor próbuje udowodnić podstawowe twierdzenie
(o wymiarze), ale jego dowód był niekompletny14. Jednak twierdzenie o przedziale
pierwiastkowym ma u niego podstawowe znaczenia dla pojęcia ciągłości.
Rok 1886. Weierstrass i uściślenie pojęcia ciągłości
W semestrze letnim w 1886 roku Weierstrass wykładał teorię funkcji analitycznych.
Dążył on do systematycznego uogólnienia wszystkich wyników, które pojawiły się
w ciągu dwóch poprzednich dziesięcioleci. W oparciu o pojęcia punktu skupienia
Weierstrass rozwija pojęcie granicy górnej15, stosując twierdzenie o przedziale pier­
wiastkowym. Na jego podstawie wprowadza pojęcie spójności: wychodząc z dowol�
nego punktu continuum my zawsze w nim zostaniemy. ([29], s. 70).
Wnioski
W ten sposób widzimy, jak analiza równania algebraicznego doprowadziła do sfor­
mułowania dwóch fundamentalnych twierdzeń teorii funkcji – twierdzenia o prze­
dziale pierwiastkowym i twierdzenia o pierwiastku pochodnej i do odkrycia twier­
dzenia o wartości średniej. Twierdzenie o przedziale pierwiastkowym w literaturze
rosyjskiej u różnych autorów nosi nazwę i twierdzenia Rolle’a ([32], 121–122), i
twierdzenia Bolzano–Cauchy’ego ([33], s. 128). Twierdzenie o wartości średniej na­
zywane jest drugim twierdzeniem Bolzano–Cauchy’ego ([33], s. 131).
W ciągu trzystu lat zostało sformułowane jedno z najbardziej fundamentalnych
twierdzeń analizy, mające nie tylko duże znaczenie metodologiczne, ale również
ważne w zastosowaniach, na przykład: w geometrii różniczkowej, analizie funkcjo­
nalnej, mechanice. Łuzin za jego pomocą dowodził twierdzenie o okręgu stycznym
oraz twierdzenie o środku krzywizny ([34], s. 317). Pierwotnie przeznaczone dla
Pierwszy zadowalający dowód ogólnego twierdzenia, że rozmaitości różnych wymiarów nie można odwzoro­
wać homeomorficznie jednej na drugą podał L. E. J. Brouwer (Mathematische Annalen 70 (1910), 161–165).
15
Przy czym Weierstrass stosuje metody rachunku wariacyjnego.
14
180
wielomianów, twierdzenie Rolle’a zostało rozszerzone na funkcje ciągłe, wzbogaca­
jąc ich własności. Łuzin stwierdził że twierdzenie to leży u podstaw rozwoju teore�
tycznego rachunku różniczkowego i całkowego ([34], s. 317).
Autorka jest wdzięczna Natalii S. Jermołajewej za cenne uwagi przy ​pisaniu tego
artykułu.
Bibliografia
[1] M. Rolle, Traité d’algèbre, ou principes généraux pour résoudre les questions de ma­
thématique. Paris 1690. .
[2] M. Rolle, Démonstration d’une méthode pour résoudre les égalités de tous les degrés.
Paris 1691.
[3] Ch.Washington, Ch. Michel Rolle and his Method of Cascades.
[4] История математики. Т. 2. – М.: Наука. – 1970.
[5] Г. Ф. Лопиталь, Анализ бесконечно малых. Пер. с фр. Н.В. Леви под редакцией и
со вступительной статьёй А.П. Юшкевича. – М.–Л.: ГТТИ. – 1935 г.
[6] Д. Д. Мордухай–Болтовской, Из прошлого аналитической геометрии. 1952.
[7] J. Raphson, Analysis Aequationum universalis. 2 edition. London 1702.
[8] И. Ньютон, Всеобщая арифметика или книга об арифметическом синтезе и
анализе. Пер. А. П. Юшкевича. М.: Наука. 1948.
[9] T. Simpson, Essays. London 1740.
[10] G. F. de l‘Hospital, Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes.
Paris 1716. 2 edition.
[11] Ch.–R Reynaud, Analyse Démontrée. Paris 1708. T. I, II.
[12] G. Campbell,
��������������������������������������������������������������������������������
A Method for Determining the Number of Impossible Roots in Afected Ae­
quations, Philosophical Transactions of Royal Society. London 35 (1727/28), 515–531.
[13] A second letter from Mr. Colin Mac Laurin, concerning the Roots of Equations, with
the Demonstration of on their Rules in Algebra, Philosophical Transactions of Royal
Society London 36 (1729), 59–96.
[14] A. C. Clairaut, Élémens d`Algèbre. Paris 1746.
[15] Л. Эйлер, Дифференциальное исчисление, М.–Л.: ГИТТЛ. – 1949.
[16] S. F. Lacroix, Élémens d’algèbre, à l’usage de l’Ecole centrale des Quatre–Nations. 15
ed. Paris 1830.
[17] S. F. Lacroix, M. Metternich, Anfangsgründe der Algebra.
[18] A. G. Kaestner, Angfangsgründe der Analysis endlicher grössen. Göttingen 1794.
[19] J.– L. Lagrange, Traité de la resolution des équations numériques de tous les degrés,
avec des notes sur plusieurs points de la théorie des équations algébriques. Oeuvres
complètes. Paris. 1867–1892.
[20] Б. Больцано, Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между любыми
двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по
меньшей мере один действительный корень уравнения. Przekład: Э. Кольман (w:.
[21]
[22]
[23]
[24]
[25]
[26]
[27]
[28]
[29]
[30]
[31]
[32]
[33]
181
Кольман Э. Бернард Больцано. М. – 1955. strony 170–204).
Ch. L. Rösling, Grundlehren von den Formen, Differenzen, Differentialien und Integra­
lien der Functionen. Erlangen 1805.
A. L. Cauchy, A. Cours d’analyse de l’Ecole royale polytechnique. Première partie:
Analyse algébrique (Œeuvres complètes. Série 2, tome 3. Paris 1882–1974).
M. W. Drobisch, Grundzüge der Lehre von den höheren Gleichungen. Leipzig 1834.
G. Bellavitis, Sul piu facile modo di trovare le radici reali delle equazioni algebraiche
e sopra un nuovo metodo per la determinazione delle radici immaginarie memoria.
Venezia 1846. [25] Г.И. Синкевич, К истории эпсилонтики (w tomie: Математика в
высшем образовании. 2012), 149–166.
K. Weierstrass, Differentialrechnung. Ausarbeitung der Vorlesung an dem König. ����
Gew­
erbeinstitut zu Berlin im Sommersemester 1861 von H. Schwarz.
P. Dugac, Eléments d’analyse de Karl Weierstrass. Paris 1972.
Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Под ред. А. П.
Юшкевича. Москва: Просвещение 1977.
K. Weierstrass, Ausgewählte Kapitel aus der Funktionenlehre. Vorlesung gehalten in
Berlin 1886 mit der Akademischen Antrittsrede, Berlin 1857 und drei weiteren Origi­
nalarbeiten von K. Weierstrass aus den Jahren 1870 bis 1880/86. Teubner–Archiv für
Mathematik. Band 9. Reprint 1989.
U. Dini, Fondamenti per la theorica delle funzioni di variabili reali. Pisa 1878.
Г. Кантор, Труды по теории множеств. М.: Наука. 1985.
О. С. Шатуновский, Введение в анализ. Одесса 1923.
Г. М. Фихтенгольц, Основы математического анализа. М. 1968.
Н. Н. Лузин, Дифференциальное исчисление. М.: Советская наука. 1946.
Sinkevich Galina Ivanovna
Saint Petersburg State University
of Architecture and Civil Engeneering
Vtoraja Krasnoarmejskaja ul. 4
St. Petersburg 190005, Russia
e–mail: [email protected]